Kεφ. ΣYΣTHMATA ME ΠOΛΛOYΣ BAΘMOYΣ EΛEYΘEPIAΣ (part, pages - Θεωρύμε ένα σύστημα με N βαθμύς ελευθερίας, τ πί θα περιγράφεται από N συντεταγμένες (t, (t,..., N (t. Oι εξισώσεις κίνησης τυ συστήματς θα έχυν την μρφή = α = α α α... α...... α,, ( (όπυ τόνς σημαίνει παράγωγ ως πρς τν χρόν. Eφόσν αναζητύμε καννικές λύσεις της μρφής:... = = = cs(ωt + φ, cs(ωt + φ, cs(ωt + φ ( αντικαθιστώντας στην ( πρκύει τ σύστημα N γραμμικών εξισώσε (α α... α + (α + α + α +... + (α +... + α +... + α (3 Aπό τη χαρακτηριστική εξίσωση λαμβάνυμε N κυκλικές συχνότητες ω, ω,..., ω N και συνεπώς πρκύπτυν N καννικί τρόπι (ή καννικές μρφές ταλάντωσης τυ συστήματς. Για κάθε καννικό τρόπ ταλάντωσης (δηλ. για κάθε τιμή της κυκλικής συχνότητς ω, ι λόγι των πλατών A /A, A 3 /A,..., A N /A υπλγίζεται από τ σύστημα (3. CHAPTER
Aν τ πλήθς N των κινύμενων μερών τυ συστήματς είναι πλύ μεγάλ (δηλ. N και η απόστασή τυς γίνεται πλύ μικρή, μπρύμε να φανταστύμε ότι η κίνηση γειτνικών μερών δεν διαφέρει πλύ μεταξύ τυς. Σ αυτή τη περίπτωση λέμε ότι τ σύστημα συμπεριφέρεται σαν ένα συνεχές. Tότε η μετατόπιση των κινυμένων μερών τυ συστήματς στη γειτνιά τυ σημείυ (x,y,z μπρεί να περιγραφεί από μια συνεχή συνάρτηση (x,y,z,t (η πία καλείται κυματσυνάρτηση, η πία αντικαθιστά τις συντεταγμένες (t, (t,..., N (t. Aυτή η νέα περιγραφή ρίζει την έννια τυ κύματς. Oι καννικί τρόπι ταλάντωσης σε ένα συνεχές μέσν νμάζνται στάσιμ κύμα. Παράδειγμα : Tαλαντώσεις σωματιδίων πάνω σε χρδή Θεωρύμε μιά αβαρή χρδή μήκυς (N+α, στην πία εφαρμόζεται τάση T και N ίσες μάζες m, τπθετημένες κατά μήκς της χρδής ανά διαστήματα α. Tα τμήματα της χρδής πυ συνδέυν τις σημειακές μάζες παίζυν τν ρόλ ελατηρίων α Eγκάρσιες ταλαντώσεις: Θεωρύμε τα ακραία σωματίδια πακτωμένα, δηλ. y 0 =y N+ =0. Oι y-συνιστώσες των δυνάμεων πυ εξασκύνται πάνω στα σώματα: CHAPTER
3 F y = T = k( = k( a = k( k(y sinθ a a (y + T sinθ y sinθ όπυ T=kα, T 0 =T =...=T + k( + k( a a a + k( sinθ y (y Oμίως υπλγίζυμε, F F... F y 3y y k(y k(y 3 k(y 3 4 + y όπυ y 0 =y N+ =0. Oι εξισώσεις κίνησης γράφνται, μάζα : μάζα : μάζα 3: μάζα N: m y t = - T α (y -y m y t = - T α (y -y3- y m y3 t = - T α (y 3-y4- y.................... m yn t = - T α (y N-yN- (τα σημεία 0 και (N+α είναι πακτωμένα, δηλ. y 0 =0 και y N+ =0 Kατά τα γνωστά, εφόσν αναζητύμε λύσεις της μρφής: CHAPTER
4... = = = cs(ωt + φ, cs(ωt + φ, cs(ωt + φ ( αντικαθιστώντας στ πρηγύμεν σύστημα των δ.ε. λαμβάνυμε, όπυ (ω ω = Τ / mα + (ω... + (ω 3 Για N=, βρίσκυμε βέβαια μιά μόν καννική μρφή, ω = ω, Για N=, η χαρακτηριστική εξίσωση είναι, = ( ω 0 η πία δέχεται καννικές μρφές (τις έχμε βρει άλλωστε: ω = ω και A /A = ω = 3ω και A /A = - Για N=3, η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται τώρα (ω 0 (ω (ω 0 3 = 0 CHAPTER
5 H ρίζυσα αναπτύσσεται στη μρφή: 3 (ω (ω = 4 0 και της πίας ι ρίζες είναι: Πρκύπτυν συνεπώς 3 καννικές μρφές ταλάντωσης: ω ( ω ω = ω και ω ( ± = και A 3 /A /A =/ / ω = ω και A 3 /A /A =-/0/ = και A 3 /A /A =/- / ω ( + ω ω =. H πραγμάτευση είναι παρόμια και για μεγαλύτερες τιμές τυ N. Για παράδειγμα για N=4 βρίσκυμε (η απόδειξη επαφίεται ως άσκηση CHAPTER
6 Συμπεράσματα: Aπό τις παραπάνω απεικνίσεις των διαφόρων μρφών ταλάντωσης διαπιστώνμε ότι α για κάθε N, η συχνότητα ταλάντωσης είναι μικρώτερη όταν τα γειτνικά σωματίδια ταλαντύνται πρς την ίδια διεύθυνση παρά όταν κινύνται σε αντίθετες διευθύσεις, β ς τρόπς ταλάντωσης δεν περιέχει δεσμύς (δεσμί είναι τα σημεία τη χρδής πυ παραμένυν ακίνητα, εκτός βέβαια από τα σημεία εξάρτησης, γ ς τρόπς ταλάντωσης περιέχει ένα μόν δεσμό, δ 3ς τρόπς ταλάντωσης περιέχει δύ δεσμύς, κλπ. δηλ. έχυμε την ακόλυθ ακλυθία διεγέρσεων της χρδής για N>> δηλ. η μετατόπιση των γειτνικών σωματιδίων διεφέρει ελάχιστα μεταξύ τυς (τυλάχιστν στυς χαμηλώτερυς τρόπυς ταλάντωσης. Mπρύμε λιπόν να αναζητήσυμε μιά συνάρτηση (x,y,z,t η πία να περιγράφει τη στιγμιαία μετατόπιση όλων των σωματιδίων της χρδής [όπυ (x,y,z είναι ι συντεταγμένες σημείυ της χρδής στη κατάσταση ισρρπίας], χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζυμε τ σύνλ των μετατπίσεων y, y, y 3,..., y N ενός εκάστυ των σωματιδίων (πυ είναι αδύνατ να τ γνωρίζυμε για N. Γραμμικά πλωμένες ταλαντώσεις: πάνττε παράλληλα πρς τν ίδι άξνα όταν τα σωματίδια κινύνται CHAPTER
7 Eγκάρσιες ταλαντώσεις: Θεωρύμε ένα μικρό τμήμα της χρδής πυ έχει εκτραπεί από τη θέση ισρρπίας τυ T T (z,t z z+δz Oι x-συνιστώσες των δυνάμεων πυ εξασκύνται πάνω στα τμήμα: Fx = - T sinθ +T sinθ = T( sinθ - sinθ επειδή θ<<, ισχύει sinθ tanθ, και = Τ ( (z + Δz (z tan θ =, άρα (z + Δz (z Fx T(tanθ tanθ = Τ H εξίσωση κίνησης τυ τμήματς της χρδής (κατά τν κατακόρυφ άξνα θα είναι: (μδz = Τ ( (z + Δz (z όπυ (μδz είναι η μάζα τυ τμήματς της χρδής και μ καλείται γραμμική πυκνότης της χρδής (gr/cm, άρα μ = Τ (z + Δz (z Δz CHAPTER
8 Παίρνντας τ όρι για Δz 0, άρα ή μ = Τ t Ορ Δz 0 (z μ = Τ = t (z = (z + Δz (z Δz μ Τ t Τ (z η πία καλείται εξίσωση κύματς. H πσότης μ/t έχει μνάδες (Kgr/m/Nt=(Kgr/m/(Kgr-m/sec =(m/sec -, δηλ. μνάδες ταχύτητς στ τετράγων, πότε συμβλίζυμε υ =Τ/μ (η ταχύτης αυτή καλείται φασική ταχύτης. Οπότε η εξίσωση κύματς γράφεται, (z = υ t Στη περίπτωση χρδής για εγκάρσια κύματα βρίκαμε: εξίσωση κύματς επιδέχεται πικίλες κατηγρίες λύσεων. α στασιμά κύματα υ = Τ / μ. H Eστω ότι ενδιαφερόμαστε για καννικές μρφές ταλάντωσης (z,t = A(z cs(ωt+φ, πότε αντικαθιστώντας στην εξίσωση τυ κύματς λαμβάνυμε: A(z = - ω υ A(z H λύση της διαφρικής εξίσωσης έχει τη μρφή, (z=a cs(ωz+δ, CHAPTER
9 όπυ Ω = ω/ υ = ω/ Τ / μ. λ A z Η περίδς ως πρς τη μεταβλητή z λέγεται μήκς κύματς λ, δηλ. Ω=π/λ, ή π π πυ υ λ = = = =, επμένως Ω ω/ υ πν ν λν=υ Aυτή είναι χαρακτηριστική εξίσωση για όλα τα κύματα. H σταθερά υ καλείται ταχύτης τυ κύματς. Oπότε τ στάσιμ κύμα θα έχει τη μρφή: π (z,t = A cs( z+δ cs(ωt+φ, λ H πσότης k=π/λ καλείται κυματικός αριθμός (μνάδες ra/m. Eφαρμγή συνριακών συνθηκών: Eχυμε στα σημεία z=0 και z=l, (z,t=0 π στ z=0 cs( 0+δ = 0 δ=π/ λ π στ z=l sin( L = 0 L = π, π, 3π,... λ λπ άρα λ = L, L/, L/3, L/4, L/5,..., L/n CHAPTER
0 ή λ = L, λ =λ /, λ 3 =λ /3, λ 4 =λ /4,..., λ n =λ /n και ι αντίστιχες συχνότητες, ν = υ, ν =ν, ν 3 =3ν, ν 4 =4ν,..., ν n =nν λ H ακλυθία: ν, ν, ν 3, ν 4,..., ν n, ρίζει την ακλυθία των αρμνικών τυ συστήματς, δηλ. η (ή θεμελιώδης αρμνική, η αρμνική, 3η αρμνική,... Oμως αν θέλυμε γιά t=0 να μην υπάρχει διέργεση, (z,0=0, τότε θα πρέπει φ=π/, πότε τ στάσιμ κύμα θα έχει τη μρφή: (z,t = A sin(kz cs(ωt, Στ επόμεν σχήμα φαίννται διαδχικά ι ταλαντώσεις ης αρμνικής, ας αρμνικής, 3ης αρμνικής, και 4ης αρμνικής, στις πίες μπρεί να διεγερθεί η χρδή. CHAPTER
CHAPTER