ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΟΓΔΟΟ-ΜΕΓΙΣΤΑ & ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΟΓΔΟΟ-ΜΕΓΙΣΤΑ & ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Ποια η ποσότητα που μεγιστοποιεί τα κέρδη μιας επιχείρησης σε πλήρη ανταγωνισμό; Ποια η ποσότητα που μεγιστοποιεί τα κέρδη μιας επιχείρησης όντας μονοπώλιο; Ποια η ποσότητα που ελαχιστοποιεί το κόστος μιας επιχείρησης; Πώς οι διάφορες πολιτικές επηρεάζουν την μεγιστοποίηση των κερδών της επιχείρησης;

ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Η αριστοποίηση αφορά την εύρεση τιμών των ανεξάρτητων μεταβλητών για τις οποίες η εξαρτημένη μεταβλητή αποκτά την μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή της. Μεγάλη σημασία δίνεται στην ύπαρξη συναρτήσεων που έχουν μια, δύο ή παραπάνω ανεξάρτητες μεταβλητές.

ΜΕΓΙΣΤΑ-ΕΛΑΧΙΣΤΑ Ολικό Μέγιστο: Μια συνάρτηση f(x) θα εμφανίζει στο σημείο ολικό μέγιστο όταν: * x * f ( x ) f ( x) x Ολικό Ελάχιστο: Μια συνάρτηση f(x) θα εμφανίζει στο σημείο ολικό ελάχιστο όταν: * x * f ( x ) f ( x) x

ΜΕΓΙΣΤΑ-ΕΛΑΧΙΣΤΑ Τοπικό Μέγιστο: Μια συνάρτηση f(x) θα εμφανίζει στο σημείο * ολικό μέγιστο όταν. x * * * f ( x ) f ( x) x x x Τοπικό Ελάχιστο: Μια συνάρτηση f(x) θα εμφανίζει στο σημείο ολικό ελάχιστο όταν. * x * * * f ( x ) f ( x) x x x

ΣΥΝΘΗΚΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Κριτήριο Πρώτης Παραγώγου: Συνεχείς συναρτήσεις σε κλειστό και ορισμένο διάστημα παρουσιάζουν μέγιστο ή ελάχιστο στο σημείο * όταν ' * x f ( x ) 0 Κριτήριο Δεύτερης Παραγώγου Θεωρούμε ότι η συνάρτησή μας είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ασφαλώς συνεχής οπότε: f ( x ) 0 και f ( x ) 0, τοπικό μέγιστο στο x ' * '' * * f ( x ) 0 και f ( x ) 0, τοπικό ελάχιστο στο x ' * '' * * f ( x ) 0 και f ( x ) 0, σημείο καμπής στο x ' * '' * *

ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η συνάρτηση κερδών μιας επιχείρησης δίνεται ως εξής: 3 ( Q) 1 Q 9Q 6Q Σε ποιο σημείο παραγωγής η συγκεκριμένη επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της;

ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Γραφική Παράσταση Συνάρτησης Κέρδους

ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 150 100 50 0 4 6 8 10 0 40 60 80 100 4 6 8 10 Πρώτη Παράγωγος Δεύτερη Παράγωγος

ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η πρώτη παράγωγος είναι ενώ η δεύτερη παράγωγος Με βάση την πρώτη παράγωγο υπολογίζουμε τις ποσότητες που μεγιστοποιούν τα κέρδη της επιχείρησης Q 3, Q 1 ( Q ) 9 1 Q 3 Q ' '' ( Q ) 1 6 Q Στην ποσότητα Q 3 η δεύτερη παράγωγος είναι Θετική ενώ στην ποσότητα Q=1 είναι αρνητική. Ποια από τις δύο ωστόσο κάνουμε αποδεκτή;

ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Οι συνθήκες για το σημείο στασιμότητας μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών είναι όμοιες με εκείνες για την μία μεταβλητή. Οι συνθήκες για τα διάφορα κρίσιμα σημεία δίνονται παρακάτω:

ΣΤΑΣΙΜΑ-ΚΡΙΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ Σημεία στάσης ή κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης z=f(x,y)/d καλούμε αυτά στα οποία η κλίση της συνάρτησης f είναι ίση με το μηδέν δηλαδή: f x f y 0 ΣΗΜΕΙΑ ΣΤΑΣΗΣ ΤΟΠΙΚΟΥ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΣΑΓΜΑΤΙΚΑ ΤΟΠΙΚΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟ Υ

ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ-ΘΕΩΡΙΑ Κριτήριο Δεύτερης Παραγώγου Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f=f(x,y) είναι κλάση C σε μια περιοχή του σημείου Po(Xo,Yo) στο οποίο ισχύει ότι f ( x, y ) f ( x, y ) 0, σ η μ ε ίο σ τ ά σ η ς. Ε ά ν x 0 0 y 0 0 f ( x, y ), f ( x, y ), f ( x, y ), x x 0 0 x y 0 0 y y 0 0

ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ-ΘΕΩΡΙΑ Κριτήριο Δεύτερης Παραγώγου 1. f ( x, y ) 0, f ( x, y ) 0, x 0 0 y 0 0 f ( x, y ) 0, f ( x, y ) 0, x x 0 0 y y 0 0 x x 0 0 y y 0 0 x y 0 0 0 0 y 0 0 0 0 y y 0 0 x x 0 0 y y 0 0 x y 0 0 f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) 0, Τ Ο Π ΙΚ Ο Μ Ε Γ ΙΣ Τ Ο. f ( x, y ) 0, f ( x, y ) 0, x f ( x, y ) 0, f ( x, y ) 0, x x f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) 0, Τ Ο Π ΙΚ Ο Ε Λ Α Χ ΙΣ Τ Ο 3. f ( x, y ) 0, f ( x, y ) 0, x 0 0 y 0 0 x x 0 0 y y 0 0 x y 0 0 0 0 y 0 0 x x 0 0 y y 0 0 x y 0 0 f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) 0, Σ Α Γ Μ Α Τ ΙΚ Ο Σ Η Μ Ε ΙΟ 4. f ( x, y ) 0, f ( x, y ) 0, x f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) 0,

ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟ ΣΑΓΜΑΤΙΚΟ

ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Μια επιχείρηση έχει την παρακάτω συνάρτηση παραγωγής: P ( K, L ) 4 K L 3 L K 6 L 1 4 K όπου Κ το κεφάλαιο που χρησιμοποιεί και L ο αριθμός των μονάδων εργασίας. Να υπολογίσετε τα K,L τα οποία μεγιστοποιούν την συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης.

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

ΛΥΣΗ Υπολογίζουμε τις πρώτες και δεύτερης παραγώγους της παραπάνω συνάρτησης: P ( K, L ) P ( K, L ) 4 L 4 K 1 4, 4 0 K K P ( K, L ) P ( K, L ) 4 K 6 L 6, 6 0 L L Λύνοντας το σύστημα για τις πρώτες παραγώγους έχουμε τις τιμές για τα Κ=13.5,L=10. Προφανώς μπορούμε να μιλήσουμε ότι το σημείο είναι τοπικό μέγιστο καθώς P ( x, y ) 0, P ( x, y ) 0, xx 0 0 yy 0 0 P ( x, y ) P ( x, y ) P ( x, y ) 0 xx 0 0 yy 0 0 xy 0 0

ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΥΠΟ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ LANGRANGE Τα ακρότατα που έχουμε υπολογίσει μέχρι στιγμής καλούνται ελεύθερα γιατί οι μεταβλητές είναι ανεξάρτητες. Ωστόσο υπάρχουν και μεταβλητές που δεν είναι (πεπλεγμένες συναρτήσεις). F ( x, y ) g ( x, y ) L ( x, y, )

ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΥΠΟ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Η μέθοδος Langrange αποτελεί την πιο γνωστή μεθοδολογική αντιμετώπιση των παρακάτω προβλημάτων μεγιστοποίησης ελαχιστοποίησης συναρτήσεων υπό περιορισμό Συνίσταται στην εύρεση μερικών παραγώγων πρώτης τάξης καθώς και των σημείων στασιμότητας της συνάρτησης F ( x, y ) s. t g ( x, y ) 0 F ( x, y ) g ( x, y ) L ( x, y, )

ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΥΠΟ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Το λ ονομάζεται πολλαπλασιαστής Lagrange και στο σημείο αριστοποίησης μας δείχνει τις επιπτώσεις στην άριστη τιμή της συνάρτησης από μια ελάχιστη μεταβολή του περιορισμού. Οι συνθήκες πρώτης τάξης δίνονται ως εξής: L ( x, y, ) x L ( x, y, ) y L ( x, y, ) 0 f ( x, y ) g ( x, y ) 0 * * * * 1 1 0 f ( x, y ) g ( x, y ) 0 * * * * * * 0 g ( x, y ) 0

ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΥΠΟ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Θα πρέπει να τονίσουμε ότι οι συνθήκες για την εύρεση των ακροτάτων σημείων ακολουθεί τις περιπτώσεις που αναπτύχθηκαν πριν. Ωστόσο στην περίπτωση που έχουμε καμία απάντηση θα μπορούσαμε να έχουμε τις εξής υποπεριπτώσεις: g g g x, g y, g x L y y g y g x g y L x x x y A A 0, έ A 0, ά A 0, ί ά

ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΥΠΟ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Μια επιχείρηση παράγει ένα προϊόν χρησιμοποιώντας κεφάλαιο και εργατικό δυναμικό με βάση την ακόλουθη συνάρτηση Ωστόσο υπάρχει ο εξής περιορισμός: με K,L το κόστος μιας μονάδας του προϊόντος και διαθέσιμο εισόδημα 480 χρηματικές μονάδες. Για ποιες ποσότητες K,L μεγιστοποιεί την παραγωγής της η επιχείρηση; P ( K, L ) 1 6 0 K 1 0 3 L 4 K 1.0 3 L 6 4 K 5 1.5 L 4 8 0

ΛΥΣΗ (1) Σχηματίζουμε την παρακάτω συνάρτηση L K L K L K L K L (,, ) 1 6 0 1 0 3 4 1.0 3 ( 6 4 5 1.5 4 8 0 ) Παραγωγίζουμε με βάση τα παρακάτω: L ( K, L, ) K L ( K, L, ) L L ( K, L, ) 1 6 0 8 K 6 4 0 1 0 3.0 6 L 5 1.5 0 6 4 K 5 1.5 L 4 8 0 0

ΛΥΣΗ () Επιλύουμε το σύστημα και υπολογίζουμε τις τιμές των K,L,λ. K 4.9 9, L 3.1 1, 1.8 7 4 Υπολογίσουμε τις παραγώγους δεύτερης τάξεως: L ( K, L, ) K 8 0 L ( K, L, ) L.0 6 L 0 L ( K, L, ) K L 0 Οπότε η ποσότητα f ( a, b) f ( a, b) f ( a, b) 16.48 0, xx yy xy ΤΟΠΙΚΟ ΜΕΓΙΣΤΟ

ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΣΣΙΑΝΗΣ ΟΡΙΣΟΥΣΑΣ Για την συνάρτηση ανοικτό υποσύνολο S του έχουμε τα εξής: f f H f f 11 1 1 y f( x, x ) 1 ορισμένη σε ένα παραγωγίσιμη φορές θα Αποτελεί έναν εύκολο απομνηνευτικό τρόπο ελέγχου των συνθηκών δεύτερης τάξης. R n Εσσιανή Ορίζουσα

ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΣΣΙΑΝΗΣ ΟΡΙΣΟΥΣΑΣ Στην περίπτωση που έχουμε μια συνάρτηση δύο * * μεταβλητών και ένα σημείο y f( x ως σημείο στάσης 1, x ) μπορούμε να έχουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Εάν θεωρήσουμε την f f H f f 11 1 1 τότε 1. Εάν. Εάν 3. Εάν f 0 κ α ι f f f 0, τό τε έχου μ ε το π ικ ό μ έγισ το 1 1 1 1 1 1 f 0 κ α ι f f f 0, τό τε έχουμε το π ικ ό ελ ά χ ισ το 1 1 1 1 1 1 f1 1 f f1 1 0, τό τε έχο υ μ ε σ α γ μ α τικ ό σ η μ είο

ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΣΣΙΑΝΗΣ ΟΡΙΣΟΥΣΑΣ Η εσσιανή ορίζουσα αποτελείται από όλες τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης. Εάν θεωρήσουμε την συνάρτηση υποσύνολο S του y f( x1, x,..., x n ) n R ορισμένη σε ένα ανοικτό, τότε η εσσιανή ορίζουσα H f f... f 11 1 1n f f... f 1 n............ f f... f n1 n nn 1. Εάν. Εάν H 1, H,..., H n > 0 τό τ ε έχο υ μ ε το π ικ ό ελ ά χισ τ ο H 1 < 0, H > 0,..., H n > 0 τ ό τ ε έχο υ μ ε τ ο π ικ ό μ έγισ τ ο

Εφαρμογές 1 Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων: 3 1. y 4x 8y 43x 144 y 50. z 5x 15xy 5y 3 3 3. w 8x 10x xz 3y 5y 3yz 6z 3

Εφαρμογές Ένας μονοπωλητής παράγει δύο προϊόντα με τις ακόλουθες συναρτήσεις ζήτησης: 90 6 3 Η συνάρτηση κόστους του για τα δύο αυτά προϊόντα δίνεται ως εξής. Να υπολογίσετε τις ποσότητες που μεγιστοποιούν τα κέρδη του μονοπωλητή TC 4Q QQ 3Q 1 1 P Q Q 1 1 P 55 Q 5Q 1

ΤΙ ΝΑ ΔΙΑΒΑΣΩ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕ ΤΙΤΛΟ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ