Μ ά θ η μ α. «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μ ά θ η μ α «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» (Μέρος 1 ο : Ανάλυση Κυκλωμάτων ΣΡ) Γεώργιος Περαντζάκης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός ΕΜΠ 2016

Ηλεκτροτεχνία Αντικείμενο του μαθήματος της Ηλεκτροτεχνίας είναι η μελέτη και ανάλυση κυκλωμάτων συνεχούς και εναλλασσόμενου ρεύματος, με σκοπό τον υπολογισμό χαρακτηριστικών ηλεκτρικών μεγεθών ενός κυκλώματος, όπως: Η ηλεκτρική τάση ή διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων κυκλώματος. Η ένταση ηλεκτρικού ρεύματος στους κλάδους κυκλώματος. Η παραγόμενη και καταναλισκόμενη ισχύς στους κλάδους κυκλώματος κ.λπ. 2

Βασικά Ηλεκτρικά Μεγέθη Τα βασικά ηλεκτρικά μεγέθη είναι στη γενική περίπτωση συναρτήσεις του χρόνου και είναι: Το ηλεκτρικό φορτίο. Η ένταση ηλεκτρικού ρεύματος. Η ηλεκτρική τάση ή διαφορά δυναμικού. Η ηλεκτρική ισχύς. Η ηλεκτρική ενέργεια. Η μαγνητική ροή. Η αλληλεπαγωγή. Η μαγνητική ενέργεια και η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου. 3

Ηλεκτρικό Φορτίο Η ύπαρξη ηλεκτρικού φορτίου προκαλεί τη δημιουργία ηλεκτρομαγνητικών (Η/Μ) πεδίων. Η εισαγωγή άλλων ηλεκτρικών φορτίων μέσα σε Η/Μ πεδία, έχει ως αποτέλεσμα την άσκηση ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων ελκτικών ή απωστικών πάνω στα φορτία. Σύμβολο: Q ή q. Μονάδα μέτρησης: Coulomb (Cb). Ηλεκτρικό φορτίο ηλεκτρονίου: q e =-1,6 x 10-6 Cb. Ηλεκτρικό φορτίο πρωτονίου: q p = - q e. 4

Ένταση Ηλεκτρικού Ρεύματος Ηλεκτρικό ρεύμα ονομάζεται η προσανατολισμένη κίνηση ηλεκτρικών φορτίων μέσα από ένα μέσο (π.χ. αγωγό). Το ηλεκτρικό ρεύμα ορίζεται από τη διεύθυνση και τη φορά κίνησης των ηλεκτρικών φορτίων, καθώς και από την ποσότητά τους. Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος μέσα από ένα μέσο ορίζεται ως το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο που περνά μέσα από μια κάθετη διατομή του μέσου στη μονάδα του χρόνου. 5

Ένταση Ηλεκτρικού Ρεύματος Η ένταση ηλεκτρικού ρεύματος ορίζεται ως η χρονική μεταβολή του ηλεκτρικού φορτίου μέσα από τη διατομή του μέσου κίνησης των φορτίων: i = dq dt dq,dt: Στοιχειώδεις ποσότητες ηλεκτρικού φορτίου και χρόνου. Μονάδα μέτρησης: Ampere (A), 1 A = 1 Cb/1 sec. Η αιτία που προκαλεί τη ροή ηλεκτρικού ρεύματος μέσα από ένα μέσο είναι η ηλεκτρική τάση που εφαρμόζεται στα άκρα του μέσου. 6

Ένταση Ηλεκτρικού Ρεύματος Εάν η ηλεκτρική τάση έχει σταθερή τιμή με το χρόνο, τότε και η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος έχει σταθερή τιμή με το χρόνο και ονομάζεται συνεχές ρεύμα (ΣΡ, direct current, dc). Αντιθέτως, εάν η στιγμιαία τιμή της ηλεκτρικής τάσης μεταβάλλεται με το χρόνο, τότε η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος είναι γενικά μεταβαλλόμενη. Το δημόσιο δίκτυο διανομής ηλεκτρικής ενέργειας (ΔΕΗ) παρέχει ηλεκτρική τάση, η στιγμιαία τιμή της οποίας μεταβάλλεται ημιτονοειδώς και επομένως το ηλεκτρικό ρεύμα που προκύπτει μεταβάλλεται και αυτό ημιτονοειδώς και ονομάζεται εναλλασσόμενο ρεύμα (ΕΡ, alternating current, ac). Η τάση στα συστήματα παραγωγής-μεταφοράς και διανομής ηλεκτρικής ενέργειας είναι κατά κανόνα εναλλασσόμενο, ημιτονοειδούς μορφής. 7

Ηλεκτρική Τάση Ηλεκτρική τάση ή διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων Α και Β, v AB, εντός ενός ηλεκτροστατικού πεδίου ορίζεται ως το απαιτούμενο έργο που καταναλώνεται ή παράγεται dw κατά τη μετακίνηση ηλεκτρικού φορτίου dq από το σημείο Α στο σημείο Β εντός του πεδίου. v ΑΒ = dw dq Η ηλεκτρική τάση στα άκρα ενός στοιχείου κυκλώματος εκφράζει την ενέργεια (ή το έργο) που απαιτείται για την μετακίνηση ποσότητας ηλεκτρικού φορτίου από το ένα άκρο του στοιχείου στο άλλο, δηλαδή την ενέργεια που απαιτείται για τη δημιουργία ορισμένης έντασης ηλεκτρικού ρεύματος. Μονάδα μέτρησης: Volt(V), 1 V = 1 Joule/1 Cb. 8

Ηλεκτρική Ισχύς Η στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς που καταναλώνεται ή παράγεται από ένα στοιχείο κυκλώματος p(t) είναι το γινόμενο της ηλεκτρικής τάσης στα άκρα του στοιχείου v(t) επί την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος διαρρέει το στοιχείο. i(t) που pt ( ) = vt ( ) it ( ) Μονάδα μέτρησης: Watt(W), 1 W = 1 V x 1 A. 9

Ηλεκτρική Ενέργεια Εάν είναι γνωστή η χρονική εξάρτηση της ισχύος p(t) ενός στοιχείου κυκλώματος, τότε η ηλεκτρική ενέργεια W που καταναλώνεται στο στοιχείο ή παράγεται από αυτό εντός του χρονικού διαστήματος [t 1, t 2 ] είναι W t 2 = t 1 ( ) p t dt Μονάδα μέτρησης: Joule (J), 1 J = 1 V x 1 Cb. 10

Μαγνητική Ροή Η μαγνητική ροή Φ που διαπερνά μια επιφάνεια S, η οποία τοποθετείται εντός μαγνητικού πεδίου με πυκνότητα μαγνητικής ροής (μαγνητική επαγωγή) Β ισούται με: Φ= B ds S Μονάδα μέτρησης: Weber (Wb), 1 Wb = 1 V x 1 sec. 11

Μαγνητική Ροή Εάν το μαγνητικό πεδίο είναι ομοιόμορφο (ομογενές) με σταθερό μέτρο μαγνητικής επαγωγής B = σταθ. σε όλα τα σημεία της επίπεδης επιφάνειας S, τότε η μαγνητική ροή που διαπερνά επιφάνεια S είναι: Φ= BS cosθ θ: είναι η γωνία μεταξύ της κατεύθυνσης της μαγνητικής επαγωγής και της καθέτου προς την επιφάνεια. Για τη λειτουργία των ηλεκτρικών μηχανών απαιτείται η παραγωγή ισχυρών μαγνητικών πεδίων, τα οποία δημιουργούνται από πηνία (συνήθως σωληνοειδούς μορφής) τυλιγμένα σε σιδηροπυρήνα. 12

Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος Τα κυκλώματα αποτελούνται από ένα πλήθος ηλεκτρικών στοιχείων, συνήθως δύο ακροδεκτών, τα οποία διασυνδέονται μεταξύ τους με διάφορους τρόπους. Κάθε ηλεκτρικό στοιχείο δύο ακροδεκτών χαρακτηρίζεται από το ρεύμα που το διαρρέει (ρεύμα κλάδου) και από τη διαφορά δυναμικού στα άκρα του (τάση κλάδου). Στη γενική περίπτωση το ρεύμα και η τάση ενός στοιχείου είναι συναρτήσεις του χρόνου. Η σχέση της τάσης και του ρεύματος ενός στοιχείου δύο ακροδεκτών, σχέση v i, ονομάζεται χαρακτηριστική v i του στοιχείου. 13

Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος Τα ηλεκτρικά στοιχεία ενός κυκλώματος διακρίνονται σε δύο κατηγορίες από ενεργειακής άποψης: (α) στα ενεργά (active) στοιχεία και (β) στα παθητικά (passive) στοιχεία. Τα ενεργά στοιχεία παρέχουν ηλεκτρική ενέργεια στο κύκλωμα και είναι οι πηγές ηλεκτρικής τάσης και οι πηγές ηλεκτρικού ρεύματος. Τα παθητικά στοιχεία διακρίνονται σε αυτά που καταναλώνουν ηλεκτρική ενέργεια (αντιστάτης) και σε αυτά που αποθηκεύουν ενέργεια, την οποία μπορούν στη συνέχεια να αποδώσουν (δυναμικά στοιχεία, όπως πυκνωτής και πηνίο). 14

Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος Ένα ηλεκτρικό στοιχείο είναι γραμμικό, όταν η χαρακτηριστική του, i=f(v), είναι ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων (α). Στην αντίθετη περίπτωση πρόκειται για μη γραμμικό στοιχείο (β). (α) (β) 15

Ανεξάρτητες Πηγές Τάσης και Ρεύματος Οι πηγές τάσης και ρεύματος είναι στοιχεία δύο ακροδεκτών που παρέχουν ηλεκτρική ισχύ στο κύκλωμα ή διαφορετικά είναι τα στοιχεία που προκαλούν τις διεγέρσεις των ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Η τιμή της ηλεκτρικής τάσης στα άκρα μιας ανεξάρτητης πηγής τάσης είναι σταθερή και ανεξάρτητη από το ρεύμα που τη διαρρέει. Μια ανεξάρτητη πηγή τάσης θα μπορούσε να δώσει στο κύκλωμα άπειρο ποσό ενέργειας, κάτι που βεβαίως είναι αδύνατο να υπάρξει στη φύση. Για το λόγο αυτό, η ανεξάρτητη πηγή τάσης ονομάζεται και ιδανική πηγή τάσης. Μία ανεξάρτητη πηγή ρεύματος είναι ένα στοιχείο δύο ακροδεκτών, στο οποίο το ρεύμα του στοιχείου είναι σταθερό και ανεξάρτητο από την τάση του στοιχείου. Η ανεξάρτητη πηγή ρεύματος είναι και αυτή ένα ιδανικό στοιχείο και ονομάζεται ιδανική πηγή ρεύματος. 16

Συμβολισμοί Ανεξάρτητων Πηγών Τάσης και Ρεύματος 17

Αντιστάτης (Resistor) Ο αντιστάτης είναι ένα ηλεκτρικό στοιχείο δύο ακροδεκτών, το οποίο όταν διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα προκαλείται στα άκρα του μία πτώση τάσης (διαφορά δυναμικού). H ενέργεια του ηλεκτρικού ρεύματος μετατρέπεται εξ ολοκλήρου σε θερμότητα (φαινόμενο Joule) πάνω στον αντιστάτη. Παραδείγματα συσκευών που μετατρέπουν την ηλεκτρική ενέργεια σε θερμότητα μέσω αντιστατών είναι οι θερμάστρες, οι ηλεκτρικές κουζίνες, τα ηλεκτρικά σίδερα, οι ηλεκτρικοί θερμοσίφωνες, οι αγωγοί που μεταφέρουν ηλεκτρικό ρεύμα κ.λπ. 18

Αντιστάτης Ο αντιστάτης, ονομάζεται και αντίσταση, είναι ένα γραμμικό στοιχείο, χρονικά αμετάβλητο, και η χαρακτηριστική του εκφράζεται από τη σχέση: v( t) = Ri( t) Ο συντελεστής αναλογίας R είναι σταθερός και αντιπροσωπεύ ει την τιμή της αντίστασης 19

Αντιστάτης Το αντίστροφο της αντίστασης ονομάζεται αγωγιμότητα G = Μονάδα μέτρησης της αντίστασης: Ohm(Ω), 1 Ω= 1 V / 1 Α. Μονάδα μέτρησης της αγωγιμότητας: Siemens(S), 1 S= 1 A / 1 V. Στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς που καταναλώνεται σε αντιστάτη: 1 R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v t 2 p t = v t i t = Ri t = R 20

Αντιστάτης Εάν ο αντιστάτης διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα για χρονικό διάστημα Δt = t 2 t 1, η ηλεκτρική ενέργεια w(t) που μετατρέπεται σε θερμότητα επάνω στον ωμικό αντιστάτη είναι t t t 1 1 1 ( t) t2 t2 t2 2 v ( ) ( ) ( ) 2 w t = v t i t dt = Ri ( t) dt = dt R 21

Ηλεκτρική Αντίσταση Μεταλλικών Αγωγών Αντίσταση μεταλλικού αγωγού κυκλικής διατομής: R o = ρ 20 C 20 o C l q ρ: Ειδική αντίσταση του υλικού στους 20C o, Ωmm 2 /m l: Μήκος αγωγού, m q: Διατομή αγωγού, mm 2 Μεταβολή της αντίστασης λόγω μεταβολής της θερμοκρασίας από θ 1 (=20 ο C) σε θ 2 >θ 1 : Rθ = R 1 2 θ α θ θ 1 + 2 2 ( ) α: Θερμικός συντελεστής αντίστασης του αγωγού, α Cu = 0,004 ( o C) -1 22

Βραχυκύκλωμα Ανοιχτό Κύκλωμα Το ανοικτό κύκλωμα (open-circuit) είναι ένας αντιστάτης με άπειρη αντίσταση (R ) και μηδενική αγωγιμότητα (G = 0), μέσα από τον οποίο δε διέρχεται ρεύμα ανεξάρτητα από το μέγεθος της διαφοράς δυναμικού που εφαρμόζεται στα άκρα του. Η τάση στα άκρα του αντιστάτη έχει αυθαίρετη τιμή, δηλαδή καθορίζεται από τα υπόλοιπα στοιχεία και τη δομή του κυκλώματος. 23

Βραχυκύκλωμα Ανοιχτό Κύκλωμα Το βραχυκύκλωμα είναι ένας αντιστάτης με μηδενική αντίσταση (R = 0) και άπειρη αγωγιμότητα (G ) και επομένως με μηδενική διαφορά δυναμικού στα άκρα του. Το ρεύμα βραχυκυκλώματος (short-circuit current) i sc έχει αυθαίρετη τιμή, που σημαίνει ότι η τιμή του καθορίζεται από τα υπόλοιπα στοιχεία και τη δομή του κυκλώματος. Στις καταστάσεις ανοικτού κυκλώματος και βραχυκυκλώματος δεν παράγεται ούτε καταναλώνεται ηλεκτρική ισχύς. 24

Πυκνωτής (Capacitor) Ένας πυκνωτής αποτελείται από τους οπλισμούς, το διηλεκτρικό και τους ακροδέκτες. ( ) = Cv( t) q t 25

Χαρακτηριστικά Πυκνωτή Λειτουργική συμπεριφορά πυκνωτή: Αποθηκεύει ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία στους οπλισμούς του, +q και q, όταν συνδεθεί με πηγή ηλεκτρικής τάσης. Το φορτίο q(t) είναι ανάλογο της v(t). Ο συντελεστής αναλογίας είναι η σταθερή χωρητικότητα C. Επειδή, C = σταθ. ο πυκνωτής είναι γραμμικό στοιχείο. Εάν διακοπεί η σύνδεση του πυκνωτή με την πηγή, τα φορτία παραμένουν στους οπλισμούς και ο πυκνωτής εμφανίζεται φορτισμένος. Τα ηλεκτρικά φορτία +q και q στους οπλισμούς δημιουργούν ηλεκτρικό πεδίο εντός του διηλεκτρικού, πεδιακής έντασης E. Με την εισαγωγή διηλεκτρικού υλικού μεταξύ των οπλισμών αυξάνονται τα ηλεκτρικά φορτία στους οπλισμούς. 26

Η αρχική ενέργεια που απαιτήθηκε για τη συγκέντρωση των φορτίων στους οπλισμούς του πυκνωτή μετατράπηκε σε ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου εντός του διηλεκτρικού. Η χωρητικότητα C εξαρτάται από το διηλεκτρικό υλικό και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του πυκνωτή: Όπου Χαρακτηριστικά Πυκνωτή S S 9 2 2 C = ε = εr ε ε = ( π) C Nm 0 d d ε: Διηλεκτρική σταθερά του μονωτικού υλικού σε (F/m) ε r : Σχετική διηλεκτρική σταθερά του διηλεκτρικού υλικού ε ο : Διηλεκτρική σταθερά του κενού (και κατά προσέγγιση του αέρα) S: Το εμβαδόν της επιφάνειας των οπλισμών σε (m 2 ) και d: Η απόσταση μεταξύ των οπλισμών σε (m). 0 1/ 36 10 ( / ) 27

Χαρακτηριστικά Πυκνωτή Το ρεύμα πυκνωτή είναι ανάλογο της μεταβολής της τάσης στα άκρα του: dq ic ( t) = = C dt Η τάση v C (t) στα άκρα πυκνωτή και η αποθηκευθείσα ενέργεια W C (t) στο διηλεκτρικό για χρονικό διάστημα φόρτισης [t 0, t] είναι: C ( ) dv t dt 1 t = c + C t ( ) ( ) ( ) v t i t dt v t ( ) 0 0 0 ( ) qt ( ) t qt 2 1 1 q 1 2 C( ) = C( ) ( ) = ( ) = = = C C C 2 C 2 t qt 0 W t v t i t dt V q dq q dq C v t 0 ( t) ( ) 28

Πηνίο(Inductor) Το πηνίο είναι ένα στοιχείο δύο ακροδεκτών και χρησιμοποιείται για τη δημιουργία μαγνητικού πεδίου, όταν διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα. Η συνηθέστερη μορφή πηνίου είναι το σωληνοειδές πηνίο 29

Χαρακτηριστικά Πηνίου Το παραγόμενο μαγνητικό πεδίο ακολουθεί τις μεταβολές του ρεύματος που το δημιουργεί. Η συνολική μαγνητική ροή που διέρχεται από πηνίο Ν σπειρών ονομάζεται πεπλεγμένη μαγνητική ροή, Ψ(t) = Ν φ(t), φ(t) είναι η μαγνητική ροή που διέρχεται από κάθε σπείρα του πηνίου. Η πεπλεγμένη μαγνητική ροή του πηνίου είναι ανάλογη του ρεύματος που το διαρρέει, ( t) Nφ ( t) Li( t) Ψ = = Ο συντελεστής αναλογίας L ονομάζεται αυτεπαγωγή ή συντελεστής αυτεπαγωγής και μονάδα μέτρησης το Henry (H), 1(H) = 1(Vs)/1(A) = 1(Wb)/1(A). 30

Χαρακτηριστικά Πηνίου Για ένα γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο πηνίο ο συντελεστής αυτεπαγωγής είναι σταθερός και εξαρτάται μόνο από τα γεωμετρικά και κατασκευαστικά χαρακτηριστικά του, L = µµ 0 2 N S l L είναι ο συντελεστής αυτεπαγωγής (Η), μ η μαγνητική διαπερατότητα του υλικού του πυρήνα του πηνίου, μ 0 = 4 π 10-6 (H/m) η θεμελιώδης μαγνητική σταθερά, Ν ο αριθμός σπειρών, S το εμβαδόν μιας κάθετης διατομής του πηνίου (m 2 ) και l το μήκος του πηνίου (m). Σύμφωνα με το νόμο του Faraday, η τάση στα άκρα ενός πηνίου είναι κάθε στιγμή ίση με τη χρονική μεταβολή της πεπλεγμένης ροής ( ) φ ( ) ( ) dψ t d t di t v ( ) L t = = N = L dt dt dt Δηλαδή, στο πηνίο επάγεται τάση μόνο για όσο χρόνο μεταβάλλεται η μαγνητική ροή ή το ρεύμα μέσα από αυτό. 31

Χαρακτηριστικά Πηνίου Η ηλεκτρική ενέργεια του ρεύματος μετατρέπεται σε μαγνητική ενέργεια και αποθηκεύεται στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου. Το πηνίο είναι ένα παθητικό στοιχείο (δεν παράγει ενέργεια) με δυνατότητα αποθήκευσης ενέργειας. Η εναποθηκευμένη ενέργεια W L (t) σε ένα γραμμικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L και τάσης v L (t) στα άκρα του, για το χρονικό διάστημα [t 0, t], είναι: L t ( t) ( ) ( ) ( ) ( ) W t = v t i t dt = I Ψ dψ t L ( t) ( t ) 0 0 ( t) Ψ 2 1 1 Ψ 1 2 WL ( t) = ΨdΨ= = Li t L 2 L 2 0 Ψ Ψ ( ) 32

Στοιχείο Αλληλεπαγωγής Το φαινόμενο της αλληλεπαγωγής ή αμοιβαίας επαγωγής παρατηρείται σε μαγνητικώς συζευγμένα κυκλώματα. 33

Χαρακτηριστικά Στοιχείου Αλληλεπαγωγής Δύο πηνία είναι μαγνητικώς συζευγμένα όταν η μαγνητική ροή που παράγεται από το ρεύμα του ενός πηνίου εμπλέκει τις σπείρες του άλλου πηνίου (σχήμα). Δηλαδή, επάγεται ηλεκτρική τάση στο δεύτερο πηνίο, λόγω της μεταβαλλόμενης μαγνητικής ροής που παράγεται από το ρεύμα του πρώτου πηνίου (λειτουργία μετασχηματιστή). Η μαγνητική ροή που παράγεται από το πηνίο 1 και εμπλέκει τις σπείρες του πηνίου 2 ονομάζεται ροή αλληλενδέσεως. Λόγω της ροής αλληλενδέσεως υφίσταται ο συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής Μ (Mutual Inductance). Ισχύει: N2φ2 N1φ1 M = = i i 1 2 34

Χαρακτηριστικά Στοιχείου Αλληλεπαγωγής Εάν και τα δύο συζευγμένα πηνία διαρρέονται από ηλεκτρικό ρεύμα (σχήμα), η πεπλεγμένη ροή κάθε πηνίου είναι: ( φ φ ) Ψ= N + = Li + Mi 1 1 1 21 1 1 2 ( φ φ ) Ψ = N + = L i + Mi 2 2 2 12 2 2 1 Η διαφορά δυναμικού που αναπτύσσεται στα άκρα κάθε πηνίου διαμορφώνεται από την τάση που οφείλεται στην αυτεπαγωγή του πηνίου και από την τάση που οφείλεται στην αμοιβαία επαγωγή με το άλλο πηνίο, di ( ) 1 di2 v1 t = L1 + M dt dt di di v ( ) 2 t = L2 + M dt dt 2 1 35

Πηγές Τάσης Οι πηγές τάσης που χρησιμοποιούνται στις ηλεκτρικές μηχανές και στις ηλεκτρικές εγκαταστάσεις είναι συνεχούς ρεύματος (ΣΡ, Direct Current, DC) και εναλλασσόμενου ρεύματος (ΕΡ, Alternating Current, AC) Οι πηγές τάσης συνδέονται στα ηλεκτρικά κυκλώματα, τα διεγείρουν και επιβάλλουν το αντίστοιχο ηλεκτρικό ρεύμα (ΣΡ ή ΕΡ) μέσα από τα στοιχεία του κυκλώματος. Για το λόγο αυτό, οι πηγές τάσης ονομάζονται και διεγέρσεις ενός ηλεκτρικού κυκλώματος. Οι τάσεις και τα ρεύματα είναι φυσικές ποσότητες και περιγράφονται με μαθηματικές συναρτήσεις, που ονομάζονται σήματα (signals) ή κυματομορφές (waveforms). Οι πηγές ΣΡ παρέχουν τάση σταθερής τιμής, ανεξάρτητα από το χρόνο, ενώ οι πηγές ΕΡ παρέχουν τάση που μεταβάλλεται ημιτονοειδώς σε σχέση με το χρόνο. 36

Πηγή Τάσης ΣΡ (DC) Η ιδανική πηγή τάσης παρέχει χρονικά σταθερή τάση, ανεξάρτητα από το ρεύμα που τροφοδοτεί το φορτίο. Αντίθετα, μια πραγματική πηγή, λόγω της εσωτερικής της αντίστασης, παρέχει τάση στο φορτίο που μειώνεται με την αύξηση του ρεύματος φορτίου. Πηγές τάσης ΣΡ: Μπαταρίες (συσσωρευτές) Γεννήτριες (μηχανές) ΣΡ Ηλεκτρονικές γεννήτριες: Ανορθωτές (Rectifiers) είναι γεννήτριες ΣΡ (ΕΡ ΣΡ). Αντιστροφείς (Inverters) είναι γεννήτριες ΕΡ (ΣΡ ΕΡ). 37

Πηγή Τάσης ΕΡ (AC) Η τάση που παρέχει μια πηγή ΕΡ δεν είναι χρονικά σταθερή, αλλά μεταβάλλεται ημιτονοειδώς. Είναι ένα ημιτονοειδές σήμα με αναλυτική έκφραση: x( t) Am ( ) sin 1 = ωt± ϕ ω= 2π f = 2π T x(t) x1(t) Am +phi x2(t) T -phi x3(t) wt 38

Χαρακτηριστικά Πηγής Τάσης ΕΡ Όπου: A m είναι το πλάτος της τάσης ω είναι η κυκλική ή γωνιακή συχνότητα σε (rad/s) f είναι η συχνότητα σε (Hz) T = 1/f είναι η περίοδος σε (s) και φ είναι η αρχική φάση (για t = 0) του ημιτονοειδούς σήματος. Το σήμα x 1 (t) έχει μηδενική αρχική φάση, δηλαδή για t=0 είναι x 1 (t)=0. Το x 1 (t), λαμβάνεται συνήθως ως σήμα αναφοράς. Το σήμα x 2 (t) έχει αρχική φάση φ. Το σήμα x 2 (t) καθυστερεί ή έπεται ως προς το σήμα αναφοράς κατά τη γωνία φ. Το σήμα x 3 (t) έχει αρχική φάση +φ. Το σήμα x 3 (t) προπορεύεται ή προηγείται ως προς το σήμα αναφοράς κατά τη γωνία +φ. 39

Χαρακτηριστικά Πηγής Τάσης ΕΡ Τα ημιτονοειδή σήματα είναι περιοδικά σήματα και εκφράζουν χρονικά μεταβαλλόμενες φυσικές ποσότητες. Στην πράξη, όμως, είναι αναγκαίο να γνωρίζουμε ορισμένα χρονικά αμετάβλητα μεγέθη, τα οποία να προσδιορίζουν το σήμα και να χρησιμοποιούνται τόσο για την περιγραφή του, όσο και για τη σύγκριση διαφόρων σημάτων μεταξύ τους. Δύο από αυτές τις χρονικά αμετάβλητες ποσότητες είναι η μέση τιμή (average, mean value) και η ενεργός ή ενδεικνυμένη τιμή (root mean square value, rms ή effective value) του σήματος. 1 T ( ) ( ) < xt >= 2 xtdt ( ) rms = T T 0 1 T X x t dt 0 40

Χαρακτηριστικά Πηγής Τάσης ΕΡ Η ενεργός τιμή εναλλασσόμενου μεγέθους τάσης ή έντασης έχει ιδιαίτερη φυσική και πρακτική σημασία, αφού είναι το μέγεθος που μετρούν τα όργανα ΕΡ (βολτόμετρα και αμπερόμετρα). Σε ένα ημιτονοειδές σήμα ισχύει: Am < xt ( ) >= 0, Xrms = 0,707 A 2 Η στιγμιαία ισχύς που καταναλώνεται ως θερμότητα σε ωμική αντίσταση R, η οποία διαρρέεται από εναλλασσόμενο ημιτονοειδές ρεύμα i(t), είναι: p(t) = R i 2 (t). Η μέση τιμή της ισχύος στο διάστημα [0,Τ] θα είναι: 2 T T T 2 2 2 1 1 1 < P >= p( t) dt = Ri ( t) dt = R i ( t) dt = R I rms T T T 0 0 0 m 41

Χαρακτηριστικά Πηγής Τάσης ΕΡ Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι: Η ενεργός τιμή I rms εναλλασσόμενου ημιτονοειδούς ρεύματος i(t) παριστάνει την ένταση ενός (ισοδύναμου) συνεχούς ρεύματος, το οποίο θα απέδιδε επί μιας και της αυτής ωμικής αντίστασης το ίδιο ποσό θερμότητας με το εναλλασσόμενο ρεύμα i(t) στον ίδιο χρόνο. Πηγές τάσης ΕΡ είναι οι γεννήτριες (περιστρεφόμενες μηχανές) ΕΡ, το δημόσιο δίκτυο διανομής ηλεκτρικής ενέργειας (ΔΕΗ) και οι ηλεκτρονικές γεννήτριες (αντιστροφείς, inverters). Χαρακτηριστικά δικτύου ΔΕΗ: U = U = 230 V, U = U = Uˆ = 2U = 2 230 = 325,52V 325V rms peak max 1 1 f = 50 Hz, T = = = 0,02s = 20 ms, ω= 2π f = 2 π 50= 314 rad / s f 50 42

Ηλεκτρικά κυκλώματα Τα ηλεκτρικά κυκλώματα αποτελούνται από ηλεκτρικά στοιχεία, τα οποία μπορεί να είναι στοιχεία δύο ακροδεκτών (αντίσταση, πυκνωτής, πηνίο) ή στοιχεία με περισσότερους ακροδέκτες (μετασχηματιστής, τρανζίστορ, θυρίστορ, τελεστικός ενισχυτής κλπ.) και τα οποία συνδέονται από τους ακροδέκτες τους με διάφορους τρόπους. Κάθε ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από κόμβους και κλάδους, οι οποίοι διαμορφώνουν τους βρόχους του κυκλώματος. Σε κάθε κύκλωμα συνδέονται μία ή περισσότερες πηγές τάσης, οι οποίες αποτελούν τη διέγερση του κυκλώματος. Ανάλογα με το είδος της πηγής ή των πηγών διέγερσης, έχουμε κυκλώματα ΣΡ, κυκλώματα ΕΡ και μικτά κυκλώματα με πηγές ΣΡ και ΕΡ. 43

Κλάδοι και Βρόχοι στα Ηλεκτρικά κυκλώματα 44

Κλάδοι και Βρόχοι στα Ηλεκτρικά κυκλώματα Κόμβος είναι ο κοινός ακροδέκτης δύο ή περισσοτέρων κλάδων. Όταν πρόκειται για δύο κλάδους, ο κόμβος ονομάζεται απλός (Α, Γ), ενώ όταν πρόκειται για περισσότερους από δύο ονομάζεται σύνθετος κόμβος (Β, Δ). Κάθε στοιχείο δύο ακροδεκτών ή οποιαδήποτε ομάδα συνδεδεμένων στοιχείων που σχηματίζουν ένα σύνολο δύο ακροδεκτών ονομάζεται κλάδος του κυκλώματος (στο σχήμα κλάδοι ΒΑΔ, ΒΓΔ, ΒΔ). Βρόχος είναι οποιαδήποτε κλειστή διαδρομή κλάδων. Εάν ο βρόχος δεν έχει στο εσωτερικό του άλλους κλάδους ονομάζεται απλός βρόχος (mesh) (βρόχος με στοιχεία 1-3-4). Ο βρόχος που περιλαμβάνει και άλλους κλάδους στο εσωτερικό του ονομάζεται σύνθετος βρόχος (loop) (βρόχος με στοιχεία 1-2-3-5) 45

Συζευγμένες Φορές Αναφοράς Τάσης-Ρεύματος Σε κάθε κλάδο κυκλώματος ορίζεται το ρεύμα κλάδου και η τάση κλάδου, δηλαδή η διαφορά δυναμικού ανάμεσα στα δύο άκρα του στοιχείου, καθώς και οι λεγόμενες φορές αναφοράς, οι οποίες συσχετίζουν τη φορά του ρεύματος κλάδου με τη διαφορά δυναμικού στα άκρα του. Η φορά αναφοράς του ρεύματος κλάδου σημειώνεται με ένα βέλος και είναι τέτοια ώστε το ρεύμα να οδηγείται από τον ακροδέκτη με το υψηλότερο δυναμικό (+) προς τον ακροδέκτη με το χαμηλότερο δυναμικό (-). Η φορά αναφοράς της τάσης κλάδου σημειώνεται με τα σημεία (+) και (-) ή με ένα βέλος που κατευθύνεται από το άκρο με το σημείο (-) προς το άκρο με το σημείο (+). Οι φορές αναφοράς μπορούν να οριστούν αυθαίρετα, ωστόσο οι παραπάνω έχουν καθιερωθεί και καλούνται συζευγμένες φορές αναφοράς (associated reference direction). 46

Συζευγμένες Φορές Αναφοράς Τάσης-Ρεύματος Οι συζευγμένες φορές αναφοράς ρεύματος και τάσης κάθε κλάδου επιλέγονται αυθαίρετα πριν από την ανάλυση του κυκλώματος. Εάν το πραγματικό ρεύμα που θα προκύψει μετά την ανάλυση είναι θετικό, τότε η φορά του ρεύματος είναι αυτή που επιλέχθηκε αρχικά. Εάν το πραγματικό ρεύμα προκύψει αρνητικό, τότε η φορά του ρεύματος είναι αντίθετη από αυτή που επιλέχθηκε αρχικά. Το ίδιο ισχύει και για την τάση. Η τάση στα άκρα στοιχείου είναι v AB (t) > 0, όταν το δυναμικό στον ακροδέκτη Α είναι μεγαλύτερο από το δυναμικό στον ακροδέκτη Β. Επίσης, το ρεύμα μέσα από το στοιχείο είναι i(t) > 0, όταν κάθε χρονική στιγμή το ρεύμα εισέρχεται στο στοιχείο από το θετικό ακροδέκτη Α και εξέρχεται από τον αρνητικό ακροδέκτη Β. 47

Στιγμιαία Ισχύς σε Ηλεκτρικό Στοιχείο Λαμβάνοντας υπόψη τις συζευγμένες φορές αναφοράς κλάδου i κυκλώματος, τότε εάν ισχύει: p t ( ) = v ( t) i ( t) > 0 i i i σημαίνει ότι η στιγμιαία ισχύς ρέει προς τον θεωρούμενο κλάδο i, ενώ εάν ισχύει: p t ( ) = v ( t) i ( t) < 0 i i i σημαίνει ότι η στιγμιαία ισχύς ρέει έξω από τον κλάδο i. Με βάση τις συζευγμένες φορές αναφοράς, στις πηγές τάσης ισχύει p(t)<0 και προσφέρουν πραγματική ισχύ στο κύκλωμα, ενώ για τους κλάδους με παθητικά στοιχεία R-C-L ισχύει p(t)>0 και καταναλώνουν πραγματική ισχύ. 48

Σύμφωνα με το νόμο του Ohm, ο λόγος της τάσης στα άκρα ενός γραμμικού στοιχείου (R, C, L ή συνδυασμός αυτών) προς την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος που το διαρρέει είναι σταθερός. Για παράδειγμα, εάν πρόκειται για αντιστάτη είναι: V R = I Ο νόμος του Ohm ισχύει μόνο για γραμμικά στοιχεία, στα οποία η χαρακτηριστική (v-i) είναι ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Στα μη γραμμικά στοιχεία, π.χ. ημιαγωγά στοιχεία [δίοδος, τρανζίστορ, θυρίστορ, IGBT (Insulated Gate Bipolar Transistor) κ.λπ.], ο νόμος του Ohm ισχύει μόνο για τα γραμμικά τμήματα της χαρακτηριστικής καμπύλης, εάν βεβαίως υπάρχουν τέτοια τμήματα. Νόμος του Ohm 49

Ο Πρώτος Νόμος του Kirchhoff Ο πρώτος νόμος ή νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff εκφράζει την αρχή διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου, σύμφωνα με την οποία το ηλεκτρικό φορτίο ούτε καταστρέφεται, ούτε δημιουργείται εκ του μηδενός, αλλά διατηρείται σταθερό σε κάθε κλειστό σύστημα. Συνέπεια της αρχής αυτής είναι η αρχή διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου σε έναν κόμβο. Ο πρώτος νόμος του Kirchhoff διατυπώνεται ως εξής: Το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων όλων των κλάδων, που εισέρχονται ή εξέρχονται από κάθε κόμβο ηλεκτρικού κυκλώματος είναι κάθε χρονική στιγμή ίσο με μηδέν. 50

Ο Πρώτος Νόμος του Kirchhoff Μαθηματική διατύπωση του νόμου: N k = 1 ( ) i t = 0, t Όπου: i k (t) τα ρεύματα των κλάδων που συνδέονται στον κόμβο k του κυκλώματος. Με εφαρμογή του πρώτου νόμου του Kirchhoff, σε ένα κύκλωμα με Ν n σύνθετους κόμβους, προκύπτει ένα σύστημα (Ν n -1) γραμμικών ανεξάρτητων εξισώσεων με αγνώστους τα ρεύματα των κλάδων. Για τη διατύπωση της αλγεβρικής εξίσωσης, πρέπει προηγουμένως να οριστούν οι φορές αναφοράς των ρευμάτων σε κάθε κλάδο του κυκλώματος. Θεωρείται η σύμβαση ότι τα ρεύματα που εισέρχονται σε έναν κόμβο λαμβάνονται ως θετικά και τα ρεύματα που εξέρχονται από τον κόμβο ως αρνητικά. k 51

Ο Δεύτερος Νόμος του Kirchhoff Ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff διατυπώνεται ως εξής: Το αλγεβρικό άθροισμα των τάσεων των κλάδων σε κάθε βρόχο ηλεκτρικού κυκλώματος είναι κάθε χρονική στιγμή ίσο με μηδέν. N k = 1 ( ) v t = 0, t k Όπου v k (t) είναι οι τάσεις των κλάδων που διαμορφώνουν το βρόχο. 52

Επίλυση Κυκλωμάτων ΣΡ Στα ηλεκτρικά κυκλώματα δίνονται οι ηλεκτρικές πηγές και τα ηλεκτρικά στοιχεία και ζητείται να υπολογιστούν τα ρεύματα, οι τάσεις και οι ισχείς στους κλάδους του κυκλώματος. Για την επίλυση ενός κυκλώματος καταστρώνεται ένα σύστημα γραμμικών ανεξάρτητων εξισώσεων με εφαρμογή των νόμων του Kirchhoff και του νόμου του Ohm. Ο αριθμός των ανεξάρτητων εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων ρευμάτων στους κλάδους του κυκλώματος. Εάν N b και N n είναι ο αριθμός των κλάδων και των κόμβων ενός κυκλώματος αντίστοιχα, το πλήθος των γραμμικά ανεξάρτητων εξισώσεων που προκύπτουν από το νόμο των τάσεων είναι N b -N n +1. Συνήθως, για τη διαμόρφωση των ανεξάρτητων εξισώσεων, αγνοούνται οι εξισώσεις τάσεων των σύνθετων βρόχων και λαμβάνονται υπόψη μόνο οι εξισώσεις τάσεων των απλών βρόχων. 53

Διαδικασία Επίλυσης Κυκλωμάτων ΣΡ 1. Ορίζονται αυθαίρετα φορές ρεύματος στους κλάδους του κυκλώματος. Οι σωστές φορές των ρευμάτων στους κλάδους δεν μπορούν, κατά κανόνα, να προβλεφθούν από την αρχή, αφού για τη δημιουργία του ρεύματος σε έναν κλάδο συνεργάζονται όλες οι πηγές του κυκλώματος. Εάν, μετά την επίλυση του κυκλώματος, προκύψει θετική τιμή ρεύματος σε κάποιο κλάδο, σημαίνει ότι επιλέχθηκε αρχικά σωστή φορά ρεύματος. Εάν προκύψει αρνητική τιμή, σημαίνει ότι η πραγματική φορά ρεύματος στον κλάδο είναι αντίθετη από αυτή που επιλέχθηκε αρχικά. 2. Ορίζεται φορά αναφοράς σε κάθε βρόχο. 3. Ορίζονται οι συζευγμένες φορές των τάσεων στα άκρα των στοιχείων του κυκλώματος. 54

Διαδικασία Επίλυσης Κυκλωμάτων ΣΡ 4. Για τη διαμόρφωση των εξισώσεων των βρόχων ενός κυκλώματος θεωρούμε θετικές τις τάσεις των κλάδων, των οποίων οι συζευγμένες φορές αναφοράς της τάσης συμπίπτουν με τη φορά αναφοράς του βρόχου και αρνητικές στην αντίθετη περίπτωση. Αυτό σημαίνει ότι, η τάση στα άκρα ενός παθητικού στοιχείου λαμβάνεται θετική όταν, ακολουθώντας την πορεία που καθορίζει η φορά αναφοράς το βρόχου, συναντάει κανείς πρώτα τον ακροδέκτη του στοιχείου με το χαμηλότερο δυναμικό (-), ενώ στην αντίθετη περίπτωση λαμβάνεται αρνητική. Κατά τον ίδιο τρόπο, η τάση μιας πηγής τάσης θεωρείται θετική όταν, ακολουθώντας την πορεία που καθορίζει η φορά αναφοράς του βρόχου, συναντάει κανείς πρώτα τον αρνητικό ακροδέκτη της πηγής, ενώ στην αντίθετη περίπτωση θεωρείται αρνητική. 55

Παράδειγμα Επίλυσης Κυκλώματος ΣΡ Στο κύκλωμα ΣΡ του σχήματος ζητούνται τα υπολογιστούν: (α) οι τιμές των ρευμάτων και οι πραγματικές φορές τους στους κλάδους του κυκλώματος και (β) η ισχύς που παράγεται ή καταναλώνεται στα ηλεκτρικά στοιχεία (ενεργά ή παθητικά) του κυκλώματος και το ισοζύγιο ισχύος. Δεδομένα: Ε 1 = 150 (V), E 2 = 230 (V), R 1 = R 3 = 1 (Ω), R 2 = 0,5 (Ω), R 4 = 6 (Ω), R 5 = 10 (Ω), R 6 = 20 (Ω). 56

Παράδειγμα Επίλυσης Κυκλώματος ΣΡ Λύση Οι συζευγμένες φορές των ρευμάτων και των τάσεων των κλάδων, καθώς και οι φορές αναφοράς των βρόχων απεικονίζονται στο κύκλωμα του σχήματος. 57

Λύση Παράδειγματος Επίλυσης Κυκλώματος ΣΡ Το εξεταζόμενο κύκλωμα έχει τρεις απλούς βρόχους, m 1, m 2, m 3, τέσσερις κόμβους (N n = 4) και έξι κλάδους (N b = 6). Με εφαρμογή των νόμων του Kirchhoff προκύπτουν N n 1 = 4 1 = 3 ανεξάρτητες εξισώσεις για τους κόμβους και N b -N n +1 = 6 4 + 1 = 3 ανεξάρτητες εξισώσεις για τους βρόχους. Κόμβος Β: Ι 1 + Ι 4 + Ι 6 = 0 (1) Κόμβος Γ: Ι 2 Ι 4 Ι 5 = 0 (2) Κόμβος Δ: Ι 5 Ι 3 Ι 6 = 0 (3) Βρόχος m 1 : -Ε 1 V 1 + V 4 + V 2 = 0 (4) Βρόχος m 2 : E 2 V 2 V 5 V 3 = 0 (5) Βρόχος m 3 : -V 4 + V 6 + V 5 = 0 (6) 58

Λύση Παράδειγματος Επίλυσης Κυκλώματος ΣΡ Οι τάσεις των κλάδων στις εξισώσεις (4), (5) και (6), αντικαθίστανται από τις πτώσεις τάσης (νόμος του Ohm): V 1 = I 1 R 1, V 2 = I 2 R 2, V 3 = I 3 R 3, V 4 = I 4 R 4, V 5 = I 5 R 5, V 6 = I 6 R 6, και το σύστημα των εξισώσεων μετατρέπεται με αγνώστους τα ρεύματα των κλάδων: I 1 + I 4 + I 6 = 0 I 2 I 4 I 5 = 0 -I 3 + I 5 I 6 = 0 -I 1 R 1 + I 2 R 2 + I 4 R 4 = E 1 -I 2 R 2 I 3 R 3 I 5 R 5 = - E 2 -I 4 R 4 + I 5 R 5 + I 6 R 6 = 0 Τίθεται το σύστημα σε πίνακα της μορφής: [R]*[I] = [E] 59

Λύση Παραδείγματος Επίλυσης Κυκλώματος ΣΡ 1 0 0 1 0 1 I1 0 0 1 0 1 1 0 I 2 0 0 0 1 0 1 1 I 3 0 = = = R1 R2 0 R4 0 0 I4 E1 0 R R 0 R 0 I E 2 3 5 5 2 0 0 0 R4 R5 R6 I6 0 [ R][ I] [ E] Με εφαρμογή του κανόνα του Cramer υπολογίζονται κατά τα γνωστά τα ρεύματα των κλάδων. Προς τούτο, υπολογίζεται η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων (ρευμάτων). 60

Λύση Παραδείγματος Επίλυσης Κυκλώματος ΣΡ R 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 = = = 1872( Ω ) R R 0 R 0 0 1 0,5 0 6 0 0 1 2 4 0 R R 0 R 0 0 0,5 1 0 10 0 2 3 5 0 0 0 R R R 0 0 0 6 10 20 4 5 6 Υπολογίζονται οι ορίζουσες DIi, i = 1,2,...,6, οι οποίες προκύπτουν από την R εάν στη θέση των συντελεστών των αγνώστων Ι i, τεθούν οι σταθεροί όροι. 61

Λύση Παραδείγματος Επίλυσης Κυκλώματος ΣΡ DI 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 = = = 29.160( V ) E R 0 R 0 0 150 0,5 0 6 0 0 1 2 4 E R R 0 R 0 230 0,5 1 0 10 0 2 2 3 5 0 0 0 R R R 0 0 0 6 10 20 4 5 6 DI 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 = = = 71.280( V ) R E 0 R 0 0 1 150 0 6 0 0 1 1 4 0 E R 0 R 0 0 230 1 0 10 0 2 3 5 0 0 0 R R R 0 0 0 6 10 20 4 5 6 62

Λύση Παραδείγματος Επίλυσης Κυκλώματος ΣΡ DI 3 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 = = = 42.120( V ) R R E1 R 0 0 1 0,5 150 6 0 0 1 2 4 0 R E 0 R 0 0 0,5 230 0 10 0 2 2 5 0 0 0 R R R 0 0 0 6 10 20 4 5 6 DI 4 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 = = = R R 0 E1 0 0 1 0,5 0 150 0 0 1 2 0 R R E2 R 0 0 0,5 1 230 10 0 2 3 5 0 0 0 0 R R 0 0 0 0 10 20 5 6 36.000( V ) 63

Λύση Παραδείγματος Επίλυσης Κυκλώματος ΣΡ DI 5 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 = = = R R 0 R4 E1 0 1 0,5 0 6 150 0 1 2 0 R R 0 E 0 0 0,5 1 0 230 0 2 3 2 0 0 0 R4 0 R 0 0 0 6 0 20 6 35.280( V ) DI 6 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 = = = 6.840( V ) R R 0 R4 0 E1 1 0,5 0 6 0 E1 1 2 0 R R 0 R E2 0 0,5 1 0 10 E2 2 3 5 0 0 0 R4 R 0 0 0 0 6 10 0 5 64

Λύση Παραδείγματος Επίλυσης Κυκλώματος ΣΡ Τα άγνωστα ρεύματα υπολογίζονται από τη σχέση είναι: I I I I I I DI 29.160 1872 1 1 = = = R DI 2 2 = = = R DI 3 3 = = = R DI 4 4 = = = R DI 5 5 = = = R DI 6 6 = = = R 15,577( A) 71.280 38.077( A ) 1872 42.120 22,500( A ) 1872 36.000 19,231( A ) 1872 35.280 18,846( A ) 1872 6.840 1872 3,654( A) I = DI R i i, και 65

Λύση Παραδείγματος Επίλυσης Κυκλώματος ΣΡ Η επίλυση του παραπάνω συστήματος εξισώσεων γίνεται και με αντιστροφή του πίνακα [R]. Ο πίνακας [R] είναι τετραγωνικός, η ορίζουσά του είναι διάφορη του μηδενός και επομένως έχει αντίστροφο [R] -1 0. Είναι: 1 [ R][ I] = [ E] [ I] = [ R] [ E] [ I ] I1 1 0 0 1 0 1 0 I 0 1 0 1 1 0 0 2 I 0 0 1 0 1 1 0 3 = = = I4 R1 R2 0 R4 0 0 E1 I 5 0 R2 R3 0 R5 0 E2 I 0 0 0 R R R 0 6 4 5 6 0,8323 0,0630 0,0417 0,1677 0,0417 0,0395 0 15,5769 0,1261 0,8953 0, 0833 0,1261 0,0833 0,0021 0 38,0769 0,0417 0,0417 0,8750 0,0417 0,1250 0,0417 0 22,5000 = = 0,1282 0,0641 0,0000 0,1282 0,0000 0,0064 150 19,2308 0,0021 0,0406 0,0833 0,0021 0,0833 0,0043 230 18,8462 0,0395 0,0011 0,0417 0,0395 0,0417 0,0459 0 3,6538 1 66

Λύση Παραδείγματος Επίλυσης Κυκλώματος ΣΡ Τα ρεύματα Ι 1 και Ι 6 έχουν αρνητική τιμή και αυτό σημαίνει ότι η πραγματική φορά είναι αντίθετη από την αρχικά θεωρούμενη, ενώ οι φορές των υπόλοιπων θετικών ρευμάτων συμφωνούν με τις αρχικά θεωρούμενες φορές. Η ισχύς που καταναλώνεται στα παθητικά στοιχεία (αντιστάσεις) του κυκλώματος είναι: P 1 = R 1 I 1 2 = 1 * 15,577 2 = 242,64 (W) P 2 = R 2 I 2 2 = 0,5 * 38,077 2 = 725 (W) P 3 = R 3 I 3 2 = 1 * 22,5 2 = 506,25 (W) P 4 = R 4 I 4 2 = 6 * 19,231 2 = 2.219 (W) P 5 = R 5 I 5 2 = 10 * 18,846 2 = 3.552 (W) P 6 = R 6 I 6 2 = 20 * 3,654 2 = 267 (W) 67

Λύση Παράδειγματος Επίλυσης Κυκλώματος ΣΡ Συνολική ισχύς που καταναλώνεται στις αντιστάσεις: 6 2 tr, i i i= 1 P = RI = 242,64+ 725+ 506, 25+ 2.219+ 3.552+ 267= 7.511,9 7.512( W) Η ισχύς που παράγεται από τις πηγές τάσης του κυκλώματος είναι: P E1 = - I 1 E 1 = -15,577 * 150 = -2.336,6 (W) P E2 = - I 3 E 2 = -22,5 * 230 = -5.175 (W) και η συνολική ισχύς που παράγεται από τις πηγές τάσης: PtE, = EI 1 1 EI 2 3= 2.336,6 5.175= 7511,6 7.512( W). Συγκρίνοντας τις τιμές των P t,r και P t,e επαληθεύεται το ισοζύγιο ισχύος στο κύκλωμα, δηλαδή η ισχύς που παράγεται από τις πηγές τάσης καταναλώνεται ως θερμότητα στις αντιστάσεις του κυκλώματος. 68

Συνδεσμολογίες Ηλεκτρικών Στοιχείων Σύνδεση στοιχείων δύο ακροδεκτών σε σειρά Δύο ή περισσότερα ηλεκτρικά στοιχεία δύο ακροδεκτών είναι συνδεδεμένα σε σειρά (series connected elements), όταν το τέλος του ενός στοιχείου συνδέεται με την αρχή του επόμενου κοκ., χωρίς να υπάρχει σημείο λήψης ανάμεσά τους. Τα συνδεδεμένα σε σειρά ηλεκτρικά στοιχεία διαρρέονται όλα από το ίδιο ρεύμα. Σύνδεση αντιστατών σε σειρά 69

Συνδεσμολογίες Ηλεκτρικών Στοιχείων Με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο του κυκλώματος και του νόμου του Ohm, αποδεικνύεται ότι η ισοδύναμη αντίσταση Ν συνδεδεμένων αντιστάσεων σε σειρά είναι: R S N = k = 1 R k Εάν ενδιαφέρουν οι αγωγιμότητες αντί των αντιστάσεων η προηγούμενη εξίσωση γίνεται: N 1 1 G S = k = 1 G k 70

Συνδεσμολογίες Ηλεκτρικών Στοιχείων Σύνδεση πηνίων σε σειρά (Series-connected inductors) Με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο του κυκλώματος και του νόμου της επαγωγής του Faraday, αποδεικνύεται ότι η ισοδύναμη αυτεπαγωγή Ν συνδεδεμένων πηνίων σε σειρά είναι: L S N = k = 1 L k 71

Συνδεσμολογίες Ηλεκτρικών Στοιχείων Σύνδεση πυκνωτών σε σειρά (Series-connected capacitors) Με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο του κυκλώματος και λαμβάνοντας υπόψη την τάση στα άκρα ενός πυκνωτή, αποδεικνύεται ότι η ισοδύναμη χωρητικότητα Ν συνδεδεμένων πυκνωτών σε σειρά είναι: N 1 1 C k = 1 S = C k 72

Συνδεσμολογίες Ηλεκτρικών Στοιχείων Σύνδεση στοιχείων δύο ακροδεκτών παράλληλα Δύο ή περισσότερα στοιχεία δύο ακροδεκτών είναι συνδεδεμένα παράλληλα (parallel-connected elements) όταν τα άκρα τους συνδέονται μεταξύ δυο ακροδεκτών, δηλαδή έχουν κοινά άκρα. Αποτέλεσμα της συνδεσμολογίας αυτής είναι όλα τα στοιχεία να δέχονται στα άκρα τους την ίδια τάση. Σύνδεση αντιστατών παράλληλα (parallel-connected resistances) 73

Συνδεσμολογίες Ηλεκτρικών Στοιχείων Με εφαρμογή του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff σε έναν από τους δύο κόμβους (π.χ. τον Α) του κυκλώματος και του νόμου του Ohm, αποδεικνύεται ότι η ισοδύναμη αντίσταση Ν συνδεδεμένων αντιστάσεων παράλληλα είναι: N 1 1 R P = k = 1 R Εάν ενδιαφέρουν οι αγωγιμότητες των αντιστάσεων, τότε η προηγούμενη εξίσωση γίνεται: k G P N = k = 1 G k 74

Συνδεσμολογίες Ηλεκτρικών Στοιχείων Σύνδεση πηνίων παράλληλα (parallel-connected inductors) Με εφαρμογή του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff σε έναν από τους δύο κόμβους (π.χ. τον Α) του κυκλώματος και αντικαθιστώντας τα ρεύματα των πηνίων, αποδεικνύεται ότι ο ισοδύναμος συντελεστής αυτεπαγωγής Ν συνδεδεμένων πηνίων παράλληλα είναι: 75

Συνδεσμολογίες Ηλεκτρικών Στοιχείων N 1 1 L P = Σύνδεση πυκνωτών παράλληλα (parallel-connected capacitors) k = 1 L k 76

Συνδεσμολογίες Ηλεκτρικών Στοιχείων Με εφαρμογή του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff σε έναν από τους δύο κόμβους (π.χ. τον Α) του κυκλώματος και αντικαθιστώντας τα ρεύματα των πυκνωτών, αποδεικνύεται ότι η ισοδύναμη χωρητικότητα Ν συνδεδεμένων πυκνωτών παράλληλα είναι: C P N = k = 1 C Παράλληλη σύνδεση πηγών τάσης (parallel-connected voltage sources) k v = v = v S1 S2 S 77

Συνδεσμολογίες Ηλεκτρικών Στοιχείων Σύνδεση πηγών τάσης σε σειρά (Series-connected voltage sources) Δύο ή περισσότερες πηγές τάσης συνδέονται σε σειρά όταν ο θετικός πόλος της μιας πηγής συνδέεται με τον αρνητικό πόλο της επόμενης κοκ. Με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο του κυκλώματος, αποδεικνύεται ότι για Ν πηγές τάσης συνδεδεμένες σε σειρά είναι: v S k = 1 78 N = v Sk

Μικτή Συνδεσμολογία Ηλεκτρικών Στοιχείων Τα ηλεκτρικά στοιχεία ενός κυκλώματος μπορούν να διασυνδέονται κατά διαφόρους τρόπους μεταξύ τους, οι οποίοι είναι συνδυασμοί της εν σειρά και παράλληλης συνδεσμολογίας. Ο τρόπος αυτός σύνδεσης των ηλεκτρικών στοιχείων ονομάζεται μικτή συνδεσμολογία. Εφαρμόζοντας διαδοχικά τις σχέσεις παράλληλης και εν σειρά συνδεσμολογίας στα ηλεκτρικά στοιχεία του κυκλώματος, είναι δυνατή η απλοποίηση της μικτής συνδεσμολογίας στην απλούστερη δυνατή μορφή και επομένως η εύρεση του ισοδύναμου κυκλώματος της αρχικής μικτής συνδεσμολογίας. 79

Παράδειγμα Κυκλώματος Μικτής Συνδεσμολογίας 1 1 1 1 = + + Req = R1 + R234 + R5 R R R R 234 2 3 4 80

Μετατροπή Τριγώνου Αντιστάσεων σε Αστέρα και Αντιστρόφως Μετατροπή από Δ Υ Μετατροπή από Υ Δ Rab R RR ca a b+ RR b c+ RR c a Ra = Rab = Rab + Rbc + R R ca c Rab R RR bc a b+ RR b c+ RR c a Rb = Rbc = R + R + R R R c ab bc ca Rbc Rca = R + R + R ab bc ca R ca RR+ RR+ RR = R a a b b c c a b 81

Μετατροπή Τριγώνου Πυκνωτών σε Αστέρα και Αντιστρόφως C C C a b c Μετατροπή από Δ Υ Μετατροπή από Υ Δ C C + C C + C C = C ab bc bc ca ca ab bc C C + C C + C C = C ab bc bc ca ca ab ca C C + C C + C C = C ab bc bc ca ca ab ab C C C ab bc ca CaCb = C + C + C a b c CC b c = C + C + C a b c CaCc = C + C + C a b c 82

Μετατροπή Τριγώνου Πηνίων σε Αστέρα και Αντιστρόφως Μετατροπή από Δ Υ Μετατροπή από Υ Δ Lab Lca LL a b+ LL b c+ LL c a La = Lab = L + L + L L L L b c ab bc ca Lab Lbc = L + L + L ab bc ca Lbc Lca = L + L + L ab bc ca L L bc ca LL+ LL+ LL = L c a b b c c a LL+ LL+ LL = L a a b b c c a b 83

Διαιρέτης Τάσης και Διαιρέτης Ρεύματος Διαιρέτης Τάσης R v 1 1 = v R R 1+ 2 R v 2 2 = v R R 1+ 2 Κανόνας εύρεσης τάσης στα άκρα στοιχείου στην εν σειρά συνδεσμολογία. Η τάση στα άκρα μιας αντίστασης ισούται με την τάση της πηγής πολλαπλασιασμένη με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι η τιμή της αντίστασης και παρονομαστής είναι το άθροισμα των εν σειρά συνδεδεμένων αντιστάσεων. 84

Διαιρέτης Τάσης και Διαιρέτης Ρεύματος Διαιρέτης Ρεύματος R i 2 1 = i R R 1+ 2 R i 1 2 = i R R 1+ 2 Κανόνας εύρεσης του ρεύματος σε στοιχείο σε παράλληλη συνδεσμολογία. Το ρεύμα μέσα από μια αντίσταση ισούται με το ρεύμα της πηγής πολλαπλασιασμένο με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι η τιμή της αντίστασης του άλλου κλάδου και παρονομαστής είναι το άθροισμα των δύο παράλληλων αντιστάσεων. 85

Πραγματική Πηγή Τάσης Μια ιδανική πηγή τάσης θεωρείται ότι προσφέρει σταθερή τάση, ανεξάρτητα από την τιμή του ρεύματος που παρέχει στο κύκλωμα. Στην πραγματικότητα, όμως, η τάση στους ακροδέκτες της πηγής μειώνεται με την αύξηση του ρεύματος που παρέχει στο κύκλωμα και αυτό οφείλεται στην πτώση τάσης στην εσωτερική αντίσταση (internal resistance) της πηγής. ( ) = ( ) ( ) vt v t Rit s s ( ) it = R v S s ( t) + R L 86