1 1. Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ MΟΝΩΝΥΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αριθµητική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών. Αλγεβρική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών και µεταβλητών ή µεταξύ µόνο µεταβλητών. Ακέραια αλγεβρική παράσταση : Είναι η παράσταση που µεταξύ των µεταβλητών της σηµειώνονται µόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού κι οι εκθέτες των µεταβλητών είναι φυσικοί αριθµοί. Αριθµητική τιµή αλγεβρικής παράστασης Είναι ο αριθµός που βρίσκουµε αν αντικαταστήσουµε τις µεταβλητές µε αριθµούς και εκτελέσουµε όλες τις πράξεις. Μονώνυµα : Είναι οι ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις που µεταξύ των µεταβλητών τους σηµειώνεται µόνο πολλαπλασιασµός 6. Μέρη µονωνύµου : i) Ο αριθµητικός παράγοντας που λέγεται συντελεστής ii) Oι µεταβλητές µε τους εκθέτες τους που αποτελούν το κύριο µέρος 7. Βαθµός µονωνύµου: Ο εκθέτης µιας µεταβλητής λέγεται βαθµός του µονωνύµου ως προς την µεταβλητή αυτή. Βαθµός µονωνύµου ως προς δύο ή περισσότερες µεταβλητές του λέγεται το άθροισµα των εκθετών αυτών των µεταβλητών.
8. Όµοια µονώνυµα : Είναι τα µονώνυµα µε το ίδιο κύριο µέρος 9. Ίσα µονώνυµα : Είναι τα όµοια µονώνυµα που έχουν τον ίδιο συντελεστή 10. Αντίθετα µονώνυµα : Είναι τα όµοια µονώνυµα που έχουν αντίθετους συντελεστές. 11. Συµφωνία : Συµφωνούµε ότι και οι αριθµοί είναι µονώνυµα τα οποία ονοµάζουµε σταθερά. Ειδικότερα το 0 το λέµε µηδενικό µονώνυµο. Βαθµός στα σταθερά µονώνυµα είναι το 0, ενώ για το µηδενικό µονώνυµο βαθµός δεν ορίζεται βαθµός. ΣΧΟΛΙΑ 1. Εύρεση αριθµητικής τιµής : Φέρνουµε την αλγεβρική παράσταση στην τελική της µορφή και µετά βρίσκουµε την αριθµητική της τιµή. ιευκρίνιση : Στο µονώνυµο y ω, συντελεστής είναι το κύριο µέρος είναι το y ω βαθµός ως προς είναι ος βαθµός ως προς και ω είναι ος. Επισήµανση : Το µονώνυµο α βγ έχει συντελεστή το 1 Το µονώνυµο yz έχει συντελεστή το 1 Τα µονώνυµα α β 7 και αβ έχουν συντελεστές 1 7 και. Επισήµανση : Αν θέλω να βρω το συντελεστή και το κύριο µέρος σε ένα µονώνυµο, αυτό πρέπει να είναι στην τελική του µορφή
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γράψετε δύο αλγεβρικές παραστάσεις που δεν είναι µονώνυµα Να γράψετε τρία µονώνυµα µε µεταβλητές τα α, β και γ γ) Να γράψετε τρία όµοια µονώνυµα µε µεταβλητές και y δ) Να γράψετε δύο ίσα µονώνυµα µε µεταβλητές α και β ε) Να γράψετε δύο αντίθετα µονώνυµα µε µεταβλητές και y 1 y + και αγ + α αβγ, α β γ, αβγ γ) y, δ) αβ και αβ ε) y και y y, y Θεωρία -8-9-10. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων A = 1 α β αβ όταν α = και β = 1 Σχόλιο1 B = ( + y) ( + y) όταν = και y = A = 1 ( ) ( 1) ( )( 1) = 1 ( 1) ( ) 1= 1 + 8 = B = ( + y) ( + y) = + 6y + y = + y Όταν = και y = έχουµε B = + = 10 + 0 =
. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων A = ( + y 1) ( y + ) + 8y όταν + y = B = 6 ( α γ + + (α + β ) όταν α + β = και γ β = 1 A = ( + y 1) ( y + ) + 8y = + 6y + + 16y 0 + 8y = = 7 + 1y = = 7( + y) Όταν + y = έχουµε A = 7 = 1 B = 6 ( α γ + + (α + β ) = 6 + α + γ β + α + 6β 10= = 6α + β + γ = = 6α + 6β β + γ = = 6(α + + (γ Όταν α + β = και γ β = 1 έχουµε Β = 6 + ( 1) = 1 =. Στα παρακάτω µονώνυµα να βρεθεί ποιος είναι ο συντελεστής και ποιο το κύριο µέρος y, y 7 y,, ( ω )(yω 7 ( yω )( y ) ), 6 y συντελεστής και κύριο µέρος y Σχόλια - y συντελεστής 1 και κύριο µέρος y 7 y 7 = y συντελεστής 6 6 6 και κύριο µέρος y 7 ( ω )(yω ) = 8 ω 6 y συντελεστής 8 και κύριο µέρος ω 6 y 7 ( yω )( y ) = y 10 ω συντελεστής και κύριο µέρος y 10 ω
. Τα παρακάτω µονώνυµα να τα χωρίσετε σε οµάδες οµοίων µονωνύµων.,, 7, 8 1,,,, 0,1,, 1 η οµάδα :, 7,, 7 η οµάδα :,, 0,1 η οµάδα : 8 η 1 οµάδα :, 7 6. Στην παράσταση α λ + 1 + α µ + να προσδιοριστούν οι ακέραιοι µ, λ, ώστε αυτή να είναι µονώνυµο. Στη συνέχεια να βρείτε τον συντελεστή και το κύριο µέρος Πρέπει λ + 1 = και µ + = λ = 1 και µ= 0 Τότε η παράσταση α λ + 1 + α µ + γίνεται α + α = α µε συντελεστή και κύριο µέρος α 7. Να βρείτε το µονώνυµο που µας δίνει Την επιφάνεια ενός κύβου ακµής α Τον όγκο ενός κύβου ακµής α γ) Των παραπάνω µονωνύµων να βρείτε την αριθµητική τιµή όταν α = Η επιφάνεια του κύβου αποτελείται από 6 τετράγωνα πλευράς α Το εµβαδόν του κάθε τετραγώνου είναι α Άρα το µονώνυµο που µας δίνει την επιφάνεια είναι το 6α Ο όγκος του κύβου δίνεται από το µονώνυµο α γ) Η αριθµητική τιµή των παραπάνω µονωνύµων όταν α = είναι 6 = και = 8 αντίστοιχα α
6 8. Ένα ορθογώνιο έχει πλάτος και µήκος τριπλάσιο από το πλάτος. Να βρείτε τα µονώνυµα που εκφράζουν την περίµετρο και το εµβαδόν του ορθογωνίου. Ποιος είναι ο βαθµός τους ; Είναι πλάτος και µήκος. Το µονώνυµο που εκφράζει την περίµετρο είναι το + + + = 8 και είναι 1 ου βαθµού. Το µονώνυµο που εκφράζει το εµβαδόν είναι το = και είναι ου βαθµού 9. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει ύψος y και βάση τετράγωνο πλευράς. Να βρείτε τις αλγεβρικές παραστάσεις που µας δίνουν την επιφάνεια και τον όγκο του παραλληλεπιπέδου. Είναι αυτές µονώνυµα ; Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραπάνω παραστάσεων όταν = 10 και y = 1 10 Η επιφάνεια του παραλληλεπίπεδου όπως φαίνεται και στο σχήµα είναι ίση µε + y και ο όγκος y. H παράσταση + y δεν είναι µονώνυµο, ενώ η y είναι. Όταν = 10 και y = 1, η τιµή της πρώτης 10 παράστασης είναι 10 + 10 1 10 και της δεύτερης 10 1 10 = 100 1 10 = 10 = 00 + = 0 y y y y
7 10. Για τις διάφορες τιµές του αριθµού λ να βρείτε πότε το µονώνυµο (λ ) y µε µεταβλητές και y είναι ου βαθµού ως προς εν ορίζεται βαθµός για το µονώνυµο Θα πρέπει λ 0 άρα λ άρα λ Πρέπει το µονώνυµο να είναι µηδενικό µονώνυµο και αυτό συµβαίνει όταν λ = 0 ή λ = Θεωρία 11 11. α β Να βρείτε τις τιµές του φυσικού αριθµού µ ώστε η παράσταση να είναι µονώνυµο και στη συνέχεια να βρείτε το βαθµό αυτού ως προς α Πρέπει µ 0 και µ 0 άρα µ και µ µ Επειδή το µ είναι φυσικός, δεκτές τιµές είναι οι,, Όταν µ=, το µονώνυµο είναι ου βαθµού ως προς α. Όταν µ = το µονώνυµο είναι 1 ου βαθµού ως προς α Όταν µ= το µονώνυµο είναι µηδενικού βαθµού ως προς α µ µ
8 1. Να προσδιορίσετε τις τιµές των κ, λ, µ ώστε τα µονώνυµα (κ ) y ν και ν y µ µε µεταβλητές και y να είναι όµοια ίσα γ) αντίθετα Πρέπει κ 0 και ν = και µ = ν άρα κ και ν = και µ = Πρέπει κ = 1 και ν = και µ = ν άρα κ = και ν = και µ = γ ) Πρέπει κ = 1 και ν = και µ = ν άρα κ = και ν = και µ = 1. Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε οι παραστάσεις Α= α λ + β + 6α β λ και Β = ( λ ) y + ( λ + ) y. να είναι ταυτόχρονα µονώνυµα. Στη συνέχεια να βρείτε το βαθµό τους ως προς τις µεταβλητές τους. Η παράσταση Α είναι µονώνυµο µόνο όταν λ + = και = λ δηλαδή λ=. Για λ = η παράσταση Β γίνεται Β = 6 y που είναι και αυτή µονώνυµο. Η Α είναι 8 ου βαθµού ως προς α και β και η Β είναι ου βαθµού ως προς και y
9 1. Στο τραπέζιο του διπλανού σχήµατος είναι Γ = ΒΓ = ΑΒ Να υπολογίσετε το ύψος του τραπεζίου Να βρείτε το µονώνυµο που εκφράζει την περίµετρο του τραπεζίου γ) Να βρείτε το µονώνυµο που εκφράζει το εµβαδόν του τραπεζίου, και να διακρίνετε το συντελεστή και το κύριο µέρος. Αν ΑΒ = τότε Γ = ΒΓ = Φέρουµε το ύψος ΒΛ. Τότε Λ = AB = και αφού Γ = θα είναι και ΛΓ =. Από το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΒΛΓ έχουµε ότι ΒΛ = ΒΓ ΛΓ Άρα ΒΛ = µήκος. = A = = = = = δεδοµένου ότι > 0 αφού εκφράζει Είναι Α = ΒΛ = εποµένως η περίµετρος είναι Π = + + + = γ) Το εµβαδόν Ε είναι ίσο µε µε συντελεστή Ε = (B + υ και κύριο µέρος. = ( + ) = ( + ) = B Λ Γ