Με βάση τα παραπάνω ορίζουμε την αναμενόμενη χρησιμότητα (expected utility) EU(A) μιας επιλογής A ως εξής:

ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΕΠΙΛΟΓΗ Στην παρούσα ενότητα θα ασχοληθούμε με την περιγραφή και ανάλυση των μηχανισμών με τους οποίους κοινωνικές ομάδες μπορούν να επιλέγουν μεταξύ εναλλακτικών προτάσεων. Απόρροια κάθε τέτοιας επιλογής είναι η υιοθέτηση από την ομάδα συμπεριφορών και δράσεων συμβατών με την επιλογή τους. Οι συγκεκριμένοι μηχανισμοί βρίσκουν μεγάλη εφαρμογή σε ένα πλήθος περιπτώσεων κοινωνικής υπολογιστικής που περιλαμβάνουν ηλεκτρονικές ψηφοφορίες ή δημοσκοπήσεις, συστήματα παροχής συστάσεων (recommender systems) κλπ. Πριν ασχοληθούμε με τρόπους λήψης αποφάσεων σε ομάδες θα ασχοληθούμε γενικά με την περιγραφή του προβλήματος της λήψης αποφάσεων. Το Πρόβλημα της Απόφασης Το πρόβλημα της απόφασης (decision problem) ορίζεται ως εξής: Υπάρχουν μια σειρά από επιλογές Α 1, A 2,.., A n ανάμεσα στις οποίες πρέπει να επιλέξουμε μια. Υπάρχει ένα πλήθος Ο 1, Ο 2,.., Ο m από αμοιβαία αποκλειόμενα και εξαντλητικά αποτελέσματα των επιλογών μας δηλαδή οπωσδήποτε ένα και μόνο ένα από αυτά θα συμβεί ως αποτέλεσμα της επιλογής μας και τα Ο i καλύπτουν όλες τις δυνατές επιλογές. Αν επιλέξουμε μια εκ των Α τότε αυτή μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα το Ο j με πιθανότητα P(Ο i ) και χρησιμότητα (utility) U(Ο i ) Με βάση τα παραπάνω ορίζουμε την αναμενόμενη χρησιμότητα (expected utility) EU(A) μιας επιλογής A ως εξής: EU (A k )= P(Οi) U (Οi) για ι=1, 2,..., m (1) Tο πιο διαδεδομένο μοντέλο λήψης αποφάσεων ορίζει ότι θα πρέπει να προτιμήσουμε την επιλογή A k η οποία μεγιστοποιεί την αναμενόμενη χρησιμότητα. Το συγκεκριμένο μοντέλο είναι απόρροια του ορθολογικού μοντέλου συμπεριφοράς. Για να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (1) για την αναμενόμενη χρησιμότητα κάποιας επιλογής σε ένα υπολογιστικό περιβάλλον θα πρέπει να γνωρίζουμε τις πιθανότητες πραγματοποίησης των αποτελεσμάτων κάθε επιλογής. Επιπροσθέτως θα πρέπει να ποσοτικοποιήσουμε τη χρησιμότητα κάθε αποτελέσματος. Ο τρόπος ποσοτικοποίησης που χρησιμοποιείται προκύπτει από μια ακολουθία αξιωμάτων και ένα θεώρημα που έχουν προταθεί από τους von Neumann και Morgenstern και βασίζονται στην έννοια της κλήρωσης (lottery).. Ειδικότερα ορίζουμε ένα σύνολο από βραβεία X={ Α, Β, Γ,... } τα οποία μπορούμε να κερδίσουμε συμμετέχοντας σε μια κλήρωση για καθένα από αυτά. Οι κληρώσεις μπορεί να είναι και μικτές στις οποίες μπορούμε να κερδίσουμε ένα από κάποιο σύνολο βραβείων με διαφορετικές πιθανότητες. Για παράδειγμα, μπορούμε να συμμετάσχουμε σε μια μικτή κλήρωση ApB στην οποία μπορούμε να κερδίσουμε το βραβείο Α με πιθανότητα p και το B με πιθανότητα (1-p) (επομένως ApB=p*A+(1-p)*B). Ανάμεσα σε όλες τις πιθανές κληρώσεις μπορούμε να ορίσουμε σχέσεις προτίμησης ως εξής: Α Β, σημαίνει ότι προτιμούμε να συμμετάσχουμε στην κλήρωση Α από την Β Α ~ Β, σημαίνει ότι είμαστε αδιάφοροι ανάμεσα στις κληρώσεις Α και Β Οι von Neumann και Morgenstern όρισαν τέσσερα αξιώματα τα οποία αναφέρονται στις σχέσεις

προτίμησης σε κληρώσεις. Υποθέτοντας ότι το K είναι ένα σύνολο από κληρώσεις (μικτές ή όχι) τα μέλη του ικανοποιούν τα ακόλουθα αξιώματα: 1. Πληρότητα. Για κάθε Α, Β που ανήκουν στο K ισχύει ότι Α Β ή Β Α ή Α ~ Β. 2. Μεταβατικότητα. Για κάθε Α, Β, Γ που ανήκουν στο K ισχύει ότι αν Α Β και Β Γ τότε Α Γ 3. Συνέχεια. Για κάθε Α, Β, Γ που ανήκουν στο K ισχύει ότι αν Α Β Γ τότε υπάρχουν πιθανότητες p, q για τις οποίες ισχύει ότι ΑpΓ Β ΑqΓ 4. Ανεξαρτησία. Για κάθε Α, Β, Γ που ανήκουν στο K ισχύει ότι Α Β Γ αν και μόνο αν για κάθε πιθανότητα p ισχύει ότι ΑpΓ ΒpΓ Σύμφωνα με το θεώρημα της αναπαράστασης των von Neumann και Morgenstern, μια σχέση προτίμησης μεταξύ κληρώσεων ικανοποιεί τα ανωτέρω τέσσερα αξιώματα όταν και μόνο όταν υπάρχει μια συνάρτηση χρησιμότητας u τέτοια ώστε: 1. αν A B, τότε u(a) > u(b), 2. u(apb) = p u(a) + (1 - p) u(b), 3. για κάθε συνάρτηση u που ικανοποιεί τις σχέσεις (1) και (2) υπάρχουν αριθμοί a > 0 και b τέτοιοι ώστε u = a * u + b. Σύμφωνα με τα ανωτέρω η ανάθεση αριθμητικών τιμών για τη χρησιμότητα κάθε δυνατής κλήρωσης στο σύνολο K μπορεί να γίνει με τα ακόλουθα βήματα: Ανάθεσε τη τιμή 1 στην χρησιμότητα της κλήρωσης A i για την οποία ισχύει ότι A i A j για κάθε j διαφορετικό του ι όπου A i, A j ανήκουν στο K. Επομένως u(a i ) = 1. Η A i επομένως αντιστοιχεί στην περισσότερο προτιμητέα κλήρωση Ανάθεσε την τιμή 0 στην χρησιμότητα της κλήρωσης A k η για την οποία ισχύει ότι A j A k για κάθε j διαφορετικό του k όπου A k, A j ανήκουν στο K. Επομένως u(a k ) = 0. Η A k επομένως αντιστοιχεί στην λιγότερο προτιμητέα κλήρωση Για κάθε άλλη κλήρωση B διαφορετική από τις A i, A k όρισε την πιθανότητα p για την οποία ισχύει ότι A i pa k = B. Η πιθανότητα p εκφράζει τη χρησιμότητα της Β στο σύνολο K. Επομένως u(b)=p. Ο μηχανισμός υπολογισμού της χρησιμότητας μιάς επιλογής και η εφαρμογή της αρχής της μεγιστοποίησης της αναμενόμενης χρησιμότητας είναι χρήσιμα εργαλεία για την λήψη αποφάσεων κάτω από κίνδυνο (decision making under risk). Με τον όρο αυτό αναφερόμαστε σε περιπτώσεις στις οποίες οι πιθανότητες εμφάνισης των αποτελεσμάτων κάθε επιλογής είναι γνωστές. Υπάρχουν όμως αρκετές περιπτώσεις στις οποίες οι συγκεκριμένες πιθανότητες δεν είναι γνωστές. Στην περίπτωση αυτή μιλάμε για το πρόβλημα της λήψης αποφάσεων υπό αβεβαιότητα (decision making under uncertainty). Η αντιμετώπιση της κλάσης των προβλημάτων αυτών δεν είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσει την ανάλυση των von Neumann και Morgenstern. Ακόμη όμως και σε περιπτώσεις στις οποίες μπορεί να εφαρμοστεί η ανάλυση των von Neumann και Morgenstern η εμπειρία διδάσκει ότι τα άτομα σε αρκετές περιπτώσεις δεν επιδεικνύουν την ορθολογική συμπεριφορά που προβλέπει η συγκεκριμένη ανάλυση. Υπάρχουν δύο κύρια παραδείγματα ανορθολογικής συμπεριφοράς στα οποία αξίζει να αναφερθούμε: το παράδοξο του Alais και το παράδοξο του Ellsberg. Στο παράδοξο του Alais καλούμαστε να επιλέξουμε μεταξύ δύο κληρώσεων Α και Β με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: 1. Στην κλήρωση Α υπάρχει μια πιθανότητα 100% να κερδίσουμε 100 ευρώ.

2. Στην κλήρωση Β υπάρχει μια πιθανότητα 1% να κερδίσουμε τίποτα, 10% πιθανότητα να κερδίσουμε 500 ευρώ και 89% πιθανότητα να κερδίσουμε 100 ευρώ. Αντιμέτωποι με το ανωτέρω δίλημμα η εμπειρία έχει δείξει ότι οι περισσότεροι από εμάς θα προτιμήσουν την κλήρωση Α επιλέγοντας τη σιγουριά των 100 ευρώ. Ας υποθέσουμε στη συνέχεια ότι έχουμε να επιλέξουμε μεταξύ των κληρώσεων Γ και Δ με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: 3. Στην κλήρωση Γ υπάρχει μια πιθανότητα 11% να κερδίσουμε 100 ευρώ και 89% πιθανότητα να κερδίσουμε τίποτα. 4. Στην κλήρωση Δ υπάρχει μια πιθανότητα 10% να κερδίσουμε 500 ευρώ και 90% πιθανότητα να κερδίσουμε τίποτα. Αντιμέτωποι με το ανωτέρω δίλημμα η εμπειρία έχει δείξει ότι οι περισσότεροι από εμάς θα προτιμήσουν την κλήρωση Δ. Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι οι επιλογές Α και Δ που προτιμά η πλειοψηφία είναι ασύμβατες μεταξύ τους αν χρησιμοποιήσουμε την ανάλυση των von Neumann και Morgenstern. Σύμφωνα με την συγκεκριμένη ανάλυση οι χρησιμότητες για το καθένα από τα βραβεία στις ανωτέρω κληρώσεις είναι: u(500 )=1, u(0 )=0, u(100 )=x, όπου 0 < x < 1 ενω η αναμενόμενη χρησιμότητα καθεμίας από τις κληρώσεις υπολογίζεται ως εξής: u(a)=x u(b)=0.1+0.89*x u(γ)=0.11*x u(δ)=0.1 Από τις ανωτέρω σχέσεις προκύπτει ότι: u(a) - u(b) = u(γ) - u(δ)= 0.11*x 0.1 και επομένως η επιλογή Γ θα πρέπει να είναι προτιμότερη από την Δ όπως η Α είναι προτιμότερη από την Β!! Στο παράδοξο του Ellsberg θεωρούμε ότι υπάρχει μαι κληρωτίδα που περιέχει 90 μπάλες 30 εκ των οποίων είναι κόκκινες και οι υπόλοιπες 60 μπορεί να είναι ένας οποιοσδήποτε συνδυασμός μπλε και κίτρινων μπαλών. Σε πρώτη φάση καλούμαστε να επιλέξουμε μεταξύ δύο κληρώσεων Α και Β με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: 5. Στην κλήρωση Α κερδίζουμε μια εβδομάδα πληρωμένες διακοπές στη Μύκονο αν τραβήξουμε από την κληρωτίδα μια κόκκινη μπάλα. 6. Στην κλήρωση Β κερδίζουμε μια εβδομάδα πληρωμένες διακοπές στη Μύκονο αν τραβήξουμε από την κληρωτίδα μια μπλε μπάλα. Αντιμέτωποι με το ανωτέρω δίλημμα η εμπειρία έχει δείξει ότι οι περισσότεροι από εμάς θα προτιμήσουν την κλήρωση Α. Ας υποθέσουμε στη συνέχεια ότι έχουμε να επιλέξουμε μεταξύ των κληρώσεων Γ και Δ με τα

ακόλουθα χαρακτηριστικά: 7. Στην κλήρωση Γ κερδίζουμε μια εβδομάδα πληρωμένες διακοπές στη Μύκονο αν τραβήξουμε από την κληρωτίδα μια κόκκινη ή κίτρινη μπάλα. 8. Στην κλήρωση Δ κερδίζουμε μια εβδομάδα πληρωμένες διακοπές στη Μύκονο αν τραβήξουμε από την κληρωτίδα μια μπλε ή κίτρινη μπάλα.. Αντιμέτωποι με το ανωτέρω δίλημμα η εμπειρία έχει δείξει ότι οι περισσότεροι από εμάς θα προτιμήσουν την κλήρωση Δ. Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να αποδείξουμε ότι σύμφωνα με την ανάλυση των von Neumann και Morgenstern οι επιλογές Α και Β έχουν την ίδια αναμενόμενη χρησιμότητα και το ίδιο συμβαίνει με τις Γ και Δ. Επομένως σε καθεμία περίπτωση δεν θα πρέπει να εμφανιζόταν κάποια ιδιαίτερη προτίμηση μεταξύ των δύο κληρώσεων. Το γεγονός ότι εμπειρικά εμφανίζεται μια τέτοια διαφορά αποτελεί σαφή ένδειξη ότι η συγκεκριμένη ανάλυση δεν προβλέπει ικανοποιητικά την ανθρώπινη συμπεριφορά σε παρόμοιες περιπτώσεις. Ένα αρκετά διάσημο παράδοξο αποτελεί το πρόβλημα του Monty Hall το οποίο καταδεικνύει τη δυσκολία την οποία έχουμε να χειριστούμε δεσμευμένες πιθανότητες. Στο συγκεκριμένο παράδοξο φανταστείτε ότι λαμβάνετε μέρος σε ένα τηλεπαιχνίδι στο οποίο έχετε τη δυνατότητα να κερδίσετε ένα αυτοκίνητο ή μια κατσίκα. Ο παίκτης αρχικά γνωρίζει ότι υπάρχουν τρεις κλειστές πόρτες Α, Β, Γ πίσω απο τις οποίες υπάρχουν ένα αυτοκίνητο και δύο κατσίκες αλλά δεν γνωρίζει τι υπάρχει πίσω από κάθε πόρτα. Ο τηλεπαρουσιαστής ζητά από τον παίκτη να διαλέξει μια από τις τρεις πόρτες και έστω ότι αυτός επιλέγει την πόρτα Α. Στη συνέχεια ο τηλεπαρουσιαστής (ο οποίος γνωρίζει τι υπάρχει πίσω από κάθε πόρτα) έχει το δικαίωμα να ανοίξει οποιαδήποτε από τις άλλες 2 πόρτες αρκεί πίσω από την επιλογή του να υπάρχει μια κατσίκα. Έστω ότι ο τηλεπαρουσιαστής ανοίγει την πόρτα Γ. Στη συνέχεια ο τηελπαρουσιαστής ρωτά τον παίκτη αν θέλει να αλλάξει την αρχική του επιλογή και να επιλέξει την πόρτα Β αντί της Α. Το ερώτημα που ανακύπτει είναι αν ο χρήστης έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει το αυτοκίνητο αν στο συγκεκριμένο σημείο αλλάξει γνώμη και επιλέξει την Β αντί της Α ή όχι. Όσο παράδοξο και αν φαίνεται ο παίκτης έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει αν αλλάξει την αρχική του επιλογή και επιλέξει την πόρτα Β. Αυτό συμβαίνει γιατί η πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρισκεται σε μια εκ των Β ή Γ είναι αρχικά 2/3 και παραμένει 2/3 μετά από το άνοιγμα της πόρτας Γ! Το άνοιγμα της πόρτας δεν επηρέασε τη πιθανότητα να είναι το αυτοκίνητο πίσω από την Α αλλά επηρέασε την πιθανότητα να είναι το αυτοκίνητο πίσω από την Β. Το Πρόβλημα της Απόφασης σε Ομάδες Στην προηγούμενη ενότητα αναλύσαμε το πρόβλημα της απόφασης στο επίπεδο του ατόμου. Αναφερθήκαμε στις συνθήκες τις οποίες ικανοποιούν οι ατομικές προτιμήσεις περιγράφοντας τέσσερα σχετικά αξιώματα. Αναφέραμε επίσης ότι τα συγκεκριμένα αξιώματα μας επιτρέπουν να ποσοτικοποιήσουμε τις ατομικές προτιμήσεις χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις χρησιμότητας. Στο επίπεδο της ομάδας υποθέτουμε ότι καθένα από τα μέλη της ομάδας συμπεριφέρεται ορθολογικά και επομένως, για ποράδειγμα, ότι οι προτιμήσεις του ικανοποιούν τη μεταβατικότητα και τα υπόλοιπα σχετικά αξιώματα. Ο σκοπός της ομάδας είναι να λάβει δίκαιες αποφάσεις. Προφανώς στην κατηγορία των δίκαιων αποφάσεων δεν συμπεριλαμβάνονται αποφάσεις οι οποίες ταυτίζονται πάντα με τις προτιμήσεις ενός συγκεκριμένου μέλους της ομάδας. Με άλλα λόγια δεν αναφερόμαστε σε αυταρχικές ομάδες. Υποθέτουμε επίσης ότι κάθε μέλος της ομάδας υποβάλλει ένα διατεταγμένο σύνολο προτιμήσεων το οποίο καλύπτει όλο το σύνολο των διαθέσιμων προτιμήσεων.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι μια παρέα τριών φίλων (Φ1, Φ2 και Φ3) θέλει να αποφασίσει πως θα περάσει το σαββατόβραδο της. Μετά από αρκετή σκέψη οι τρεις φίλοι καταλήγουν σε τρεις εναλλακτικές προτάσεις: 1. Κινηματογράφος 2. Ταβέρνα 3. Παιχνίδι στον Υπολογιστή Οι προτιμήσεις καθενός από αυτούς είναι: Φ1: 1 2 3 Φ2: 2 3 1 Φ3: 3 1 2 Ποια είναι στην περίπτωση αυτή η βούληση της ομάδας; Όπως θα δούμε στη συνέχεια η βούληση της ομάδας εξαρτάται από τη συνάρτηση η οποία θα χρησιμοποιηθεί για να αντιστοιχίσει τα διατεταγμένα σύνολα προτιμήσεων των μελών της σε μια ομαδική (ή κοινωνική) διάταξη. Αναφερόμαστε στη συγκεκριμένη διαδικασία ως τη διαδικασία συνάθροισης (aggregation procedure) ή τη λειτουργία της κοινωνικής ευμάρειας (social welfare function). Μια συνάρτηση που αντιστοιχίζει σύνολα προτιμήσεων σε κοινωνικές προτιμήσεις αναφέρεται ως συνάρτηση κοινωνικής επιλογής (social choice function). Μια πιθανή διαδικασία συνάθροισης είναι γνωστή ως μέθοδος Condorcet και συγκρίνει ανά δυο όλες τις πιθανές αποφάσεις. Η απόφαση που υπερτερεί κατά πλειοψηφία έναντι όλων των άλλων σε αυτές τις διμερείς συγκρίσεις αποτελεί τη βούληση της ομάδας. Στο παράδειγμα μας παρατηρούμε ότι δύο φίλοι προτιμούν την 1 έναντι της 2 και ένας μόνο προτιμά την 2 έναντι της 1. Επομένως κατά πλειοψηφία η 1 υπερτερεί της 2. Επίσης, δύο φίλοι προτιμούν την 2 έναντι της 3 και ένας μόνο προτιμά την 3 έναντι της 2. Επομένως κατά πλειοψηφία η 2 υπερτερεί της 3. Τέλος, δύο φίλοι προτιμούν την 3 έναντι της 1 και ένας μόνο προτιμά την 1 έναντι της 3. Άρα κατά πλειοψηφία η 3 υπερτερεί της 1. Αν απεικονίσουμε τις επιμέρους διατάξεις σε μια ολική διάταξη καταλήγουμε ότι στο επίπεδο της ομάδας κατά πλειοψηφία ισχύει ότι: 1 2 3 1 Δυστυχώς στο παράδειγμα μας η μέθοδος Condorcet δεν παράγει μια διατεταγμένη ακολουθία προτιμήσεων καθώς καταλήγει σε έναν κύκλο στον οποίο δεν ισχύει η μεταβατική ιδιότητα. Μια εναλλακτική διαδικασία συνάθροισης είναι γνωστή ως απαρίθμηση κατά Borda (Borda Count). Στη διαδικασία αυτή έστω ότι θέλουμε να επιλέξουμε μεταξύ m αποφάσεων. Κάθε μέλος της ομάδας βαθμολογεί με μηδέν (0) την λιγότερο επιθυμητή επιλογή, με 1 την δεύτερη λιγότερο επιθυμητή επιλογή του... και με m-1 την πρώτη επιλογή του. Στη συνέχεια υπολογίζεται το άθροισμα των βαθμών που πήρε συνολικά κάθε επιλογή από όλα τα μέλη της ομάδας. Η ομάδα αποφασίζει να ακολουθήσει την επιλογή που λαμβάνει τη μεγαλύτερη βαθμολογία. Στο παράδειγμα μας το άθροισμα κάθε επιλογής υπολογίζεται ως εξής: βαθμός(1)= 2+0+1 =3 βαθμός(2)= 1+2+0 =3 βαθμός(3)= 0+1+2 =3 και επομένως η ομάδα είναι αδιάφορη ως προς ποια απόφαση θα υιοθετήσει (1 ~ 2 ~ 3) καθώς όλες λαμβάνουν την ίδια βαθμολογία. Σε μια τέτοια περίπτωση και υποθέτοντας ότι και οι τρεις

φίλοι προτιμούν να πάνε κάπου, έστω και στην τελευταία τους επιλογή, ένας πιθανός τρόπος απόφασης μπορεί να προέλθει από μια τυχαία διαδικασία όπως το ρίξιμο ενός ζαριού. Παρατηρούμε λοιπόν ότι η μέθοδος Condorcet δεν παράγει πάντα μια απόφαση για την ομάδα ενώ η μέθοδος του Borda καταλήγει πάντα σε κάποια απόφαση. Μια επίσης ενδιαφέρουσα παρατήρηση είναι ότι όταν η μέθοδος Condorcet καταλήγει σε κάποια απόφαση αυτή δεν είναι απαραίτητα ίδια με αυτήν της Borda όπως αποδεικνύει το ακόλουθο παράδειγμα. Έστω ότι σε μια ομάδα πέντε μέλη της επιλέγουν 1 2 3, ένα μέλος της επιλέγει 1 3 2, ενώ τέσσερα μέλη της επιλέγουν 2 3 1. Κατά συνέπεια με μια πλειοψηφία 6 προς 4 η 1 υπερτερεί έναντι της 2, με μια πλειοψηφία 6 προς 4 η 1 υπερτερεί της 3 ενώ με πλειοψηφία 9 προς 1 η 2 υπερτερεί της 3. Επομένως η διάταξη των αποφάσεων που προκύπτει για την ομάδα από την εφαρμογή της μεθόδου Condorcet είναι 1 2 3. Η απαρίθμηση κατα Borda στη συγκεκριμένη περίπτωση καταλήγει στην ακόλουθη βαθμολογία: βαθμός(1)= 5*2+1*2 =12 βαθμός(2)= 5*1+4*2 =13 βαθμός(1)= 1*1+4*1 =5 και επομένως η μέθοδος καταλήγει στη διάταξη 2 1 3. Μια τρίτη εναλλακτική μέθοδος είναι η πλουραλιστική (plurality) μέθοδος στην οποία επιλέγεται η απόφαση η οποία θα βρεθεί στην πρώτη θέση των επιλογών του μεγαλύτερου πλήθους μελών της ομάδας από όλες τις υπόλοιπες. Σημειωτέον ότι δεν είναι απαραίτητο το μεγαλύτερο πλήθος να αποτελεί την πλειοψηφία των μελών της ομάδας. Στο παράδειγμα μας επειδή η 1 έρχεται στην πρώτη θέση σε έξι περιπτώσεις, η 2 σε τέσσερις και η 3 σε καμία αυτό σημαίνει ότι η 1 θα υιοθετηθεί ως επιλογή της ομάδας. Υπάρχουν αρκετές άλλες διαδικασίες συνάθροισης που μπορεί να εφαρμοστούν. Για την ακρίβεια προκύπτει ότι για κάθε πιθανή διάταξη επιλογών στο επίπεδο της ομάδας υπάρχει μια διαδικασία συνάθροισης η οποία μπορεί να καταλήξει στη συγκεκριμένη διάταξη. Πως λοιπόν μπορούμε να αξιολογήσουμε τις διαδικασίες συνάθροισης; Μια πιθανή μέθοδος είναι να καταλήξουμε σε μια σειρά από αξιώματα που μια τέτοια διαδικασία θα πρέπει να ικανοποιεί ώστε να γίνει αποδεκτή όπως κάναμε και στο ατομικό επίπεδο. Μια δεύτερη μέθοδος αξιολογεί κάθε διαδικασία συνάθροισης σε σχέση με τον σκοπό που υπηρετεί. Για παράδειγμα η διαδικασία με την οποία οι τρεις φίλοι επιλέγουν τον τρόπο διασκέδασης τους το σαββατόβραδο αποσκοπεί στη μεγιστοποίηση της ψυχαγωγίας τους ενώ η μέθοδος με την οποία ένα σώμα ενόρκων σε μια δίκη αποφασίζει για την αθωότητα ή όχι ενός κατηγορουμένου αποσκοπεί στην απονομή δικαιοσύνης. Σε αυτές τις περιπτώσεις οι διαδικασίες συνάθροισης μπορεί να είναι διαφορετικές. Ως ακόμα ένα παράδειγμα των διαδικασιών συνάθροισης και των αποτελεσμάτων τους σε μια ομάδα μπορούμε να θεωρήσουμε το πρόβλημα του διαμοιρασμού μίας τούρτας μεταξύ τριών ατόμων Α, Β και Γ. Υποθέτουμε ότι κάθε μέλος της ομάδας προτιμά όσο το δυνατόν μεγαλύτερο κομμάτι της τούρτας και ότι επικεντρώνεται μόνο στο πως θα μεγιστοποιήσει το δικό του κομμάτι (επομένως δεν υπεισέρχονται αλτρουιστικοί ή ανταγωνιστικοί παράγοντες στην επιλογή του). Έστω επίσης ότι υπάρχουν οι ακόλουθοι τέσσερις μοναδικοί τρόποι να μοιραστεί η τούρτα: 1. 1/2, 1/2, 0 2. 1/2, 0, 1.2 3. 0, 1/2, 1/2 4. 1/3, 1/3, 1/3 Με βάση τις ανωτέρω υποθέσεις η σειρά προτίμησης για καθένα από τα ενδεχόμενα για το κάθε

άτομο θα είναι: Α: (1, 2) 4 3 Β: (1,3) 4 2 Γ: (2, 3) 4 1 όπου η παρένθεση υποδηλώνει επιλογές που είναι ισοδύναμες για κάθε άτομο. Τα αποτελέσματα της εφαρμογής διαφόρων μεθόδων κοινωνικής επιλογής παράγουν τα ακόλουθα αποτελέσματα: Σύμφωνα με την πλουραλιστική μέθοδο οι επιλογές 1, 2 και 3 είναι κοινωνικά ισοδύναμες ενώ η 4 είναι κατώτερη όλων. Σύμφωνα με την απαρίθμηση κατά Borda καθεμία εκ των 1, 2, και 3 λαμβάνει βαθμό ίσο με 4 ενώ η επιλογή 4 λαμβάνει βαθμό ίσο με 3 και επομένως η συγκεκριμένη μέθοδος παράγει τα ίδια αποτελέσματα με την πλουραλιστική. Σε μια προσέγγιση που χρησιμοποιεί την ανταμοιβή U που λαμβάνει κάθε άτομο από την κατανάλωση της τούρτας μπορούμε να υποθέσουμε ότι η χρησιμότητα είναι γραμμική ως προς την ποσότητα της τούρτας που λαμβάνει το καθε άτομο. Με τον τρόπο αυτό U(1/2 τούρτα) = 1/2, U(1/3 τούρτα) = 1/3, U(0 τούρτα) = 0. Αν θεωρήσουμε ότι υπάρχει ένας αμερόληπτος και ηθικός παρατηρητής στη διαδικασία ο οποίος αποφασίζει ότι ο τελικός διαμοιρασμός της τούρτας θα είναι αυτός που πετυχαίνει τη μέγιστη σωρευτική χρησιμότητα για την ομάδα τότε δεδομένου ότι κάθε άτομο έχει την ίδια πιθανότητα να συμμετάσχει σε καθεμία από τις 4 επιλογές η αναμενόμενη χρησιμότητα τους EU υπολογίζεται ως εξής: EU(1) = 1/3*1/2+1/3*1/2+ 1/3*0 = 1/3 EU(2) = 1/3*1/2 + 1/3*0 + 1/3*1/2 = 1/3 EU(3) = 1/3*0 + 1/3*1/2 + 1/3*1/2 = 1/3 EU(4) = 1/3*1/3 + 1/3*1/3 + 1/3*1/3 = 1/3 Επομένως σε αυτή την περίπτωση οι τέσσερις τρόποι διαμοιρασμού είναι ισοδύναμοι Αν θελήσουμε να χρησιμοποιήσουμε μια μέθοδο επιλογής στην οποία θέλουμε να βελτιώσουμε την κατάσταση του περισσότερου αδικημένου τότε η επιλογή μας θα πρέπει να είναι η 4 δεδομένου ότι στις υπόλοιπες περιπτώσεις η χρησιμότητα που λαμβάνει ο περισσότερο αδικημένος είναι μηδενική. Μια εναλλακτική μέθοδος διαμοιρασμού θα ήταν αυτή που θα μεγιστοποιούσε το γινόμενο Ρ των χρησιμοτήτων που θα παρείχε στα μέλη της ομάδας. Σε μια τέτοια περίπτωση ισχύει ότι Ρ(1)=Ρ(2)=Ρ(3)=0 ενώ Ρ(4)=1/2&1/3*1/3=1/27. Επομένω με βάση τη συγκεκριμένη μέθοδο η επιλογή 4 είναι προτιμότερη. Αξιωματικές Μέθοδοι Στις αξιωματικές μεθόδους ορίζουμε ένα σύνολο από αξιώματα τα οποία θα πρέπει να ικανοποιούνται από μια διαδικασία συνάθροισης και στη συνέχεια ελέγχουμε ποιες διαδικασίες συνάθροισης ικανοποιούν όλα τα αξιώματα του συνόλου. Υπάρχουν δυο αρκετά ενδιαφέροντα θεωρήματα τα οποία προκύπτουν από τη χρήση τέτοιων μεθόδων. Θεώρημα του May Ορίζουμε τα εξής τρία αξιώματα τα οποία θα πρέπει να ικανοποιούνται από μια διαδικασία συνάθροισης: 1. Ανωνυμία (Anonymity). Αλλάζοντας αμοιβαία τις διατάξεις επιλογών δυο οποιωνδήποτε μελών της ομάδας δεν μεταβάλλει τη διάταξη στο επίπεδο της ομάδας. 2. Ουδετερότητα (Neutrality). Τα ονόματα των επιλογών δεν επηρεάζουν την τελική διάταξη

στο επίπεδο της ομάδας. Ειδικότερα, αν επιλέξουμε να κάνουμε μια ανταλλαγή δυο συγκεκριμένων επιλογών σε όλες τις ατομικές διατάξεις επιλογών των μελών της ομάδας, η τελική διάταξη στο επίπεδο της ομάδας θα αντικατοπτρίζει την καινούργια διάταξη των επιλογών που ανταλλάχθηκαν. 3. Θετική απόκριση (Positive Responsiveness). Αν η επιλογή Α ισοβαθμεί με κάποια άλλη επιλογή στην τελική κατάταξη της ομάδας και σε μια ατομική κατάταξη βελτιώσει τη θέση της κατά ένα βήμα τότε θα πρέπει να αναδειχθεί νικητής στην τελική κατάταξη για την ομάδα. Σύμφωνα με το θεώρημα του May μια διαδικασία συνάθροισης ανάμεσα σε δύο επιλογές ικανοποιεί τα τρία ανωτέρω αξιώματα όταν και μόνο όταν είναι η πλουραλιστική μέθοδος. Θεώρημα του Arrow Ορίζουμε τα εξής τέσσερα αξιώματα τα οποία θα πρέπει να ικανοποιούνται από μια διαδικασία συνάθροισης: 1. Αποδοτικότητα κατά Pareto (Pareto Efficiency). Αν σε όλες τις διατάξεις επιλογών των μελών της ομάδας η επιλογή Α εμφανίζεται σε υψηλότερη θέση από την επιλογή Β τότε το ίδιο θα πρέπει να ισχύει και στην τελική διάταξη στο επίπεδο της ομάδας. 2. Ανεξαρτησία έναντι άσχετων εναλλακτικών επιλογών (Independence of Irrelevant Alternatives). Η διάταξη μεταξύ δύο επιλογών στην τελική διάταξη της ομάδας θα πρέπει να εξαρτάται μόνο από τη διάταξη των δύο αυτών επιλογών στις ατομικές διατάξεις των μελών της ομάδας. 3. Δημοκρατικότητα (Non-Dictatorship). Η τελική διάταξη της ομάδας δεν θα πρέπει να συμπίπτει πάντα με την διάταξη ενός συγκεκριμένου μέλους της ομάδας. Με άλλα λόγια, η ομάδα δε θα πρέπει να περιέχει ένα δικτάτορα. Στην αντίθετη περίπτωση ορίζουμε ότι η διαδικασία συνάθροισης είναι δικτατορική. 4. Ολοκληρωτική Κάλυψη (Universal Domain). Η διαδικασία συνάθροισης θα πρέπει να λαμβάνει υπόψη της όλες τις ατομικές διατάξεις επιλογών και να παράγει πάντα μια τελική διάταξη στο επίπεδο της ομάδας. Το θεώρημα του Arrow ορίζει ότι σε ομάδες πεπερασμένου αριθμού μελών (>1) δεν υπάρχει διαδικασία συνάθροισης η οποία εξετάζει τρεις ή περισσότερες εναλλακτικές επιλογές και ικανοποιεί τα τέσσερα αξιώματα που αναφέραμε. Καμία από τις μεθόδους που εξετάσαμε μέχρι τώρα δεν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του συγκεκριμένου θεωρήματος. Η μέθοδος Condorcet δεν παράγει πάντα μια τελική διάταξη επομένως δεν παρέχει Ολοκληρωτική Κάλυψη. Η μέθοδος Borda δεν ικανοποιεί την Ανεξαρτησία έναντι άσχετων εναλλακτικών επιλογών όπως καταδεικνύει το ακόλουθο παράδειγμα. Έστω ότι ότι σε μια ομάδα τριών μελών έχουμε τις ακόλουθες διατάξεις επιλογών: Α: 1 2 3 Β: 1 3 2 Γ: 2 3 1 Στην περίπτωση αυτή ισχύει ότι: βαθμός(1)= 2*2 =4 βαθμός(2)= 2+1 =3

και επομένως 1 2. Τώρα προσθέτουμε μια καινούργια επιλογή 4 χωρίς να μεταβάλλουμε τις σχετικές θέσεις των υπολοίπων επιλογών. Α: 4 1 2 3 Β: 1 3 2 4 Γ: 2 3 4 1 Στην περίπτωση αυτή ισχύει ότι: βαθμός(1)= 2+3 =5 βαθμός(2)= 1+1+3 =5 και επομένως 1 ~ 2. Άρα η εισαγωγή του 4 επηρέασε τη σχετική θέση των 1 και 2. Συνάθροιση Γνώμης Μερικές φορές μια ομάδα πρέπει να επιλέξει ένα σύνολο αποφάσεων από ένα σύνολο λογικά συνδεδεμένων εναλλακτικών επιλογών. Για παράδειγμα έστω ότι ένα δημοτικό συμβούλιο θα πρέπει να αποφασίσει αν θα επιτρέψει την εγκατάσταση ενός νέου εμπορικού κέντρου στα όρια της δικαιοδοσίας του. Το συμβούλιο καλείται να αποφασίσει με ένα ΝΑΙ ή ΟΧΙ για καθένα από τα ακόλουθα: 1. Η αίτηση για ένα νέο εμπορικό κέντρο θα πρέπει να εγκριθεί αν υπάρχει η ανάγκη για ένα νέο εμπορικό κέντρο το οποίο και θα εξυπηρετεί ανάγκες των δημοτών οι οποίες δεν καλύπτονται από την ήδη υπάρχουσα αγορά 2. Ο κυκλοφοριακός φόρτος ενός νέου εμπορικού κέντρου μπορεί να απορροφηθεί από τις υπάρχουσες υποδομές 3. Η εγκατάσταση ενός νέου εμπορικού κέντρου εγκρίνεται. Προφανώς οι προτάσεις 1-3 είναι λογικά συνδεδεμένες και μάλιστα ισχύει ότι (1 2) 3 (Σχέση Σ1). Έστω ότι το συμβούλιο είναι επταμελές και σε καθεμία από τις προτάσεις τα μέλη του ψηφίζουν ως ακολούθως: Μέλη\Πρόταση 1 2 3 Α, Β, Γ ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ Δ, Ε ΝΑΙ ΟΧΙ ΟΧΙ Ζ, Η ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ Σε αυτή την περίπτωση τα καθένα από τα μέλη του συμβουλίου έχει ψηφίσει ορθολογικά επειδή ο τρόπος που ψήφισε ικανοποιεί την λογική σχέση Σ1 που προαναφέραμε. Ποια λοιπόν θα πρέπει να είναι η τελική απόφαση του συμβουλίου; Το πρόβλημα εμφανίζεται επειδή για καθεμία από τις προτάσεις 1 και 2 η πλειοψηφία των μελών είναι θετική το ίδιο όμως δεν συμβαίνει με την πρόταση 3 και επομένως μια πλειοψηφική απόρριψη της 3 δεν θα ικανοποιούσε στο επίπεδο της ομάδας τη λογική σχέση Σ1. Μια λύση θα είναι το συμβούλιο να είναι υποχρεωμένο να δεχθεί την πρόταση 3 επειδή ψήφισε θετικά στις προϋποθέσεις 1 και 2 για την 3. Μια δεύτερη λύση θα είναι το συμβούλιο να επικεντρωθεί στην πρόταση 3 και επομένως να την απορρίψει αγνοώντας τις προτάσεις 1 και 2. Στην περίπτωση αυτή λοιπόν

βρισκόμαστε σε ένα αδιέξοδο παρόμοιο με όσα περιγράψαμε στην προηγούμενη ενότητα όταν επιλέγαμε μεταξύ προτιμήσεων. Δυστυχώς και στην παρούσα περίπτωση δεν υπάρχει μια 'δίκαια' μέθοδος συνάθροισης που θα μπορούσε να αποφύγει τέτοιου είδους παράδοξα. Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν μέθοδοι συνάθροισης που να ικανοποιούν ένα σύνολο επιθυμητών αξιωμάτων υπάρχει η δυνατότητα να επινοήσουμε μεθόδους συνάθροισης που ενώ δεν ικανοποιούν τα εν λόγω αξιώματα εντούτοις μεγιστοποιούν την πιθανότητα να καταλήξει η ομάδα σε μια σωστή απόφαση. Τέτοιες μέθοδοι βρίσκουν εφαρμογή σε περιπτώσεις κατά τις οποίες μια ομάδα θα πρέπει να αποφασίσει αν θα αποδεχτεί ή όχι ένα γεγονός που είναι αντικειμενικά σωστό. Γι παράδειγμα το γεγονός ότι θα πρέπει να επιβληθεί απαγόρευση του καπνίσματος σε δημόσιους χώρους δεν είναι προϊόν επιλογής αλλά βασίζεται στην ανάγκη προστασίας της δημόσιας υγείας. Τέτοιες μέθοδοι βασίζονται στο θεώρημα των ενόρκων του Condorcet. Το συγκεκριμένο θεώρημα υποθέτει ότι: 1. Υπάρχει μια ομάδα n ατόμων που θα πρέπει να αποφασίσει με ένα ΝΑΙ ή ένα ΟΧΙ αν μια πρόταση Π ισχύει. 2. Δεδομένης της αλήθειας ή όχι της Π η απόφαση οποιουδήποτε μέλους της ομάδας είναι ανεξάρτητη από την απόφαση οποιουδήποτε άλλου μέλους της ομάδας. 3. Κάθε μέλος της ομάδας έχει πιθανότητα μεγαλύτερη από 1/2 να αποφασίσει σωστά σχετικά με την Π. Σε περίπτωση που ισχύουν όλα τα ανωτέρω τότε σύμφωνα με το συγκεκριμένο θεώρημα η πιθανότητα να ψηφίσει σωστά η ομάδα αυξάνεται όσο αυξάνεται ο αριθμός των μελών της και η πιθανότητα αυτή αγγίζει την μονάδα όταν το n τείνει στο άπειρο. Το συγκεκριμένο θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως επιβεβαίωση της αποτελεσματικότητας δημοκρατικών μεθόδων απόφασης που βασίζονται σε μαζικές ψηφοφορίες. Στην πράξη βέβαια υποθέσεις όπως οι 2 και 3 μπορεί να μη ισχύουν και στην περίπτωη αυτή η αποτελεσματικότητα διαφόρων μεθόδων συνάθροισης αποτελεί αντικείμενο έρευνας.