ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ έκδοση DΥΝI-MDOFS_2016b
Copyright Ε.Μ.Π. - 2016 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ002 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Πληροφορίες Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, 210-7721524 Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr, 210-7722332
Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων ισορροπίας 4. Ιδιοπρόβλημα 5. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός
Εισαγωγή 1
1. Εισαγωγή μηχανικά συστήματα συνεχή σώματα με άπειρο πλήθος Β. Ε. ΔΥΣΚΟΛΗ η ανάλυση ταλαντώσεων με μερικές Δ.Ε. μηχανικά συστήματα... νόμος Νεύτωνα ενεργειακή αρχή Lagrange... συστήματα πολλών Β. Ε.
1. Εισαγωγή εντοπισμός n ιδιοσυχνοτήτων και ιδιοναυσμάτων αύξηση ιδιοσυχνοτήτων ορθογωνικές ιδιότητες ιδιοανυσμάτων σύνθετες εξισώσεις & δύσκολη επίλυση απλοποίηση επίλυσης
1. Εισαγωγή εντοπισμός ιδιοσυχνοτήτων & ιδιοναυσμάτων Μέθοδος Dunkerley Μέθοδος Rayleigh Μέθοδος Holzer Μέθοδος Jacobi Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός Μέθοδος συνάρτησης μεταφοράς Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Fourier
Ενεργειακή αρχή Lagrange 2
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά Νόμος Νεύτωνα εξισώσεις ισορροπίας και όπου η κινητική ενέργεια και η δυναμική ενέργεια επομένως όπου ενεργειακή μεταβλητή Lagrange
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά απλό μονοβάθμιο δυναμικό σύστημα x(t) m F(t) ενεργειακή αρχή Lagrange k c κινητική ενέργεια δυναμική ενέργεια 1 T = mx 2 1 2 U= kx 2 ενέργεια που διαχέεται στον αποσβεστήρα 2 PC 1 = cx 2 2 ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα από την εξωτερική δύναμη Pt = Fx ενεργειακή μεταβλητή Lagrange L= T U
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά μαθηματική έκφραση της Ενεργειακής Αρχής Lagrange Παρατηρήσεις... q είναι ανεξάρτητη κινηματική μεταβλητή (βαθμός ελευθερίας) του συστήματος
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά αρχή Lagrange Παρατηρήσεις... νόμος Newton ΙΔΙΕΣ εξισώσεις ισορροπίας το δυναμικό σύστημα εμπλέκει πολλούς Β. Ε. απλούστερος τρόπος εφαρμογής εφαρμογή των εξισώσεων ισορροπίας δυνάμεων δύσκολη ή αδύνατη
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά Παρατηρήσεις... αρχή Lagrange ενεργειακές ποσότητες νόμος Newton δυνάμεις μόνο ενεργειακές ποσότητες (βαθμωτά μεγέθη) οι δυνάμεις διανυσματικά μεγέθη η συνολική ενέργεια του συστήματος είναι απλή πρόσθεση αυτών σύνθετες (?) διανυσματικές μεταξύ τους πράξεις (π.χ. εύκαμπτος ρομποτικός βραχίονας)
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά Παρατηρήσεις... ενεργειακές ποσότητες δυνάμεις σχετίζονται με μαθηματικές εκφράσεις τετραγωνικής μορφής το τελικό ενεργειακό αποτέλεσμα δεν επηρεάζεται από τη σειρά με την οποία αναγράφονται οι μετατοπίσεις σε μία μεταβολή η διαχείριση δυνάμεων απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή στην προσήμανσή τους
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά εμπλέκονται όλες οι μορφές ενέργειας και ισχύος που εμφανίζονται στα δυναμικά συστήματα εφαρμόζεται σε γραμμική και μη-γραμμικά μηχανικά συστήματα, σε υδραυλικά συστήματα, σε ηλεκτρικά συστήματα και συζευγμένα συστήματα αντιστοιχία φυσικών συστημάτων...
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης τετράεδρα κατάστασης...
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης κατάστρωση της εξίσωσης κίνησης ενός σύνθετου/συζευγμένου συστήματος σύζευξη μεταξύ δύο, διαφορετικής φύσεως, υποσυστημάτων τα υποσυστήματα διαθέτουν συγκεκριμένα τεχνολογικά στοιχεία μέσω των οποίων επιτρέπεται η ανταλλαγή ενέργειας ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ Ενισχυτές Αναστροφείς
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Ενισχυτές σθένος ροή η ισχύς διατηρείται επίσης, ισχύει F Fυ = Fυ = P 2 1 1 1 2 2 = Τ F...... 1 F1υ1 = F2υ2 F1υ 1 = Τ F 1 υ2 υ2 = υ1 T άρα... σταθερά ενίσχυσης
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Ενισχυτές
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Ενισχυτές μεταφορά ηλ. ενέργειας Ν 1 Ν 2 νόμος επαγωγής Faraday λόγος περιελίξεων Ν 1 /Ν 2
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Αναστροφείς σθένος ροή η ισχύς διατηρείται επίσης, ισχύει F Fυ = Fυ = P 1 1 2 2 = Gυ 2 1...... F1υ1 = F2υ2 F1υ1 Gυ1υ 1 = F G = 2 υ2 1 άρα... σταθερά αναστροφέα
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Αναστροφείς Κ Κ Τ
2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά κατάστρωση της εξίσωσης κίνησης ενός σύνθετου/συζευγμένου συστήματος (π.χ. μηχανικό, ηλεκτρικό & υδραυλικό) γενικευμένη κινητική & δυναμική ενέργεια Β. Ε. θέσεις/γωνίες ηλεκτρικά φορτία όγκοι (μηχανικό) (ηλεκτρικό) (υδραυλικό)
Μητρωϊκή γραφή 3 εξισώσεων ισορροπίας
3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά Νόμος Νεύτωνα εξισώσεις ισορροπίας σύστημα μεταφορικής κίνησης σύστημα περιστροφικής κίνησης σημείο 1 σημείο 2 σημείο i σημείο j σημείο n πολυβάθμιο μηχανικό σύστημα μεταφορικής κίνησης...
3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά σχετική θέση ακροδεκτών... +... επηρρεάζει τη φορά των αντίστοιχων δυνάμεων m i-1 m i m i m i+1
3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά Διάγραμμα ελευθέρου σώματος i + εφαρμογή νόμου Νεύτωνα...... για...
3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά... για... οι εξισώσεις κίνησης μπορούν να γραφούν για: i=1 & αρχική μετατόπιση x o =0 και i=n & αρχική μετατόπιση x n+1 =0 υποθέσεις...
3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά όλες οι προηγούμενες εξισώσεις κίνησης μπορούν να γραφούν σε μητρωϊκή μορφή: μητρώο μάζας μητρώο απόσβεσης μητρώο δυσκαμψίας μητρώο μάζας...... συμμετρικό
3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά μητρώο απόσβεσης...... συμμετρικό μητρώο δυσκαμψίας...... συμμετρικό
και... 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά διάνυσμα μετατόπισης... διάνυσμα ταχύτητας... διάνυσμα επιτάχυνσης... διάνυσμα δύναμης...
3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά γενική μορφή... και...
Ιδιοπρόβλημα 3
3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά μηχανικό σύστημα πολλών Β. Ε. χωρίς απόσβεση... σημείο 1 σημείο 2 σημείο i σημείο j σημείο n όπου... x i η μετατόπιση της μάζας m i και F i η δύναμη που ασκείται στη μάζα m i κατά την κατεύθυνση του x i εξισώσεις κίνησης με ενεργειακή αρχή Lagrange...
3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά εξισώσεις κίνησης με ενεργειακή αρχή Lagrange... και... 0...... ❶ και... q x i υπολογισμός κινητικής & δυναμικής ενέργειας...
3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά η δυναμική ενέργεια του i ελατηρίου: η συνολική δυναμική ενέργεια: και... η συνολική δυναμική ενέργεια σε μητρωϊκή μορφή... όπου... μητρώο δυσκαμψίας... διάνυσμα μετατόπισης...
3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ομοίως, η κινητική ενέργεια της i μάζας: η συνολική κινητική ενέργεια: η συνολική κινητική ενέργεια σε μητρωϊκή μορφή... όπου... διάνυσμα ταχύτητας... μητρώο μάζας...
3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά υπολογισμός χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση δ (Kronecker) εάν και εάν... και λαμβάνωντας υπόψη θεωρία πινάκων & τη συμμετρία του [m] διάνυσμα γραμμή i γραμμή του πίνακα [m] διάνυσμα στήλη
3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά έπειτα η παράγωγος... ❷ [m] ανεξάρτητο του χρόνου... υπολογισμός Η κινητική ενέργεια είναι συνάρτηση της ταχύτητας... ❸
3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά υπολογισμός χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση δ (Kronecker)... και λαμβάνωντας υπόψη τη συμμετρία του [k] ❹ διάνυσμα γραμμή i γραμμή του πίνακα [k]
3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ❶ ❷ ❸ ❹ οπότε η για, και δυσχερέστερη κατάσταση (μη αποσβενόμενο σύστημα) ❺ η ΛΥΣΗ της ❺ θεωρούμε πως είναι της μορφής: ❻ όπου... σταθερά και συνάρτηση του χρόνου t
3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ο λόγος... είναι ανεξάρτητος του χρόνου σύγχρονη κίνηση όλων των συντεταγμένων η ταλάντωση του συστήματος δεν αλλάζει μορφή κατά την κίνηση η ταλάντωση του συστήματος αλλάζει πλάτος η διαμόρφωση του πλάτους ταλάντωσης του συστήματος καθορίζεται από το διάνυσμα διάνυσμα ιδιομορφών (mode shapes)
3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ❺ ❻ από και εναλλακτικός τρόπος γραφής ανεξάρτητος του δείκτη i ανεξάρτητος του χρόνου t...
3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά... και οι 2 όροι ΠΡΕΠΕΙ να είναι ίσοι με μια σταθερά (έστω ω 2 για αρμονική λύση, διαφορετικά εκθετική λύση) ❼ ή σε μητρωϊκή μορφή... ❽ έτσι, η ΛΥΣΗ της ❼ είναι της μορφής: όπου... και σταθερές ❾ πλάτος φάση
3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ΕΡΜΗΝΕΙΑ... ❽ όλες οι συντεταγμένες (σημεία) μπορούν να εκτελέσουν αρμονική ταλάντωση με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και γωνία φάσης φ η ω φέρει περιορισμούς γιατί πρέπει να ικανοποιεί την ❽ ❽ : ένα σύνολο από n γραμμικές ομογενείς εξισώσεις με αγνώστους... τετριμένη λύση... μη τετριμένη λύση...
3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ΟΡΙΣΜΟΙ... ❽ ιδιοπρόβλημα (eigenvalue problem) ιδιοτιμή (eigenvalue) φυσική συχνότητα (natural frequency) χαρακτηριστικό πολυώνυμο (characteristic equation) ΛΥΣΗ n τιμές της ω 2 πραγματικές & θετικές εάν τα μητρώα [m] & [k] είναι συμμετρικά & θετικά ορισμένα
3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ΒΑΣΙΚΗ ΛΥΣΗ... ❽ ορίζεται...... *... βασικό ιδιοπρόβλημα όπου... και... ο μοναδιαίος πίνακας δυναμικό μητρώο (dynamical matrix) για μη τετριμένη λύση ΠΡΕΠΕΙ...
Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός 4
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων ορισμοί... τα διανύσματα και είναι ορθογωνικά εάν ισχύει: τα διάνυσμα είναι κανονικό εάν ισχύει: τα διανύσματα και είναι ορθο-κανονικά εάν ισχύουν...
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων Ιδιοπρόβλημα... κάθε φυσική συχνότητα ω i ή ω j και τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα ικανοποιούν... & * συμμετρία [m] & [k] * ( - )...
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων... με ανάλογη διαδικασία... & ορθογωνικά για όμως, όταν i = j...... γενικευμένη μάζα & γενικευμένη στιβαρότητα για κάθε i B.E (mode)
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων εναλλακτική μορφή... πίνακας ιδιοανυσμάτων (modal matrix) i=1 ιδιοάνυσμα i=n ιδιοάνυσμα
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων κανονικοποίηση (normalization) πίνακα ιδιοανυσμάτων... ώστε να ισχύει... οπότε... ❶ και... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ... εάν το ιδιοάνυσμα ικανοποιεί την ❶ ορθοκανονικό συναρτήσει του [m]
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Θεώρημα διεύρυνσης (expansion theorem) τα ιδιoανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (λόγω ορθογωνικότητας) αποτελούν βάση n-διάστατου χώρου * * κάθε διάνυσμα του n-διάστατου χώρου εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός της βάσης σταθερά *... όπου γενικευμένη μάζα για κάθε i ιδιοκατάσταση (mode) κανονικοποιημένο
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά εξισώσεις κίνησης πολυβάθμιου συστήματος δίχως απόσβεση υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων ❷ επίλυση ιδιοπροβλήματος υπολογισμός φυσικών συχνοτήτων... υπολογισμός ιδιοανυσμάτων...
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά διανυσματική λύση της ❷ βάσει θεωρήματος διεύρυνσης... όπου... και...... ως γραμμικός συνδυασμός ιδοανυσμάτων (normal modes) οι γενικευμένοι βαθμοί ελευθερίας (principal coordinates ή modal participation coefficients ) ο ιδιοανυσματικός πίνακας αποτελούμενος από διανύσματα ιδιομορφών (modal matrix)... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ο ιδιοανυσματικός πίνακας [Χ] συμβολίζεται και... [Φ] ❸
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά [Χ] ανεξάρτητος του χρόνου, οπότε... και... ❸ ❹ ❷ *...... κανονικοποίηση βάσει...... ❺ ορίζεται... ❺...... το διάνυσμα γενικευμένων δυνάμεων διέγερσης
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά...... δηλ. ένα σύνολο n Δ.Ε. 2 ης τάξης... εξίσωση κίνησης συστήματος 1 Β.Ε. δίχως απόσβεση γενική λύση...... αρχικές γενικευμένες μεταβλητές
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά... όπου οι αρχικές γενικευμένες μετατοπίσεις & ταχύτητες υπολογίζονται από: όπου... και...... φυσικά μεγέθη εφόσον, υπολογισθούν οι γενικευμένες μετατοπίσεις...... οι φυσικές μετατοπίσεις...... υπολογίζονται από ❸
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά... φυσική ερμηνεία m k 1
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i... έστω σύστημα 2 Β.Ε. δίχως απόσβεση... ο ιδιοανυσματικός πίνακας [Χ] συμβολίζεται και... [Φ] απόκριση βάσει ιδιοανυσματικού μετασχηματισμού... 2 x1( t) Φ11 Φ12 q1( t) x( t) = Φ iqi( t) =Φ 1q1( t) +Φ2q2( t) = i= 1 x2( t ) Φ 21 Φ 22 q2( t) Φ Φ x 1 2 Φ q λύση του γραμμικού συστήματος... q ( ) Φ ( ) x ( t) x ( t) 1 12 1 22 12 2 22 1 22 2 12 2 1 = = q1 = Φ11 Φ12 Φ11Φ22 Φ12Φ21 det ( Φ) 21 22 ( ) ( ) x t x t [ Φ Φ ] x t Φ Φ Φ x t Φ Φ... και
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i και... q ( ) ( ) x ( t) x ( t) 11 1 1 21 11 21 2 2 11 1 21 2 2 = = q2 = Φ11 Φ12 Φ11Φ22 Φ12Φ21 det ( Φ) 21 22 ( ) ( ) Φ x t x t [ Φ Φ ] Φ x t Φ Φ x t Φ Φ άρα οι γενικευμένες μετατοπίσεις είναι... ισχύει (γραμμική άλγεβρα) για τον αντίστροφο... ( A ) όπου για n=2 ισχύει... A adj ( A) Φ22 Φ12 q1( t ) Φ21 Φ11 x1( t) = q ( t) det ( ) Φ x ( t) 2 2 n n a b d b = c d = c a adj A ( n n) ( A ) 1 = det n n αλγεβρικό συμπλήρωμα ορίζουσα
M 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i... Φ22 Φ12 Φ Φ q ( t) x ( t) q ( t ) det ( Φ) x ( t) 21 11 1 1 1 adj( Φ) = =Φ 2 2 Φ 1 ( ) q t ιδιοανυσματικός πίνακας x ❻ απόκριση
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i από τις ιδιότητες ορθογωνιότητας των ιδιοανυσμάτων ως προς το μητρώο μάζας για κάθε i Β.Ε. m =Φ M Φ T T ii i i m 0 [ ] 11 T T T 1 2 1 2 gen 0 m 22 T Φ Φ M gen όμως... σύστημα 2 Β.Ε. * Φ = Φ Φ M Φ Φ M =Φ M Φ 1 1 Φ11 Φ12 Φ11 Φ12.5 Φ 11 Φ12 Φ.6 Φ21 Φ 22 Φ21 Φ 22 Φ21 Φ22 det Φ ( A ) adj ( ) ( ) 1 M gen ( A ) Φ Φ = Φ = Φ M ΦΦ 1 T 1 0 1 Φ Φ Φ Φ 1 Φ Φ Φ Φ Φ Φ + Φ Φ 1 11 12 22 12 11 22 12 21 11 12 12 11 ΦΦ = = det ( Φ ) 21 22 21 11 det Φ Φ Φ Φ ( Φ) Φ21Φ22 Φ22Φ21 Φ21Φ 12 + Φ22Φ11 ( ) ( ) ( ) 1 det Φ 0 det Φ 1 0 det ( Φ) 0 det ( Φ) det Φ 0 1 1 1 ΦΦ = = ΦΦ = I 2 0 I 2
... 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i 1 T 1 1 T MgenΦ =Φ M ΦΦ MgenΦ =Φ M ❻ 1 T MgenΦ xt ( ) =Φ Mxt ( )...... T ( ) ( ) I 2 * ( ) xt Mgen xt Mxt M qt Mxt 1 ( ) T ( ) ( ) T Φ =Φ ( ) gen =Φ q m 0 q ( t) Φ Φ =Φ = ( ) ( t) Φ Φ Φ1 Φ 2 11 1 11 12 Mgenq t Mx t Mx t 0 m 22 q 2 21 22 [ Φ Φ ] 11 21 T m11 0 q1( t ) T Φ m ( ) 1 11 0 q1 t Φ 1 = Mx( t) Mx( t) T 0 m 22 q2( t ) [ 12 22 ] 0 m = Φ Φ 22 q2( t) Φ2 T Φ2 T
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i ( ) ( ) ( ) ( ) T ( ) ( ) T ( ) ( ) T m11q1 t Φ 1 Mx t m11q1 t =Φ1 Mx t T = mq T ii i ( t) =Φi Mx( t) m22q2 t Φ 2 Mx t m22q2 t =Φ2 Mx t 1 T qi( t) = Φ i Mxt ( ), i= 1, 2 mii... ισχύει για ένα οποιοδήποτε δυναμικό σύστημα n Β.Ε.
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά εξισώσεις κίνησης πολυβάθμιου συστήματος με απόσβεση υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων και έστω... (Rayleigh)... σταθερές... και...... *
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά... κανονικοποίηση...... δηλ. ένα σύνολο n Δ.Ε. 2 ης τάξης όπου... και...
4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά...... εξίσωση κίνησης συστήματος 1 Β.Ε. με απόσβεση γενική λύση... όπου...
ΑΝΑΦΟΡΕΣ - ΒΙΒΛΙΑ MULTIPLE DEGREE-OF-FREEDOM EXAMPLE http://www.efunda.com/formulae/vibrations/mdof_eom.cfm
Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών Δρ. Αντωνιάδης Ι..... antogian@central.ntua.gr Δρ. Γιακόπουλος Χ.... chryiako@central.ntua.gr