Το άµαξάκι του σχήµατος 1) έχει µάζα Μ και µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Το σώµα Σ µάζας m, συγκρατείται µε οριζόντιο νήµα του οποίου το ένα άκρο έχει στερεωθεί σε σταθερό σηµείο Α. Δίνουµε στο σύστηµα ταχύ τητα v και κάποια στιγµή το ελατήριο συναντά κατακόρυφο τοίχο και αρχίζει να συµπιέζεται. i) Nα βρεθεί το όριο θραύσεως του νήµατος, ώστε αυτό να µη κοπεί στην διάρκεια που το ελατήριο συµπιέζεται. ii) Eάν το όριο θραύσεως του νήµατος είναι το µισό εκείνου που υπο λογίστηκε προηγουµένως, να βρέθει µετά πόσο χρόνο αφ ότου άρχισε η συµπίεση του ελατηρίου θα κοπεί το νήµα και ποιά θα είναι την στιγµή αυτή η ταχύτητα του σώµατος; Δίνεται η σταθερά τoυ ελατη ρίου που θεωρείται ιδανικό. ΛΥΣΗ: i) To σύστηµα αµαξάκι-σώµα από την στιγµή που το έλατήριο συναντά τον κατακόρυφο τοίχο µεχρις ότου χάσει την επαφή του µε αυτόν εκτελεί α.α.τ. µε την προυπόθεση φυσικά ότι το νήµα που συγκρατεί το σώµα δεν θραύεται. Εάν a είναι η επιτάχυνση του συστήµατος κάποια στιγµή t που το ελατήριο είναι συµπιεσµένο κατά x, τότε για το µέτρο της a θα ισχύει η σχέση: a = x = $ x # µt µε t T/ 1) Σχήµα 1 όπου x το πλάτος της ταλαντωσης, ω η γωνιακή της συχνότητα και Τ η περίο δός της ίση µε π/ω. Εξετάζοντας το σώµα παρατηρούµε ότι η µόνη δύναµη που δέχεται κατα την διευθυνση της κίνησής του είναι η τάση Q του νήµατος και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση:
1) Q = ma m $ Q = # x µt ) Aπό την ) προκύπτει ότι η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να λάβει το µέτρο της δύναµης Q είναι: Q max = mx 3) Eφαρµόζοντας για την ταλάντωση του συστήµατος το θεώρηµα διατήσησης της µηχανικής ενέργειας παίρνουµε την σχέση: )v = x x = v 4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 3) και 4) έχουµε: Q max = mv Q max = mv 5) Είναι προφανές ότι για να µη κοπεί το νήµα στην διάρκεια της ταλάντωσης του συστήµατος πρέπει το όριο θραύσεώς του να είναι ίσο µε Q max. ii) Εάν το όριο θράυσεως του νήµατος είναι Q max /, τότε το νήµα θα κοπεί πριν ολοκληρώθεί η µέγιστη συµπίεση x του ελατηρίου και αυτό θα συµβεί την χρο νική στιγµή t * για την οποία ισχύει η σχέση: 5) Q max = m x * mv = m $ # x µt * v = x µt * 4) µt * = 1 t * = 6 t * = 6 = 6 6) To µέτρο της ταχύτητας του σώµατος την χρονική στιγµή t * θα είναι: v * = x #$t * = x #$ / 6) v * = v #$ / 6) = 3v / P.M. fysios Στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου έχει δεθεί µικρό σφαιρίδιο µάζας m, ενώ στο άλλο του άκρο έχει στερεωθεί καρφί που
διευθύνεται κατά τον άξονα του ελατηρίου. Tο σύστηµα κρατείται ακί νητο µε τον άξονα του ελατηρίου κατακόρυφο και το καρφί κάτω από το σφαιρίδιο. Κάποια στιγµή το σύστηµα αφήνεται ελέυθερο και µετά από κατακόρυφη διαδροµή h το καρφί συναντά το οριζόντιο έδαφος, όπου εισχωρεί και σταµατά ακαριαία. i) Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του σφαιριδίου µε αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή που το καρφί συναντά το έδαφος και µε θετική φο ρά στην κατακόρυφη διεύθυνση την προς τα κάτω. ii) Nά βρεθεί η δυναµική ενέργεια ελαστικής παραµόρφωσης του ελα τηρίου την χρονική στιγµή t=t/, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσής του. Το ελατήριο θα θεωρήθει ιδανικό µε σταθερά =mg/h, όπου g η επι τάχυνση της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Το σφαιρίδιο αµέσως µετά την ακινητοποίση του καρφιού εκτελεί κατακόρυφη α.α.τ. µε κέντρο ταλάντωσης την θέση ισορροπίας Ο του σφαιριδί ου, στην οποία το ελατήριο είναι τεντωµένο από την φυσική του κατάσταση κατά x * =mg/, η δε γωνιακή του συχνότητα είναι = /m. Έαν x είναι η αποµάκρυνση του σφαιριδίου ως προς το Ο την τυχαία χρονική στιγµή t και v η αντίστοιχη ταχύτητά του, τότε για τις αλγεβρικές τιµές των δύο διανυσµά των θα ισχύουν οι σχέσεις: x = x µt + #) v = x $t + #)) 1) Σχήµα όπου x, φ σταθερές ποσότητες που πρέπει να προσδιοριστουν. Όµως την χρο νική στιγµή t= είναι x=x * =-mg/ και v=v * = gh, οπότε oι σχέσεις 1) δίνουν: -mg/ = x µ gh = x #$ ) -mg/ = x µ gh = x /m#$ -mgh/mg = x µ gh = x mg/hm#$ -h/ = x µ h = x #$ ) Τετραγωνίζοντας τις σχέσεις ) και προσθέτοντας κατά µέλη παίρνουµε:
h /4 = x µ h = x #$ + ) h /4 + h = x x = 5h / 3) Mε βάση την 3) η πρώτη εκ των ) δίνει: - h = 5h µ µ = - 1 5 = - 5 5 = #$µ - 5 5 ) + 4) * Η ζητούµενη εξίσωση κίνησης του σφαιριδίου είναι: x = 5h µ # $ m t + x = 5h µ # g $ h t + 5) όπου η γωνία φ καθορίζεται από την 4) και από την π<φ<+π. ii) Eάν U ελ είναι η δυναµική ενέργεια ελαστικής παραµόρφωσης του ελατηρίου την χρονική στιγµή t, θα ισχύει: U = # $ mg + x = mg h # mgh $ mg + x U = mg h # h $ + x 5) U = mgh 4 + - 1 + 5#µ,- g h t + $. * ) / t= T/ U = mgh 4 [ 1 + 5#µ $ + )] U = mgh 4 1-5#µ$ ) U = mgh 4 # 1 + 5 5 $ 5 U = mgh 6) P.M. fysios Ένα µικρό δοκάρι µάζας M, εκτελεί αρµονική τα λάντωση πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, µε την βοήθεια ενός οριζόν τιου ελατηρίου, σταθεράς, του οποίου το ένα άκρο είναι ακλόνητο, ενώ το άλλο άκρο του έχει στερεωθεί στο δοκάρι. Πάνω στο δοκάρι έχει τοποθετηθεί µικρό σώµα, το οποίο παρουσιάζει µε το δοκάρι συντελεστή στατικής τριβής n. i) Nα βρεθεί η ελάχιστη τιµή της µάζας του σώµατος, ώστε αυτό να µη ολισθαίνει ως προς το δοκάρι, δηλαδή να παρακολουθεί την ταλάν τωσή του, αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι x.
ii) Για την ελάχιστη αυτή τιµή της µάζας του σώµατος, να βρείτε το έργο της στατικής τριβής, όταν το δοκάρι µετατοπίζεται από το ένα άκρο της ταλάντωσης του προς το κέντρο αυτής. Δίνεται η επιτάχυν ση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Mε την προϋπόθεση ότι το σώµα δεν ολισθαίνει σε σχέση µε το δοκάρι, τότε εκτελεί ως προς το ακίνητο έδαφος οριζόντια αρµονική ταλάν τωση, µε περίοδο ίση προς την περίοδο ταλάντωσης T του συστήµατος δοκάρισώµα, η οποία δίνεται από την σχέση: T = 1) όπου m η µάζα του σώµατος. Eξετάζοντας το σώµα κατά µια τυχαία χρονική στιγµή, που η αποµάκρυνσή του σε σχέση µε την θέση ισορροπίας του O είναι x παρατήρουµε ότι, αυτό δέχεται το βάρος του w και την πλάγια δύναµη F από το δοκάρι, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T, η οποία αποτελεί την δύναµη επαναφοράς του σώµατος στην θέση Σχήµα 3 ισορροπίας του O. Έτσι για το µέτρο της T θα ισχύει η σχέση: T = m x = m# / T) x = m4# / T ) x ) Στις ακραίες θέσεις ταλάντωσης του σώµατος, όπου ισχύει x =x το µέτρο της στατικής τριβής παίρνει την µέγιστη τιµή του: T max = 4 1) mx T T max = mx 3) Για να µη ολισθαίνει όµως το σώµα πάνω στο δοκάρι καθώς αυτό ταλαντεύεται πάνω στο οριζόντιο έδαφος, πρέπει η T max να µη υπερβαίνει την οριακή τριβή, δηλαδή πρέπει να ισχύει: 3) T max nn mx nmg x ng
m x ng - M m min= x ng - M 4) όπου m min η ζητούµενη ελάχιστη µάζα του σώµατος. Eίναι προφανές ότι, για να είναι αποδεκτή η µάζα αυτή πρέπει Kx /ng>m. ii) Eφαρµόζοντας για το σώµα το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου, όταν αυτό µετατοπίζεται από το ένα άκρο A 1 της ταλάντωσής του προς το κέντρο O αυτής, παίρνουµε την σχέση: K O) - K = A 1 ) W T mv - = W T m v min = W T 5) όπου v το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος, όταν αυτό διέρχεται από το κέν τρο της ταλάντωσής του και W T r το ζητούµενo έργο Όµως ισχύουν και οι σχέ σεις: m min = x /ng - M # v = x = x /) $ οπότε η σχέση 5) γράφεται: W T = x x $ ) # ng - M P.M. fysios Δίσκος µάζας m συγκρατείται οριζόντιος µε την βο ήθεια δύο όµοιων ιδανικών ελατηρίων, όπως φαίνεται στο σχήµα 4). Tο κατακόρυφο νήµα που είναι δεµένο στο κέντρο του δίσκου και στο οριζόντιο έδα φος αναγκάζει τα δύο ελατήρια να είναι τεντωµένα από την φυσική τους κατάσταση κατά α. Kάποια στιγµή κόβουµε το νήµα και ταυτόχρονα ωθούµε απότοµα τον δίσκο στο κέντρο του, δίνοντάς του κατακόρυφη ταχύτητα προς τα πάνω, µέτρου v. i) Εάν η σταθερά των δύο ελατηρίων είναι =mg/α, όπου g η επιτάχυ νση της βαρύτητας, να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του δίσκου. ii) Nα βρείτε την εξίσωση κίνησης του δίσκου λάµβάνοντας ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή που σπάει το νήµα και ως θετική φο ρά την προς τα πάνω. ΛΥΣΗ: i) Πριν κοπεί το νήµα ο δίσκος ισορροπεί υπό την επίδραση του βά ρους του m g, της τάσεως Q του νήµατος και των δυνάµεων F από τα δύο τεν τωµένα ελατήρια. Λόγω της ισορροπίας του δίσκου θα ισχύει η σχέση: F = mg + Q = mg + Q 1) Εάν δεν υπήρχε το νήµα ο δίσκος θα ισορροπούσε σε υψηλότερη θέση Ο που
απέχει της προηγούµενης κατά x * =Q/, οπότε η 1) γράφεται: = mg + x * x * = - mg/ x * = - mg/mg = / ) Σχήµα 4 Όταν κοπεί το νήµα και δοθεί στον δίσκο κατακόρυφη ταχύτητα v, αυτός θα εκτελεί κατακόρυφη α.α.τ. περί την θέση Ο µε σταθερά ταλάντωσης και σύµ φωνα µε το θεωρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας θα ισχύει: mv + x * = x ) 3mg 4 + 4 = x 3mg 4 + mg 4 = mgx 3 4 + 4 = x = x x = 3) όπου x το ζητούµενο πλάτος ταλάντωσης του δίσκου. ii) H εξίσωση κίνησης του δίσκου έχει την µορφή: x = x µ t + #) = $µt + #) 4) όπου ω η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης ίση µε /m ή g/ και φ σταθερή ποσότητα που θα προσδιορισθεί από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του δίσκου. Εξάλλου η εξίσωση της ταχύτητας του δίσκου έχει την µορφή: v = x #$t + ) = #$t + ) 5) Oι σχέσεις 4) και 5) για t= δίνουν: -x * = µ# v = $# ) * - / = µ# v = $# ) * µ = -1/ #$ > = -/6
οπότε η ζητούµενη εξίσωση κίνησης του δίσκου θα έχει την µορφή: $ x = µ#t - $ / 6) x = µ g t - # 6 ) P.M. fysios Mικρό σώµα µάζας m 1, µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω σε λείο δοκάρι µάζας m, όπως φαίνεται στο σχήµα 5). Tο δοκάρι βρίσκεται πάνω σε τραχύ οριζόντιο έδαφος, µε το οποίο πα ρουσιάζει συντελεστή στατικής τριβής µ. i) Nα βρεθεί το µέγιστο επιτρεπόµενο πλάτος ταλάντωσης του σώµα τος πάνω στο δοκάρι, ώστε αυτό να µη ολισθαίνει στο έδαφος. ii) Eάν το ελατήριο συµπιεστεί από την φυσική του κατάσταση κατά διπλάσιο µήκος από το µέγιστο πλάτος που υπολογίστηκε προηγού µενα και στην συνέχεια το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο, να βρείτε τον λόγο των επιταχύνσεων εκκίνησης του σώµατος και του δοκαριού. Δί νεται η σταθερά του ελατηρίου, το οποίο θεωρείται µε αµελητέα µάζα ιδανικό ελατήριο) και η επιάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι κατά την ταλάντωση του σώµατος πάνω στο δοκάρι αυτό δεν ολισθαίνει επί του οριζόντιου έδάφους. Εξετάζοντας το σώµα κάποια στιγµή που το ελατήριο είναι τεντωµένο παρατηρούµε ότι δέχεται από το ελα τήριο δύναµη F που κατευθύνεται προς την θέση ισορροπίας του Ο. Την ίδια στιγµή το ελατήριο θα εξασκεί στο δοκάρι δύναµη F, η οποία σύµφωνα µε το τριτο αξίωµα του Νευτωνα και σε συνδυασµό µε το ότι το ελατήριο θεωρείται ιδανικό, είναι αντίθετη της F. Το δοκάρι δέχεται ακόµη το βάρος του m g, την δύναµη επαφής από το έδαφος που αναλύεται στην στατική τριβή T και Σχήµα 5 στην κάθετη αντίδραση N και τέλος την δύναµη επαφής από το σώµα, ίση προς το βάρος του m 1g. Επειδή η τριβή είναι στατική θα ισχύει: T µn 1) Όµως λόγω της ισορροπίας του δοκαριού θα έχουµε τις σχέσεις:
T = F = F # $ N = m 1 + m )g T = x N = m 1 + m )g # όπου x η αποµάκρυνσή του σώµατος από την θέση ισορροπίας του Ο. Συνδυά ζοντας τις σχέσεις 1) και ) παίρνουµε: x µm 1 + m )g x µm 1 + m )g/ 3) Η 3) πρέπει να ισχύει και όταν το x είναι ίσο µε το πλάτος ταλάντωσης x του σώµατος, οπότε θα έχουµε: x µm 1 + m )g/ x max) = µ m 1 + m )g/ 4) όπου x max) το ζητούµενο µέγιστο πλάτος ταλάντωσης του σώµατος. max) ii) Όταν το ελατήριο συµπιεστεί κατα x και το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο, τότε το δοκάρι θα ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο έδαφος και το σώµα θα ολισθαί νει πάνω στο δοκάρι. Εάν a 1, a είναι οι επιταχύνσεις σώµατος και δοκαριού αντιστοίχως στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους, κατά την χρονική στιγµή t= της εκκίνησής τους, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε τις σχέσεις: ) F = m 1 a 1 # $ F - T = m a x max) = m 1 a 1 x max) - µn = m a # 4) µm 1 + m )g = m 1 a 1 µ m 1 + m )g - µm 1 + m )g = m a # µ m 1 + m )g = m 1 a 1 µ m 1 + m )g = m a # :) = m 1a 1 m a a 1 a = m m 1 P.M. fysios Τα σώµατα Σ 1 και Σ του σχήµατος 6) έχουν µάζες m 1 και m αντιστοίχως το δε ελατήριο είναι ιδανικό µε φυσικό µήκος L και στις άκρες του είναι στερεωµένα τα σώµατα Σ 1 και Σ. Μετα κινούµε τα σώµατα οριζοντίως πάνω στο λείο επίπεδο, ώστε το ελατή ριο να συµπιεστεί κατα α και αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο. i) Να δείξετε ότι τα σώµατα θα εκτελέσουν γραµµική αρµονική ταλάν τωση της ίδιας γωνιακής συχνότητας, της οποίας να υπολογίσετε την τιµή. ii) Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την απόσταση των δύο σωµάτων και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. Δίνεται η σταθερά του ελατηρίου, που θεωρείται αντιστρό φως ανάλογη του φυσικού του µήκους.
ΛΥΣΗ: i) Το σύστηµα σώµατα-ελατήριο είναι µηχανικά µονωµένο µε το περιβάλλον του διότι δεν υπάρχουν τριβές, ενώ τα βάρη των σωµάτων αναιρούν ται από τις κατακόρυφες αντιδράσεις του λείου οριζοντίου επιπέδου. Εποµένως κατά την κίνηση των σωµάτων η ορµή του συστήµατος παραµένει σταθερή, δηλαδή κάθε στιγµή είναι µηδενική. Σχήµα 6 Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας C του συστήµατος είναι ακίνητο στο σύστη µα αναφοράς του εδάφους. Μπορούµε λοιπόν να ισχυριστούµε ότι τα σώµατα κινούνται αυτοτελώς, επηρεαζόµενα από δύο οριζόντια ελατήρια στερεωµένα στο ακίνητο σηµείο C, που σηµαίνει ότι αν εκτραπούν από τις θέσεις ισορροπίας τους θα εκτελέσουν α.α.τ.. Εάν 1, είναι οι σταθερές των ελατηρίων που αντιστοιχούν στα σώµατα Σ 1 και Σ θα ισχύουν οι σχέσεις: = b / L, 1 = b / L 1, = b / L όπου b σταθερή ποσότητα χαρακτηριστική του υλικού του ελατηρίου και της γεωµετρίας των σπειρών του και L 1, L τα φυσικά µήκη των ελατηρίων. Από τις τρεις παραπάνω σχέσεις προκύπτει: L = 1 L 1 = L 1) Όµως για το κέντρο µάζας C ισχύει η σχέση: m 1 L 1 = m L L /L 1 = m 1 /m ) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 1) και ) έχουµε: 1 / = m 1 /m 3) Εάν ω 1, ω είναι οι γωνιακές συχνότητες των ταλαντώσεων των σωµάτων Σ 1 και Σ, θα ισχύουν οι σχέσεις: 1 = 1 /m 1 # = /m $ :) 1 = m 3) 1 m 1 1 = m m 1 m 1 m 1 = Εξάλλου από την σχέση 1) έχουµε:
1 = L = L + L 1 = 1 + L ) $ # L 1 L 1 L 1 1 = 1 + m $ 1 # m 1 = 1 + m $ 1 # = m 1 + m $ # m 1 m 1 m 1 m m 1 = m + m 1 $ # m 1 m 1 = = m 1 + m $ 4) # m 1 m ii) Εάν x 1,, x, είναι οι αρχικές αποµακρύνσεις των σωµάτων Σ 1 και Σ αντιστοί χως από τις θέσεις ισορροπίας τους Ο 1 και Ο, τότε οι αποµακρύνσεις τους x 1, x αλγεβρικές τιµές) κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, θα δίνονται από τις σχέσεις: x 1 x = x 1, #$t = - x, #$t µε = m 1 + m $ 5) # m 1 m H απόσταση st) των δύο σωµάτων την χρονική στιγµή t είναι: 5) st) = L - x 1 + x st) = L - x 1, #$t - x, #$t st) = L - x 1, + x, )#$t 6) Σχήµα 7 Όµως τα δεδοµένα του προβλήµατος επιτρέπουν να γράψουµε την σχέση: x 1, + x, = oπότε η 6) παίρνει την µορφή: st) = L - #$t 7) Η γραφική παράσταση της 7) είναι µια µετατοπισµένη συνηµιτονοειδής καµ πύλη, όπως φαίνεται στο σχήµα 7). P.M. fysios
Ένα σώµα µάζας m είναι δεµένο στο ένα άκρο ορι ζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο σχ. 8) Το σώµα βρίσκεται πάνω σε τραχύ οριζόντιο έδαφος µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ, το δε ελατήριο βρίσκεται στην φυσική του κατάσταση. Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου το σώµα δέχεται απότοµη ώθηση βραχείας διάρκειας που του προσδίνει οριζόντια ταχύτητα v, µε αποτέλεσµα το ελατήριο να συσπειρώνεται και τελικά το σώµα ηρε µεί χωρίς όµως να αλλάξει φορά κίνησης. i) Να δείξετε την σχέση: µ v g 3m όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. ii) Nα βρείτε τον χρόνο κίνησης του σώµατος. ΛΥΣΗ: i) Το σώµα στην διάρκεια της κίνησής του δέχεται το βάρος του w, την δύναµη F από το συµπιεσµένο ελατήριο και την δύναµη επαφής από το έδαφος, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T και στην κάθετη αντίδραση N, που εξουδετερώνει το βάρος. Εφαρµόζοντας για το σύστηµα σώµα-ελατήριο το θεώρηµα µεταβολής της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της θέσεως εκκίνησής του και της τελικής θέσεως ηρεµίας του, παίρνουµε την σχέση: K + U = W T - mv + x - = -Tx - mv + x = -µnx - mv + x = -µmgx x + µmgx - mv = 1) όπου x η µετατόπιση του σώµατος µέχρις ότου σταµατήσει. Η 1) αποτελεί εξί σωση δεύτερου βαθµού ως προς x και έχει αρνητικό γινόµενο ριζών, που σηµαίνει ότι οι ρίζες της είναι πραγµατικές και ετερόσηµες, οπότε δεκτή είναι η θετική ρίζα, δηλαδή θα έχουµε: x = -µmg + µmg) + 4mv = -µmg + µmg) + mv x = -µmg + µmg) + mv ) Όταν το σώµα σταµατήσει το ελατήριο είναι συµπιεσµένο κατά x και το σώµα τείνει να ολισθήσει προς την αρχική του θέση, που σηµαίνει ότι η τριβή από το
έδαφος είναι στατική και εξουδετερώνει την δύναµη από το ελατήριο, δηλαδή ισχύει: ) T = F #$ = x T = -µmg + µmg) + mv 3) Σχήµα 8 Όµως η στατική τριβή ικανοποιεί την σχέση: 3) T # µmg -µmg + µmg) + mv µmg µmg) + mv µmg) v 3mµg) 3m v µg µ v g 3m 4) ii) Eφαρµόζοντας για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα σε µια τυχαία θέση, στην οποία η αποµάκρυνσή του από την αρχική του θέση Ο είναι x, παίρνουµε την σχέση: Fx) = -F # - T = -x - µmg Fx) = - x + µmg $ 5) # Σχήµα 9 Aλλάζοντας µεταβλητή µέσω του µετασχηµατισµού y=x+µmg/, η 5) παίρνει την µορφή: µε Fy) = -y 6) µmg y x + µmg Η 6) παρουσιάζει τυπική οµοιότητα µε την εξίσωση που περιγράφει την κίνη ση του απλού αρµονικού ταλαντωτή, όµως στο σηµείο αυτό πρέπει να αποσα φηνήσουµε τα εξής:
Α) To σύστηµα σώµα-ελατήριο δεν αποτελεί απλό αρµονικό ταλαντωτή, αφού η συνισταµένη δύναµη ΣFy) που δέχεται το σώµα είναι µη συντηρητική δύνα µη, λόγω της τριβής ολίσθησης που εµπλέκεται σ αυτήν. Αυτό σηµαίνει ότι δεν µπορούµε να αποδόσουµε στο σύστηµα κάποια µορφή δυναµικής ενέργειας, όπως συµβαίνει στην περίπτωση του απλού αρµονικού ταλαντωτή. Β) Κατά την κίνηση του σώµατος τα κινηµατικά του στοιχεία µετατόπιση, τα χύτητα, επιτάχυνση) µεταβάλλονται σε συνάρτηση µε τον χρόνο µε τον ίδιο τρό πο που µεταβάλλονται τα αντίστοιχα στοιχεία του απλού αρµονικού ταλαντω τή και εγγύηση αυτού αποτελεί η µορφή της κοινής εξίσωσης κίνησης που απορρέει από τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα. Αυτό σηµαίνει ότι η µετατόπιση y και η ταχύτητα v του σώµατος µέχρις ότου αυτό σταµατήσει µεταβάλλονται αρµονικά µε τον χρόνο t, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις: y = Aµ t + #) v = A$t + #)) µε = /m 7) όπου Α, φ σταθερές ποσότητες που απαιτούν προσδιορισµό. Για t= έχουµε x=, δηλαδή y=µmg/ και v=, οπότε oι σχέσεις 7) δίνουν: µmg / = Aµ v = A#$ ) :) µmg = # v $ # = µg v $ 8) Eάν t * είναι ο ζητούµενος χρόνος κίνησης του σώµατος µέχρις ότου σταµατή σει, η δεύτερη εκ των 7) για t=t * δίνει: = A#$t * + ) #$t * + ) = 8) t * + = #/ t * = / - # #t * )= $ #t * )= v # µg t * = #$ v * ), t µg * = 1 + #$ v * ), 9) µg + P.M. fysios