ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 119 α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται. Δώστε ένα παράδειγμα μονωνύμου. β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) α + β = α + αβ + β γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι i. λανθασμένες. 3 3 3 (α + β) = α + 3α β + 3αβ + β ii. + y = ( + y) ( + y + y ) iii. κ λ = ( λ+κ) ( κ λ) Θέμα ο α. Με την βοήθεια του διπλανού σχήματος, να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει ότι: ημ ω + συν ω = 1. γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι i. λανθασμένες. ημ ω = 1 + συν ω, ii. M(, y) ημω εφω =, iii. Αν ω = 98 τότε συν98 > 0 συνω ρ y ω y α. Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω πολυώνυμα: 3 5 4 6, 9, 3 +, + 4 + 4 και 3 3 4 + 1. β. Αφού αντικαταστήσετε το κάθε πολυώνυμο με την παραγοντοποιημένη του μορφή, να υπολογίσετε την παράσταση Άσκηση η α. Να λυθεί το σύστημα : 5 4 3 3 6 9 3 4 + 1 = : 3 +3 + + 4 + 4 6κ 4λ = κ λ 1 5κ λ = 4 β. ια τις τιμές των κ και λ που βρήκατε παραπάνω, να λύσετε την εξίσωση: κ λ= Δίνεται τρίγωνο ΑΒ και η διχοτόμος του ΑΕ. Στην προέκταση της διχοτόμου, θεωρούμε σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΒ = ΒΔ. α. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕ και ΒΕΔ είναι όμοια. β. Να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν από την ομοιότητα των παραπάνω τριγώνων. γ. Αν Α = 10cm, ΑΕ = 4cm και ΒΔ = 6cm,να υπολογίσετε το τμήμα ΔΕ. 6cm 1 4cm E Δ 10cm
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 10 Α. ια οποιαδήποτε γωνία ω, να αποδειχτεί ότι ισχύει: ημ ω + συν ω = 1 Β. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: α. ημ(180º ω) =. β. συν0º = γ. ημ180º =.. δ. εφ(180º ω) = ε. εφ0º =.. Θέμα ο Α. Τι είναι μονώνυμο, ποια είναι τα μέρη του και πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια (Δώστε παράδειγμα) Β. Να βρεθεί το ανάπτυγμα του (α β) (απόδειξη). Να βρεθεί το ανάπτυγμα του (α + β) 3 (απόδειξη) 1 Να λυθεί η εξίσωση: + 3 + + 1 + 4 = 1 + 1 Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: + 4 y 5 y = 3 4 4 y + y + = +1 4 6 Δίνεται γωνία ΧΟΨ. Στην ΟΧ παίρνουμε δύο σημεία Α, Β και στην ΟΨ δύο σημεία, Δ έτσι ώστε ΟΑ = Ο και ΟΒ = ΟΔ. Αν Μ τυχαίο σημείο στη διχοτόμο ΟΖ της γωνίας ΧΟΨ, να δειχθεί ότι: ΑΜΒ = ΜΔ.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 11 Α. Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τις ισότητες: α. α + αβ + β = β. α + β = γ. (α β) 3 = Β. Να αποδείξετε ότι: (α β) (α + αβ + β ) = α 3 β 3 Θέμα ο Α. Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oy να πάρετε ένα σημείο Μ(, y) στο 1 ο ή στο ο τεταρτημόριο και να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω = ΧΟΜ με ΟΜ = ρ. Β. Να αποδειχτεί ο τύπος: ημ ω + συν ω = 1 Να λυθεί η εξίσωση: 1 + 1 + 4 3 +1 1 = 0 Άσκηση η ( 1) 5(y + 5) = 30 Να λυθεί το σύστημα: y + 3 3 = 4 3 1 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ι- σοσκελές με ΑΒ = Α και Δ, Ε, Μ μέσα των ΑΒ, Α, ΔΕ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: M E α. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. β. Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒ είναι όμοια. γ. Τα ΒΔΜ και ΕΜ είναι ίσα.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 1 Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: α. (α + β) =. β. ( α β) 3 =. γ. α 3 + β 3 =... Να αποδείξετε την ταυτότητα:(α + β) (α β) = Θέμα ο α β Α. Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων Β. Να γράψετε τα δύο κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Να αναφέρετε ποια από τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων είναι ίσα, γράφοντας ένα Ν για ναι ή ένα Ο για όχι. 3cm 5cm 80 i. 10cm ii. iii. 70 60 5cm 35 5cm 60 10cm 50 60 3cm 35 5cm Να λύσετε την κλασματική εξίσωση: +1 1 + = 3 3 Άσκηση η + 3y + 3y = Να λύσετε το σύστημα: 3 6 3( y) + ( + y) = Στο διπλανό σχήμα ισχύει: E +1 Z H y 10 ΕΖ // Δ και ΖΗ // ΑΒ 6 Να υπολογίσετε τους αριθμούς και y.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 13 Α. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Θέμα ο Α. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: (α β) =.. 3 3 α + β = (α β) (α + β) = 3 3 α β = Β. Να αποδειχτεί η ταυτότητα: (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 Α. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: 16 και 5 + 4 Β. Να βρεθεί το Ε. Κ. Π των παραστάσεων: ( 16),. Να λυθεί η εξίσωση: ( 5 + 4), (4 ) 1 1 1 + + 16 4 5 + 4 Άσκηση η = 0 Αν για τη γωνία ω ισχύει: 90º < ω < 180º και ημω = 5, να υπολογιστεί η τιμή της παράσ- 13 τασης Α = 4 εφω 13 συνω 1+13 ημω + y y 5 = Να λυθεί το σύστημα: 5 ( y) + 3( y) = 0
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 14 Α. Τι ονομάζετε ταυτότητα; Β. Να συμπληρώστε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων. (α + β)(α β)= (α + β) 3 =. Να αποδείξτε την ταυτότητα: (α β) = α αβ + β Θέμα ο Α. Ποίες σχέσεις ισχύουν για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς δύο παραπληρωματικών γωνιών ω και 180 ω; Β. Να συμπληρώσετε τα κενά με τα σύμβολα < ή > ώστε να προκύψουν σωστές εκφράσεις: α. Αν η γωνία ω είναι οξεία τότε ημω... 0, συνω... 0, εφω...0 β. Αν η γωνία ω είναι αμβλεία τότε ημω... 0, συνω...0, εφω...0 Α. Να αποδείξετε ότι: ( +1) + ( 3)( + 3) 5 = 4 8 ( + 1) ( 3)( + 3) 5 Β. Να λύσετε την εξίσωση: Άσκηση η + + = + 3 1 (y + ) 3(y 3) = y + 11 Να λυθεί το σύστημα: + y = y + 3 3 Στο διπλανό σχήμα είναι = 10cm, Δ = 8cm, E = 4cm και η γωνία ΒΕΔ είναι ίση με τη γωνία ΒΑ. E Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΒΔΕ είναι όμοια Β. Να βρεθεί το μήκος της πλευράς Β. Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΒΔΕ είναι 10cm να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 15 α. Πότε λέμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα; (ορισμός) β. ράψτε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων. Είναι τα ΑΒ και ΔΕΖ ίσα; (δικαιολογήστε) Z Θέμα ο E Συμπληρώστε τις ισότητες: α. ( α β ) =... β. ( α + β ) 3 =... γ. ( α + β ) =... δ. ( α β)( α + β ) =... ε. ( α β ) 3 =... και αποδείξτε την (ε) και τη (γ). Να λύσετε την εξίσωση: Άσκηση η 1 = +1 4 3 Να λύσετε το σύστημα: + y =1 3 3 + y = 0 Στο σχήμα είναι ΟΑ = ΟΒ. Να αποδείξετε ότι: O α. ΟΔ είναι ισοσκελές β. η ΟΜ είναι διχοτόμος της ΟΔ. M
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 16 Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α β )(α + β ) = (α β ) 3 = α 3 + β 3 = Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα ( α β )(α + αβ + β ) = α 3 β 3 Θέμα ο Α. Δίνεται η πρωτοβάθμια εξίσωση α + β = 0. Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα στοιχεία της στήλης Β για τον πίνακα που ακολουθεί. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Β. Δίνεται η δευτεροβάθμια εξίσωση α + β + γ = 0, (α 0). α. Να συμπληρώσετε τους τύπους : Δ =..., 1 =..., λύσεις της εξίσωσης) =... (όπου Δ η διακρίνουσα και 1, οι β. Ποια είναι τα αντίστοιχα συμπεράσματα που προκύπτουν αν Δ = 0, Δ < Ο, Δ > 0 για την ύπαρξη λύσεων καθώς και για το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης ; Δίνεται η παράσταση: Α = + 3 1 + 1 9 + 6 α. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. των + 3,, 9, 6, β. Να λυθεί η εξίσωση Α = 0. Άσκηση η Δίνονται τα σημεία Α(3,1), Β(4, ). Να βρείτε την ευθεία με εξίσωση α + y = β που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. 1. α = 0 και β = 0 α. Η εξίσωση έχει μοναδική λύση την = β α. α 0 β. Η εξίσωση είναι αδύνατη 3. α = 0 και β 0 γ. Η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα Δίνεται μια γωνία ω με συνω = 3 α. Η γωνία ω είναι οξεία, αμβλεία ή ορθή; β. Να βρεθούν το ημω και η εφω.. Αν γνωρίζουμε ότι ημ30º = 1 να βρεθεί πόσων μοιρών είναι η γωνία ω.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 17 α. Τι λέγεται ταυτότητα; β. Να συμπληρωθούν oι ταυτότητες (α β)(α + β) =. και (α + β) 3 =. γ. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες (α + β) και (α β) 3 Θέμα ο Στο διπλανό σχήμα παίρνουμε σημείο Μ(, y) έτσι ώστε είναι XOM = ω και ΟΜ = ρ α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς Y ρ Z M(, y) αριθμούς της γωνίας ω. β. Να αποδείξετε την ισότητα ημ ω + συν ω = 1 X O ω X γ. Να αποδείξετε την ισότητα εφω = ημω συνω Y Να εκτελέσετε τις πράξεις 3 α + α α α + 3α + : α + 1 α + α Άσκηση η 4(φ + ω) + 3(φ ω) = 36 Να λύσετε το σύστημα: φ + ω φ ω 5 = 3 3 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α). Πάνω στην ΑΒ παίρνουμε σημείο Δ και πάνω στην Α σημείο Ε έτσι ώστε ΑΔ = ΑΕ. Αν Μ είναι το μέσον της βάσης Β, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 18 Δίνεται η εξίσωση: α + β + γ = 0 με α 0. α. Να δώσετε τον τύπο που δίνει τις λύσεις της εξίσωσης. β. Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας τί συμπεράσματα έχουμε για το πλήθος των λύσεών της; γ. Να καθορίσετε το είδος των ριζών της εξίσωσης: 3 + 5 8 = 0, χωρίς να την λύσετε. Θέμα ο Δίδεται το τυχόν τρίγωνο ΒΔ. α. Να διατυπώσετε με λόγια τον νόμο των ημιτόνων για το τρίγωνο αυτό. β. Να γράψετε τον τύπο του νόμου των συνημιτόνων για την πλευρά δ. α. Αν ήταν συνδ = 0 τι συμπέρασμα θα βγάζατε για το τρίγωνο ΒΔ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α. Να λυθεί η εξίσωση: + 1 1 + + 5 = 4 1 β. Να κάνετε την επαλήθευση των ριζών στην εξίσωση. Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: Στο διπλανό σχήμα είναι: 3 + y + y + = 1 4 5 + y y = 3 3 4 ΟΑ = ΟΒ, Β ΟΔ, ΔΑ Ο. Να αποδείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΟΔ είναι ισοσκελές. β. Ότι το σημείο Μ ανήκει στην μεσοκάθετο του Δ. O M
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 19 α. Πότε μία αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο ; Να δώσετε ένα παράδειγμα. β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια ; Να δώσετε ένα παράδειγμα. γ. Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο μονώνυμα ; δ. Να αποδείξετε την ταυτότητα : ( α β ) = α αβ + β Θέμα ο α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. β. Αν ε 1 // ε // ε 3, να γράψετε όλες τις αναλογίες που προκύπτουν. γ. Να συμπληρώσετε τις αναλογίες που ισχύουν στο διπλανό σχήμα αν είναι ΔΛ // ΑΒ. ε 1 ε ε 3 E Z δ 1 δ ΑΔ = Α ΑΔ = ΒΛ Α = Β α. Να αναλύσετε σε γινόμενα τις παραστάσεις: 3χ + 6χ, χ 4χ + 4, χ 8, χ 3 8 Λ β. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : Α = 3 + 6 8 Β = 3 8 4 ( 4 + 4 ) γ. Να λύσετε την εξίσωση: Α Β = 0 Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα : Αν το Ο είναι κέντρο του κύκλου και οι χορδές ΑΒ και Α είναι ίσες να αποδείξετε : α. ΟΑ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑ β. ΟΑ είναι μεσοκάθετος της χορδής Β. (y 1) ( ) ( + ) = y + + 1 1 = y + 5 3 O
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 130 Α. ια κάθε πραγματικό αριθμό α και β να δείξετε ότι: (α + β) = α + αβ + β Β. Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων: (α β) = (α β) 3 = (α β)(α + β) = Θέμα ο Α. Στο διπλανό σχήμα δίνεται σημείο Μ(, y) τέτοιο ώστε να είναι ΟΜ = ωκαι ΟΜ = ρ. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω συναρτήσει των συντεταγμένων του σημείου Μ και να γράψετε τη σχέση του ρ με τις συντεταγμένες του σημείου Μ. y M(, y) ρ ω y Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες που συσχετίζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των παραπληρωματικών γωνιών ω και 180º ω ημ(180º ω) =, συν(180º ω) =., εφ(180º ω) = Α. Να λύσετε την εξίσωση: 15= 0 Β. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: + 3και. Να λύσετε την εξίσωση: + 4 + 3 + 3 = +1 Άσκηση η Στο διπλανό σχήμα είναι ΟΑ = ΟΕ και ΟΒ = ΟΖ. Να αποδείξετε ότι: Α. Τα τρίγωνα ΟΑΖ και ΟΒΕ είναι ίσα. Β. Τα τρίγωνα ΚΑΒ και ΚΕΖ είναι ίσα. Στον αγώνα ποδοσφαίρου Άγιος Δημήτριος Παναχαϊκή διατέθηκαν εισιτήρια των 0 ευρώ και των 30 ευρώ. Κόπηκαν συνολικά 4.300 εισιτήρια και εισπράχτηκαν 111.000 ευρώ. Να βρείτε πόσα εισιτήρια των 0 ευρώ και πόσα των 30 ευρώ διατέθηκαν στον αγώνα. O E y Z
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 131 Να αποδείξετε τις αξιοσημείωτες ταυτότητες: ( ) α + β = α + αβ + β ( ) 3 3 3 α β = α 3α β + 3αβ β Θέμα ο Να αποδείξετε ότι: ημ ω + συν ω =1 (Να γίνει σχήμα) Να γίνουν οι πράξεις: ( 3 1) ( + ) ( +1)( 1) Άσκηση η Να γίνουν οι πράξεις: 1 3 1 + + 3 + + 4 Στο διπλανό σχήμα να βρεθεί το αν είναι ΔΕ // Β 3 E +1
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 13 Α. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: α. (α + β) = β. (α β) (α + β) =.. γ. (α β) (α + αβ + β ) = Β. Να αποδειχτεί ότι: (α β) 3 = α 3 3 α β + 3αβ β 3 Θέμα ο Α. Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας ω με 0º ω 180º Β. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας ω;. Να αποδείξετε ότι ημ ω + συν ω = 1 Να βρείτε το αποτέλεσμα: 10 5 1 4 + 4 Άσκηση η 5 : 0 5 = 1 Να λύσετε την εξίσωση: 4 + 4 1 = 4 Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒ φέρνουμε τα ύψη ΑΔ και ΒΕ. Να αποδείξετε: Α. ότι τα τρίγωνα ΑΔ και ΒΕ είναι όμοια Β. να γράψετε τους ίσους λόγους
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 133 Α. Τι ονομάζουμε ταυτότητα;. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: ( α + β) = ( α β) =.. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 Θέμα ο Α. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Β. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ανάλογα με τις σχέσεις που συνδέονται οι πλευρές τους.. Να διατυπώσετε δύο από τα τρία κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων. Να λύσετε την εξίσωση: 4 1 8 = 3 +1 3 Άσκηση η ( 1) (y +1) = y +1 Να λύσετε το σύστημα: + y + y + = 3 3 3 Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ότι ημω = 1, να υπολογίσετε: 13 Α. τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω Β. την τιμή της παράστασης: 5εφω 13συν(180º ω) + 13ημ(180º ω)
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 134 Α. Δώστε τους ορισμούς: μονωνύμου, όμοιων μονωνύμων και πολυωνύμου. ράψτε από ένα παράδειγμα για κάθε περίπτωση. Β. Αφού γράψετε στην τελική τους μορφή τα παρακάτω μονώνυμα, να βρείτε το συντελεστή και το κύριο μέρος τους: 3 α. 5 y( ) β. ( z) y ( ) γ. 3 y 7y δ. ( 3y) ε. ( ) 3 z. Να βρείτε τους ακέραιους κ, λ ώστε η αλγεβρική παράσταση κ 4 5 λ 5α β + 8α β να είναι μονώνυμο και ποιο είναι αυτό; Θέμα ο Α. Να γράψετε τα 3 κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων Β. Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒ και Α Β Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές, ποιες λάθος και γιατί; α. Αν Α = Α, ΑΒ = Α Β και Β = Β τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. β. Αν Α = Α = 90º, Β = Β και Β = Β, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. γ. Αν Α = Α, Β = Β και =, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα δ. Αν Β = Β = 90º, ΑΒ = Α Β και Α = Α, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα Να γίνουν οι πράξεις και οι απλοποιήσεις στην παράσταση: Άσκηση η Να λυθεί η εξίσωση: 3( + ) 8 = 4 3 Αν συν = 4 και 90 < < 180 να υπολογίσετε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθ- 5 μούς της γωνίας. 5 9 + 0 : + 4
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 135 Α. Τι ονομάζουμε μονώνυμο και τι βαθμό μονωνύμου ως προς μία μεταβλητή; Β. Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια, ποια ίσα και ποια αντίθετα;. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ( α β) =.., (α + β) 3 =., α 3 + β 3 = Δ. Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε την ισότητα: ( α β) 3 = Θέμα ο Α. Διατυπώστε τα κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων Β. Διατυπώστε το Θεώρημα του Θαλή (σχήμα σχέση) Α. Να απλοποιήσετε τις ρητές αλγεβρικές παραστάσεις: Α = 5 3 5 3 + 9 Β = + 8 + 6 Β. Να λυθεί η εξίσωση: Α Β= 5 Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: + y 7 y = 6 3 ( y) ( 4y) = 13 Αν 90º < ω < 180º και 7ημω (ημω + ) = 0. Να υπολογίσετε το ημω, συνω, εφω και την παράσταση: Κ = ημ(180 ω) συν(180 ω) εφ(180 ω) συνω
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 136 Α. Τι ονομάζουμε ταυτότητα; Β. Συμπληρώστε τις ταυτότητες: (α + β) = ( α β) =. (α + β) 3 =.. α β =... Αποδείξτε την ταυτότητα: ( α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 Θέμα ο y Αν ΟΜ = ωκαι ΟΜ = ρ. Α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. Β. Αποδείξτε ότι ημ ω + συν ω = 1.. Συμπληρώστε τις ισότητες: ημ(180º ω) =, συν(180º ω) =, εφ(180º ω) =. M(, y) ρ ω y Να λύσετε το σύστημα: Άσκηση η 7 + y y 1 = + 3 3 9y 1 = +1 4 Δίνονται οι παραστάσεις: Α = Α. Να αποδείξετε ότι: Α = 3 ( 1) ( 4 + 5) 7 και Β = 8και Β = 3 1 3( +1) 3( + 5) Β. Να απλοποιήσετε το κλάσμα Α Β. Να λύσετε την εξίσωση Α Β= 8 Στο σχήμα είναι ΑΒ = Α και ΒΔ = Ε Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔ και ΑΒΕ είναι ίσα. Β. Να γράψετε τις ισότητες πλευρών γωνιών που προκύπτουν από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων. E
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 137 α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες ώστε να εκφράζουν γνωστές ταυτότητες: ( α + β ) =... ( α β ) 3 =... α β =... β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: α β = ( α β)( α + αβ + β ) 3 3 Θέμα ο Να σχεδιάσετε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οy και να πάρετε στο ο τεταρτημόριο ένα σημείο Μ(, y) τέτοιο ώστε: ΟΜ = ω και ΟΜ = ρ. α. Να γράψετε τους τύπους που μας δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να εκφράσετε τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 180 ω ως συνάρτηση των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω: συν( 180 ω) = ημ( 180 ω) = Να λυθεί η εξίσωση: 6 3 ( 1) = ( ) Άσκηση η ( ) 3 y y = 7 Να λυθεί το σύστημα: + 8 y 3 = 5 4 3 + 3 4 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α και Μ το μέσον της βάσης Β. Από το Μ να φέρετε τα τμήματα ΜΚ και ΜΛ κάθετα προς τις πλευρές ΑΒ και Α αντίστοιχα ( ΜΚ ΑΒ και ΜΛ Α). Να δείξετε ότι: α. τα τρίγωνα ΚΒΜ και ΛΜ είναι ίσα β. το τρίγωνο ΑΚΛ είναι ισοσκελές
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 138 Α. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: α. ( α β) = β. (α + β) = γ. (α + β)( α β) = Β. Να συμπληρωθεί και να αποδειχτεί η ταυτότητα ( α β) 3. Να συμπληρωθεί η ισότητα: ( α β) ( α + β ) Θέμα ο Α. Διατυπώστε το Θεώρημα του Θαλή (σχήμα και τύπος) Β. Στο διπλανό σχήμα είναι ε 1 //ε // ε 3. α. β. γ. Να συμπληρώσετε τις αναλογίες: ΚΛ ΚΜ = ΛΜ ΡΣ = ΛΜ ΛΚ = Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 +1 = 5 6 6 Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: 3 y = 4 3 y + = 3 Αν 90º < ω < 180º και ημω = 1 13. ε 1 ε ε 3 M Λ K = (α, β θετικοί) Α. Να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω α β Π Ρ Σ Β. Να υπολογίσετε την παράσταση: Α = 13 ημω + 13 1 5 10 συνω εφω 1
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 139 Α. Να συμπληρώσετε τις λέξεις που λείπουν από τις παρακάτω προτάσεις: α. Ο εκθέτης μιας μεταβλητής λέγεται. του μονωνύμου ως προς τη αυτή. β. Ο βαθμός ενός μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του λέγεται το.. των.. των μεταβλητών αυτών. γ. Ο αριθμός 0 λέγεται.. μονώνυμο και δεν έχει.., ενώ όλα τα άλλα σταθερά μονώνυμα είναι...βαθμού. Β. α. Τι λέγεται πολυώνυμο; β. Τι είναι βαθμός πολυωνύμου ως προς μια μεταβλητή του;. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( α β) (α + αβ + β ) = α 3 β 3 Θέμα ο Α. Να γράψετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικώναριθμών Β. Να αποδείξετε την τριγωνομετρική ταυτότητα: ημ ω + συν ω = 1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχώντας κάθε παράσταση της πρώτης στήλης του πίνακα 1 με την ίση της στη δεύτερη στήλη X Πίνακας 1 Πίνακας O y y ω ρ Z M(, y) X Α. 1 συν ω Β. εφω. συν(180 ω ) ημω α. συνω β. ημ ω γ. συνω Α. Β.. δ. συνω Αν Ρ() = 3. Να βρείτε το Ρ( + ). Να λύσετε την εξίσωση: Ρ( + ) 3P() = 10 Άσκηση η Α. Να λύσετε την 3 7 + = 0 και να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο: 3 7 + 3 7 + Β. Να απλοποιήσετε το κλάσμα Α = και να βρείτε για ποιες τιμές του δεν 4 ορίζεται. 5. Να λύσετε την εξίσωση Α = ( + ) Σε τρίγωνο ΑΒ, στο διπλανό σχήμα, το ΔΕ είναι παράλληλο με τη βάση Β. Αν ΑΔ = cm ΑΕ = cm, ΔΒ = +1cm και Ε = + 6cm να υπολογίσετε το και τις πλευρές ΑΒ, Α του τριγώνου. + 1 E + 6
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 140 Α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α. β. γ. δ. (α β) =. α β =. 3 (α β) =. α β =... 3 3 Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: Θέμα ο (α β)= α αβ + β Στο διπλανό σχήμα δίνεται σημείο Μ(, y) τέτο- y ιο ώστε να είναι ΟΜ = ω και ΟΜ = ρ. M(, y) α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω β. Με την προϋπόθεση ότι συνω 0 να αποδεί- ρ ω y ξετε ότι εφω = ημω συνω Δίνονται οι παραστάσεις Α = α. Να βρείτε το γινόμενο Α Β 8 και Β = β. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α, Β γ. Να λύσετε την εξίσωση Α = Β Άσκηση η 6 Να λύσετε το σύστημα (Σ) = +1 y 1 + = 0 3 3y =1 y + 1 H y 10cm 8cm Στο διπλανό σχήμα είναι: ΕΖ // Β και ΖΗ //Δ. Να υπολογίσετε τα και y. E Z 6cm
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 141 Α. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να αποτελούν αξιοσημείωτες ταυτότητες: α. (α + β) = β. (α β) = γ. ( α β)(α + β) =. δ. (α + β) 3 =. Β. Να αποδείξετε την πρώτη (α) από τις παραπάνω ταυτότητες. Θέμα ο Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: 1 + 3 = + Άσκηση η + 1 Να λύσετε το παρακάτω σύστημα: y + = 3 1 + y = 3 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α). Προεκτείνουμε την πλευρά Β και από τα δύο άκρα και πάνω στις προεκτάσεις παίρνουμε τμήματα ΒΔ = Ε. Να δειχθεί ότι ΑΔ = ΑΕ.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 14 Α. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι ταυτότητες; α. ( ) α β = α β β. ( ) α + β = α + β α + β α β = α β γ. ( ) ( ) Β. Να συμπληρώσετε το ανάπτυγμα: ( α β ) 3 =... α β α + αβ + β = α β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( )( ) Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή. Β. Αν ε 1 //ε //ε 3, να συμπληρώσετε τις αναλογίες: ΑΒ Β Α = =......... και ΑΒ... = Β..., ΑΒ... = Α.... Στο παρακάτω τρίγωνο είναι ΔΕ // Β. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη α. (Λ) καθεμιά από τις παρακάτω αναλογίες: ΑΔ ΑΕ = ΔΒ Ε β. ΑΔ ΔΒ = ΑΕ Ε 3 3 γ. ΑΔ ΔΒ = ΑΕ Α α. Να παραγοντοποιήσετε και να βρείτε το Ε. Κ. Π. των παραστάσεων: ε ε 3 ε 1 δ 1 E δ. δ ΑΔ ΑΕ = ΑΒ Α 9, + 6 και 6 + 9 β. Να λύσετε την εξίσωση: 3 1 9 6 + 9 = 3 + 6 Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα: y = 3 + y = 3 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α. Αν το Μ είναι τυχαίο σημείο του ύψους ΑΔ, να αποδείξετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜ είναι ίσα. M β. ΜΒΔ=ΜΔ.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 143 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και ποια μονώνυμα λέγονται όμοια; (Να γράψετε από δύο παραδείγματα) Β. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: α. ( α β) =.. β. ( α β)(α + β) =.. γ. ( α β) 3 =.. δ. ( α β)(α + αβ + β ) =. Να αποδείξετε ότι: (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 Θέμα ο Α. Στο διπλανό σχήμα να ορίσετε y τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. Β. Να δείξετε ότι ημ ω + συν ω = 1. Να δείξετε ότι εφω = ημω συνω M(, y) ρ ω y Να λύσετε τα συστήματα: Α. 4 3y = 5 3 y = 4 Β. + y = 4 1 y + 1 = 3 και να βρείτε την κοινή τους λύση (, y). Θ ω O H 1,5 Άσκηση η Αν στο διπλανό σχήμα είναι ΗΘ // ΑΕ // ΒΖ, να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα 3 y E 6 ΑΒ =, ΟΕ = y και ΟΘ = ω. 3 Να λύσετε τις εξισώσεις: Z Α. 3 + = 0 8 Β. 4 = 1 3 + και να γράψετε την κοινή τους λύση.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 144. Να γραφούν τα αναπτύγματα: α. (α + β) β. (α β) γ. (α + β) (α β) δ. (α + β) 3 ε. (α β) 3 και να υπολογιστούν το β και το δ.. Να δείξετε ότι αν α + β = αβ, τότε α = β Θέμα ο 1. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή.. Αν ΕΖ // Β, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με το α. β. γ. (Λ) αν είναι λανθασμένες: ΑΕ ΑΒ = ΑΖ Α ΕΒ Ζ = ΑΒ Α ΑΒ ΑΕ = Α Ζ Να λυθούν οι εξισώσεις: 3 5 + = 0 και Άσκηση η + 1 1 3 = 1 Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω = 1, να υπολογίσετε το συνω, την εφω και την τι- 13 μή της παράστασης: Α = 13ημω 6συνω 5εφω Να λύσετε το σύστημα: y y + 4 = 3 y + 3 = 3 4
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 145 Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή Β. Να γίνει σχήμα και να γραφεί η σχέση του θεωρήματος Θέμα ο Α. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: α. (α + β) = β. (α β) =. Να αποδειχτεί η ταυτότητα α β = (α + β)(α β) Να λυθούν οι εξισώσεις: Α. + 5 + 6 = 0. 3 5 + = 0 Άσκηση η Να κάνετε τις πράξεις: 3 5 + 3 + + 3 3 6 6 + y = 4 Να λυθεί το σύστημα: 3y = 7
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 146 Α. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια; ράψτε δύο όμοια μονώνυμα Β. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: α. (α β) = β. (α + β) 3 = γ. (α + β) (α β) =. Να αποδείξετε την τελευταία ταυτότητα. Θέμα ο Αφού βρείτε αν είναι ίσα τα δύο τρίγωνα σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις, να γράψετε το αντίστοιχο κριτήριο. K H Λ E α. β. γ. Α. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: Z M E Z 3 + 3, 1,. Αφού αντικαταστήσετε το κάθε πολυώνυμο, να λύσετε την εξίσωση: 3 + 3 1 = Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: +1 y 1 + = 5 3 3( 1) (y 6) =15 Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΔ. Από το Ε, σημείο της ΒΔ, φέρνουμε τη ΖΗ που τέμνει την ΑΔ στο Ζ και τη Β στο Η. Α. Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΕΖΔ και ΒΕΗ είναι όμοια Β. Να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν.. Αν ΕΗ = 8m, ΕΒ = 14m, ΕΖ = 1m να υπολογίσετε την ΕΔ. Z E H
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 147 Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων να πάρετε ένα σημείο Μ (, ψ) στο πρώτο τεταρτημόριο. Αν είναι ω = XOM να αποδείξετε τις ισότητες: α. ημ ω + συν ω = 1 β. εφω = ημω συνω Θέμα ο α. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α +β) 3 = α 3 +3α β + 3αβ +β 3 β. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α β =. α 3 β 3 = (α + β) =. Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η εξίσωση: λ +3 λ λ + 5 = 0 να έχει ρίζα τον αριθμό 1. Άσκηση η Δίνεται το πολυώνυμο Ρ() = α 3 + (β 1) 3 β + 6. Αν Ρ( 1) = 0 και Ρ(1) = 0 να υπολογίσετε τις τιμές των α, β. Το τρίγωνο ΑΒ του διπλανού σχήματος είναι ισοσκελές με ΑΒ = Α. Αν το σημείο Μ είναι το μέσο της βάσης Β και ΜΔ ΑΒ και ΜΕ Α, να αποδείξετε ότι: α. ΜΔ = ΜΕ Ε β. Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΔΜΕ M
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 148 Α. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: (α β) = 3 (α β) = (α + β)(α β) = Β. Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε την ισότητα (α + β) 3 = Θέμα ο Α. Στο διπλανό σχήμα να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς y ρ Z M(, y) της γωνίας ω Β. Να αποδείξετε ότι ημ ω + συν ω = 1. Να αποδείξετε ότι εφω = ημω συνω O y ω Να λυθεί το σύστημα: ( 1) + 3y = 3 5(y 1) = 4 Άσκηση η Α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α. + β. 3 6 γ. 4 + 5 Β. Να λύσετε την εξίσωση: + + = 3 6 Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΔ η ΕΖ είναι παράλληλη στις βάσεις του. Να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΖ και E 4cm Z 8cm Ζ, αν γνωρίζετε ότι ΑΕ = 4cm, ΕΔ = 6cm 6cm και Β = 8cm.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 149 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το νόμο των Ημιτόνων σε ένα τρίγωνο Θέμα ο Α. Αν στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ε 1, ε, ε 3 είναι παράλληλες και ΑΒ = Β, τι συμπεραίνετε για τα τμήματα ΔΕ και ΕΖ. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας διατυπώνοντας το σχετικό κανόνα. Β. τι ιδιότητες έχει το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου. (να δοθεί σχήμα και να γραφεί η ανάλογη μαθηματική σχέση) Α. Δίδεται η αλγεβρική παράσταση: Α = ( 3α β + αβ ) + αβ( α 3β) [ ] + αβ ( 4α 3β) Να αποδειχτεί Α = 1 αν αβ( α β) = Β. Να λυθεί η εξίσωση: 3 ( 4 + 8 ) + ( 4 16) Α + 1 1 11 = 0 Άσκηση η Α. Δίδονται οι παραστάσεις: α = συν 147º + ημ 113º + ημ 33º + συν 67º β = ημ 40º ημ 140º συν 40º συν140º να αποδείξετε α = και β = 1 Β. Να λυθεί η εξίσωση: + α β = 5 + 6 3 4 E Z Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α) και πάνω στις ίσες πλευρές παίρνουμε τα τμήματα ΑΕ και ΑΖ ώστε ΑΕ = ΑΖ και Μ είναι το μέσον της Β. α. Να αποδείξετε ότι ΜΕ = ΜΖ β. Αν ΕΚ Β και ΖΛ Β να αποδείξετε ΕΚ = ΖΛ. ε 1 ε ε 3 δ δ 1
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 150 Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τυχόντων τριγώνων, καθώς και τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Θέμα ο Να αποδείξετε με τι ισούνται οι παρακάτω ταυτότητες: (α + β) = (α β) = (α + β) (α β)= Να λυθεί η εξίσωση: 1 = + 3 +1 (+1) Άσκηση η Στη βάση Β ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒ με ΑΒ=Α, να πάρετε τα σημεία Δ και Ε τέτοια ώστε ΒΔ=Ε. Να αποδείξετε ότι ΑΔ=ΑΕ. Να λυθεί το σύστημα: 1 y =1 4 y + = 1 6 4
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 151 α. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: α β = (α+β) 3 =. α 3 β 3 =. β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α-β) 3 =α 3-3. α. β+3. α. β -β 3 Θέμα ο Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος : α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. Μ(χ, ψ) ρ y Β ω β. Να αποδείξετε ότι : εφω= ημω συνω, συνω 0 Α Ο y Να λυθεί στο R η εξίσωση : 6 3 =. + 1 Άσκηση η Στο διπλανό ισοσκελές τρίγωνο Α ΑΒ (ΑΒ = Α), να αποδείξετε ότι: α. τα ύψη ΒΔ, Ε είναι ίσα. β. τα τμήματα ΒΕ, Δ είναι ίσα. Ε Δίνονται οι παραστάσεις: Β = ( + 1) 4 3 και + 9 1 α. Απλοποιήστε την παράσταση Α. β. Να βρεθεί το γινόμενο Α. Β
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 15 Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α + β) =, ( α β) 3 =.. Β. Τι ονομάζουμε παραγοντοποίηση;. Να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης για πολυώνυμα. Τι πρέπει να ισχύει για το υ(); Θέμα ο Α. Να γράψετε δύο κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β. Να γράψετε το θεώρημα για ίσα τμήματα μεταξύ παράλληλων ευθειών.. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; Να λύσετε την εξίσωση: 4 +1 7 = 0. Άσκηση η Z Στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΔ είναι τετράγωνο και τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΔΖ είναι ισόπλευρα. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΖ και ΔΕ εί- E ναι όμοια και ότι ΖΑ ΕΔ = α, όπου α η πλευρά του τετραγώνου. (Υπόδειξη: αρχίστε υπολογίζοντας τις γωνίες του τριγώνου ΑΔΖ). Ο Ρωμαίος με στολή μπάσκετ μέσα από μια άδεια στέρνα πετά στην Ιουλιέτα, η οποία βρίσκεται στο μπαλκόνι της σε ύψος 4m από το έδαφος, την μπάλα που της είχε πέσει. Η μπάλα διαγράφει παραβολική τροχιά με μέγιστο ύψος 9 m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογίσετε την εξίσωση της παραβολής. Επίσης, αν υποθέσουμε ότι η Ιουλιέτα και το σπίτι της είναι πλάσματα της φαντασίας του Ρωμαίου, οπότε η μπάλα ανεμπόδιστα συνεχίζει τη διαδρομή της και πέφτει στο έδαφος στο σημείο Ε, ποια είναι η τετμημένη του Ε; (Αν προτιμάτε, βρείτε πρώτα την τετμημένη του Ε και μετά υπολογίστε την εξίσωση της παραβολής).
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 153 Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. Β. Ποια η εφαρμογή του στο τρίγωνο; (ευθύ και αντίστροφο) Θέμα ο Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οy να πάρετε ένα σημείο Μ(, y) διαφορετικό από το Ο. Αν ΟΜ = ωκαι ΟΜ = ρ: Α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω, Β. Να αποδείξετε ότι: εφω = ημω συνω Α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (συνω 0). Α = 4 3 +, Β = +1 1 Β. Αφού απλοποιήσετε τα Α και Β να λύσετε την εξίσωση Α Β = 1 Άσκηση η Δύο κύκλοι με κέντρα Κ και Λ τέμνονται στα σημεία Α και Β. Να δείξετε ότι: Α. τα τρίγωνα ΚΑΛ και ΚΒΛ είναι ίσα. Β. τα τρίγωνα ΚΑ και ΚΒ είναι ίσα. η ευθεία ΚΛ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ. Να λύσετε το σύστημα: ( + ) + (y 1)(y +1) = y(y +1) + y 1 = 3 3 K Λ
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 154 α. Ποια είναι η θεμελιώδης τριγωνομετρική ταυτότητα; β. Ποιο είναι το ημ135 γ. Ποια είναι η εφ45º; Θέμα ο Ποια είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης α + β + γ = 0 και πώς αυτή επηρεάζει τη λύση της; Να γραφούν και οι τύποι των λύσεων, στις περιπτώσεις που υπάρχουν. Να λυθεί η εξίσωση: ( )( ) Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: 1 + 1= 0 1 +1 +1 y =1 + y = 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒ. Φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ και τις αποστάσεις ΒΔ και Ε των κορυφών Β και από την ΑΜ. Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΕΜ είναι ίσα. Σημείωση: Τα παραπάνω θέματα είναι για μία κατ οίκον διδαχθείσα μαθήτρια.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 155 α. Είναι η = 1 λύση της εξίσωσης 4 = 3 3 3 ή όχι; β. ια ποιες τιμές του ορίζονται οι όροι της εξίσωσης 1 + = γ. Η εξίσωση 4 4 = 0 έχει λύσεις τους αριθμούς 1 και. Ισχύει ότι το τριώνυμο γράφεται 4 = ( + 1)( ). Να δικαιολογηθούν οι απαντήσεις και των τριών υποερωτημάτων. Θέμα ο α. Ποιες ιδιότητες της διάταξης χρησιμοποιούμε ώστε από την ανίσωση 5 3 > 5 να οδηγηθούμε στην 5 > 5 + 3 και από την ανίσωση 5 > 8 να οδηγηθούμε στην > 8 5 ; β. Αν είναι < <1 και 5< y < 3, μεταξύ ποιών ορίων περιέχεται η παράσταση y; γ. Τι πρέπει να συμβαίνει ώστε η σχέση α β > γ αδ > βγ να είναι σωστή; δ Αν η ευθεία ε:y = α +β διέρχεται από τα σημεία Α( 1, ) και Β ( 1, 3) να βρεθούν οι αριθμοί α και β. Άσκηση η Αν 0º 180º και 6ημ ημ 1 = 0 να βρεθεί η γωνία. Να αποδειχτεί ότι, αν ένα τρίγωνο έχει δύο ύψη ίσα, είναι ισοσκελές.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 156 Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις και να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας Α. Αν ημφ = 1, τότε ισχύει: α. φ = 30º, β. φ = 150º, γ. φ = 30º η φ = 150º, δ. τίποτα από τα παραπάνω Β. Η εφ135º ισούται με: α. 1, β. 1, γ. 3 3, δ. 3 3. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒ ισχύει ημ(α + Β) = 1, τι συμπέρασμα βγάζετε για το είδος του τριγώνου; Θέμα ο Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις και να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Αν ισχύει α > 5 και > y τότε ισχύει και ότι α > 5y ; β. Ισχύει ότι η λύση της ανίσωσης 0 >5 είναι οι αριθμοί οι μεγαλύτεροι του 5; γ. Αν ισχύει αβ > 0 τι συμπέρασμα βγάζετε για τους αριθμούς α και β; Δίνεται η εξίσωση 3λ +1= 0.Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση: α. έχει ρίζες πραγματικές και άνισες β. έχει ρίζες ίσες γ. δεν έχει πραγματικές ρίζες. Άσκηση η α. Να βρείτε το σημείο Κ στο οποίο τέμνονται οι ευθείες με εξισώσεις : + y = 10 και 3 y = 5 β. Αν η ευθεία με εξίσωση ( λ 1 ) +3λ ( ) y = 0διέρχεται από το σημείο Κ που βρήκατε στο α. ερώτημα, να βρείτε την τιμή του λ Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α). Προεκτείνουμε τη βάση Β προς τα σημεία Β και και πάνω στις προεκτάσεις παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΒΕ = Ζ. Να αποδείξετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΖ είναι ίσα. β. Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές. γ. Οι αποστάσεις των κορυφών Β και από τις ΑΕ και ΑΖ αντίστοιχα είναι ίσες.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 157 Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να γράψετε τις ταυτότητες: α. Τετράγωνο αθροίσματος β. Κύβος διαφοράς. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) ( ) α + β α αβ + β = α + β 3 3 Θέμα ο Να δώσετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας ω με 0º ω 180º α. Οξείας γωνίας ω σε ορθογώνιο τρίγωνο β. Αμβλείας γωνίας ω σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οy. α. Να επιλύσετε την εξίσωση δευτέρου βαθμού: ω y M(, y) ρ O 3 + 4 4 = 0 β. Αφού βρείτε τις λύσεις της ανωτέρω εξίσωσης, να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 3 + 4 4 Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα: Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒ είναι ΔΕ // Β. Να υπολογίσετε τα και y. 4y = 4 3 +10y = 14 3 6 8 y Z E 5
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 158 α. Να αντιγράψετε στην κόλλα σας και να συμπληρώσετε τα δεύτερα μέλη των παρακάτω ισοτήτων έτσι ώστε αυτές να αποτελούν γνωστές αξιοσημείωτες ταυτότητες. ( α + β ) = ( α β ) 3 = α β α + αβ + β = α β β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( )( ) Θέμα ο Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω με 0 < ω < 180 ) ισχύει ότι: ημ ω + συν ω =1 3 3 O y y ρ ω M(, y) α. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων: 5 + 4, -1-4 β. Να λυθεί η εξίσωση: Άσκηση η Να εξετάσετε αν τα συστήματα: 5 + y = 9 3 y = 1 και 1 + = 1 4 5 + 4 5 y 1 + = + 1 4 3 ( + 3) ( 1)( + 3 ) +y = 0 έχουν κοινή λύση. Στο τραπέζιο του διπλανού σχήματος η ΕΖ είναι παράλληλη προς τις βάσεις του ΑΒ και Δ. Αν είναι ΕΔ = 9m, ΒΖ = 8m και το τμήμα Ζ είναι διπλάσιο από το ΑΕ να υπολογίσετε το τμήμα ΑΕ. E Z
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 159 Δίνεται η εξίσωση ου βαθμού α + β + γ = 0 με α 0. Να γράψετε τον τύπο των λύσεων της εξίσωσης.. Να γράψετε τον τύπο της διακρίνουσας. α. β. Να προσδιορίσετε το είδος των λύσεων των εξισώσεων + 5 6 = 0 + 3 + = 0. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε περίπτωση της στήλης (Α) το σωστό συμπέρασμα από τη στήλη (Β) Στήλη Α Δ > 0 Δ < 0 Δ = 0 Στήλη Β η εξίσωση δεν έχει λύση η εξίσωση έχει μια διπλή λύση η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις Θέμα ο α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. Να κάνετε σχήμα και να γράψετε τη σχέση. β. ια δύο σημεία Δ και Ε των πλευρών ΑΒ και Α αντιστοίχως ενός τριγώνου ΑΒ ισχύουν αν Ε // ΔΕ // Β τότε.. αν ΑΔ = ΑΕ ΔΒ Ε τότε Να συμπληρώσετε τα κενά (Να γίνει σχήμα) α β + + β α Να απλοποιήσετε το κλάσμα: α β β α Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα: 4 3( + 3y) = 0 + y ( y) + 5( ) = 3y + 4 Στο διπλανό σχήμα έχουμε το τρίγωνο ΑΒ, τη διά μεσο ΑΜ στην πλευρά Β και τα σημεία Δ, Ε ώστε M ΜΔ = ΜΕ. Να αποδείξετε ότι: ΒΜΔ = ΜΕ. E
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 160 Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: ( α β ) = 3 3 α + β = ( y ) 3 = Θέμα ο Να αποδείξετε ότι ημ ω + συν ω =1και ότι 3 + 4 Να λυθεί η εξίσωση: 1+ = 3 + Άσκηση η ημω εφω = συνω ( ) ( ) ( ) y + 4 = y 6 3 5 Να λυθεί το σύστημα: 1 + y = + y y y +1 ( )( ) ( ) ( ) Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ, προεκτείνουμε τη βάση Β κατά τμήματα ΒΔ = Ε. α. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. β. Φέρνουμε ΒΚ ΑΔ και Λ ΑΕ. Να αποδείξετε ότι είναι ΒΚ = Λ.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 161 α. Τι ονομάζουμε ταυτότητα; β. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή ή λάθος καθεμία από τις παρακάτω ταυτότητες: i. 3 3 3 (α + β) = α +3α β+3α β +β ii. iii. iv. 3 3 3 (α β)= α 3α β + 3αβ β 3 3 3 α β = (α β)(α + αβ + β ) α + β = (α + β) (α β) γ. Να αποδείξετε την ταυτότητα : Θέμα ο (α β)=α αβ+β α. Πότε δυο τρίγωνα λέμε ότι είναι ίσα; (Να γράψετε τον ορισμό) β. Αναφέρετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. Σε κάθε περίπτωση να σχεδιάσετε το αντίστοιχο σχήμα. Δίνεται το πολυώνυμο α. Να αποδείξετε ότι 3 3 P() = ( + 1) +( 1) +7 P() = + 5 + 7 β. Να παραγοντοποιήσετε το P() γ. Να λύσετε την εξίσωση P() = 0 Άσκηση η 3( 1) + y = 5 Να λυθεί το σύστημα: + 1 y = 3 Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει ότι α. To συνω και την εφω 1 ημω = 13, να υπολογίσετε: β. Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της παραπληρωματικής γωνίας της ω.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 16 Α. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: α. (α + β) 3 = β. (α + β) =. γ. (α + β) (α β) =. δ. ( α β) 3 = Β. Να αποδείξετε τις δύο πρώτες δηλαδή την α και τη β Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων Β. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο ορθογωνίων τριγώνων ( Να σχεδιάσετε τα αντίστοιχα σχήματα σε κάθε περίπτωση) Να λύσετε την εξίσωση: 9 + 9 = + 4 Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα: y ( 1) = 3 ( 1) ( y) y ( 1) ( +1) = 3 ( 1) Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΕ // ΒΖ. Αν είναι O = +, = 1, O = + 4, Δ =, ΟΕ = y + 6, ΕΖ = y. Να υπολογίσετε το και το y. 1 + O +4 y+ 6 E y Z
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 163 α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ( α + β ) =... ( α β ) 3 =... α + β α β = α β β. Να αποδείξετε την ταυτότητα ( )( ) γ. Να αντιστοιχίσετε στο γραπτό σας τις παραστάσεις της στήλης Α με τις ίσες τους της στήλης Β Θέμα ο Α ( β α) ( α β) ( α + β) ( β + α ) Β ( α + β ) ( α β) α. Τι ονομάζουμε ίσα τρίγωνα και τι όμοια τρίγωνα; (ορισμοί) β. Δύο ίσα τρίγωνα είναι όμοια; Δύο όμοια τρίγωνα είναι ίσα; (να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας) 1. Δίνονται τα πολυώνυμα: Ρ() = ( + )( + 3+ ) ( +1)( 3) α. Να τα παραγοντοποιήσετε και Q() = 3 4 4 + + β. Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται το κλάσμα Q() γ. Να απλοποιήσετε το κλάσμα Q() P() Άσκηση η Στο διπλανό σχήμα γνωρίζουμε ότι είναι ΑΒ // Δ. α. Να υπολογίσετε τα μήκη των ευθ. τμημάτων ΑΔ και Β. P() β. Να βρείτε το λόγο των εμβαδών των τριγώνων ΕΔ και ΑΕΒ. Δίνονται οι παραπληρωματικές γωνίες ω και φ για τις οποίες ισχύει επιπλέον η σχέση 3ω + φ = 440º. α. Να βρείτε τις γωνίες β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ημω + συνω + 3εφω ημφ + συνφ + 3εφφ +1 E -3
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 164 Α. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: α. ( α β) = β. α + αβ + β = γ. α β = Β. Να συμπληρωθεί και να αποδειχτεί η ταυτότητα: Θέμα ο (α β) 3 =.. Α. Να οριστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας αμβλείας γωνίας ω, με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων. Να κάνετε το σχήμα. Β. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω με συνω 0 ισχύει: εφω = ημω Να λυθεί η εξίσωση: ( 3) 9 = ( 1)( 4) Άσκηση η Να βρεθούν οι λύσεις του συστήματος: + y 3 = 4 6 15 + y = 60 συνω Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ(ΑΒ = Α). Στη βάση Β παίρνουμε τμήματα ΒΔ = Ε. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 165 α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : (α + β) (α β ) =. (α β) =. (α + β) 3 = β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α το α- νάπτυγμά της από τη στήλη Β. Στήλη Α Α. (α + ) Β. (3α-) (3α + ). (α 1) 3 Δ. (α 1)(α +α +1) Ε. ( 3 + α) Στήλη Β 1. α 3 1. α 3 3 α+ 3 α 1 3. 3 α 4 4. α 3 3 α +3 α 1 5. 9 α 4 6. α + 4 α + 4 7. α 3 + 1 8. α 6 α + 9 Α Β Δ Ε Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων. Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) η Λάθος (Λ) α. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα. β. Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές. γ. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία είναι ίσα. + 3 1 Δίνεται η παράσταση Α = 1 +1 α. Να βρεθούν οι τιμές του χ για τις οποίες ορίζεται η παράσταση Α. + 4 β. Δείξτε ότι : Α= γ. Να λυθεί η εξίσωση : Α = ( 1)( + 1) 3 Άσκηση η +1 1 y = 0 Να λύσετε το σύστημα : 3 + 3y =1 Δίνεται αμβλεία γωνία ω για την οποία ισχύει : α. Να υπολογίσετε τα συνω, εφω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : 4 ημω =. 5 Α = ημω συνω + συν ω 1+ εφω
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 166 Α. Τι ονομάζουμε ταυτότητα; Β. ράψτε 5 αξιοσημείωτες ταυτότητες που γνωρίζετε. Αποδείξτε την ταυτότητα Θέμα ο (α β) (α + α β + β ) = α 3 β 3 Α. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων (σχήματα κατάλληλα). Β. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή (διατύπωση σχήμα αναλογία). Δίνονται οι παραστάσεις: Α = 5 5 = 3 = 3 + 9 και Δ = + 8 + 6. Να παραγοντοποιήσετε τα Α, Β,, Δ και να απλοποιήσετε τις κλασματικές παραστάσεις Α Β και Δ Β. Αν Α Β = 5 +1 και Δ = 3 + Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα: 7( +1) + ( 3y) +10y = (3y +1) ( + y) + + y = 17 Α να λύσετε την εξίσωση = 5 Β Δ Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω = 5, να υπολογίσετε την παράσταση: 13 Α = 13ημω 13συνω + 1εφω.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 167 Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : (α + β) =.. (α β) 3 = (α + β)(α β) = Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: α 3 β 3 = (α β)(α + αβ + β ) Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β. Αν είναι Α = ΔΕ, Β = 80, = 40, Δ = 40 40 και Ε = 60 να εξηγήσετε γιατί είναι ίσα τα τρίγωνα ΑΒ και ΔΕΖ;. Να γράψετε τις ίσες πλευρές τους;. 80 40 E 60 Z Α. Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : + 4 + 3 = 0 Β. Να λυθεί η εξίσωση : 5 4 + = +3 Άσκηση η 3 Να λυθεί η εξίσωση : + 1 + = 6 1 Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε 1, ε, ε 3 είναι παράλληλες και τα ΑΒ = 1m και Β = 16m. Αν η απόσταση των ε 1, ε 3 είναι 1m, να υπολογίσετε τα τμήματα = ΕΖ και y = ΕΔ. ε 3 ε 1 ε 16m 1m Z E y 1m
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 168 1.α Τι ονομάζουμε μονώνυμο; Τι ονομάζουμε συντελεστή και τι κύριο μέρος του μονωνύμου; β. ια καθένα από τα παρακάτω μονώνυμα να βρεθούν ο συντελεστής, το κύριο μέρος, ο βαθμός ως προς, ως προς y και ως προς και y. y, 3 3 y, y. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α. ( α+β ) 3 =..., β. ( + y ) = Θέμα ο α. Θεώρημα Θαλή (διατύπωση και σχήμα) β. Πότε λέμε ότι δύο τρίγωνα είναι όμοια; Να γράψετε ένα κριτήριο για να είναι δύο τρίγωνα όμοια. +1 3 3 3 Να λύσετε την εξίσωση: = + Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα : 3y = 1 9 + 5y = ( ) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ Α= 90 και η διχοτόμος του ΒΔ. Αν ΔΕ Β, να αποδείξετε ότι: α. ΑΒ = ΒΕ, β. ΒΔ ΑΕ, γ. ΑΔ < Δ
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 169 Α. Τι ονομάζουμε ταυτότητα; Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα ( α β)(α + αβ + β ) = α β 3 3. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε παράσταση της στήλης Α το ανάπτυγμά της από τη στήλη Β Θέμα ο ΣΤΗΛΗ Α Α. (α + β) Β. ( β + α ). (α β)(α + β) Δ. ( α β) 3 Ε. (α + β)(α αβ + β ) Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή Β. Αν είναι ε 1 // ε // ε 3 να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: ΑΒ = Β = Α ΣΤΗΛΗ Β α. α αβ + β β. α 3 3α β + 3αβ β 3 γ. α + β δ. α + αβ + β ε. α β στ. α 3 + β 3. Αν ΔΕ // Β ποιες από τις παρακάτω αναλογίες ισχύουν και ποιες όχι; α. γ. ΑΔ ΔΒ = ΑΕ Ε, β. ΑΔ ΑΕ = ΔΒ Ε, ΑΔ ΑΕ = ΔΒ Α, δ. ΑΔ ΑΒ = ΑΕ Α Α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις και μετά να υπολογίσετε τα πηλίκα: Β Α,, Α Δ αν είναι Α = 4 5, Β = Δ = Άσκηση η 3 + 5 5 Να εξετάσετε αν έχουν κοινή λύση οι εξισώσεις: = 0 και 4 3 1 = 1 + + y = 5 Να λυθεί το σύστημα: 3 y = 4 E ε 1 ε ε 3 δ 1 δ 4 0 + 5, = 6 15,
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 170 Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: α. (α + β) = β. (α + β) 3 =.. γ. α β =. Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) 3 =. y Θέμα ο Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος: Α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ρ =, ημω =, συνω =, εφω = Β. Να αποδείξετε ότι: ημ ω + συν ω = 1 M(, y) ρ y ω 6 + Να λυθεί η εξίσωση: = +1 + 3 + 3 Άσκηση η Δίνεται το πολυώνυμο: Ρ() = 3 ( ) + ( 4) 4( 3). Να κάνετε τις πράξεις και να γράψετε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του.. Μετά να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο Ρ(). Να βρείτε την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για = 3. Αν Δ, Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και Α τριγώνου ΑΒ αντίστοιχα, τότε: Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒ είναι όμοια. Β. Να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν.. Να υπολογίσετε το λόγο: (ΑΔΕ) (ΑΒ)
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 171 Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ταυτότητες: (α + β) =.. ( α β) =.. (α + β) 3 =.. ( α β) 3 =.. ( α β)(α + β) = Θέμα ο Να διατυπωθεί: α. ο νόμος των ημιτόνων β. ο νόμος των συνημιτόνων 1 Να λυθεί η εξίσωση: + 1 1 + 1 = 0 Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: y =1 3 + y =1 Αν 90º <ω <180º και ημω = 3. Να υπολογιστούν: 5 α. συνω β. εφω
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 17 α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. β. Σε ένα τρίγωνο ΑΒ τα Δ, Ε είναι σημεία των πλευρών ΑΒ, Α αντίστοιχα με ΔΕ//Β. Να εκφράσετε το θεώρημα του Θαλή με σχέσεις στο τρίγωνο ΑΒ. ΑΔ ΑΕ γ. Αν στο παραπάνω τρίγωνο ισχύει η σχέση = τι συμπέρασμα βγάζετε για τις ΔΒ Ε Θέμα ο ΔΕ και Β; α. Να αποδείξετε την ταυτότητα ( ) α β = α αβ + β β. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενα: ( α β) ( α+ β ) =... ( )( ) α + β α αβ+ β =... γ. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι ταυτότητες ; i. 0 = 0 ii. Να λυθεί το σύστημα : 3 α α = α iii. +y=0 3 + = y y = 1 όπου, y πραγματικοί αριθμοί με y 0. Άσκηση η α. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής του σχήματος. β. Να σχεδιάσετε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα και στη νέα παραβολή να βρεθούν εκείνα τα σημεία που έχουν τεταγμένη 16. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ, Α ισοσκελούς τριγώνου ΑΒ παίρνουμε τα σημεία Δ, Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ = Ε. Να δείξετε ότι ΑΔ = ΑΕΒ
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 173 Α. Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε τις ταυτότητες: (α + β) 3 =. και ( α β) =.. Β. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστό ή Λάθος κάθε μία από τις σχέσεις: α. (α + β)(β α) = β α β. γ. (β α) = (α β) 3 ( α β) = (α + β) 3 δ. ( α β) = Θέμα ο (α + β) Α. Να ορίσετε σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας ω, όπου 0º ω 180º. Β. Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω, όπου 0º ω 180º ισχύουν οι σχέσεις: α. ημ ω + συν ω = 1 και β. εφω = ημω συνω, συνω 0. Αν ω, φ γωνίες για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: α. ημω = ημφ και β. συνω = συνφ τι συμπεραίνετε για τη σχέση που συνδέει τις γωνίες σε κάθε περίπτωση ξεχωριστά. Α. Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: Α = ( + 9) 6( + 9) + 9. Να λύσετε την εξίσωση: Α = 5 Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων: y y = + y + 5 3 4 1 1 6y και + y = 5 Να φτιάξετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ, να βρείτε τα μέσα Κ, Λ, Μ των πλευρών του ΑΒ, Β, Α αντίστοιχα και να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι και αυτό ισόπλευρο.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 174 Α. Τι ονομάζεται ταυτότητα; Β. Ν αποδείξετε ότι: 3 3 3 (α + β) = α + 3α β + 3αβ + β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με την ένδειξη Σ Λ i. ( y) = + y+ y ii. iii. iv. 3 8 + α = (+ α)(4 + α+ α ) 4 + α = (α + ) (α ) (α β) = (β α) 3 3 Θέμα ο. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε οξεία γωνία ω ισχύει ότι: Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με την ένδειξη Σ - Λ i. ii. iii. iv. ο ημ180 = 1 ο συν0 =1 ο συν15 = συν55 ημω συνω = εφω ο v. Εάν ω αμβλεία γωνία τότε συνω>0 vi. Εάν ω =90 0 τότε δεν ορίζεται η εφω. Δίνονται τα πολυώνυμα: 3 () = ( 4 ), () = 8 3, 3 () = +5 3 ημ ω + συν ω = 1 i. Δείξτε ότι: () = ( 1) ( + ), () = 8 (1+) (1 ), () = ( + 3)( 1) ii. Απλοποιήστε τα κλάσματα: iii. Εάν > 1 δείξτε ότι: () > 4 () K = () () Λ = () iv. Λύστε την εξίσωση: Λ+16Κ = 0 Άσκηση η Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ( ΑΒ =Α) και ΒΔ, Ε διχοτόμοι του που τέμνονται στο Ο. Να αποδείξετε ότι: Δ Δ i. ΑΔΒ=ΑΕ Δ Δ, ii. ΟΕΒ = ΟΔ, iii. Ο διχοτόμος της Α 3 i. Εάν ημ = με αμβλεία, να υπολογίσετε την γωνία 3 ii. Εάν ημω = με ω αμβλεία να βρεθούν το συνω και η εφω 5 iii. Να υπολογιστεί η παράσταση ημ 130 + συν 50 ημ(180 ) Α = 5συν(180 ω) 4εφ(180 ω) όπου η γωνία του (i) ερωτήματος και ω η γωνία του (ii) ερωτήματος.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 175 α. Να αποδείξετε τις παρακάτω τριγωνομετρικές ταυτότητες i. ημ ω + συν ω = 1 ii. εφω = ημω συνω β. Με ποια προϋπόθεση (περιορισμό) ισχύει ο δεύτερος τύπος; Θέμα ο α. Nα συμπληρώσετε τις ταυτότητες (α + β) =.. α β =.. (α β) 3 =.. (α + β) 3 =.. β. Να αποδείξετε την ταυτότητα (α β) = α αβ + β και γ. Πότε ισχύει ο τύπος (α + β) = α + β Αν ημχ = 1 13 και 90ο < < 180º να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης: Α = 6ημχ +39συνχ 10εφχ Άσκηση η 7( 1) Να λύσετε την εξίσωση: 1 + 4 + 3 = 1 + 3 1 1 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α), και ένα τυχαίο σημείο Κ της πλευράς ΑΒ. Προεκτείνουμε την πλευρά Α κατά τμήμα Δ = ΒΚ. Το τμήμα ΚΔ τέμνει τη Β στο Μ. Προεκτείνουμε και τη Β κατά τμήμα ΒΕ = Μ. Να δείξετε ότι α. ΚΕ = ΜΔ (ευθύγραμμα τμήματα) β. οι γωνίες ΚΕΒ = ΜΔ γ. το τρίγωνο ΚΕΜ είναι ισοσκελές.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 176 α. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. β. Επιλέξτε αν είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις: i. Δύο τρίγωνα που έχουν και τις τρεις γωνίες τους ίσες είναι ίσα. Σ Λ ii. Σ ένα ισοσκελές τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην βάση Θέμα ο του είναι ταυτόχρονα ύψος και διάμεσος. Σ Λ α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες των παρακάτω αξιοσημείωτων ταυτοτήτων, και στην i. συνέχεια να τις αποδείξετε. (α+β) = ii. α β = iii. 3 (α + β) = β. Επιλέξτε αν είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις. i. Ισχύει πάντα ότι ii. iii. iv. Ισχύει ότι Ισχύει ότι (α β) = ( α + β) Σ Λ 1 1 + = + + α + β = (α + β) αβ Σ Λ Ισχύει ότι α + β = (α β) +αβ Σ Λ Να λύσετε τα συστήματα: i. + 5y = 3 + 7y = 6 Άσκηση η ii. 4 3( + 3y) = 0 + y ( y) + 5( ) = 3y + 4 α. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις παραστάσεις: i. ii. 4 Σ Λ iii. + iv. 9+ κλ κ λ β. Να λύσετε την εξίσωση: 1 1 + = 4 + Σε τρίγωνο ΑΒ φέρνουμε την ΚΛ//Β και τη ΛΜ // ΑΒ, που τέμνουν τις ΑΒ, Α και Β στα σημεία Κ, Λ, Μ αντίστοιχα.. Να δειχθεί ότι ΑΚ = ΒΜ. ΚΒ Μ K M Λ
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 177 α. Τι λέγεται ταυτότητα β. Να συμπληρωθούν τα αναπτύγματα: ( ) α + β =..., ( α β ) =..., ( α β ) 3 =..., ( ) 3 α + β =... α β α + αβ + β = α β γ. Να αποδειχτεί η ταυτότητα: ( ) ( ) Θέμα ο α. Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα; β. Διατυπώστε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων 3 3 Να λυθεί το σύστημα: Άσκηση η y 6 + y = 5 6 3 1 3 1 y y + = 1 9 3 Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 1 4 13 + 1 = 3 5 8 + 15 Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ του διπλανού σχήματος το σημείο Μ είναι μέσο της βάσης Β. Αν είναι ΒΔ = Ε, να αποδείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές E β. Τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΑΕΜ είναι ίσα. M
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 178 Α. Να γράψετε τον τύπο της ταυτότητας κύβος διαφοράς και τον τύπο της ταυτότητας άθροισμα κύβων Β. Να αποδείξετε ότι (α β) = α αβ + β. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α. (α + β) 3 = β. (α + β) (α β) = γ. (α + β) = δ. (α β) (α + αβ + β ) = Θέμα ο Α. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων Β. Να γράψετε τα 3 κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) τις προτάσεις: α. Αν τρεις παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ίσα προς τα αντίστοιχα που ορίζονται στην άλλη β. Όταν οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες με τις αντίστοιχες τρεις γωνίες ενός άλλου, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα γ. Δύο όμοια τρίγωνα είναι ίσα, ενώ δύο ίσα τρίγωνα δεν είναι κατ ανάγκη όμοια. δ. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι όμοια Α. Αν είναι ημω = 3 5 και 90º < ω <180º, να απαντήσετε στα εξής ερωτήματα: α. Σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η γωνία ω και τι πρόσημο έχουν το ημίτονο και η εφαπτομένη της γωνίας ω σε αυτό το τεταρτημόριο β. Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω ( δηλαδή να υπολογίσετε το ημω και την εφω ) γ. ια τις τιμές που θα βρείτε να υπολογίσετε την παράσταση: 1 5 ημω 3 συν ω + 10 Άσκηση η Να λυθεί η εξίσωση: + +1 + 3 1 = 4 + 3 ( 1) εφω y + y 5 = 3 3 Να λυθεί το σύστημα: + y y + = 3 3 4
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 179 Α. Τι ονομάζεται μονώνυμο; ράψτε δύο μονώνυμα και ονομάστε τα μέρη τους Β. Πότε δύο ή περισσότερα μονώνυμα λέγονται όμοια; Δίνονται τα μονώνυμα: ν + 3μ 1 003 y και 004y 8 ια ποιες τιμές των ν, μ τα μονώνυμα αυτά είναι όμοια; Θέμα ο Α. Να οριστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω του διπλανού σχήματος Β. Με βάση τους παραπάνω ορισμούς να αποδειχτεί η βασική τριγωνομετρική σχέση: ημ ω + συν ω = 1 Να λυθεί η εξίσωση: 1 3 + = +1 + Άσκηση η Y Z M(, y) ρ ω X O X Y Να λυθεί το σύστημα: y 3 = 3y =13 Α. Αν ημ = 1, 90º < <180º να βρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 συν)(1 + 3εφ) 6 3εφ 8ημ
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 180 Η γενική μορφή της εξίσωσης β βαθμού είναι: α +β + γ = 0, με α 0. α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: Δ = (όπου Δ η διακρίνουσα) 1, =. (όπου 1, οι λύσεις της εξίσωσης) β. Αν είναι Δ = 0, ή Δ > 0, ή Δ < 0, τι αντίστοιχο συμπέρασμα προκύπτει τότε για την ύπαρξη λύσεων και το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης; γ. Να γράψετε σε μορφή γινομένου το τριώνυμο: α + β + γ. Θέμα ο Στο διπλανό σχήμα δίνεται σημείο Μ(, y), τέτοιο ώστε να είναι ΟΜ = ω και ΟΜ = ρ α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Με την προϋπόθεση ότι συνω 0 να α- ποδείξετε ότι εφω = ημω συνω. Να λύσετε την εξίσωση: 1 1 + +1 1 Άσκηση η + 4 = 3 Να λυθεί το σύστημα: y 1 + y 1 = 6 6 3 3 + ( y 1) ( )( + ) = y +1 Το τρίγωνο ΑΒ του διπλανού σχήματος είναι ισοσκελές με =. Αν είναι ακόμη: y M(, y) ρ ω O y Z H K ΔΒ = Ε, ΔΖ Β, ΕΗ Β και ΑΚ Β. E α. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΖ και ΕΗ και να αποδείξετε ότι ΖΒ = Η. β. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΔΖΒ και ΑΒΚ είναι όμοια γ. Να γράψετε τους λόγους ομοιότητας των τριγώνων ΔΖΒ και ΑΒΚ.