Ατομική και ηλεκτρονιακή δομή των στερεών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ατμική και ηλεκτρνιακή δμή τν στερεών Μντέλ συζευγμένν εκκρεμών Διδάσκν : Επίκυρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

2 Άδειες Χρήσης Τ παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Coos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπς εικόνες, πυ υπόκειται σε άλλυ τύπυ άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Μντέλ συζευγμένν εκκρεμών Ατμική και ηλεκτρνιακή δμή τν στερεών Χ.Ε. Λέκκα Επίκυρς Καθηγήτρια csl.aterials.oi.gr/lea Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών

4 Μντέλ συζευγμένν εκκρεμών Οι ασκήσεις πυ θα ακλυθήσυν απτελύν μια εξαίρετη ευκαιρία εξικείσης με τ θεώρημα τυ Bloch και τις συνέπειες τυ για τις ιδιτιμές. Τ παρόν μντέλ τν συζευγμένν εκκρεμών ανάγεται αμέσς στ πρόβλημα της ταλαντώσες τν ιόντν ενός στερεύ (αρκεί να θέσυμε τ συντελεστή βαρύτητας g=0). Είναι επίσης μαθηματικά ισδύναμ με την εξίσση τυ Schroediger για τη κίνηση τυ ηλεκτρνίυ, εάν κανείς γράψει τη ζητύμενη κυματσυνάρτηση ψ ς γραμμικό συνδυασμό ατμικών τρχιακών. Έτσι μελετώντας κανείς ένα ικεί μντέλ εκκρεμών, διαμρφώνει τ εννιλγικό πλαίσι για τη κατανόηση της κίνησης και τν ηλεκτρνίν και τν ιόντν σε ένα στερεό. Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών

5 Συζευγμένα εκκρεμή (άσκηση ) Άσκηση (σελ.8): Επιλύστε τ πρόβλημα μνδιάστατν μικρών ταλαντώσεν ενός περιδικύ συστήματς Ν συζευγμένν εκκρεμών (Ν τείνει στ άπειρ) διατεταγμένν κυκλικά (ώστε N+ (t)= (t)) τπικά όμς γραμμικά. (Η περιδικότητα έγκειται στην περιδική συνριακή συνθήκη N+ =, καθώς και στ ότι ι απστάσεις α, τα μήκη l, ι μάζες και ι σταθερές ελατηρίυ κ είναι είναι όλες ίσες μεταξύ τυς) κ κ Απμακρύν τ από τη ΘΙ θ κκρεμή: - α Η απμάκρυνση (t) από τη θέση ισρρπίας τυ στύ εκκρεμύς (κατά τη διεύθυνση της αλυσίδας - πλύ μικρή) υπακύει την εξίσση τυ Νεύτνα : F B F F () Δύναμη βαρύτητας F B g, Δύναμη δεξιύ ελατηρίυ Δύναμη αριστερύ ελατηρίυ () F, (3) F, () 3 Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών

6 Συζευγμένα εκκρεμή (άσκηση ) - Η κάθε ιδιταλάντση τυ συστήματς χαρακτηρίζεται εξ ρισμύ από τ γεγνός ότι όλα τα εκκρεμή έχυν κινή χρνική εξάρτηση t της μρφής: Η συχνότητα ταλάντσης κάθε εκκρεμύς αν δεν ήταν συζευγμέν με τα διπλανά τυ είναι: g, (6) Αντικαθιστύμε τις ()-(5) στην () έχυμε ένα σύστημα Ν εξισώσεν με Ν αγνώστυς (,,, N ) : (5) g FB F F ( ) ( παράγγς it 0 e, όπυ (t) η απμάκρυνση τυ ελατηρίυ από τη θέση ισρρπίας d (5) dt ) 0,,..., N - (7) Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών

7 Συζευγμένα εκκρεμή (άσκηση ) - 3 Κατ αναλγία με τ Θεώρημα Bloch: e iα ή e -iα Πρσχή : άλλ τ κ (σταθερά ελατηρίυ) και άλλ τ (κυματαριθμός) (7) -iα iα e e 0 -iα iα e e 0 H παραπάν σχέση ισχύει για πιαδήπτε αυθαίρετη τιμή τυ αρκεί η ιδισυχνότητα να ικανπιεί τη σχέση : e -iα e iα 0 e cosθ ia e -ia cosa Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών 5

8 Συζευγμένα εκκρεμή (άσκηση ) - si θ -cosθ si a Ιδισυχνότητα ταλάντσης (8) Τις επιτρεπτές τιμές τυ καθρίζει η συνριακή συνθήκη N+ =, η πία σε συνδυασμό με τ θεώρημα Bloch ( N+ = e ina ) δηγεί στη σχέση: N N e inα e inα e inα Nα π p π α p N π L p, L Na p ακέραις π α Δύ ακέραιι p και p πυ διαφέρυν κατά ακέραι πλλαπλάσι τυ Ν αντιστιχύν στην ίδια λύση. Επμένς τ μπρεί να περιριστεί στη περιχή: π α Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών, η ζώνη Brilloi 6

9 Συζευγμένα εκκρεμή (άσκηση ) Άσκηση (σελ.0): Σχλιάστε τα απτελέσματα της άσκησης. si a Η εξάρτηση της ιδισυχνότητας από τ κρυσταλλικό κυματαριθμό λέγεται σχέση διασπράς. (αντίστιχη της ενέργειας ε() για τα ηλεκτρόνια) ax χάσμα Η γραφική παράσταση εκτός της περιχής [-π/α, π/α] δεν πρσφέρει πρόσθετες πληρφρίες εφόσν όλες ι διαφρετικές λύσεις περιέχνται στη η ζώνη Brilloi. -π/α i 0 π/α ζώνη χάσμα Υπάρχει μια επιτρεπτή περιχή συχντήτν πυ λέγεται ζώνη : i = i < < ax ax και περιχές απαγρευμένν συχντήτν : χάσματα Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών 7

10 Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών 8 Συζευγμένα εκκρεμή (άσκηση ) - 6 Για ~ 0 και κντά στ i η σχέση (8) γράφεται: Οριακές περιπτώσεις : 0 π/α -π/α ax i ζώνη χάσμα χάσμα α α si α si, α * * o α 0 : για Ενεργός μάζα Για ~ + π/α και κντά στ ax αντίστιχα : 0 α, α π ax * * ax a a (σαν πές) Για ~ 0 και = 0 έχυμε τη σχέση διασπράς με σταθερή φασική ταχύτητα c: c Η ταχύτητα c θα είναι η ίδια πυ θα είχαμε για διάδση τυ ήχυ σε αντίστιχ μιγενές συνεχές μέσ. α α α si α si 0 α c Τα χύτητα ήχυ

11 Εκκρεμή με διαφρετικές μάζες (άσκηση 3) Άσκηση 3 (σελ.) : Επιλύστε τ πρόβλημα μικρών ταλαντώσεν ενός περιδικύ συστήματς Ν εκκρεμών (με περιδικές συνριακές συνθήκες) και περίδ α. ( < ) κ κ α Εκκρεμή: - + Η εξίσση κίνησης τυ στυ εκκρεμύς (υπθέτντας χρνική εξάρτηση της μρφής = (o) e -it ) είναι: και τυ - είναι : - - () () Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών 9

12 Εκκρεμή με διαφρετικές μάζες (άσκηση 3) - Όπς και στην άσκηση : Η συχνότητα ταλάντσης κάθε εκκρεμύς αν δεν ήταν συζευγμέν με τα g διπλανά τυ είναι g/l άρα : o i a Κατ αναλγία με τ θεώρημα Bloch έχυμε : e και e (πρσχή η περίδς εδώ είναι α) i a Αντικαθιστώντας τις παραπάν σχέσεις στην () και () έχυμε ένα γραμμικό σύστημα x : ia e 0 o - e ia 0 o - (3) () Για να υπάρχει λύση, θα πρέπει η ρίζυσα να είναι μηδέν : Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών 0

13 Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών α si κ κ κ Εκκρεμή με διαφρετικές μάζες (άσκηση 3) - 3 Για να υπάρχει λύση, θα πρέπει η ρίζυσα να είναι μηδέν : 0 o o ia ia e e Άρα ι ιδισυχνότητες ταλάντσης είναι : (5)

14 Εκκρεμή με διαφρετικές μάζες (άσκηση 3) - Στ παρακάτ σχήμα δίδεται η γραφική παράσταση τν - και + ς συναρτήσεν τυ, τ πί περιρίζεται στην πρώτη ζώνη Brilloi (δηλαδή μεταξύ -π/α και π/α (εφόσν η περίδς είναι α)). + _ 3 πτική ζώνη ακυστική ζώνη Χαρακτηριστικές περιπτώσεις : ) Για =0 και = η (3) γίνεται : κ κ 0 3 (μεταφρική κίνηση) χάσμα -π/α 0 π/α 5 π/α κ κ κ κ κ { κ Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών

15 Εκκρεμή με διαφρετικές μάζες (άσκηση 3) - 5 ) Για =π/α και + 3 πτική ζώνη _ ακυστική ζώνη 3) Για =π/α και χάσμα -π/α 0 π/α ) Για =0 και Παρατηρήστε ότι στις και 3 περιπτώσεις τ ένα ελατήρι δε παραμρφώνεται ενώ στην παραμρφώννται και τα δύ ελατήρια. Για αυτό η περίπτση έχει και τη μεγαλύτερη συχνότητα. Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών 3

16 Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών Για =0 και =0 έχ : α si κ α si κ κ Εκκρεμή με διαφρετικές μάζες (άσκηση 3) - 6 Για =0 τ σύστημα περιγράφει γραμμική αλυσίδα ατόμν, π.χ. νανκαλώδι Ο ήχς είναι ένα διαμήκες κύμα χαμηλής συχνότητας με c κ α κ α c c Taylor : six x x x Ταχύτητα τυ ήχυ Ταχύτητα τυ ήχυ

17 Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών 5

18 Τέλς Ενότητας

19 Χρηματδότηση Τ παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια τυ εκπαιδευτικύ έργυ τυ διδάσκντα. Τ έργ «Ανικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στ Πανεπιστήμι Ιαννίνν» έχει χρηματδτήσει μόν τη αναδιαμόρφση τυ εκπαιδευτικύ υλικύ. Τ έργ υλπιείται στ πλαίσι τυ Επιχειρησιακύ Πργράμματς «Εκπαίδευση και Δια Βίυ Μάθηση» και συγχρηματδτείται από την Ευρπαϊκή Ένση (Ευρπαϊκό Κιννικό Ταμεί) και από εθνικύς πόρυς.

20 Σημειώματα

21 Σημείμα Ιστρικύ Εκδόσεν Έργυ Τ παρόν έργ απτελεί την έκδση.0. Έχυν πρηγηθεί ι κάτθι εκδόσεις: Έκδση.0 διαθέσιμη εδώ.

22 Σημείμα Αναφράς Copyright Πανεπιστήμι Ιαννίνν, Διδάσκν : Επίκυρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα. «Ατμική και ηλεκτρνιακή δμή τν στερεών. Μντέλ συζευγμένν εκκρεμών». Έκδση:.0. Ιάννινα 0. Διαθέσιμ από τη δικτυακή διεύθυνση:

23 Σημείμα Αδειδότησης Τ παρόν υλικό διατίθεται με τυς όρυς της άδειας χρήσης Creative Coos Αναφρά Δημιυργύ - Παρόμια Διανμή, Διεθνής Έκδση.0 [] ή μεταγενέστερη. []