Τυπολόγιο: Ευθύγρμμη κίνηση Μεττόπιση: Δ () Μέση δινυσμτική τχύτητ: Δ υμ Δt t t s ολ Μέση ριθμητική τχύτητ: υ s Επιτάχυνση: s μ S t ολ Δυ Δt Ευθύγρμμη ομλή κίνηση: υ στθερό Εξισώσεις επιτάχυνσης τχύτητς μεττόπισης 0 υ στθερό Δ υδt υ t t 0 0 Διγράμμτ ( ) ( ) 9 9
Ευθύγρμμη ομλά μετβλλόμενη κίνηση στθερό. Ευθύγρμμη ομλά επιτχυνόμενη κίνηση στθερό, > 0, Δυ > 0 Εξισώσεις επιτάχυνσης τχύτητς μεττόπισης ( ) Δυ Δt στθερό υ υ t t Διγράμμτ (s) 0 0 Σχέση υ- σε ευθύγρμμη ομλή επιτχυνόμενη υ = υ ο + ή υ = Δ υ0t t υ ο β. Ευθύγρμμη ομλά επιβρδυνόμενη κίνηση στθερό το μέτρο της επιβράδυνσης, Δυ 0, Εξισώσεις επιτάχυνσης τχύτητς μεττόπισης στθερό Δυ Δt Δ υ0t Δt υ υ0 Δt Διγράμμτ (s) (/s) (s) (s) (s) Σχέση υ- σε ευθύγρμμη ομλή επιβρδυνόμενη ότν υ τελική = 0 υ 0 ή υ0 Ευθύγρμμη ομλά επιβρδυνόμενη ότν υ τελική 0: υ = υ ο ή υ = 0 0 υο
Ευθύγρμμη κίνηση. Γι κινητό που κινείτι ευθύγρμμ κι την χρονική στιγμή t0 0 βρίσκετι στη θέση 0 0 κι έχει τχύτητ υ0 0 / s δίνετι το διπλνό διάγρμμ επιτάχυνσης - χρόνου. Με τη βοήθει του διγράμμτος ν υπολογιστεί η τχύτητ του κινητού τη χρονική στιγμή t 8s κι ν γίνουν τ διγράμμτ τχύτητς - χρόνου κι θέσης - χρόνου. Γι το χρονικό διάστημ Δt t t 0 3s 0 3s το κινητό επιτχύνετι ομλά. Η μετβολή της τχύτητς ισούτι με το εμβδό του σχήμτος ΟΑΒΓ. Είνι Δυ 5 / s 3s 5 / s, λλά Δυ υ υ0 οπότε : υ Δυ υ0 5 / s Γι το χρονικό διάστημ Δt t t 5 3s s το κινητό κινείτι ευθύγρμμ ομλά με τχύτητ υ υ 5 / s. Τέλος γι το χρονικό διάστημ Δt t t 8 5s 3s το κινητό επιβρδύνετι ομλά. Απο το διπλνό διάγρμμ : 0 5 Δ 3 5, 5 Δ 5 50 3 3 Δ 5,5 50 0,5 5,5 Δ3 3, 5 Η μετβολή της τχύτητς ισούτι με ρ. Δυ3 EΔΖΗΘ υ3 υ 30 / s υ3 5 / s Το ρνητικό πρόσημο στην τελική τιμή της τχύτητς σημίνει ότι το κινητό έχει ντιστρέψει την φορά κίνησής του. Ουσιστικά επιτχύνετι πλέον κτά την ρνητική κτεύθυνση του άξον. 0 Δ 0 5,5 5,5 3 Δ3 0,5 3, 5 33, 75 Δ 4 0,5 5, 5 Δ 33,75,5 3,5 4 3 4 0
. Αυτοκίνητο κινείτι με τχύτητ 0 /s. Ο οδηγός, του οποίου ο χρόνος ντίδρσης είνι 0,5 s, ντιλμβάνετι κόκκινο φνάρι σε πόστση 50.. Αν η επιβράδυνση του υτοκινήτου έχει τιμή 4 /s, θ προλάβει το υτοκίνητο ν στμτήσει πρίν το φνάρι ; β. Αν όχι, ποι θ έπρεπε ν είνι η τιμή της επιβράδυνσης γι ν στμτήσει έγκιρ;. Το υτοκίνητο κινείτι με στθερή τχύτητ υ0 0, 5s κι δινύει διάστημ Δ υ0 Δt 0. 0 / s γι χρόνο Δt Συνεπώς γι την επιβρδυνόμενη κίνηση πομένουν Δ 50 0 40. Ãéá íá óôáì áôþóåéôï áõôï êßíçôï áðáéôåßôáé ñüí ï ò Δt. Από την εξίσωση της τχύτητς : 0 0 υ0 Δt Δt 5s Στον χρόνο υτό το υτοκίνητο θ διένυε: ' Δ υ0 Δt Δt 50 Επειδή Δ ' Δ δεν προλβίνει ν στμτήσει. υ β. Έστω το μέτρο της πιτούμενης επιβράδυνσης γι ν στμτήσει έγκιρ σε χρόνο Δt κλύπτοντς πόστση Δ. Είνι: ' ' υ0 0 υ0 Δt Δt ' ' υ0 0 Δ υ Δt Δt Δ 5 / s Η επιβράδυνση πρέπει ν είνι = 5 /s 3. Δρομές των 00 ξεκινάει πό την ηρεμί κι κινείτι ευθύγρμμ με στθερή επιτάχυνση 3 / s μέχρις ότου ποκτήσει τχύτητ υ / s την οποί κι διτηρεί μέχρι τη θέση που βρίσκετι 56 πριν τον τερμτισμό. Στη συνέχει λόγω κόπωσης επιβρδύνετι ομλά κι τερμτίζει σε συνολικό χρόνο 0s. Ν βρεθεί η επιβράδυνση κι η τχύτητ τερμτισμού. Γι την επιτχυνόμενη κίνηση ισχύει : υ Δt Δt 4s Δ Δt 4 Στην συνέχει με την στθερή τχύτητ υ μεττοπίζετι κτά Δ υ Δt Δt Δ () υ 0
Όμως Δ 00 4 56 0 Επομένως πό την (): Δt 0s κι Δt3 0s4s 6s Δ3 υ Δt 8 3 Δt3 / s 9 Τέλος γι την επιβρδυνόμενη έχουμε : όπου είνι το μέτρο της επιβράδυνσης κι Δ 3 = 56 υ υ Δt 3 6,67 / s 4. Γι κινητό που κινείτι ευθύγρμμ την χρονική στιγμή t 0 =0 βρίσκετι στη θέση 0 =0 κι η τχύτητά του δίνετι στο διάγρμμ. Ν βρεθεί:. Τι κινήσεις κάνει. Ν υπολογισθεί το Δ, σε κάθε κίνηση. β. Ν γίνει διάγρμμ (t), (t).. Από 0 έως 5s: Ευθύγρμμη ομλά επιτχυνόμενη Δυ 5 5 0 s s Δt 5 0 5 ριθ. 5 5 Δ Εμ 5 50 Δ 0 50 0 50 Από 5 έως 0s: Ευθύγρμμη ομλή κίνηση Δυ 5 5 0 s s 0 s Δt 0 5 5 ριθ. Δ Εμ 55 75 Δ 75 50 5 Από 0 έως 5s: Ευθύγρμη ομλά επιβρδυνόμενη (τη στιγμή t=5s το κινητό στμτάει Δυ 0 5 5 s 3 s Δt 5 0 5 3 3 3 0 3 υ3 0 ) τελ
ριθ. 55 75 Δ3 Εμ 37, 5 Δ3 3 37, 5 3 5 3 6, 5 β. Από 5 έως 0s: Ευθύγρμμ ομλά επιτχυνόμενη με ντίθετη φορά Δυ 0 0 0 s s Δt 0 5 5 4 4 4 ριθ. 0 5 Δ4 Εμ 5 Δ4 4 3 5 4 6,5 4 37, 5 5. Σώμ που κινείτι ευθύγρμμ με στθερή επιτάχυνση = 0 /s, τη χρονική στιγμή t = 0 έχει τχύτητ υ 0 = 0 /s. Ν βρείτε στη διάρκει ποιου δευτερολέπτου έχει μεττοπιστεί κτά Δ = 85. Η θέση του σώμτος τη χρονική στιγμή t είνι: t υ0 t t Η θέση του, μετά πό s, τη χρονική στιγμή t t 0 είνι: υ t t Άρ Δ t t Δ υ 0 t t υ0t t Δ υ0t υ0 t t υ0t t 85 0 0t t 0t 85 0 5t 0t 5 5t 85 5 0t 0t 60 t 6s κι t 7s Άρ είνι η διάρκει του 7ου δευτερολέπτου. 0 4
6. Δύο κινητά ξεκινούν πό δύο σημεί Α κι Β που πέχουν 375 κι κινούντι ντίθετ. Το κινητό Α έχει στθερή τχύτητ 0 / s. Το κινητό Β έχει στθερή επιτάχυνση Ν βρεθεί το σημείο που θ συνντηθούν μετξύ τους. Β / s. Κινητό Α : A υα t Κινητό B : B t d υa t Β t 375 0t t πρέπει d A B t 0t 375 0 t 5s. Ο χρόνος που θ συνντηθούν είνι 5 s A = υ Α t A = 0 5 A = 50 Άρ θ συνντηθούν σε πόστση 50 πό το Α κι 375 50 = 5 πό το Β. Τυπολόγιο: Δυνμική σε μι διάστση Συνιστμένη δύο δυνάμεων που έχουν ίδι κτεύθυνση F F F Συνιστμένη δύο δυνάμεων που έχουν ντίθετη κτεύθυνση F F F ος Ν. Νεύτων ΣF. Αν ΣF 0 Δυνμική σε μί διάστση τότε υ 0 ή υ στθ υ t Διερεύνηση: Βάρος: Β g υ υ0 t β. Αν ΣF στθ τότε στθ υ0t t γ. Αν ΣF μετβλ τότε μετβλ Αδρνεική μάζ: Βρυτική μάζ: ΣF, Β g Ελεύθερη πτώση: υ g t S gt 0 5
Δυνμική σε μι διάστση 7. Οι δυνάμεις που σκούντι στο σώμ του σχήμτος έχουν μέτρο F = 30 N κι F = 0 N ντίστοιχ. Αν το σώμ κινείτι με στθερή τχύτητ υ = 5 /s, ν εξετστεί ν στο σώμ σκείτι τρίτη δύνμη κι ν βρεθεί η μεττόπιση του σώμτος γι χρονικό διάστημ Δt = 5 s. Επειδή το σώμ κινείτι με στθερή τχύτητ ( υ στθερή), σύμφων με τον πρώτο νόμο του Νεύτων γι το σώμ θ ισχύει: F 0 F F F 0 F F F 3 3 Η ύπρξη της F είνι πρίτητη, γιτί οι δυνάμεις 3 F κι F δεν είνι ντίθετες. Επομένως, F 0 F F F 0 F F F3 0 F3 0N 3 Είνι προφνές, ότι η F θ είνι ομόρροπη της 3 F. Γι τη μεττόπιση του σώμτος θ έχουμε: Δ υ Δt 5 8. Σώμ μάζς = 600kg δέχετι δύνμη F = 00N κι ρχίζει ν κινείτι. Μετά πό χρόνο t = 0s, τυτόχρον με την F σκείτι στο σώμ κι μί άλλη δύνμη μέτρου F = 700N κι ντίθετης φοράς με την F.. Ν βρεθεί ο συνολικός χρόνος κίνησης του σώμτος μέχρι ν μηδενιστεί η τχύτητά του, κθώς κι η συνολική πόστση που δινύει το σώμ στο πρπάνω χρονικό διάστημ. β. Ν πρστθούν γρφικά σε συνάρτηση με το χρόνο η συνολική δύνμη που σκείτι στο σώμ κι η τχύτητά του.. Αρχικά κι γι χρόνο t 0s το σώμ εκτελεί ευθύγρμμη ομλά επιτχυνόμενη κίνηση με επιτά- F 00 χυνση: / s / s. Η τχύτητ κι η θέση του τότε είνι: 600 υ t 0 / s 0 / s 0 6
t 0 00 Στη συνέχει κι γι χρόνο t το σώμ κάνει επιβρδυνόμενη κίνηση με επιβράδυνση: ΣF F F 700 00 600 / s,5 / s υ0 υ υ t 0 0, 5t t 8s υt t 08,58 80 Συνεπώς, ο συνολικός χρόνος κίνησης του σώμτος μέχρι ν μηδενιστεί (στιγμιί) η τχύτητά του θ είνι: t t t 0 8 s 8s, ενώ το συνολικό διάστημ: ολ Δολ 00 80 80 β. 9. Από την τράτσ μις πολυκτοικίς ύψους H = 45 φήνουμε ν πέφτουν πέτρες διδο- χικά νά έν δευτερόλεπτο. Αν η ντίστση του έρ θεωρηθεί μελητέ κι g 0 / s, ν υπολογίσετε:. Που βρίσκετι η πρώτη πέτρ ότν ξεκινάει η τρίτη; β. Πόσο πέχουν η πρώτη κι η δεύτερη ότν ξεκινάει η τρίτη; γ. Ότν φτάνει η πρώτη πέτρ στο έδφος, σε ποιο ύψος βρίσκετι η δεύτερη;. Ότν ξεκινάει η τρίτη πέτρ, η πρώτη κινείτι ήδη γι sec. Άρ: S gt 0 0 δηλδή βρίσκετι 0 πό την τράτσ ή σε ύψος 45 0 5 πό το έδφος. β. Ότν ξεκινάει η τρίτη πέτρ, η δεύτερη κινείτι ήδη γι s. s gt 0 5 Συνεπώς, η πρώτη κι η δεύτερη πέχουν s s s 5 H γ. Η πρώτη πέτρ φτάνει στο έδφος μετά πό: H gt t 3s g Η δεύτερη κινείτι γι (t - ) s δηλ. 3 = s κι το διάστημ που θ έχει δινύσει: 0 7
s 0 0 ' Συνεπώς, θ βρίσκετι σε ύψος h = 5.. 0. Σώμ ρίχνετι κτκόρυφ προς τ πάνω με ρχική τχύτητ υ 0 = 0/s. Θεωρώντς την ντίστση του έρ μελητέ, ν υπολογιστούν:. Το μέγιστο ύψος στο οποίο θ φτάσει το σώμ κι ο χρόνος νόδου. β. Ο συνολικός χρόνος μέχρι ν επιστρέψει το σώμ στο έδφος κι η τχύτητ με την οποί επιστρέφει. γ. Ν βρεθεί η τχύτητ που έχει το σώμ σε ύψος h = 5 πό το έδφος. Δίνετι: g = 0/s Το σώμ εκτελεί κτκόρυφη βολή προς τ επάνω κι η κίνησή του είνι ευθύγρμμη ομλά επιβρδυ- νόμενη κίνηση με επιβράδυνση g 0 / s. Οι εξισώσεις γι την κίνηση του σώμτος είνι: 0 υ υ gt υ0t gt. Στο μέγιστο ύψος έχουμε: ha κι υ 0 υ0 0 Άρ: 0 υ0 gtν t ν s s g 0 υ0 υ0 ha υ0 t ν gtν h a υ0 g g g υ0 0 h a 0 g 0 β. Ότν επιστρέφει στο έδφος είνι 0 t 0 0tολ 0 t ολ tολ 0 5tολ 0 t Άρ Η τχύτητ με την οποί επιστρέφει είνι: 0 ολ ολ ολ 0 πορρίπτετι 4s δεκτή υ υ gt 0 0 4 /s 0 / s, δηλδή ντίθετή της υ 0. γ. Γι h 5 η () δίνει: h υ0t gt 5 0t 0t t 4t 3 0 Επιλύοντς την β βάθμι ως προς το χρόνο θ έχουμε: t 4 t t s 3s 0 8
Τη χρονική στιγμή t το σώμ περνάει πό τη θέση 5 στιγμή t κτεβίνοντς. Οι τχύτητες που θ έχει ντίστοιχ θ είνι: υ υ gt 0 /s, κτά την άνοδο του σώμτος. 0 υ υ gt 0 /s, κτά την κάθοδο του σώμτος. o Φυσική της Α Λυκείου νεβίνοντς, ενώ τη χρονική. Πάνω σε έν λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκοντι δύο μάζες με = Kg κι = 3 Kg που çñåì ï ýí äåì Ýí åò óôéò Üêñåò åí üò ôåí ôùì Ýí ï õ ó ï éí éï ý ùñßò ì Üæá ì å ì Þêï ò = 4. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 στη μάζ σκείτι στθερή οριζόντι δύνμη μέτρου F = 8 N. Αν τη χρονική στιγμή t = 3s το σχοινί σπάει, ενώ η δύνμη συνεχίζει ν σκείτι στη μάζ, ν βρείτε την πόστση μετξύ των μζών τη χρονική στιγμή t = 5s. κι τχύ- F 8N Μέχρι τ 3s οι μάζες κινούντι μζί με F ολ / s 4kg τητ υ υ t υ υ 6 / s. F Μετά πό t 3s η κινείτι με επιτάχυνση: F 8 / s κι η συνεχίζει με στθερή τχύτητ υ. Ισχύει: Δt t t Δt s. Οπότε έχουμε: d d υ Δt Δt υ Δt d 0 0 9
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Δυνμική στο επίπεδο Σύνθεση δύο ομοεπιπέδων δυνάμεων. F ημφ Μέτρου: F F F F F συνφ Κτεύθυνσης: εφθ, F F συνφ θ F,F Σύνθεση δύο κθέτων ομοεπιπέδων δυνάμεων. F Μέτρου: F F F Κτεύθυνσης: εφθ F, θ F,F Σύνθεση πολλών ομοεπιπέδων δυνάμεων. Μέτρου: ΣF ΣF ΣF Κτεύθυνσης: εφθ Ισορροπί ομοεπιπέδων δυνάμεων: ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣF 0 ΣF ΣF, θ ΣF,ΣF ΣF 0 Τριβή ολίσθησης: T μ Ν ος Ν. Νεύτων σε δινυσμτική κι λγεβρική μορφή ΣF ΣF ΣF Σχέση Δυνάμεων Είδος Κίνησης στον Είδος Κίνησης στον άξον άξον ΣF 0 κι ΣF 0 0 Ισορροπεί 0 Ισορροπεί ΣF 0 κι ΣF 0 ΣF Επιτχύνετι 0 Ισορροπεί ΣF 0 κι ΣF 0 0 Ισορροπεί ΣF Επιτχύνετι ΣF 0 κι ΣF 0 ΣF Επιτχύνετι ΣF Επιτχύνετι 0
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΞΗΣ ΖΥΓΑΡΙΑΣ ΓΙΑ ΣΩΜΑ ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΜΕΣΑ ΣΕ ΑΣΑΝΣΕΡ. Ασνσέρ κίνητο ή σνσέρ που κινείτι με στθερή τχύτητ. Ισχύει ΣF 0 N B 0 N B. Η ζυγριά θ δείχνει το βάρος του σώμτος. β. Ασνσέρ που νεβίνει με επιτάχυνση (ή κτεβίνει με επιβράδυνση ). Ισχύει: ΣF Ν Β N g Ν g Η ένδειξη της ζυγριάς είνι μεγλύτερη πό το βάρος του σώμτος. γ. Ασνσέρ που κτεβίνει με επιτάχυνση (ή νεβίνει με επιβράδυνση ). Ισχύει: ΣF B N N g (g ) Η ένδειξη της ζυγριάς είνι μικρότερη πό το βάρος του σώμτος. Προσοχή! Αν g τότε Ν=0. Το σώμ εκτελεί ελεύθερη πτώση, με την επίδρση μόνο του βάρους του Εφρμογή: Ν ποδειχθεί ότι ο συντελεστής τριβής ότν το σώμ ξεκινά ν κινείτι με στθερή τχύτητ είνι μ = εφφ. Είνι η ελάχιστη γωνί κεκλιμένου επιπέδου γι την οποί έν σώμ είνι έτοιμο ν ολισθήσει με την επίδρση του βάρους του. Τη στιγμή που γι την γωνί φ το σώμ είνι έτοιμο ν ολισθήσει η σττική τριβή έχει πάρει τη μέγιστη τιμή της Tσ Τσ a μσν Θ ισχύει: ΣF 0 (ορικά) σa σ σ σ Β Τ gημφ μ Ν gημφ μ gσυνφ εφφ μ Η γωνί φ λέγετι γωνί τριβής.
Δυνμική στο επίπεδο. Το σώμ του διπλνού σχήμτος ισορροπεί υπό την επίδρση Λύση Τ Τ της οριζόντις δύνμης F. Η μάζ του σώμτος είνι = kg ο κι η γωνί φ 60. Ν βρεθεί η τιμή της δύνμης F κι η τάση του νήμτος. Δίνετι: g 0 s T ημφ T συνφ ΣF 0 F T 0 F T ημφ () ΣF 0 B T 0 g T συνφ () Διιρούμε τις σχέσεις (), (): () F T ημφ F εφφ F 0 3N () g Τ συνφ g F 0 3N () T 0Ν ημφ 3 3. Σώμ μάζς kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο που προυσιάζει συντελεστή τριβής μ = 0,. Τη χρονική στιγμή t0 0 στο σώμ σκείτι στθερή οριζόντι δύνμη μέτρου F = 8N κι το σώμ ξεκινάει. Αν η δύνμη κτργείτι μετά πό 5s, ν βρεθούν ο συνολικός χρόνος κίνησης κι το συνολικό διάστημ που δινύει το σώμ. Δίνετι g 0. s Λύση
Πριν κτργηθεί η δύνμη: ΣF 0 N B 0 N g 0N T μ N 0, 0N N F T ΣF F T 6 / s υ t 30 / s t 75 Μετά την κτάργηση της δύνμης: υ 0 υ t t 5s υ t t 5 Τ ΣF Τ / s Συνεπώς ο συνολικός χρόνος είνι: t t t 5 5s 0s κι το συνολικό διάστημ: 75 5 300 ο 4. Σώμ φήνετι ν ολισθήσει σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίς κλίσης φ 30. Ο συντελεστής Λύση τριβής ολίσθησης νάμεσ στο σώμ κι στο επίπεδο είνι μ 0, 3. Ν βρεθεί το διάστημ που έχει δινύσει το σώμ μέχρι τη στιγμή που η τχύτητά του γίνετι 0/s. Δίνετι: g 0 s ΣF 0 N B 0 N gσυνφ Τ μ Ν μ g συνφ ΣF B T 3 0 0, 3 0 / s / s υ 0 Όμως: υ t t s 5s κι s t 5 5 3
00N που σχημτίζει 5. Σώμ μάζς 0 3kg κινείτι με στθερή τχύτητ μέτρου υ 0/ s σε οριζόντιο δρόμο με την επίδρση δύνμης μέτρου F ντιο επίπεδο, όπως στο σχήμ. ο θ 60 με το οριζό- Μετά πό t 0s η F κτργείτι. Ν βρεθούν:. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μετξύ σώμτος κι επιπέδου β. Ο χρόνος που πιτείτι γι ν στμτήσει το σώμ, μετά την κτάργηση της δύνμης. Δίνετι: g 0 / s Λύση. Διδρομή ΑΓ: Ανλύουμε την F σε δύο συνιστώσες F κι F με μέτρ 3 F Fσυνθ 00Ν 50Ν κι F Fημθ 00Ν 50 3Ν Επειδή το σώμ κινείτι με υ στθ. Ισχύει: ΣF 0 F T 0 F T T 50N Από την συνθήκη ισορροπίς στον κτκόρυφο άξον έχουμε: ΣF 0 F N B 0 N B F Ν g Fημθ Ν 50 3N Τ 50Ν 3 T μν μ μ Ν 50 3Ν 3 β. Μετά την κτάργηση της F η μόνη οριζόντι δύνμη είνι η τριβή, η οποί επιβρδύνει κι τελικά στμτά το σώμ Τ ' 0 3 ΣF T ' / s 3 υ0 όπου T' μ Ν ' Τ' μ g Τ 00N κι t t 3 s 6. Σώμ εκτοξεύτι πό τη βάση κεκλιμένου επιπέδου κλίσης ο θ 30 με υ 0/ s. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης με- 3 τξύ σώμτος κι κεκλιμένου επιπέδου είνι μ ν βρεθούν: 5. Η πόστση που δινύει στο κεκλιμένο επίπεδο μέχρι ν στμτήσει στιγμιί. β. Ν εξετστεί ν θ επιστρέψει στη βάση του κεκλιμένου κι ν νι, σε πόσο χρόνο κι με ποι τχύτητ. (Δίνετι ο συντελεστής ορικής τριβής σώμτος κι κεκλιμένου επιπέδου g 0 / s ). 3 μ' κι 4 4
Λύση. Η πόστση που δινύει το σώμ μπορεί ν βρεθεί ή με εφρμογή του νόμου Νεύτων ή με το θεώρημ μετβολής της κινητικής ενέργεις. Γνωρίζουμε επίσης ότι: B gσυνθ, Β gημθ Οι δυνάμεις σκούντι στη διεύθυνση κίνησης του σώμτος είνι η κι T που επιβρδύνουν το σώμ, οπότε γι το διάστημ που δινύει μέχρι ν στμτήσει ισχύει: Iσχύει στον : ΣF 0 N B gσυνθ Τ μν T μgσυνθ ΣF Β T gημθ μ gσυνθ 8 / s Ισχύει: Από την () έχουμε: s S 5. υ 0 B υ 0 s. β. Γι ν εξετάσουμε ν θ επιστρέψει στη βάση, σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που σκούντι στο σώμ. Γι ν κινηθεί προς τ κάτω θ πρέπει: 3 3 3 Β Tστ gημθ μστgσυνθ ημθ μστσυνθ που ισχύει, άρ το 4 8 σώμ επιστρέφει. Β T Έχουμε: ΣF Β T ' /s S 5 S t t t 5s κι υ επ t υεπ 0 / s / s 7. Ότν το σύστημ του σχήμτος φεθεί ελεύθερο ν βρεθούν:. Το διάστημ που δινύει η σε s β. Η τχύτητ του σε s γ. Η τάση του νήμτος Δίνοντι: 5kg, g 0 / s κι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του με το δάπεδο μ 0,5. (Η τροχλί θεωρείτι βρής) Λύση Εφρμόζουμε το ο Νόμο του Νεύτων γι κάθε σώμ χωριστά με τις δυνάμεις που φίνοντι στο σχήμ: γι το : ρ 5 ΣF Τ Τ Τ μ g γι το : ΣF Β Τ g Τ
g μ g 3,75 / s. Γι το διάστημ που δινύει το σε t s έχουμε: β. υ t υ 7,5 / s S t S 7,5 γ. T μg Τ 3, 5N (Επειδή τ δύο σώμτ συνδέοντι με τεντωμένο νήμ, κάθε στιγμή έχουν την ίδι τχύτητ, οπότε κι οι μετβολές των τχυτήτων τους στη μονάδ του χρόνου είνι ίσες, άρ έχουν κι ίσες επιτχύνσεις ) Έργο στθερής δύνμης: W Θ.Μ.Κ.Ε.: K Κ W τελ. ρχ F ολ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Διτήρηση της μηχνικής ενέργεις F F συνθ Δυνμική βρυτική ενέργει: U g h Έργο δύνμης λληλεπιδράσεων: W ΔU U U U U F Μηχνική ενέργει: E K U υ g h Ισχύς: W P. Αν F στθ., υ στθ. t κι ομόρροπ τότε: Ρ F υ 6
Διτήρηση της μηχνικής ενέργεις 8. Σώμ μάζς 5kg σύρετι πάνω σε τρχύ οριζόντιο δάπεδο πό μι στθερή δύνμη F = 70N που σκείτι με γωνί 30 ο πάνω πό το οριζόντιο επίπεδο. Το σώμ μεττοπίζετι κτά 5 κι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είνι 0,3. Ν βρείτε: Λύση. Το έργο της F, β. το έργο της τριβής, γ. το έργο της κάθετης ντίδρσης, δ. το έργο του βάρους, ε. το συνολικό έργο στ. ν το σώμ ξεκινά πό την ηρεμί, ποι θ είνι η τχύτητά του στο τέλος των 5; Δίνετι g 0 s ο ο ΣF 0 N Fημ30 Β 0 Ν Β Fημ30 Ν 5Ν Άρ Τ μ Ν 0,35Ν 34,5Ν ο 3. Το WF Fσυν45 70Ν 5 75 3 J β. Το WT T 34, 5N 5 7, 5J γ. Το WN 0 γιτί η N είνι κάθετη στην μεττόπιση δ. Το WB 0 γιτί το B είνι κάθετο στην μεττόπιση ε. Το W W F W T W N W B 30,6 J στ. Εφρμόζω το Θ.Μ.Κ.Ε.: K τελ K ρχ Wολ υ Wολ W ολ υ 4,7 s 9. Σώμ μάζς = kg φήνετι στο σημείο Α κεκλιμένου επιπέδου γωνίς κλίσης φ = 60 ο που βρίσκετι σε ύψος h = πάνω πό το οριζόντιο επίπεδο. Ότν το σώμ φθάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου συνεχίζει σε οριζόντιο επίπεδο, μέχρι ν στμτήσει. 3 Αν το σώμ προυσιάζει τον ίδιο συντελεστή τριβής κι στ δύο επίπεδ μ = ν 4 βρεθούν:. Η τχύτητ του σώμτος στη βάση Γ του κεκλιμένου επιπέδου. β. Η μεττόπιση του σώμτος πάνω στο οριζόντιο επίπεδο. γ. Τις μεττροπές ενέργεις που έχουμε κτά τη διάρκει της κίνησης. δ. Το ποσοστό της ρχικής δυνμικής ενέργεις που γίνετι θερμότητ, στην κίνηση πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. Λύση 7
B Bημφ g ημφ, Β Βσυνφ g συνφ h h ημφ Δ Δ ημφ. Θ.Μ.Κ.Ε. Α Γ : ΣW F = ΔΚ W W W W K Κ B B T N Γ Α WB W T KΓ Β Δ T Δ υγ h h g ημφ μ g συνφ υ Γ ημφ ημφ h συνφ υγ (g h μ g συνφ ) υγ g h μ ημφ ημφ υ Γ WN 0, 5 / s W 0 κι KA 0 B ΣF 0 Ν Β 0 Ν Β Ν Βσυνφ Ν g συνφ β. Στο οριζόντιο επίπεδο ισχύει: ΚΔ 0 κι WΒ 0, ΣF 0 Ν Β 0 Ν Β Ν g Θ.Μ.K.Ε. Γ Δ : ΣWF ΔΚ υγ WB WN WT K Δ Κ Γ Δ Δ 3 μ g Πρέπει ν ξέρεις: - ότι εάν είνι άγνωστο έν πό τ υ, υ 0, ΣF, χρησιμοποιούμε το Θ.Μ.Κ.Ε. γ. Η ρχική Δυνμική ενέργει στο Α, μέσω του έργου του βάρους, μεττρέπετι σε κινητική στο Γ κι μέσω του έργου της τριβής μεττρέπετι κι σε θερμότητ μέχρι το Γ. Μετά, όλη η κινητική στο Γ θ μεττρπεί, μέσω του έργου της τριβής, σε θερμότητ έως το Δ. δ. Uβ g h 0J, άρ K υγ K,5 J Q Uβ K 0J,5J 7,5 J, επομένως: Q U β 7,5 J 0,75 ή 75% 0 J 0. Σώμ μάζς = 4kg που ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο δέχετι δύνμη F = 0N υπό γωνί φ, ως προς υτό, κι φού το μεττοπίσει κτά Δ 5 πύει ν - σκείτι. Το σώμ συνεχίζει ν κινείτι κι στμτάει λόγω τριβών. Αν ο συντελεστής μετξύ σώμτος κι επιπέδου είνι μ = 0,, ν βρεθούν:. η τχύτητ του σώμτος ότν πύει ν σκείτι η δύνμη 8
Λύση β. η συνολική μεττόπιση του σώμτος. Δίνετι: ημφ = 0,8, συνφ = 0,6, υ 0 = 0 ΣF 0 Ν F Β 0 Ν Β F Ν g Fημφ Τ μν μ g fημφ Πρέπει ν ξέρεις: - ότι εάν είνι άγνωστο έν πό τ υ, υ 0, ΣF, χρησιμοποιούμε το Θ.Μ.Κ.Ε.. Θ.Μ.Κ.Ε. ΣWf ΔΚ WF WF WB WN WΓ KΓ KA Fσυνφ Δ μ g Fημφ Δ υ υ 3 / s β. ΣF 0 Ν Β 0 Ν Β Ν g Τ μν μ g. Επειδή ΣWF T N B Δ Γ ΔΚ W W W K Κ μ g Δ Δ υ υ 4, 5. Δολ Δ Δ 5 4, 5 9,5 μ g 9