Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί Ενότητας Στόχος της 4ης Ενότητας είναι η εξοικείωση του φοιτητή με την έννοια του ελέγχου υποθέσεων. Κατανόηση της έννοιας των σφαλμάτων και δυνατότητα εφαρμογών. 4

Περιεχόμενα Ενότητας Εισαγωγή Διαδικασία ελέγχου στατιστικών υποθέσεων Σφάλματα ελέγχων Περιοχές Απόρριψης-Αποδοχής Δίπλευροι και Μονόπλευροι έλεγχοι Βήματα Στατιστικού ελέγχου Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις 5

Εκτιμητική : Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων Παραδείγματα Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων Μέθοδοι συλλογής και επεξεργασίας παρατη-ρήσεων με βασικό στόχο την εκτίμηση άγνωστων παραμέτρων του πληθυσμού : Μέθοδοι στατιστικής αξιοποιήσεως παρατηρήσεων με στόχο λήψη απόφασης κατά πόσο μια προκαθορισμένη τιμή (ή πεδίο τιμών) μιας παραμέτρου του πληθυσμού είναι αποδεκτή ή όχι Έστω ότι το μέσο ετήσιο εισόδημα σε συγκεκριμένη πόλη υπολογίστηκε σε 4.5. δρχ. για κάποιο έτος. Τρία χρόνια αργότερα, θέλουμε να διαπιστώσουμε αν μ 4.5. εξακο-λουθεί να ισχύει ή όχι Η χρήση κάποιου φαρμάκου παρουσιάζει τα πρώτα θετικά αποτελέσματα κατά μέσο όρο μετά από ημέρες. Για ένα νέο φάρμακο η κατασκευάστρια εταιρία ισχυρίζεται ότι τα αποτελέσματα έρχονται σημαντικά πιο γρήγορα. Εδώ θέλουμε να ελέγξουμε, αν ο χρόνος είναι μικρότερος του ή όχι. 6

Μηδενική υπόθεση Κατά την παράδοση μιας παρτίδας προϊόντων ο προμηθευτής δηλώνει ότι η αναλογία των ελαττωματικών δεν υπερβαίνει το,. Προφανώς εδώ ο αγοραστής ενδιαφέρεται αν ισχύει ότι : p, Γενικά ισχύει ότι για να ελέγξουμε μια υπόθεση, την οποία συνήθως ονομάζουμε μηδενική υπόθεση (null hypothesis) και συμβολίζουμε με H o, απαιτείται και μία εναλλακτική υπόθεση (alternative hypothesis) σε αντιπαράθεση προς την οποίαν ελέγχεται η H, και η οποία συμβολίζεται με H. Προφανώς η H και η H είναι συμπληρωματικές. Αποδοχή της Ho Απόρριψη της H Απόρριψη της Ho Αποδοχή της H! 7

Δίπλευρος και μονόπλευρος έλεγχος Για τα παραπάνω παραδείγματα έχουμε : Η Η : µ 4.5. : µ 4.5. Δίπλευρος έλεγχος Η : µ Η : µ < Μονόπλευρος έλεγχος Η : p. Η : p >. 8

Διαδικασία ελέγχου μιας στατιστικής υπόθεσης Συλλογιστική : Έστω Η : ϑ ϑ η μηδενική υπόθεση υπό εξέταση, όπου ϑ η τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού που αποτελεί την μηδενική υπόθεση και ϑˆ η εκτίμηση που έδωσε το δείγμα για τη ϑˆ ϑ Αν η διαφορά μπορεί να αποδοθεί στις τυχαίες διακυμάνσεις της δειγματοληψίας, τότε η μηδενική υπόθεση γίνεται αποδεκτή. Άλλως, δηλ. Η ϑ Παράδειγμα αν η διαφορά είναι στατιστικά σημαντική, η Η απορρίπτεται και κατά συνέπεια γίνεται αποδεκτή η Η. Κατά την παράδοση μιας παρτίδας προϊόντων ο προμηθευτής δηλώνει ότι η αναλογία των ελαττωματικών δεν είναι μεγαλύτερη από,. Ο αγοραστής επιλέγει τυχαίο δείγμα προϊόντων. Η : p Η : p >,, Μονόπλευρος έλεγχος 9

Παράδειγμα Γνωρίζουμε ότι για μεγάλα δείγματα ισχύει p ( p ) pˆ ~ Ν p, n δειγματική αμερόληπτη εκτιμήτρια της αναλογίας p του αναλογία πληθυσμού Προφανώς, ακόμα και αν pˆ >, p, μπορεί να παρατηρήσουμε τιμές Όμως, ενώ τιμή pˆ, μπορεί με μεγάλη πιθανότητα να αποδοθεί σε τυχαίες διακυμάνσεις της δειγματοληψίας, μια τιμή π.χ. pˆ,85 αποτελεί ισχυρή ένδειξη για την απόρ-ριψη της Η Πρόβλημα : από ποια τιμή της pˆ και πέρα, θα θεωρούμε ότι το δείγμα δεν συνηγορεί υπέρ του ισχυρισμού του προμηθευτή απόρριψη Η

Έστω, ότι p, : Συνέχεια παραδείγματος pˆ ~ Ν,,,,8,4 σ pˆ Από την σχέση της πυκνότητας της κανονικής κατανομής : f ( pˆ ) σ pˆ π e ( p pˆ ) σ pˆ 9,97 e 3,5 (, pˆ )

Κατανομή pˆ f ( pˆ ),35, 88,3,44,5 4,56, 9,97,5 4,56,,44,5,88 Ρ ( pˆ,3 ) Ρ ( pˆ,3 ) Ρ Z ( Z,5 ), 6 P,3,,4,9938

pˆ p Σφάλμα τύπου Ι Δοθέντος ότι p >,, δηλ. ότι ισχύει η Η, η πιθανότητα να παρατηρήσουμε pˆ,3 είναι, 6 Με σχετικά μεγάλη ασφάλεια μπορούμε να απορρίψουμε την Η, δεδομένου ότι η πιθανότητα η μεγάλη διαφορά, να οφείλεται σε τυχαίες διακυμάνσεις της δειγματοληψίας είναι ιδιαίτερα μικρή, εδώ,6 Υιοθετώντας το κριτήριο αυτό, δηλ. να απορρίπτουμε την Η αν pˆ,3, προφανώς μπορεί να απορρίψουμε την Η εσφαλμένα, με πιθανότητα,6 Το σφάλμα αυτό καλείται : Σφάλμα τύπου Ι Η πιθανότητα του σφάλματος τύπου Ι καλείται επίπεδο σημαντικότητας (level of significance) του ελέγχου και συμβολίζεται με α 3

Επίπεδο σημαντικότητας P ( απόρριψη της Η Η ορθή ) α Σφάλμα τύπου Ι επίπεδο σημαντικότητας Το κριτήριο ελέγχου : Απόρριψη της Η αν pˆ C κρίσιμη τιμή ελέγχου διαιρεί το δειγματικό χώρο ( το πεδίο τιμών της pˆ ) σε δύο ξένα υποσύνολα κατά τρόπο ώστε : αν pˆ C: δεχόμαστε την Η αν pˆ > C: απορρίπτουμε την Η 4

f ( pˆ ) Σφάλμα τύπου ΙΙ α : επίπεδο σημαντικότητας p C pˆ Διαφορετικά C οδηγούν σε διαφορετικά α περιοχή αποδοχής περιοχή απόρριψης Επίσης υιοθετώντας το κριτήριο αυτό, μπορεί να αποδεχθούμε την Η, παρόλο που είναι λάθος. Το σφάλμα αυτό καλείται : Σφάλμα τύπου ΙΙ Η πιθανότητα σφάλματος τύπου ΙΙ, δηλ. Ρ ( αποδοχή της Η Η εσφαλμένη ) β συμβολίζεται με β 5

Η πιθανότητα β, εξαρτάται από την πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού που ελέγχεται, στην προκειμένη περίπτωση από το p. Αν για παράδειγμα p, 3, έχουμε : pˆ ~ Παράδειγμα τύπου ΙΙ Ν,3 ;,3,7 Ν (,3 ;, ) Δεδομένου ότι p, 3 συνεπάγεται την μη ορθότητα της Η, αποδοχή της Η αποτελεί τώρα σφάλμα τύπου ΙΙ. Σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, έχουμε : β Ρ ( αποδοχή της Η Η εσφαλμένη ) Ρ ( pˆ C p ) Ρ ( pˆ,3 p,3 ) Ρ pˆ p ( p ) n p,3,3,3,7 Ρ ( Ζ ), 5 Ζ 6

Συνέχεια παραδείγματος τύπου ΙΙ Αν p, 5, ανάλογα :,3,5 β Ρ Ζ,5,75 Ρ ( Ζ,5 ), 87 Αν p, 35, ανάλογα : β Ρ Ζ,3,35,35,65 Ρ ( Ζ,4 ), 5 7

Περιοχή αποδοχής απόρριψης περιοχή αποδοχής C,3 περιοχή απόρριψης 8

Αποτελέσματα και τύποι σφαλμάτων ελέγχων υποθέσεων Υ π ό θ ε σ η Α π ό φ α σ η Ηο ορθή Ηο εσφαλμένη Α π ο δ ο χ ή Ηο Ορθή απόφαση πιθανότητα : α Εσφαλμένη απόφαση Σφάλμα τύπου ΙΙ πιθανότητα : β Α π ό ρ ρ ι ψ η Ηο Εσφαλμένη απόφαση Σφάλμα τύπου Ι πιθανότητα : α Ορθή απόφαση πιθανότητα : β 9

Κριτήρια και περιοχές αποδοχής / απόρριψης για δίπλευρους και μονόπλευρους ελέγχους Δίπλευροι έλεγχοι Χρησιμοποιούνται όταν ενδιαφέρουν αποκλίσεις και προς τις δύο κατευθύνσεις, π.χ. Έλεγχοι α λ λ α γ ώ ν παραμέτρων ποιοτικός έλεγχος διαστάσεων προϊόντων Οι υποθέσεις Η και Η εξειδικεύονται ως εξής : Η Η : : ϑ ϑ ϑ ϑ

Χρησιμοποιούνται όταν ενδιαφέρουν αποκλίσεις μόνον προς μια κατεύθυνση, π.χ. έλεγχος μέσης διάρκειας ζωής μηχανήματος, έλεγχοι αντοχής υλικού, ποσοστά ελαττωματικών. Οι υποθέσεις Η και Η εξειδικεύονται ως εξής : Η : ϑ ϑ ( ) ϑ Η : ϑ < ϑ Μονόπλευροι έλεγχοι ϑ f ϑˆ ή Η : ϑ ϑ ( ) ϑ ϑ Η : ϑ > ϑ f ϑˆ α α α α C Απόρριψη Αποδοχή Αποδοχή H H H Απόρριψη αν : Απόρριψη αν : ϑˆ C ϑ κ α σ Θˆ ϑˆ ˆ ϑ C ϑ + κ α σ Θˆ C ϑˆ Απόρριψη H

Βήματα ενός στατιστικού ελέγχου υποθέσεων σημείο αναφοράς στατιστικός πληθυσμός με συνάρτηση πυκνότητας f ( x, ϑ) παράμετρος πληθυσμού, αντικείμενο του ελέγχου και τυχαίο δείγμα τάξης n Ανάλογα με το πρόβλημα εξειδικεύουμε τις Η και Η, ώστε να διαμερίζουν το σύνολο των δυνατών τιμών της σε δύο ξένα υποσύνολολα ϑ Αποδοχή της Η Απόρριψη Η Η Η : ϑ : ϑ ϑ ϑ ή Η Η : ϑ : ϑ < ϑ ϑ ή Η Η : ϑ : ϑ > ϑ ϑ Έλεγχος ως προς την ισότητα, δηλ. για μορφή Η : ϑ ϑ!

Κριτήριο απόρριψης Ορίζουμε κριτήριο απόρριψης της Η. Για τον σκοπό αυτό : καθορίζεται το στατιστικό ϑˆ του ελέγχου, π.χ. δειγματικός μέσος ϑˆ ˆ x ( ) ( ) δειγματική διασπορά δειγματική αναλογία ˆ ϑ ( ϑˆ S pˆ ) δειγματικές διαφορές ή αθροίσματα ( πληθυσμοί ) επίπεδο σημαντικότητας α του ελέγχου. Οι τιμές (τιμή) του στατιστικού του ελέγχου που αντιστοιχούν στο εκάστοτε επίπεδο εμπιστοσύνης, καλούνται κρίσιμες τιμές και συμβολίζονται με C (critical values). Οι κρίσιμες τιμές προσδιορίζουν τις περιοχές απόρριψης και αποδοχής της Η. 3

Επίπεδο σημαντικότητας α : επίπεδο σημαντικότητας α α f ( ϑ ˆ ) ϑ ˆ α Απόρριψη Η C ϑ Αποδοχή Η C ϑˆ Απόρριψη Η Κριτήριο : ϑˆ ϑˆ C C ϑ ϑ + κ κ α α σ σ Θˆ Θˆ Απόρριψη Η 4

Παράδειγμα Παίρνουμε την απόφαση ως εξής : Δεχόμαστε την Η, αν το δείγμα δίνει τιμή περιοχή αποδοχής Απορρίπτουμε την Η, αν το δείγμα οδηγεί σε τιμή ϑˆ από την περιοχή απόρριψης Παράδειγμα ϑˆ από την Διαφημιστική εταιρία ενδιαφέρεται για το ποσοστό (αναλογία) νέων κάτω των 8 ετών που παρακολουθεί τις εκπομπές της. Να ελεγχθεί σε επίπεδο σημαντικότητας,5 (α,5) η υπόθεση, ότι το ποσοστό είναι p,5, αν σε τυχαίο δείγμα 5 τηλεθεατών, οι 8 είναι κάτω των 8. Δίπλευρος έλεγχος, δεδομένου ότι ενδιαφέρουν αποκλίσεις από το p,5 προς κάθε κατεύθυνση Η : p,5 Η : p,5 ˆ ϑ ˆ ϑ 5

Ως στατιστικό Γνωρίζουμε ότι : Άρα : Δειγματική αναλογία ϑˆ ορίζεται εδώ η δειγματική αναλογία p n ( p ) ~ Ν p, p ( p ) p,5 p ˆ ~ Ν p ; Ν,5 ; Ν 5 n εφόσον ο πληθυσμός έχει p,5! n αναλογία πληθυσμού (,5 ;, ) pˆ f ( pˆ ) α α α C C pˆ Περιοχή αποδοχής [ C, C ] : 6

Η Ο αποδεκτή C,96 ϑ κ σ ˆ,5 κ Θ, 5, α, 436 C,5,96, +,56 Περιοχή αποδοχής : [,436 ;,56 ] Δεδομένου ότι η παρατηρηθείσα δειγματική αναλογία 8 pˆ 5, 47 Η αποδεκτή εντός περιοχής αποδοχής 7

Πιθανότητα σφάλματος Ποια η πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι ; α Ρ ( Απόρριψη ορθή ),5 Η Η πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι ˆ επίπεδο σημαντικότητας Να υπολογιστεί η πιθανότητα σφάλματος τύπου ΙΙ του παραπάνω ελέγχου, όταν το πραγματικό ποσοστό του πληθυσμού είναι :,4 ;,45 ;,5 ;,55 ;,6 ; β Ρ ( Αποδοχή Η Η εσφαλμένη ) ( C p C,5 ) ˆ Ρ p, 436, 56 (, 438 pˆ,56, 4 ) p,4 β Ρ p Τώρα, η δειγματική αναλογία pˆ είναι κατανεμημένη κατά :, 4,6 Ν, 4 ; 5 4 9,6 8

Ζ τυποποιημένη (, 438 pˆ,56 p, ) β Ρ 4 Ρ,438,4 9,6 Ζ,56,4 9,6 4 4 τυποποιημένη pˆ (,3 Ζ 5,3 ) φ ( 5, 3 ) (, 3 ), Ρ φ, 89 Λόγω συμμετρίας, ίδιο αποτέλεσμα για p,6 9

Υπολογισμός p p (, 438 pˆ,56,45 ), 45 β Ρ p Τώρα : ˆp ~ Ν, 45 ;, 45,55 5 9,9 4 β Ρ, 438 9, 9, 45 Ζ, 56, 45 9, 4 4 9 3

(,38 Ζ 3,5 ) φ ( 3,5 ) (,38 ) +,65, 65 Ρ φ φ (,38 ) Λόγω συμμετρίας, ίδιο αποτέλεσμα και για p, 55 p ή p C C Υπολογισμός β p C β,65 p C,4, 5, 6 pˆ C,438 C, 56 και στις δύο περιπτώσεις : β, 5 3

Το λάθος τύπου ΙΙ p,5 β, δεδομένου ότι στην περίπτωση αυτή, η Η είναι ορθή Όμως, για τιμές του p «πολύ κοντά» στο, 5 έχουμε : β Ρ (,438 pˆ,56 p,5 ) α, 95 Το λάθος τύπου ΙΙ για τιμές του πληθυσμού «πολύ κοντά» στην μηδενική υπόθεση είναι μεγάλο και ίσο με - α Μείωση του α Αύξηση του β ( Σφάλμα τύπου Ι ) ( Σφάλμα τύπου ΙΙ ) 3

Συμμετρία β Δύναμη ελέγχου α,75 Συμμετρία,65,5 για p C ή p C β ~,5,5 β, α,95,3, 4 C, 5, 6, 7 C 33

Να υπολογιστεί η πιθανότητα σφάλματος τύπου ΙΙ για τιμές µ : 3, 35, 37, 35, 3, 35 μέση αντοχή της νέας μεθόδου Έχουμε : Πιθανότητα σφάλματος δηλ. µ > 3 β Ρ ( Αποδοχή της Ηο Ηο εσφαλμένη )! µ 3 P 37 µ 3 ( Χ < 37 µ > 3 ) P Ζ < C β α α 3 C 37 3 Για μ 3, το β προφανώς δεν ορίζεται. Για μ όμως του > 3, αλλά πολύ κοντά στο 3, έχουμε : µ β α,99 34

Υπολογιστικά β Ρ Ζ < 37 3 3 Ρ ( Ζ <,33 ), 99 β,5 µ 37 C 3 C 37 3 µ µ 3 β β P Ζ < 37 3 3 3 37 3 Ρ Ζ < 4,3 ( ) 3 µ 35

Εύκολα υπολογίζουμε :,8,6,4, Λειτουργική καμπύλη µ : 3 35 37 35 3 35 β :,99,75,5,4 κ α α β β Χαρακτηριστική λειτουργική καμπύλη 8 9 3 3 3 33 C 37 µ Ηο ορθή Ηο εσφαλμένη 36

Η μέση αντοχή καλωδίου είναι μ 3, η δε τυπική του απόκλιση σ 4. Μια νέα μέθοδος κατασκευής έδωσε x 39 στα πλαίσια αξιολόγησης δείγματος τάξης 64. - Παράδειγμα Αυξάνει τη μέση αντοχή η νέα μέθοδος σε επίπεδο σημαντικότητας, Μονόπλευρος έλεγχος, δεδομένου ότι ενδιαφέρει κατεύθυνση ˆ ϑ < Η : µ Η : µ > 3 3 ˆ ϑ μόνο μία Ως στατιστικό ϑˆ ορίζεται προφανώς η δειγματική μέση τιμή :! Αν ισχύει η Χ X n Ν µ, σ 4 ~ Ν 3, n 64 Ν ( 3, 3 ) Η 37

Λύση /3 C ϑ + κ σ ˆ 3 + κ Θ, 3 3,33 α + 3 37 Η παρατηρηθείσα τιμή Η x 39,33 βρίσκεται εντός περιοχής απόρριψης Ναι, η νέα μέθοδος είναι καλύτερη 38

Λύση /3 - β : ισχύς ελέγχου, δύναμη του ελέγχου να απορρίπτει εσφαλμένες Ηο κ : πιθανότητα αποδοχής σωστών Ηο για μ < 3 α : μέγιστο σφάλμα τύπου Ι για μ3. Για μ < 3, το σφάλμα τύπου Ι είναι μικρότερο του α 39

Λύση 3/3 Για μονόπλευρους ελέγχους της μορφής : H : µ > µ υπολογίζεται ανάλογα χαρακτηριστική λειτουργική καμπύλη της μορφής : α : µ < µ H,8 β,6,4 β α κ, C µ µ Η λάθος Η ορθή κ : πιθανότητα αποδοχής σωστών Η για µ > µ 4

Άσκηση 4. Σε τυχαίο δείγμα 5 τσιγάρων ορισμένης μάρκας, υπολογίστηκε μέση περιεκτικότητα νικοτίνης x,3 mgr και τυπική απόκλιση s,8 mgr. Να ελεγχθεί σε επίπεδο σημαντικότητας,3 η υπόθεση, ότι η μέση περιεκτικότητα σε νικοτίνη της μάρκας αυτής είναι, mgr. α α α Δίπλευρος έλεγχος Η : µ, C µ, C z Η : µ, περιοχή αποδοχής 4

α,3 α,5 και, 985 s,8 C µ ± Z α, ± Z,985,75 ;,4 n 5 Η τιμή είναι εκτός περιοχής αποδοχής α [ ] Η Η δεν είναι αποδεκτή κατά πόσον πρέπει να μειωθεί το επίπεδο σημαντικότητας, ώστε Η να γίνει αποδεκτή α x,3,5 Υπολογισμός Η,7 α,5 α? α? C C,75, C, 4 C 4

Διάστημα αποδοχής! Για να γίνει αποδεκτή η Η, πρέπει η τιμή εντός του διαστήματος αποδοχής. x,3 να βρίσκε-ται S,8 C µ + Z, Z,3 α + α n 5 Z α (,3, ) 5,65,8 Πίνακας κανονικής : α,996 α (,996 ), 8 43

Ο κατασκευαστής ενός φαρμάκου ισχυρίζεται, ότι αυτό αντιμετωπίζει κάποια αλλεργία στο 9% των περιπτώσεων. Σε δείγμα ατόμων με την αλλεργία αυτή, το φάρμακο έδρασε σε 6 περιπτώσεις. - είναι σωστός ο ισχυρισμός του κατασκευαστή σε επίπεδο σημαντικότητας, Μ ο ν ό π λ ε υ ρ ο ς α Η : p >,9 Η : p, 9 <, C p,9 απόρριψη Η Η τιμή 6 pˆ,8 Άσκηση 4. έ λ ε γ χ ο ς σωστός ισχυρισμός λάθος ισχυρισμός περιοχή αποδοχής Η c p,9 κ α κ p ( p ) n,9,,,33 βρίσκεται εκτός περιοχής αποδοχής Απόρριψη Η,85 44

Άσκηση 4.3 Μια μηχανή κατασκευάζει ροδέλες με μέσο πάχος,5 cm για εξαρτήματα ακριβείας. Δείγμα από ροδέλες έδωσε : x,53 και S, 3 ( cm ) Να ελεγχθεί η υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας,, ότι η μηχανή λειτουργεί σωστά. Δίπλευρος έλεγχος H H : : µ µ,5,5 : μηχανή λειτουργεί σωστά : μηχανή λειτουργεί λάθος 45

Υπόθεση κανονικής κατανομής! Υπόθεση κανονικής κατανομής πληθυσμού! απαραίτητη για επίλυση προβλήματος Δεδομένου ότι το δείγμα μικρό Κρίσιμες τιμές από Πίνακα Κατανομής Student C,5 ± κ, 995,3 t 9 ;,995 3,5 περιοχή αποδοχής [,469 ;,53 ] x,53 εντός περιοχής αποδοχής Η αποδεκτή, ικανοποιητική λειτουργία μηχανής 46

Σε δύο τμήματα μιας τάξης με 4 και 5 φοιτητές αντίστοιχα, δόθηκαν τα ίδια θέματα στα πλαίσια εξέτασης. Έστω : x 74 s 8 ον τμήμα x 78 s 7 ον τμήμα Είναι σημαντική η διαφορά της απόδοσης των δύο τμημάτων σε επίπεδο σημαντικότητας,5 ; Η Η : : µ µ Άσκηση 4.4 µ µ διαϕορά διαϕορά Έλεγχος διαφοράς μέσων τιμών : µ µ τυχαία σημαντική Η ορϑή, αν µ µ Γνωρίζουμε ότι : ~ Χ Χ Ν µ µ ; σ n + σ m, αν η Η αποδεκτή 47

Περιοχή αποδοχής 8 7 C +, 6 4 5 ± α Θˆ ϑ κ σ µ µ αν Η αποδεκτή κ,5,96 ( κανονική κατανομή ) 48

Το δεύτερο τμήμα περιοχή αποδοχής [ C, C ] [ 3,5 ; 3,5 ] : + Η τιμή αποδοχής. x x 4 που παρατηρήθηκε εκτός διαστήματος Η Η δεν γίνεται αποδεκτή ˆ καλύτερο το δεύτερο τμήμα είναι 49

Άσκηση 4.5 Σε ένα μάθημα απέτυχαν 8 από 4 φοιτητές και σε ένα άλλο 7 από 6. Μπορούμε να πούμε, με επίπεδο σημαντικότητας,5, ότι τα ποσοστά αποτυχίας είναι τα ίδια και στα δύο μαθήματα. Έχουμε : Η H : : p p p p p όπου και p τα πραγματικά ποσοστά αποτυχίας στα δύο μαθήματα. Έλεγχος διαφορών μέσων αναλογιών : p p Η ορθή, αν p p Γνωρίζουμε ότι : pˆ pˆ ~ Ν p p ; n, αν Η ορθή σ n σ + n ( ) p p ( ) p p 5

Απόρριψη Η Ο C ± ± 96 σ Θˆ ϑ ± κ α σ Θˆ κ,975 σ Θˆ, σ Θˆ 8 4 pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) pˆ n,7,84 + m 7 pˆ, 6 C,96 ±,7,93 4,96,84 +,,88 6 Παρατηρήσαμε : pˆ ˆ p,7,,5 που είναι εκτός περιοχής αποδοχής Η Η απορρίπτεται, τα ποσοστά είναι διαφορετικά (α,5) ±,36 5

Άλυτες ασκήσεις 5

Άλυτες ασήσεις 53

Τέλος Ενότητας