ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 59 α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. β. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. γ. Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ορθογώνιο ( Δ = 90º) και ΔΑ ΕΖ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες i. ii. : ΔΖ + ΕΖ = ΔΕ iii. ΔΕ + ΔΖ = ΕΖ iv. ΔΖ ΕΑ α. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; ΕΖ = ΕΔ = ΔΕ ΔΑ β. Πότε μια γωνία θα λέγεται εγγεγραμμένη σε κύκλο; γ. Στο διπλανό σχήμα, το σημείο Ο είναι κέντρο του κύκλου και ΑΒ διάμετρος. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω σχέσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. i. ΑΒ = 90º, ii. Β = 70º, iii. ΒΔ = 5º, iv. ΒΟ = 60º Να βρείτε τις ακέραιες κοινές λύσεις των ανισώσεων : ( x 4) 3x < 4x 18 και 3x x 4 5 6 4 3 Στο διπλανό σχήμα, το ΑΒΔ είναι τραπέζιο και E Ο 5º 11 Δ Z ΑΕ Δ. Αν ΑΒ = 10 m, Δ = 0,9m, ΑΔ = 8m, = 45º και ΔΑΕ = 60º, να υπολογίσετε: α. το ύψος ΑΕ. Δ 60º E 45º β. την πλευρά Β. γ. το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΔ. Α Στο διπλανό σχήμα, το Ο είναι το κέντρο του κύκλου και ΟΑ Ο. Αν ΑΒ =15 m και ΟΒ = 9 m, να υπολογίσετε: α. την ακτίνα του κύκλου. β. το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του κυκλικού δίσκου.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 60 Θεωρία 1 η Α. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το ημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου; Αιτιολογήστε την απάντησή σας Β. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας των 45º (σχήμα απόδειξη). Ποιοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των 30º, 60º Θεωρία η Α. Τι είναι κλίση της ευθείας y = αx Β. Σε ποιο τεταρτημόριο ανήκει καθένα από τα σημεία: Α(, 4) Β(3, 1), ( 8, 4 ). Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: y = αx + β και y = α x Να συναληθευτούν οι ανισώσεις: 4x + 5 7x 3 < 3 και 3 x x >3 6 4 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ( Α = 90º), με Α = 8cm, Β = 10cm. Να υπολογιστούν: Α. η ΑΒ Β. το εμβαδόν του ΑΒ. το ύψος ΑΔ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα Δ. το εμβαδόν του ημικυκλικού δίσκου που γράφεται με διάμετρο την ΑΒ Αν Α = 30º και η χορδή Β = 6cm, να υπολογιστεί το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΒΟ. 6cm
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 61 Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα Β. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με Α = 90º ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές α. και ποιες λάθος; ΑΒ = β. Β = Β + Α ΑΒ + Α γ. Α = Β ΑΒ Α. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α x; Β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α x + β;. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 7x + 5 έχει κλίση 5 β. Οι γραφικές παραστάσεις των y = 18x +10 και y = 10x είναι παράλληλες. γ. Στη συνάρτηση y = 0x τα ποσά x και y είναι ανάλογα. δ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 3x περνά από την αρχή των αξόνων. Α. Να λυθεί η εξίσωση: 5(x ) = x 18 Β. Να λυθεί η ανίσωση x 4 5 > x 0 και να παρασταθούν γραφικά οι λύσεις.. Ποιοι από τους αριθμούς και + 0 αποτελούν λύση: α. της εξίσωσης και β. της ανίσωσης; Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒ φέραμε το ύψος του ΑΔ. Επίσης ΔΒ = 4cm, ΑΔ = 3cm και Α = 13 cm. Ζητείται: α. Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΑΒ και Δ. β. Να υπολογίσετε την εφαπτομένη και το συνημίτονο της γωνίας Β. γ. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο Στο διπλανό σχήμα είναι γνωστό ότι το τμήμα ΑΒ είναι διάμετρος και το είναι σημείο του κύκλου. 30º Επίσης ΑΒ = 0cm και Α = 30º. Ζητείται: Α. Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου. Β. Να δικαιολογήσετε γιατί η γωνία είναι ορθή και στη συνέχεια να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων Β και Α.. Να υπολογίσετε τα μήκη των τόξων Β και Α. Δίνεται: ημ30º = 1, συν30º = 3, εφ30º = 3 3. 13 cm 3cm 4cm
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 6 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; Β. Πώς συμβολίζεται η τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α;. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις: α. 16 = 8 β. 9= 3 γ. 4 = δ. 9 = 3 ε. 0, 04 = 0, στ. 0 = 0 Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα, να κατασκευάσετε αντίστοιχο σχήμα και να γράψετε την αντίστοιχη ισότητα. Να λύσετε την εξίσωση: ( ) 3 x 1 5x 3 = x 1 4 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90º) η πλευρές ΑΒ και Α είναι αντίστοιχα ΑΒ = 80cm και Β = 10dm. Να υπολογίσετε: Α. Τα ημίτονα, τα συνημίτονα και τις εφαπτομένες των οξειών γωνιών του τριγώνου ΑΒ Β. Το εμβαδόν του ΑΒ. Να κατασκευάσετε αντίστοιχο σχήμα Λυγίζουμε ένα σύρμα μήκους 1,56m, ώστε να σχηματίσει κύκλο. Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που αντιστοιχεί στο συρμάτινο κύκλο.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 63 Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Να σχεδιάσετε ορθογώνιο τρίγωνο και να γράψετε τη σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα.. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Α. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Β. Τι λέγεται γραφική παράσταση συνάρτησης;. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β, β 0 Α. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: x 9 5x 6 και x x > x 1 4x 3 3 4 Το τρίγωνο του σχήματος είναι ι- σοσκελές με ΑΒ = Α. Το ΑΔ είναι cm ύψος του με ΑΔ = 4cm και Β = 30º. 30 Να υπολογίσετε τις πλευρές του. Στον κύκλο (Ο, ρ) δίνεται Α = 1cm και Β = 16cm. ΑΒ διάμετρός του. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου σχήματος.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 64 α. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ( = 90 ) και να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της οξείας γωνίας Β. β. Συμπληρώστε τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς: ημ30 =..., συν 45 =..., ημ 60 =... Α. Να γράψετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις συμπληρώνοντας τα κενά: α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx+β, β 0, είναι... που περνάει από το σημείο (0,...) του άξονα... και είναι στην... y =... που περνάει από την αρχή των αξόνων. β. Κλίση της...y = αx + β ονομάζεται ο αριθμός... Β. ια τη συνάρτηση y = x 6 να x 0 συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών. y 0 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να τις παραστήσετε στον άξονα των πραγματικών αριθμών: 7x (x +1) 3(x 4) και x + x 10 > x + 3 3 6 Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο ΑΒ είναι εγγεγραμ- μένο σε ημικύκλιο κέντρου Ο και διαμέτρου Β. Αν η ακτίνα του ημικυκλίου είναι 10cm και η Α = 16cm, να υπολογίσετε: α. τη γωνία Α G β. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ γ. το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας Στο διπλανό σχήμα είναι: = 60 και ΒΔ =130 Να υπολογίσετε τις γωνίες θ, ω, φ, και σ 130º θ ω φ Δ 60º σ Σ
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 65 α. Διατυπώστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και εφαρμόστε το σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με = 90º β. Ένα τρίγωνο με πλευρές 5, 1, 13 μπορεί να είναι ορθογώνιο; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; β. Να εξετάσετε ποιες από τις ισότητες είναι Σωστές ή Λάθος: 16 = 8 9 3 = ( ) 3 = 3 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: α. ( x + 3) 10< 1 + 3( 5 + x ) x +1 5 3x β. x + 3 4 6 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους στο διπ- 4cm λανό σχήμα: Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ είναι Α = 90º Β = 10cm και Β = 30º. Να υπολογίσετε την ΑΒ και την Α όταν γνωρίζετε ότι το 3 1,7
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 66 α. Δίνεται η συνάρτηση y = αx. Ποια η γραφική της παράσταση; β. Πως λέγεται η γραφική της παράσταση της συνάρτησης α y = x ; γ. Ποια σχέση συνδέει δύο ανάλογα ποσά και ποια δύο αντιστρόφως ανάλογα ποσά; α. Τι ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία; β. Να διατυπώσετε την πρόταση που συσχετίζει την εγγεγραμμένη και την επίκεντρη γωνία. γ. Αν διπλασιαστεί ένα τόξο διπλασιάζεται και η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο ίδιο τόξο; ιατί; Να βρείτε τους αριθμούς για τους οποίους συναληθεύουν οι ανισώσεις: x x +1 και 5 3(x 1) x 3 + 1 4 3 Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α = 3(συν30º) + ημ30º 3 ημ60º εφ45º Στο διπλανό σχήμα είναι Α = 6cm και Β = 8cm. 6cm 8cm α. Να βρείτε την γωνία, β. Να βρείτε την πλευρά ΑΒ και γ. Το μήκος του κύκλου.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 67 α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; β. Ποια συνάρτηση εκφράζει δύο ποσά που είναι ανάλογα; γ. Τι γνωρίζετε για την γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης; δ. Τι γνωρίζετε για την συνάρτηση y = αx + β, β 0. α. Να γράψετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου. (Να κάνετε σχήμα) β. Μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται το ημίτονο μιας οξείας γωνίας; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. α. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: 3(x 3) (x 7) 4x (x+1) και x 3 + x + 1 > x x 1 3 β. Να βρείτε τις κοινές τους λύσεις και να τις παραστήσετε στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Υπάρχουν κοινές ακέραιες λύσεις και ποιες ; Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα ΑΒ και ΒΔ είναι ορθογώνια στα σημεία Α και Δ αντίστοιχα. Ακόμα = 1cm, = 5cm και Δ =30º α. Να υπολογίσετε τις πλευρές Δ και ΒΔ. β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΔ. Στο διπλανό σχήμα το μήκος του κύκλου είναι L = 1πcm. Αν Β είναι διάμετρος 5cm 1cm 30º του κύκλου και ΑΔ = 45º να βρείτε: α. το εμβαδόν Ε του κύκλου 45º β. μήκος του τόξου ΑΒ γ. το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου κυκλικού τμήματος.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 68 α. Να διατυπώσετε με λόγια το Πυθαγόρειο Θεώρημα. β. Να γράψετε την σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα για το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒ ( γωνία Δ ορθή). γ. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΚΛΜ, που έχει πλευρές ΚΛ = 5m, ΛΜ = 1m, MK = 13m είναι ορθογώνιο. ια ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ να δώσετε τους τύπους: α. Του μήκους του κύκλου. β. Του εμβαδού του κύκλου. γ. Του μήκους ενός τόξου μº. δ. Του εμβαδού του κυκλικού τομέα μº. Να λυθεί η εξίσωση: x 3 + x 5 Άσκηση η 4x 16 = 4 Σε ένα κυκλικό τομέα 54 ο το μήκος του αντίστοιχου τόξου είναι l = 7,536 m. Να βρείτε: α. Την ακτίνα ρ του κύκλου, στον οποίο ανήκει ο κυκλικός τομέας. β. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα Άσκηση 3η Μέσα σε ένα ορθό τετραγωνικό πρίσμα ύψους 1cm είναι τοποθετημένος ένας ορθός κύλινδρος, που έχει υ = 1cm το ίδιο ύψος με το πρίσμα, και ακτίνα βάσεως ρ = 4cm, που εφάπτεται και στις τέσσερες παράπλευρες έδρες του πρίσματος. α. Να βρείτε τον όγκο του πρίσματος. β. Τον όγκο του κενού μεταξύ της επιφάνειας του κυλίνδρου και των παράπλευρων εδρών του 54º ρ = 4cm υ = 1cm
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 69 Α. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της y = αx και πώς ονομάζεται ο α; Β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της y = αx + β και για ποια τιμή του α είναι παράλληλη με τη γραφική παράσταση της y = x.. Σε ποια σημεία η γραφική παράσταση της y = x τέμνει τους άξονες x x και y y Α. Τι ονομάζουμε κεντρική γωνία ενός κανονικού ν γώνου και με τι ισούται; Β. Τι ονομάζουμε γωνία ενός κανονικού πολυγώνου;. Αν η κεντρική γωνία ενός πολυγώνου είναι 180º πόσες μοίρες θα είναι η γωνία του; (Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας). Α. Να λυθεί η εξίσωση: Β. Να λυθεί η ανίσωση: 3x +1 = 7x 1 4 x +1 3x > x 5 6 3. Να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης ανήκει στις λύσεις της ανίσωσης. Σε κύκλο (Ο, ρ) δίνονται με τη σειρά τα σημεία Α, Β,, Δ έτσι ώστε να είναι ΑΒ = 160º, Β = 80º και το τόξο Δ είναι τριπλάσιο του τόξου ΔΑ. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΔ. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α = 8cm και γωνία Β = 30º, να υπολογίσετε: Α. το ΑΔ, ύψος από την κορυφή των ίσων πλευρών Β. το μήκος της βάσης Β. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 70 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται; Β. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πραγματικοί;. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές και με (Λ) αν είναι λανθασμένες: α. ( ) 7 = 7 β. Ο αριθμός 3 είναι ρητός γ. 36 = 6 δ. 100 = 10 ε. Ο αριθμός 64 είναι ρητός Α. Να γράψετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα (διατύπωση σχήμα τύπος) σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με ( Α = 90º). Β. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ ( Κ = 90º) να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω σχέσεις με (Σ) αν είναι σωστές και (Λ) αν είναι λάθος: α. ΚΜ = ΛΜ + ΛΚ β. ΛΚ = ΛΜ ΚΜ γ. ΛΜ = ΛΚ ΚΜ. Ένα τρίγωνο με πλευρές 5cm, 1cm, 13cm είναι ορθογώνιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Να συναληθεύσετε τις ανισώσεις: 3(x ) < (x +1) x και x 3 7x + 3 7 x 5 Στο διπλανό σχήμα είναι Α = 6cm και ΑΒ = 8cm. Να βρεθούν: Α. Η πλευρά Β του τριγώνου ΑΒ Β. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. Το μήκος L του κύκλου (Ο, ρ) Δ. Το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο ( Α = 90º) και η υποτείνουσα 8cm 6cm Β = 5cm. Αν συνβ = 3 να βρείτε: 5 5cm Α. Τις πλευρές ΑΒ, Α του τριγώνου ΑΒ Β. Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 71 Α. Να δώσετε τον ορισμό τετραγωνικής ρίζας θετικού αριθμού α Β. Να βρεθούν οι 81, 49 και 5 144 Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα (ορισμός) Β. Να γράψετε τον τύπο του Πυθαγορείου Θεωρήματος (να προηγηθεί το σχήμα) Να λυθεί η εξίσωση: 3x 6x + = 4x 5 Στο διπλανό σχήμα δίνονται: Α = 90º, Δ = 90º, 4m Δ = 4m, ΔΕ = 3m, Ε = 5m και Α = 7m.. Να βρεθούν τα ημ, συν και εφ. 7m 5m E 3m Β. Να βρεθεί η πλευρά ΑΒ Στο διπλανό σχήμα δίνονται ΑΒ διάμετρος του κύκλου, Α = 8m και Β = 6m. Να βρεθούν: Α. η γωνία ΑΒ Β. η ακτίνα ρ του κύκλου 8m 6m. το μήκος του κύκλου.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 7 Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις και να γίνει η διατύπωση της κάθε πρότασης: Α. Αν α < β τότε α + γ..β + γ, α γ β γ Β. Αν α < β και γ >0 τότε α γ.β γ και α γ.. β γ. Αν α < β και γ < 0 τότε α γ..β γ και α γ. β γ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με Α = 90º Α. Με τι ισούνται τα: ημβ, συνβ, εφβ;. Ποια σχέση συνδέει τα: ημβ, συνβ, εφβ; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Τι τιμές παίρνουν τα ημβ, συνβ; Δικαιολογείστε την απάντησή σας Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν 144 π cm. Να βρείτε: Α. Το μήκος του κύκλου Β. Το μήκος του τόξου του κύκλου που αντιστοιχεί σε τόξο 60º. Το εμβαδόν κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 60º Σε τρίγωνο ΑΒ οι πλευρές είναι: ΑΒ = 3 x 3, Α = 3 x + 1, Β = 4 x Αν η περίμετρος του τριγώνου είναι 48cm να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων 3 x 1 x +1 > 3 και ( 3 x 1 ) + x> ( ) x + 5 1
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 73 Α. Πότε δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα; Β. Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης που συνδέει τις αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως ανάλογων ποσών x και y και ό,τι γνωρίζετε για τη γραφική της παράσταση όταν x πραγματικός αριθμός.. Ο άξονας x x μπορεί να θεωρηθεί γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης; Αν ναι, να γράψετε την εξίσωση της συνάρτησης. Α. Να γράψετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου. Β. Πώς μεταβάλλεται το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας;. Να γράψετε και να εξηγήσετε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημίτονο και συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ω. Να επιλύσετε τις ανισώσεις: 6 8( x) (x 3) και x +1 5x 4 x 73 < 8x 3 6 και να παραστήσετε στον ίδιο άξονα τις κοινές τους λύσεις. Στο διπλανό σχήμα στον κύκλο με κέντρο Ο είναι ΑΒ = 5cm, Α= 5 3cm και ΒΑ = 30º. 5cm 5 3 cm Να βρείτε το μήκος του τόξου Β και το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΑΟ που περιέχει τη χορδή Α. Η παράπλευρη επιφάνεια κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 40cm και το ύψος μιας παράπλευρης έδρας της είναι 10cm. Να υπολογίσετε το μήκος των διαγωνίων της βάσης της και τον όγκο της πυραμίδας.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 74 α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; β. Ποια είναι η σχέση που συνδέει τις αντίστοιχες τιμές τους; γ. Ποια είναι η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης; α. Να διατυπώσετε λεκτικά το Πυθαγόρειο Θεώρημα. β. Να γράψετε τη σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα. γ. Με βάση το διπλανό σχήμα σημειώστε ποια ισότητα είναι σωστή (Σ) και ποια είναι λάθος (Λ). K ΚΜ = ΚΛ ΛΜ ΚΛ = ΚΜ ΛΜ ΛΜ = ΚΜ + ΚΛ ΚΛ = ΚΛ + ΛΜ ια ποιες τιμές του x συναληθεύουν οι παρακάτω ανισώσεις; 9 8( 4 x) 3( x + 4 ) και ( x +1) 4x 4x +1 > 3 6 Λ M Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ισοσκελές (ΑΒ = Α) με ΑΒ = 10cm, ύψος ΑΔ = 8cm και Α = 74º. Αν τα γραμμοσκιασμένα επίπεδα μέρη είναι κυκλικοί τομείς με κέντρα τα σημεία Β και. Να βρείτε: α. τις γωνίες Β και β. το μήκος της βάσης Β γ. το εμβαδόν και την περίμετρο του γραμμοσκιασμένου επίπεδου χωρίου. Στο διπλανό ορθογώνιο ΑΒΔ η βάση του είναι 4cm και η περίμετρός του είναι 14cm. Να υπολογίσετε: α. το ύψος Β β. τη διαγώνιο ΒΔ γ. τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της οξείας γωνίας ω. H Θ ω 4cm
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 75 Το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο με Λ = 90º. Α. Να συμπληρώσετε: ημ Κ =.., συν Κ =, εφ Κ =.., εφ Μ =, συν Μ =.. Β. Αν μία οξεία γωνία ω αυξάνεται, πώς μεταβάλλονται τα ημω, συνω, εφω;. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: ω ημω συνω εφω 30º 45º 60º Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α K Λ M Β. Να συμπληρώσετε: Αν α 0 και α = x τότε. α. Αν α 0 τότε ( ) α =.. β. 0 =. Στο διπλανό σχήμα η Β είναι διάμετρος του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι ΟΒ = 5cm. Η πλευρά του τριγώνου είναι ΑΒ = 6cm. Να υπολογίσετε: Α. την πλευρά Α του τριγώνου 6cm 5cm Β. τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημ Β, συν Β, εφ Β. Α. Να λύσετε την εξίσωση: (x 1) x + = x + 3 3 Β. Να λύσετε την ανίσωση:x (x ) > 4 x και να παραστήσετε τις λύσεις της σε άξονα.. Είναι η λύση της εξίσωσης και λύση της ανίσωσης; Στο διπλανό σχήμα η εγγεγραμμένη γωνία είναι ΒΑ = 30º. Η πλευρά του τριγώνου ΟΒ είναι 30 Β = 10cm. Να υπολογίσετε: Α. Τις γωνίες Ο, Β, του τριγώνου ΟΒ. 10cm Β. Τι είδος τριγώνου είναι το ΟΒ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.. Τι εμβαδόν του κύκλου Δ. Το μήκος του τόξου Β
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 76 Α. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β. Να γράψετε τους τύπους με τους οποίους υπολογίζουμε τη γωνία φ και την κεντρική γωνία ω ενός κανονικού πολυγώνου. Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο με γωνία φ = 140º. Α. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx; Β. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β, από ποιο σημείο διέρχεται και ποια η σχέση της με τη γραφική παράσταση της y = αx;. Δίνονται οι συναρτήσεις y = λx + κ και y = 5x. ια ποιες τιμές του λ οι γραφικές τους παραστάσεις δεν έχουν κοινό σημείο; Να λύσετε και να επαληθεύσετε την εξίσωση: x 8 3x + 7 5x 11 = x 8 3 4 6 Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με ΑΒ = 1cm, ΒΚ = 9cm, εφω = 3 4. Α. Υπολογίστε το τμήμα ΑΚ Β. Υπολογίστε το τμήμα Κ. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΚΔ είναι ορθογώνιο. Στο διπλανό σχήμα η Β είναι διάμετρος του κύκλου με κέντρο Ο και διάμετρο ίση με 0cm. Η γωνία του τριγώνου ΑΒ είναι = 30º. D 1cm ω 9cm K 30º Α. Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. Β. Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου ΑΒ.. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. Προσεγγιστικά ισχύει 300 = 17,3 και π = 3,14.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 77 α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. β. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ με Κ= 90 να ορίσετε τα ημλ, συνλ και εφλ. α. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α β. ιατί δεν ορίζεται η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού; Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων και να παραστήσετε αυτές τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών: α. 3x ( x 3) > 8 x β. x +1 x 1 3 x +1 6 Στο διπλανό σχήμα δίδονται 1cm 5cm Α= 90, ΑΒ = 5cm, Α = 1cm, ΒΔ = 8cm και Δ = 10cm. α. Να υπολογίσετε τη Β β. Να εξετάσετε εάν το τρίγωνο ΒΔ είναι ορθογώνιο (να δικαιολογήσετε την απάντησή σας). Σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ = 5cm η Α= 60. Να υπολογίσετε: α. το τόξο Β σε μοίρες β. το μήκος του τόξου Α γ. το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΒΟ. 10cm 60º 8cm
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 78 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α. ράψτε τη σχέση. Β. Εξηγήστε γιατί δεν υπάρχει ρίζα αρνητικού αριθμού.. Αν x= 4 τότε x =. Αν x = 9 να βρεθεί το x. Α. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β. ράψτε τους τύπους της γωνίας φ και της κεντρικής γωνίας ω κανονικού ν γώνου. Ποιου κανονικού πολυγώνου η κεντρική γωνία ω είναι 7º (εξήγηση) x + 6 8 x (x 1) x Α. Να λυθεί η εξίσωση: + = 6 3 3 Β. Να λυθεί η ανίσωση: x + 3 x 5 3 Να παρασταθούν οι λύσεις της γραφικά. Στο διπλανό σχήμα Β είναι η διάμετρος του κύκλου, ΑΒ = 60º, χορδή ΑΒ = 5cm. Να βρεθεί: 60º Α. το εμβαδόν του ΑΒ Β. το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του σχήματος. Στο διπλανό σχήμα είναι: ΚΛ = 3x 10º, K x+0º ΛΜ = x + 50º και ΚΜ = x + 0º. Να 3x-10º M βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου ΚΛΜ. Λ x+50º
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 79 Α. Πότε μια γωνία ονομάζεται εγγεγραμμένη; Β. Στον διπλανό κύκλο δίνεται η επίκεντρη γωνία ΑΟΒ. Να φτιάξετε μια εγγεγραμμένη που να βαίνει στο τόξο ΑΒ. Ποια είναι η σχέση μεταξύ εγγεγραμμένης και επίκεντρης που βαίνουν στο ίδιο τόξο;. Πόσες μοίρες είναι μια εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο; Α. Τι ονομάζουμε ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου;. Στο τρίγωνο ΑΒ η γωνία Β είναι ορθή. Να γράψετε στην κόλλα σας τις σωστές από τις παρακάτω σχέσεις: γ α β ημ = α β, συν = α β, εφ = γ α, ημ = γ β, συν = α γ, εφ = β α. Ποιες τιμές μπορούν να παίρνουν το ημίτονο και το συνημίτονο οξείας γωνίας; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Α. Να λύσετε την εξίσωση: x +1 3 = 3x x Β. Να λύσετε την ανίσωση: (x 18) > 7(x +1) +. Να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης είναι και λύση της ανίσωσης. Λυγίζουμε σύρμα μήκους 31,4cm ώστε να σχηματίσει κύκλο. Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που αντιστοιχεί στο συρμάτινο κύκλο. Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α), με περίμετρο 36cm. Αν ΑΒ = 13cm, να βρεθεί το ύψος ΑΔ και το εμβαδόν του τριγώνου.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 80 Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Να σχεδιάσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90º) και να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις: α. ΑΒ = Α + Β β. Β = ΑΒ + Α γ. Α = Β ΑΒ δ. ΑΒ = Α Β ε. Β = ΑΒ Α Α. Να δώσετε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού α. Β. Να συμπληρωθεί η ισότητα 0 =... Αν α 0 να συμπληρωθεί η ισότητα ( α ) =. Να λυθεί η εξίσωση: 6x 1 x = x 10 + 3 10 5 4 Να βρεθεί η περίμετρος και το εμβαδόν του διπλανού σχήματος. Δίνονται: ΑΒΔ τραπέζιο με ΑΒ // Δ, Α = Δ = 90º, ΒΕ ύψος τραπεζίου, ΑΒ = 10m, Δ = 18m, ΑΔ = 6m και Β διάμετρος του ημικυκλίου. E Στο διπλανό ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α = 8cm και γωνία Β = 30º, να υπολογίσετε: Α. το ύψος του ΑΔ Β. το μήκος της βάσης Β. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. 8cm 30º 8cm Δίνονται: ημ30º = 0,5 συν30º = 0,9
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 81. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα.. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.. Το διπλανό τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ) καθεμιά από τις παρακάτω σχέσεις: α. β = α + γ γ α β β. α = γ β γ. α = β + γ α. Πότε μια γωνία xy λέγεται εγγεγραμμένη σε κύκλο (Ο, ρ); β. Τι σχέση έχει μια εγγεγραμμένη γωνία με την επίκεντρη που έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο; γ. Να σχεδιάσετε μια εγγεγραμμένη και μια επίκεντρη γωνία που έχουν το ίδιο αντίστοιχο τόξο. Αν η εγγεγραμμένη είναι μº, πόσων μοιρών είναι η επίκεντρη; Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων και να τις παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών: 8x ( 3x 1) < 10 και x x + 3 3 6 x + 5 + x Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α = 6cm και Β = 6 3cm. 6cm α. Να υπολογίσετε το ύψος ΑΔ. β. Αν ΑΔ = 3cm, να υπολογίσετε τους 6 3cm τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β. γ. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒ. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔ είναι ορθογώνιο με ΑΔ = 3cm και Δ = 4cm. Να βρείτε: α. Την ακτίνα ρ του κύκλου. 3cm β. Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. 4cm γ. Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου σχήματος.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 8 ΘΕΜΑΤΑ Α.α. Ποιο πολύγωνο λέγεται κανονικό και πώς ορίζεται η κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές (ν γώνου), εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο, ρ); (σχήμα) β. Ποια είναι η σχέση της γωνίας ενός κανονικού ν γώνου και της κεντρικής γωνίας του (σχήμα, αιτιολογήστε την απάντηση). Β. Στις επόμενες προτάσεις επιλέξτε τη σωστή απάντηση και αντιγράψτε την κόλα σας: 1. Κάθε ορθογώνιο είναι κανονικό πολύγωνο. Ναι Όχι. Η κεντρική γωνία ενός κανονικού πενταγώνου είναι: 6 7 10 3. Ένα κανονικό πολύγωνο έχει 15 πλευρές. Η κεντρική γωνία του είναι: 18 4 0 4. Η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι 135º. Η κεντρική γωνία του είναι: 30 75 45 5. Η κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι ω. Πόσες πλευρές θα έχει το κανονικό πολύγωνο με κεντρική γωνία το μισό της ω. ν 4ν ν Α.α. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β και ποια σχέση έχει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx; β. Πώς ονομάζεται ο αριθμός α γ. Ποια σχέση έχουν μεταξύ τους οι ευθείες με εξισώσεις y = αx + β και y = αx β ; Αιτιολογήστε την απάντησή σας Β. Με δεδομένη τη γραφική του διπλανού, σχήματος Σ(Σωστή) να χαρακτηρίσετε τις ακόλουθες προτάσεις με ή Λ(Λάθος). 1. Η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο (0, 0). Η ευθεία του σχήματος προέρχεται από τη συνάρτηση y =x 4 3. Η ευθεία του σχήματος προέρχεται από τη συνάρτηση y = x 4 4. Η ευθεία έχει κλίση ίση με 3 5. Η ευθεία y = x είναι παράλληλη με την ευθεία του σχήματος 5(x + ) Α. Να λύσετε την ανίσωση: x < x x 4 και στη συνέχεια να παραστήσετε 6 3 τις λύσεις στην ευθεία των Πραγματικών αριθμών. Β. Να εξετάσετε ποιες από τις ακόλουθες εξισώσεις έχουν λύσεις που επαληθεύουν την x 6 x ανίσωση: α. =, β. (x +1) 3(x 4) =8( x), γ. 1+ 3x 7 = x 4 +(x 1) 5 Το πρώτο δεκαήμερο του Απριλίου καταγράψαμε τη μέγιστη ημερήσια θερμοκρασία και προέκυψαν τα παρακάτω δεδομένα σε βαθμούς Κελσίου18 17 18 0 16 0 0 18 18 16 Α. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Θερμοκρασία Διαλογή Συχνότητα Σχετική συχνότητα (%) Σύνολο Β. Να κάνετε το ραβδόγραμμα συχνοτήτων και το κυκλικό διάγραμμα των σχετικών συχνοτήτων. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο της θερμοκρασίας του δεκαημέρου αυτού. Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α) έχει περίμετρο 36cm και πλευρά Β = 16cm. Με διάμετρο Β κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου ημικύκλιο. Να υπολογίσετε: α. το ύψος του τριγώνου β. το εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 83. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ( Α = 90º) να οριστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Β. Να αντιγράψετε στο γραπτό σας τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς και να βάλετε το κατάλληλο σύμβολο ανισότητας (< ή >) αιτιολογώντας την απάντησή σας. α. ημ37º.. ημ41º β. εφ85º εφ58º γ. συν35º..συν3º. Να δικαιολογήσετε γιατί το συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογώνιου τριγώνου είναι μικρότερο του 1 α. Ποια γωνία ονομάζεται επίκεντρη; (σχήμα) β. Ποια γωνία ονομάζεται εγγεγραμμένη; (σχήμα) γ. Ποια σχέση συνδέει μια εγγεγραμμένη γωνία ενός κύκλου και μια επίκεντρη γωνία του ίδιου κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο; (σχήμα) 3x 5 4x 7 5x 7 Να λύσετε την εξίσωση: = 3 4 1 Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής x και οι αντίστοιχες συχνότητες v. x v 6 3 ; 5 3 8 4 Να βρείτε: Σύνολο 0 α. τη συχνότητα που λείπει ( της μεταβλητής x = 3 ) β. τη μέση τιμή Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α = Β = 4cm, το ύψος του ΑΔ και οι κυκλικοί τομείς με κέντρα Β και και ακτίνες ΒΔ και Δ αντίστοιχα.. Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου. Λ K
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 84 Α. Τι ονομάζουμε ανίσωση με έναν άγνωστο; Β. Στις παρακάτω σχέσεις να αντικαταστήσετε τα τετραγωνάκια με το κατάλληλο για καθεμιά σύμβολο από τα: >, =, < α. Αν α < β τότε α + γ β + γ β. Αν α > β τότε α γ β γ γ. Αν α < β και γ > 0 τότε α γ β γ δ. Αν α > β και γ < 0 τότε α γ β γ Τι ονομάζουμε ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας Β ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒ με Α = 90º; (ορισμός, σχήμα, τύπος) Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση: 3x 1 x x + 7 + = 1 4 3 Το τρίγωνο ΑΒ του διπλανού σχήματος έχει περίμετρο 84cm και οι πλευρές του έχουν μήκη ΑΒ = x + 7, Α = 4x +15, και Β = 7x +.. Να υπολογίσετε τον αριθμό x. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔ είναι τετράγωνο με πλευρά 4cm. Με κέντρο την κορυφή Α και ακτίνα ίση με την πλευρά του τετραγώνου, γράφουμε τόξο κύκλου μέσα στο τετράγωνο. Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του σκιασμένου σχήματος. x+7 7x+ 4x+15
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 85 Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.. ιατί το τρίγωνο ΑΒ με α = 4, β = 6 και γ = 5 δεν είναι ορθογώνιο; Α. Να δώσετε τον ορισμό του ημιτόνου μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου. Β. Να δώσετε τον ορισμό του συνημιτόνου μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αφού τον μεταφέρετε στην κόλλα σας Τριγωνομετρικοί αριθμοί της ω ημ ω συν ω ωνία ω 30º 45º 60º Α. Να λύσετε την ανίσωση: 4(x ) 3 (x +1) + 5 Β. Να λύσετε την ανίσωση: 10 x x + 1 x < 5 4. Να κάνετε τη συναλήθευση των ανισώσεων των δύο προηγούμενων ερωτημάτων. Στο διπλανό σχήμα θεωρούμε κύκλο κέντρου Ο, ακτίνας ρ = 3cm και επίκεντρη γωνία ΑΟΒ = 40º. Ο κυκλικός τομέας ΟΔ έχει εμβαδόν διπλάσιο από το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΑΟΒ. Α. Να δείξετε πως το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΑΟΒ είναι π cm. Β. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας ΟΔ.. Να υπολογίσετε το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν (Δίνεται π = 3,14) Θεωρούμε ευθεία (ε) με εξίσωση y = x 4. Να γίνει η γραφική παράσταση της (ε) σε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς, αφού πρώτα βρείτε που τέμνει η (ε) τους άξονες x x και y y του συστήματος Β. Βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ αν το σημείο Α(κ +1, κ) βρίσκεται επάνω στην (ε) και να τοποθετήσετε το Α στη γραφική παράσταση της (ε) της οποίας το σχήμα έχετε κάνει στο προηγούμενο ερώτημα.. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας (ζ) παράλληλης της (ε) αν η (ζ) διέρχεται από το σημείο Β(181, 5651).
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 86 Α. Τι ονομάζουμε ημίτονο οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου;. Τι ονομάζουμε συνημίτονο οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου;. Ποια σχέση συνδέει την εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου με το ημίτονο και το συνημίτονό της;. Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη σ ένα κύκλο; Β. Ποια είναι η σχέση που συνδέει μια εγγεγραμμένη γωνία φ με την αντίστοιχη επίκεντρή της ω;. Μια εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι: α. οξεία; β. αμβλεία; γ. ορθή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Να λύσετε τις ανισώσεις και να βρείτε, αν υπάρχουν, τις κοινές τους λύσεις: (x + 1) + x > 7 x 7x 8 < 3(x +3) 5. Στο σχήμα οι χορδές Α και ΒΔ του κύκλου Ο τέμνονται κάθετα. Αν η γωνία Α είναι ίση με 50º, να βρείτε τις γωνίες ω και φ δικαιολογώντας την απάντησή σας. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ(σωστή) ή Λ(λανθασμένη): α. ημ60º = ημ30º β. συν60º = 1 γ. ημ45º + συν45º = ημ45º δ. συν30º = ημ60º ε. συν60º = ημ30º 50º K ω φ
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 87 α. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πως συμβολίζεται; β. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; i. ( 7) = +7, ii. 3, 6 = 0, 6, iii. ( 9) = 9, iv. 16 = 4, v. 9+ 16 = 5, vi. 100 = 10 α. Τι ονομάζουμε ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; β. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο να συμπληρώσετε τις ισότητες ημ =..., συν =..., εφ =... ημα =..., συνα =..., εφα =... Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων και να παρασταθούν στην ευθεία των αριθμών: (x + 10) 3 (x +) και x 1 x 3 x < x 4 Στο διπλανό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαστάσεων 4cm και cm να υπολογίσετε το E εμβαδόν και την περίμετρο του γραμμοσκιασμένου μέρους ΕΒΖΔ. Z Το εμβαδόν κυρτής επιφάνειας του κώνου K του διπλανού σχήματος είναι 60cm και η γενέτειρά του λ = 10cm. Να υπολογίσετε: 10cm α. την ακτίνα της βάσης του κώνου β. τον όγκο του κώνου
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 88 Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Αν σε τρίγωνο ισχύει γ = α + β ποια γωνία του είναι ορθή; (να κάνετε το σχήμα) Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; Β. Αν α 0 να γράψετε το αποτέλεσμα της παράστασης ( ) α =. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ). α. 0, 4 = 0, β. 81 = + 9 γ. ( 7) = + 7 δ. 36 = 6 Να λύσετε την εξίσωση: x 5(x +1) = 3(x ) + x 4 Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΔΕ είναι ορθογώνια με ΒΑ = ΑΔΕ = 90º. Αν είναι ΒΑ = ΔΑΕ = φ και ΑΒ = 5cm, Β = 3cm και 5cm φ φ 3cm 8cm Δ = 8cm, να υπολογιστεί: Α. το τμήμα Α Β. το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη της γωνίας φ. η πλευρά ΔΕ του τριγώνου ΑΔΕ. Στο διπλανό σχήμα η Β είναι η διάμετρος του κύκλου με κέντρο Ο. Αν είναι η γωνία ΒΑΔ = 36º E και το μήκος του κύκλου είναι L = 1,56cm να υπολογίσετε: Α. την ακτίνα του κύκλου Β. το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΒΟΔ
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 89 Διατυπώσατε το Πυθαγόρειο Θεώρημα καθώς και το αντίστροφο του. Θέμα Ποια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη και ποια η σχέση της με την αντίστοιχη επίκεντρη που βλέπει στο ίδιο με αυτήν τόξο; Να κάνετε το αντίστοιχο σχήμα. Να λυθεί η ανίσωση: x + 3 + x + x + 1 >0 3 Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης: x, 4 x 1 f(x) =, 1 x 1 x, x 1 Να υπολογιστούν οι γωνίες και τα τόξα του παρακάτω σχήματος, αν είναι: 110 80 = 80, = 100 και Δ = 110º Δ
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 90 α. Πότε δύο ποσά x, y λέγονται ανάλογα και με ποια σχέση συνδέονται μεταξύ τους; β. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης που περιγράφει δύο ανάλογα ποσά; γ. Κατά την μεταβολή των τιμών δύο αναλόγων ποσών, τι παραμένει σταθερό και πώς ονομάζεται το σταθερό αυτό μέγεθος; α. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; β. Με ποια σχέση υπολογίζουμε την κεντρική γωνία και με ποια την γωνία ενός κανονικού πολυγώνου; γ. Εξετάστε αν το τετράγωνο, ο ρόμβος και το ισόπλευρο τρίγωνο είναι κανονικά πολύγωνα αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας. Να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης : Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ x + 1 3 x x =, 3 είναι λύση της ανίσωσης : (x 18) >7 (x + 1) +, x είναι πραγματικός αριθμός. Στο διπλανό σχήμα, το τόξο Β = 130º και η γωνία = 50º. Να υπολογίσετε σε μοίρες το τόξο Α και τις γωνίες Α και Β του τριγώνου. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( = 90º ), είναι Β = 17cm και ΑΒ = 15cm. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Κ = 17 ημβ - εφ. συνβ. εφβ Β Α Ο
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 91 Α. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; Β. Στις επόμενες 3 ισότητες συμπληρώστε το αποτέλεσμα όπου αυτό έχει νόημα. Αν σε κάποια ή σε κάποιες ισότητες δεν έχει νόημα να συμπληρώστε ένα αποτέλεσμα τότε εξηγείστε αναλυτικά τους λόγους: ( α) =... 0 =... 5 =... Διατυπώστε το Πυθαγόρειο θεώρημα με λόγια και με σύμβολα. Σχεδιάστε κι ένα σχήμα που να ταιριάζει με τα σύμβολα που εσείς χρησιμοποιήσατε. Α. Να λύσετε την εξίσωση : 3 + 10 α = 3 ( 5 + α) x 1 α x + Β. Αν γνωρίζετε ότι ο αριθμός α στην εξίσωση x = + α, είναι η λύση της α 4 εξίσωσης του προηγούμενου ερωτήματος, να λύσετε την εξίσωση αυτή. L Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένας κύκλος με διάμετρο ΚΜ Πάνω στον κύκλο έχουμε διαλέξει ένα σημείο Λ με τέτοιο τρόπο ώστε το τόξο ΚΛ = 4 ΛΜ α. Υπολογίστε τη γωνία ˆΛ του τριγώνου. Εξηγείστε αναλυτικά την άποψή σας. β. Υπολογίστε πόσες μοίρες είναι το τόξο ΛΜ. Εξηγείστε αναλυτικά την άποψή σας. γ. Τέλος υπολογίστε και τη γωνία ˆΜ του τριγώνου. Και εδώ πάλι εξηγείστε αναλυτικά την άποψή σας. Μία συνάρτηση έχει τύπο y =,5 x Α. Αντιγράψτε τον επόμενο πίνακα τιμών στο φύλλο των απαντήσεων και μετά συμπληρώστε τα νούμερα που λείπουν. Παρουσιάστε αναλυτικά τις πράξεις σας. x 0 5 1 0 1 5 10 y Β. Το διάγραμμα αυτής της σχέσης είναι ευθεία γραμμή. Ποια είναι η κλίση της;. Ποια από τις παρακάτω ευθείες είναι το διάγραμμα της σχέσης y =,5 x; Δικαιολογήστε την επιλογή σας. M K ψ y 3 ψ y 3 ψ y 3,5 ψ y 3,5 -,5 1 1,5 1 1-3 - -1 0 1 3,5-1 x -3 - -1 0 1 3 -,5-1 x -3 - -1 0 1-1 3 x - -1 0 1-1 x - - - - -3-3 -3 -,5 -,5-3
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 9 Α. Να γράψετε τον ορισμό (πρόταση) του ημιτόνου οξείας γωνίας ω ορθογωνίου τριγώνου. Β. Να συμπληρώσετε τα κενά των παρακάτω ανισοτήτων: < ημω <. και..< συνω <., όπου ω οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου.. Στο διπλανό σχήμα η γωνία Α είναι ορθή. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω φράσεις: α. Στο τρίγωνο. συν ΑΔΒ = E β. Στο τρίγωνο..ημ ΑΕ = Α. Τι ονομάζουμε εγγεγραμμένη γωνία xαy; Β. Να συμπληρώσετε την πρόταση: Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι... Ποια σχέση συνδέει μια εγγεγραμμένη και μια επίκεντρη γωνία που βαίνουν στο ίδιο τόξο; Δίνονται οι ανισότητες: x + 4 x 6 x + 3 x 1 και 3x 3 > 1 4 6 3 1 Α. Να λυθούν οι παραπάνω ανισότητες. Β. Με τη βοήθεια διαγράμματος να βρεθούν οι κοινές λύσεις αν x ρητός και αν x ακέραιος. Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση y = ( 5λ + )x + μ και η ευθεία (ζ) με εξίσωση y = 3x. Να βρεθούν οι τιμές λ και μ αν γνωρίζουμε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες και ότι η ευθεία (ε) περνάει από το σημείο Μ( 1, 9 ) και στη συνέχεια για τις τιμές λ = 1 και μ = να βρεθούν οι τομές με τους άξονες x x και y y της ευθείας (ε). Στο διπλανό σχήμα δίνεται ο κύκλος (Ο, ρ) και το εγγεγραμμένο τετράγωνο ΑΒΔ πλευράς α = 0 cm. Να βρεθούν: Α. η ακτίνα ρ και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου Β. το εμβαδόν του χωρίου (γραμμοσκιασμένο) που περικλείεται μεταξύ του κύκλου και του τετραγώνου. D G
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 93 Α. Να ορίσετε το ημίτονο και το συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου (Να γίνει σχήμα) Β. Ποιες οι δυνατές τιμές των παραπάνω τριγωνομετρικών αριθμών;. Ποια σχέση συνδέει τα ημω, συνω και εφω, όπου ω οξεία γωνία;. Αν δύο ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε ποια ιδιότητα έχουν οι αντίστοιχες τιμές τους και πώς εκφράζεται το y ως συνάρτηση του x; Β. Τι σχήμα είναι η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης; Διακρίνετε περιπτώσεις. Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων: 3(x ) x 6(x 3) 3 3x x 4 3x +1 > 1 6 3 Στο διπλανό σχήμα είναι Α = 90º, Β = 90º, ΑΔ = 9m, 5 ΑΕ = 1m, Ε = 0m, Β = 16m, Δ = 5m.. Να βρείτε τις πλευρές ΔΕ και ΕΒ. 9 0 16 Β. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΔΕ είναι ορθογώνιο. Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΔ 1 E Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 5cm, Α = 1cm και Β διάμετρος του κύκλου. Να βρείτε: Α. τη διάμετρο του κύκλου Β. το μήκος του κύκλου 5 1. το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 94 Α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα; (ορισμός) Β. Ποια η συνάρτηση των ανάλογων ποσών (τύπος) και ποια η γραφική της παράσταση;. Στον παρακάτω πίνακα ποσών x και y, να βρείτε το α ώστε τα ποσά x και y να είναι ανάλογα. x 5 6 4 y 10 1 α Α. α. Ποιο πολύγωνο λέγεται κανονικό; β. Με τι ισούται η γωνία ω και η γωνία φ ενός κανονικού ν γώνου; (τύπος κανόνας) Β. Αν η γωνία ενός κανονικού ν γώνου είναι φ = 135º να βρείτε: α. Πόσες μοίρες είναι η κεντρική γωνία ω β. Πόσες πλευρές έχει το πολύγωνο αυτό; Στο διπλανό σχήμα να υπολογιστούν: Α. οι πλευρές Α και Β του ΑΒ τριγώνου και η ακτίνα ρ του ημικυκλίου Β. το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου ημικυκλίου (κέντρο Κ) Α. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 30º K ρ 3m 3 (x 1) 4x +1 ( 1) 3(x ) και 3 ( x + 1) 6 (x 1) + 3 3 Β. Να παρασταθούν σε άξονα οι κοινές λύσεις.. Να βρεθούν οι ακέραιοι αριθμοί που αποτελούν κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο να βρείτε: Α. Την πλευρά ΜΒ Β. Την πλευρά Α. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΒ Μ 4cm 3 cm 3 cm
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 95 α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; β. Ποια είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που συνδέει δύο ανάλογα ποσά; α. Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη σε έναν κύκλο (Ο,ρ); β. Τι λέγεται αντίστοιχο τόξο μιας εγγεγραμμένης γωνίας σε έναν κύκλο (Ο,ρ); Να λυθεί η εξίσωση: 3(x 1) 5x 3 x = 1 4 Στο διπλανό σχήμα είναι: ΑΒ = 5m, ΑΔ = 1m, Β = 11m, Α= 90 και = 90. Να υπολογίσετε: α. Την απόσταση ΒΔ β. Την απόσταση Δ Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 5m, 5m 11m 1m ΒΑΔ= 0, ΑΔ= 50 και ΒΔΑ= 90. Να υπολογίσεις την απόσταση Δ. Δίδονται: (ημ0º =0,34,συν0º = 0,939, εφ0º = 0,364, ημ50º = 0,766,συν50º = 0,643, εφ50º = 1,19) 50º 5m 0º
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 96 α. ράψτε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού α ; β. ιατί δεν ορίζεται η τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού ; γ. Ποιανού αριθμού η τετραγωνική ρίζα είναι ίση με το μισό του; α. Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη σε κύκλο (Ο,ρ) ; β. ράψτε τους τύπους που υπολογίζουν το μήκος : i. ενός κύκλου και ii. ενός τόξου μº γ. Αποδείξτε τον τύπο που υπολογίζει το μήκος τόξου μº α. Να λύσετε την εξίσωση: x 1 x + 7 3 6 = x + 1 3x β. Να λύσετε την ανίσωση: 3x 1 (x +3) < 4(x 1) +1 και στη συνέχεια να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών. γ. Να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης ανήκει στις λύσεις της ανίσωσης. Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 8cm, Α = 6cm. Να υπολογισθούν: α. Το τμήμα Β β. Το τμήμα ΒΔ και γ. Το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΔ Δίνεται η συνάρτηση y = 7- x, όπου το χ είναι ένας ακέραιος αριθμός ώστε x 3 α. Να συμπληρωθεί ο πίνακας τιμών της συνάρτησης y. β. Σε ένα σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε τα σημεία (x, y) του παραπάνω πίνακα. γ. Να ενώσετε τα σημεία αυτά, ώστε να προκύψει η γραφική παράσταση της συνάρτησης όταν x πραγματικός αριθμός. 8cm 6cm 30º
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 97 α. Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; β. ιατί 16 = 4 ; ιατί 16 δεν έχει νόημα; γ. Αν x είναι ένας θετικός αριθμός, να επιλέξετε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις: αν x= 5, τότε i. x = 10, ii. x = 5 αν x= 4, τότε i. x =, ii. x = 8, iii. είναι αδύνατο α. Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ( Α= 90 ), να δώσετε τους ορισμούς των ημω, συνω, εφω της οξείας γωνίας ω. β. Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο είναι: Α = 1, ΑΒ = 5, Β = 13 εφθ = ημθ = συνθ =. Να συμπληρώσετε τους παραπάνω τριγωνομετρικούς αριθμούς Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 1 13 x + x x +1 + < και (x 5) (x + 8) > 4(x + 3) x 4 3 5 απέναντι κάθετη πλευρά ω προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα και να τις παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών. Στο παρακάτω τραπέζιο ΑΒΔ (ΑΒ // Δ), το ΒΖ είναι ύψος. Αν ΑΒ = 5cm, Δ = 15cm, ΔΖ = 7cm και Β = 10cm, να υπολογιστούν: α. το ύψος ΒΖ, β. το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΔ. Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 1, Α = 16 και Β είναι διάμετρος του κύκλου. 7 5 10 Z 15 1 16 α. Να αιτιολογήσετε το είδος του τριγώνου ΑΒ. β. Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου. γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του σχήματος.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 98 Ποια συνάρτηση έχει γραφική παράσταση ευθεία; Πότε η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Τι ονομάζεται κλίση της ευθείας; Τι ονομάζουμε ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου. Ποια σχέση συνδέει την εφω με τα ημω και συνω. 3x 5 5x 11 Να λυθεί η εξίσωση: 5 + = 8x 9 + 4 6 3 Ισοσκελές τρίγωνο έχει βάση Β = 10cm και ίσες πλευρές ΑΒ = Α = 13cm.Να βρεθεί το ύψος του και το εμβαδόν του. Κυκλικός τομέας 30º έχει εμβαδόν 37,68m. Να βρεθεί το μήκος του κύκλου.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 99 α. Δώσατε τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου. β. Σ ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με Α= 90º να συμπληρώσετε ημβ=..., συνβ=...,εφβ=... γ. Μέ την βοήθεια των τύπων από το προηγούμενο ερώτημα αποδείξατε ότι : εφβ = ημβ συνβ α. Ποιά ποσά λέγονται ανάλογα. β. Τί γνωρίζετε για το λόγο των αντιστοίχων τιμών τους. γ. Τί γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx. α. Να λυθεί η εξίσωση: x 7 3(x ) x + 1 x + = 6 4 3 β. Να ευρεθούν οι λύσεις της ανίσωσης: 3 5(x 1) 17 x γ. Να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης ανήκει στις λύσεις της ανίσωσης. Δίδεται κύκλος (, ρ), με διάμετρο ΑΒ και ένα σημείο της περιφέρειας του κύκλου τέτοιο ώστε Α = 6cm και Β = 8cm. α. Πόσες μοίρες είναι η γωνία (δικαιολογήσατε χωρίς μέτρηση) και υπολογίσατε την πλευρά ΑΒ και το εμβαδόν του τριγώνου. β. Υπολογίσατε την ακτίνα και το μήκος του κύκλου. α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και από το σημείο Α(6,4). β. Να βρείτε την κλίση της ευθείας. 6cm 8cm
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 100 Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Στο τρίγωνο ΑΒ ( = 90º). Να συμπληρώσετε τις ισότητες: Α =.., ΑΒ =., Β =. Αν σε τρίγωνο ΔΕΖ ισχύει η σχέση ΔΕ = ΔΖ + ΕΖ ποια από τις παρακάτω σχέσεις είναι η σωστή; α. Δ = 90º β. Ζ = 90º γ. Ε = 90º Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημω, συνω οξείας γωνίας ω ορθογωνίου τριγώνου ΑΒ (να σχεδιάσετε το τρίγωνο ΑΒ στο οποίο να φαίνεται η γωνία ω) Β. Να εξηγήσετε γιατί το ημίτονο και το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αριθμοί μικρότεροι της μονάδας. Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με Α = 90º να συμπληρώσετε τις ισότητες: εφβ =......, εφ =...... Τι συμπεραίνετε για τις εφαπτόμενες οξειών γωνιών ορθογωνίου τριγώνου; Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων: (x + 3) 10 <1+ 3(5 x) και x 1 x + 4 x 3 6 Στο τρίγωνο ΑΒ του διπλανού σχήματος είναι ΑΒ = 10cm, ΑΔ = 6cm και = 45º. Να υπολογίσετε: Α. Τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων Δ και ΒΔ. Β. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔ είναι ορθογώνιο με διαστάσεις ΑΒ = 10cm και ΑΔ = 16cm. Σχεδιάζουμε στο εσωτερικό του ορθογωνίου ΑΒΔ τεταρτοκύκλιο με κέντρο Β και ακτίνα ΒΑ. Επίσης ημικύκλιο με κέντρο Κ και ακτίνα Κ όπου 10cm 10cm 6cm 16cm E 45 K
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 101 α. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; β. Υπάρχει κανονικό πολύγωνο με κεντρική γωνία ω = 50º; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. γ. Υπάρχει κανονικό πολύγωνο με γωνία φ = 140º; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α. Ποια πρόταση λέγεται Πυθαγόρειο Θεώρημα; β. Ποια πρόταση είναι η αντίστροφη του Πυθαγορείου Θεωρήματος; γ. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο με πλευρές α = 0,5, β = 0,3 και γ = 0,4 είναι ορθογώνιο. Να αντιγράψετε στην κόλλα σας τις 7 ισότητες για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ και να τις συμπληρώσετε αν: = 90º, ΑΒ = 1, Β = 13. Α = ημβ = ημ = συνβ = συν = εφβ = εφ = Να λύσετε την εξίσωση: x 1 3x +1 x 4 = + 4 3 Να αντιγράψετε στην κόλλα σας τις 8 ισότητες για τον κύλινδρο του διπλανού σχήματος και να συμπληρώσετε τις 5 τελευταίες. Πόσο είναι το ύψος κώνου που έχει ίση βάση και ίσον όγκο με τον κύλινδρο του σχήματος; π = 3,14 ΑΚΤΙΝΑ ΒΑΣΗΣ ρ = 1m ΥΨΟΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ υ = 0,5m ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΒΑΣΗΣ Π Β = ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΗΣ Ε Β = ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΑΡΑΠΛΕΥΡΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Ε Π = ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΛΙΚΟ Ε 0Λ = ΟΚΟΣ V = υ ρ
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 10 Α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; Β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx;. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β;. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και τη σχέση που προκύπτει σε ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ, με γωνία Κ = 90º. Να κάνετε το σχήμα. Β. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: x x 1 x 5 3 6 (x + 5) 3(x +1) 11 cm Του τραπέζιου ΑΒΔ του 6cm διπλανού σχήματος να υπολογίσετε την περίμετρό του. Να υπολογίσετε το εμβαδόν και την 30º περίμετρο του γραμμοσκιασμένου σχήματος Η διάμετρος ΑΒ είναι 8cm. K
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 103 α. Να δώσετε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού. β. Να συμπληρωθούν οι ισότητες ( α ) =... αν α 0, 0=... γ. Ποιοι αριθμοί δεν έχουν τετραγωνική ρίζα και γιατί; α. Πώς ορίζονται το ημω, το συνω και η εφω, όπου ω είναι οξεία γωνία σ ένα ορθογώνιο τρίγωνο. β. Να συμπληρωθούν οι ισότητες ημω =..., ημ45º =... συνω γ. Δικαιολογήστε γιατί ισχύουν οι ανισώσεις 0 < ημω < 1, 0 < συνω < 1. α. Να λυθούν οι παρακάτω οι παρακάτω ανισώσεις: 7x + 4 3x 5 x 5 (x ) (3x 9) > 3(x + 1) 6x β. Να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα τον πραγματικών αριθμών και να βρεθούν αν υπάρχουν κοινές λύσεις. α. Δίνεται η ευθεία ψ= 9 5λ x 3 η οποία έχει κλίση -. Να βρείτε τον αριθμό λ. β. Διέρχεται η παραπάνω ευθεία από το σημείο Α 1, 1 ; Δικαιολογήστε το. γ. Να γίνει η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης. Δίνεται ο κύκλος με διάμετρο την Β. Αν ΑΒ =1cm και το τόξο = 60 º Να υπολογιστούν: α. Οι γωνίες και οι πλευρές του τριγώνου ΑΒ. 60º 1cm β. Το μήκος των τόξων και γ. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ και του κυκλικού τομέα ΑΟ (Δίνεται 3 1,7 ) Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 104 Α. Πότε δύο ποσά x, y λέγονται αντιστρόφως ανάλογα; Β. Ποια είναι η σχέση που εκφράζει τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά;. Κάντε τη γραφική παράσταση αυτής της σχέσης και δώστε εξηγήσεις για τα χαρακτηριστικά γνωρίσματά της. Α. Τι ονομάζεται ακτίνιο; Πόσα ακτίνια έχει ένας κύκλος; Β. ράψτε τους δύο τύπους με τους οποίους υπολογίζουμε το μήκος ενός τόξου.. Ποια ισότητα μας επιτρέπει να μετατρέπουμε τις μοίρες ενός τόξου σε ακτίνια και αντιστρόφως; Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 3(x ) < (x +1) x και x 3 7x + 3 7 x 5 Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔ είναι τραπέζιο με // Δ, Α = Δ = 90º, = 10cm, Δ = 18cm, ΑΔ = 6cm. ΒΕ είναι το ύψος του και Β η διάμετρος του ημικυκλίου. Να βρείτε: E Α. την περίμετρο του τραπεζίου Β. το εμβαδόν του ημικυκλίου (Ο, ΟΒ) Στο διπλανό ημικύκλιο είναι ΑΒ = 6cm, ΟΒ = 5cm και τόξο ΑΒ = 74º. Να βρείτε: Α. τις γωνίες του τριγώνου ΑΒ 74º 6cm Β. το ευθύγραμμο τμήμα Α 5cm. το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τμήματος.
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 105 Α. Να γράψετε το Πυθαγόρειο θεώρημα (διατύπωση-σχήμα-τύπος) σε ορθογώνιο τα τρίγωνο ΑΒ με = 90. Β. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ ( K = 90 ) να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω σχέσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) : α. ΚΜ = ΛΜ +ΛΚ β. ΛΚ = ΛΜ ΚΜ γ. ΛΜ = ΛΚ ΚΜ. Ένα τρίγωνο με πλευρές 5, 1, 13 μπορεί να είναι ορθογώνιο ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Α. Τι είναι (παριστάνει) η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx.. Τι λέγεται κλίση της ευθείας y = αx.. Ποια είναι η κλίση των ευθειών : ε 1 : y = x, ε : y = x 5, ε 3 : y = x και ε 4 : y = 0,73x Να βρείτε αν η λύση της εξίσωσης x + 1 (x 18) > 7(x +1) + Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 3 = 3x x είναι και λύση της ανίσωσης: Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α, Β και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή τους όταν, x = 1, y = Α = 3(x +y) (x + y) Β = x + y 3x 4y Στο διπλανό ημικύκλιο είναι : = 6cm, ΟΒ = 5cm και =7 Να υπολογιστούν α. Οι γωνίες του τριγώνου ΑΒ β. Το τμήμα Α γ. Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τμήματος. 7 6cm 5cm
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 106 Α. Αν ω είναι μια οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε δώστε τον ορισμό των ημω, συνω, εφω. ημω =..., συνω =..., εφω =... Β. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ( Α = 90º) να υπολογίσετε το ημβ, το συνβ, την εφβ, το ημ, το συν και την εφ. ημβ =..., συνβ =..., εφβ =... ημ =..., συν =..., εφ =.... Αν Αν Αν ημω =, τότε συνω = και εφω =. 3 ημω =, τότε συνω =.. και εφω = 3 συνω =, τότε ημω =..και εφω =. Αν εφω = 3, τότε ημω =. και συνω = Α. Δώστε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού. Β. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω 3 προτάσεις: α. Αν α = x, όπου α 0, τότε, x 0 και β. Αν α 0, τότε ( α) =.. x =. γ. Αν α 0, τότε α =.. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις: 9 = 3 (διότι ( ) 4 = 4 0,16 = 0, 4 ( 3) = 9) 4 = 9 3 Δίνεται η εξίσωση x 3y = 6, όπου x,y πραγματικοί αριθμοί. α. Να βρείτε τα σημεία ( τις συντεταγμένες τους ) στα οποία η ευθεία αυτή τέμνει τους άξονες y y και x x. β. Να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή σε σύστημα αξόνων. γ. Να βρείτε την κλίση της ευθείας. 1 Με βάση τα δεδομένα του διπλανού 30º σχήματος να υπολογιστούν ω y x α. το x β. το y γ. η ω Να λυθούν οι εξισώσεις: α. 3 ( 4x + 6 ) = 6x (x + 3) και β. 10 x +1 x = x 4 5 4 5 3
ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Β 107 Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα να κάνετε το ανάλογο σχήμα και να γράψετε τη σχέση που το εκφράζει. Β. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις σχέσεις: α. Α = ΑΒ + Β β. ΑΒ = Α Β γ. Β = ΑΒ + Α. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Α. Να διατυπώσετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου (σχήμα-ισότητες) Β. Αν ω είναι οξεία γωνία του διπλανού σχήματος, να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στις παρακάτω ισότητες Nα δικαιολογήσετε τις απαντήσεις α. ημω = 5 1 1 5, β. συνω =, γ. εφω = 13 13. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω φράσεις με μία από τις λέξεις ελαττώνεται-αυξάνεται: α. Όταν αυξάνεται μια οξεία γωνία, τότε.. το συνημίτονό της. β. Όταν αυξάνεται μια οξεία γωνία, τότε η εφαπτομένη της Α. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων (να παραστήσετε τις κοινές λύσεις στον ίδιο άξονα) x 1 x + 1 x 3 5 6(x 1) x < 3x 5 1 13 ω Δίνεται οικόπεδο του οποίου το σχήμα είναι το παρακάτω και γνωρίζουμε ότι: Β = 0m, Δ = 8m, ΑΒ = 90º και ΒΔ = 90º (η καμπύλη πλευρά είναι ημικύκλιο). Να βρείτε: 0m Α. Το εμβαδόν του οικοπέδου Β. Πόσα μέτρα συρματόπλεγμα θα χρειαστούμε για την περίφραξή του; Στο διπλανό σχήμα το τόξο Β είναι 10º. Αφού αναγνωρίσετε ποιες γωνίες από τις ω, x, φ είναι εγγεγραμμένες και ποιες είναι επίκεντρες, να βρείτε πόσων μοιρών είναι κάθε μία από αυτές, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. 8m ω x φ 10