Εξαναγκασμένες μηχανικές ταλαντώσεις

Άσκηση 4 Εξαναγκασμένες μηχανικές ταλαντώσεις 4.1 Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η μελέτη τν εξαναγκασμένν μηχανικών ταλαντώσεν ενός κλασικού συστήματος που αποτελείται από ελατήριο και μάζα η οποία μπορεί να κινείται με ελεγχόμενη τριβή. Θα καταγραφούν οι καμπύλη συντονισμού για Q 3 και η ταχύτητα ενός σώματος όταν αυτό κινείται σε συνθήκες κρίσιμης απόσβεσης. Επίσης, θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις του συστήματος όταν το σώμα κινείται πάν στην αεροτροχιά με ελάχιστες τριβές. Θα μετρηθούν: η ελαστική σταθερά, ο παράγν ποιότητας Q τν ελεύθερν ταλαντώσεν και η ιδιοσυχνότητα του συστήματος f. 4. Γενικά Κλασικό παράδειγμα αρμονικού ταλανττή που περιγράφεται από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις είναι το σύστημα που αποτελείται από ένα ελατήριο και μία μάζα η οποία εκτελεί ταλαντώσεις μικρού πλάτους. Ανάλογα με το αν υπάρχουν ή όχι απώλειες στο σύστημα, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις, την ιδανική με μηδενική απόσβεση και αυτή τν ταλαντώσεν με απόσβεση. Αποτελούν ξεχριστά θέματα οι ιδανικές εξαναγκασμένες ταλαντώσεις και οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με απόσβεση. Μ Σχήμα 4.1 x 4..1 Αρμονικές ταλαντώσεις δίχς απώλεια ενέργειας Αυτή η περίπτση είναι ιδανική και ασφαλώς αποτελεί προσέγγιση της πραγματικότητας. Τη συναντά κανείς εκεί όπου ένα σώμα εκτελεί ταλαντώσεις με πάρα πολύ μικρή απόσβεση. Έστ ότι η μάζα του σώματος είναι Μ, η σταθερά του ελατηρίου είναι k και η θέση ισορροπίας του σώματος βρίσκεται στο σημείο x (Σχ. 4.1). Αν μετακινήσει κανείς το σώμα από τη θέση ισορροπίας του και εν συνεχεία το ελευθερώσει, το σώμα θα αρχίσει να εκτελεί ταλαντώσεις γύρ από τη θέση ισορροπίας. Η περίπτση αυτή είναι η πιο απλή και η διαφορική εξίσση που περιγράφει τη κίνηση της μάζας είναι: 1

M d x dt kx d x k ή + x dt M d x ή + x. (4.1α,β,γ) dt Η λύση της Εξ. (4.1γ) είναι: x x sin( t + φ ), (4.) όπου φ και x είναι η αρχική φάση και μετατόπιση και είναι η κυκλική συχνότητα τν ταλαντώσεν που εκτελεί η μάζα: k (rad/s) ή M f 1 k (Hz). (4.3α,β) π M Όπς βλέπουμε, στην ιδανική περίπτση η συχνότητα ταλάντσης εξαρτάται μόνο από τις σταθερές k και Μ. 4.. Ελεύθερες ταλαντώσεις με απόσβεση Σε ένα σύστημα με απώλειες οι ταλαντώσεις σιγά σιγά σβήνουν. Τις απώλειες τις προκαλούν διάφορες τριβές. Μία σημαντική περίπτση είναι αυτή στην οποία η δύναμη τριβής είναι ανάλογη προς την ταχύτητα του σώματος. Τέτοια είναι η περίπτση κίνησης του σώματος εντός κάποιου υγρού ή αερίου όπου η κίνηση του σώματος γίνεται με τριβή τύπου Stokes, η τιμή της οποίας είναι ανάλογη προς τη ταχύτητά του. Όμοιο χαρακτήρα έχει και η κίνηση κάποιου αγώγιμου σώματος όταν αυτό διασχίζει κάθετα της γραμμές του μαγνητικού πεδίου. Στην περίπτση αυτή, τα ρεύματα Φουκό που επάγονται στο σώμα δημιουργούν μαγνητικό πεδίο που επιβραδύνει την κίνηση. Έτσι, η μαγνητική αυτή αλληλεπίδραση συμβάλει στην εμφάνιση μίας τριβής η τιμή της οποίας είναι ανάλογη προς τα επαγόμενα ρεύματα, ή προς τη ταχύτητα του σώματος. Στην ανάλυση που ακολουθεί θερούμε ότι η επιφάνεια πάν στην οποία γίνεται η κίνηση του σώματος δεν προβάλει αντίσταση τριβής. Στο μοντέλο μας, η τριβή δημιουργείται λόγ κίνησης του σώματος εντός κάποιου μαγνητικού πεδίου ή κάποιου υγρού ή αερίου. Συνεπώς, για τη δύναμη τριβής μπορούμε να γράψουμε τη σχέση dx Fτ ρ b, (4.4) dt όπου b είναι η σταθερά τριβής. Η διαφορική εξίσση κίνησης του σώματος που κινείται με τριβές τύπου Stokes είναι: M d x dt dx b dt k x d x b dx k ή + + x dt M dt M d x dx ή + γ + x, (4.5α,β,γ) dt dt b όπου γ είναι μία σταθερά με διαστάσεις αντιστρόφου χρόνου. Αν δοκιμάσουμε λύσεις της M μορφής x(t) Ae pt, τότε η χαρακτηριστική εξίσση της Εξ. (4.5γ) θα είναι: με ρίζες : p + γ p + (4.6) ρ 1 γ + γ και ρ γ γ. (4.7α,β)

Ο χαρακτήρας της κίνησης εξαρτάται από το πρόσημο τις υπόριζης ποσότητας. Ξεχρίζουν τρεις περιπτώσεις: 1) ασθενής απόσβεση: όταν γ < ) κρίσιμη απόσβεση: όταν γ 3) ισχυρή απόσβεση: όταν γ > 4...1 Ασθενής απόσβεση (γ < ) Στην περίπτση αυτή, η μιγαδική ρίζα οδηγεί σε συζυγείς μιγαδικούς εκθέτες: ρ 1 γ + i και ρ γ i, (4.8α,β) όπου 1. (4.8γ,δ) γ γ / Η γενική λύση στην περίπτση της ασθενούς απόσβεσης είναι της μορφής: γ t x( t) Ae cos( t + ϕ ) (4.9) και παριστάνει μία ταλάντση της οποίας το πλάτος μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο. Εδώ η συχνότητα είναι μικρότερη από τη συχνότητα κατά παράγοντα 1 γ /. Αν τη χρονική στιγμή t, είναι x x και υ υ, τότε για τις σταθερές Α και φ έχουμε: x Acosϕ και υ A ( γ cosφ + sin ϕ ) (4.1α,β) από τις οποίες προκύπτει ότι ( x + ( υ γ x ) ) / A + και tan ( υ + γ x ) x. (4.11α,β) ϕ / 4... Ο συντελεστής ποιότητας Q Ένα άλλο χρήσιμο μέγεθος που περιλαμβάνει τα μεγέθη και γ και χρησιμοποιείται ευρύτατα είναι ο συντελεστής ποιότητας Q του συστήματος. Q που στην περίπτση ασθενούς απόσβεσης γίνεται γ Q. (4.1,α,β) γ Ο συντελεστής αυτός εκφράζει τον ρυθμό με τον οποίο φθίνει η ενέργεια του ταλανττή και ορίζεται ς αριθμός τν ακτινίν κατά τον οποίο χρειάζεται να ταλαντθεί το σύστημα (Q πn όπου n είναι ο αριθμός τν ταλαντώσεν) για να μειθεί η ενέργειά του κατά ένα παράγοντα e. Λόγ του ότι η ενέργεια του ταλανττή είναι ανάλογη προς το τετράγνο του πλάτους, στο διάστημα αυτό το πλάτος τν ταλαντώσεν μειώνεται κατά e 1/ (Σχ. 4.). Συνεπώς, Q π n (4.1γ) όπου n είναι ο αριθμός τν ταλαντώσεν κατά τν οποίν το πλάτος μειώνεται στο 6% (1/ e 1/ ~,6) της αρχικής τιμής. 3

Στα ηλεκτρικά κυκλώματα LC, ο συντελεστής ποιότητας είναι της τάξης του 1 ές 1 3, στα μέταλλα 1 3 ές 1 4 ενώ σε πιεζοηλεκτρικούς κρυστάλλους χαλαζία από τους οποίους είναι κατασκευασμένοι οι βηματοδότες τον ρολογιών, είναι της τάξης του 1 5 ές 1 6. A (cm) 1 n 8 5 1/e.5 (cm) 5 1 15 t (sec) -5-1 Q π*8 5, Σχήμα 4. 4...3 Κρίσιμη απόσβεση (γ ) Η περίπτση αυτή υλοποιείται στις αναρτήσεις τν αυτοκινήτν, στους ζυγούς, στο βαλλιστικό γαλβανόμετρο και σε διάφορους αναλογικούς μετρητές ρεύματος και τάσης που έχουν δείκτη από βελόνα. Εδώ το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει μία διπλή ρίζα ρ ρ. (4.13) 1 ρ γ Οπότε η γενική λύση της διαφορικής εξίσσης παίρνει τη μορφή: x t) ( C + C t) exp( ). (4.14) ( 1 t Αν το σώμα ισορροπεί στο σημείο x και τη χρονική στιγμή t, είναι x( ) x και υ(), τότε η τελευταία σχέση απλοποιείται και παίρνει τη μορφή x t) x (1 + t) exp( ). (4.15) ( t Η συνάρτηση x(t) δεν αλλάζει πρόσημο για οποιαδήποτε τιμή του t, συνεπώς σε συνθήκες κρίσιμης απόσβεσης το σώμα τείνει προς τη θέση ισορροπίας ασυμπττικά, χρίς ταλάντση. Αν απομακρύνει κανείς το σώμα από τη θέση ισορροπίας και εν συνεχεία το ελευθερώσει, σε συνθήκες κρίσιμης απόσβεσης, αυτό θα επιστρέψει στη θέση ισορροπίας αλλά κατά τη διαδρομή, η ταχύτητα του σώματος θα διαγράψει μία καμπύλη η οποία δίνεται στο Σχ. 4.3. Η καμπύλη αυτή μπορεί να υπολογιστεί 4

dx/dt x Μ x Σχήμα 4.3 από τη σχέση (4.15) και την παράγγό της. Όμοια είναι και η κίνηση της βελόνας τν αναλογικών οργάνν, όπς π.χ. του αμπερόμετρου όταν αυτή επιστρέφει στο σημείο μηδέν. 4.3 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με απόσβεση Συντονισμός Οι ελεύθερες ταλαντώσεις με τριβές αργά ή γρήγορα σβήνουν. Για να διατηρηθεί το πλάτος τν ταλαντώσεν σταθερό στο χρόνο, το σύστημα πρέπει να τροφοδοτείται περιοδικά με ενέργεια. Στα μηχανικά συστήματα αυτό επιτυγχάνεται με την άσκηση μιας περιοδικής δύναμης πάν στο σώμα (Σχ. 4.4) συνήθς ημιτονικής μορφής αν και αυτό δεν είναι απαραίτητο και η μορφή της διεγείρουσας δύναμης μπορεί να είναι π.χ. τύπου τριγνικών ή τετραγνικών παλμών. Οι ταλαντώσεις που διεγείρονται στο σύστημα υπό την επίδραση κάποιας εξτερικής περιοδικής δύναμης είναι τώρα εξαναγκασμένες. Μ F(t) Σχήμα 4.4 x Η εξίσση κίνησης του σώματος το οποίο εκτελεί εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με απόσβεση είναι 5

d x dx d x dx M + b + k x F( t) ή + γ + x F( t) / M, (4.16α,β) dt dt dt dt όπου k, M b γ (4.17α,β,γ) M και F(t) είναι η διεγείρουσα δύναμη που ασκείται στο σώμα. Η σχέση αυτή είναι μία μη ομογενής γραμμική διαφορική εξίσση δευτέρας τάξης και, όπς είναι γνστό, η λύση της είναι το άθροισμα της λύσης της ομογενούς (F(t) ), περίπτση που είδη αναλύθηκε, και μίας λύσης της πλήρους εξίσσης (του λεγόμενου ειδικού ολοκληρώματος). Η λύση της ομογενούς εξίσσης έχει τη μορφή: [ C exp( i t) + C exp( i )] γ t x( t) e f 1 f t. (4.18) Από την άλλη πλευρά, το ειδικό ολοκλήρμα της πλήρους εξίσσης εξαρτάται από τη συνάρτηση F(t) και όταν αυτή είναι αρμονική, δηλαδή έχει τη μορφή F(t) F cos(t), τότε φυσικό είναι να εξετασθεί ένα ειδικό ολοκλήρμα αρμονικής συνάρτησης με τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης: Η αντικατάσταση της x p (t) στην Εξ. (4.16) δίνει: x p ( t) Acos( t + φ ). (4.19) [( ) Acosφ γ Asin φ F / M ] cos( t) + [( ) Asin φ + γ Acosφ ] sin( t) Η τελευταία σχέση ικανοποιείται μόνο όταν οι παραστάσεις στις αγκύλες είναι μηδέν. Συνεπώς, [ )cosφ γ sin φ ] F M A /, (4.) ( tan φ γ. (4.1) Για τις σταθερές Α και φ, έχουμε τελικά: F / M A και ϕ arctan ( ) + 4 γ γ. (4.α,β) Στο Σχ.4.5 δίνονται δύο κανονικοποιημένες καμπύλες συντονισμού και φάσης για δύο ταλανττές που έχουν την ίδια σταθερά αλλά διαφορετικό συντελεστή ποιότητας Q. Να επισημάνουμε μερικές ιδιότητες τν καμπυλών αυτών. α. Οι καμπύλες συντονισμού δεν είναι συμμετρικές. β. Η κορυφή της καμπύλης με μεγαλύτερο Q βρίσκεται λίγο δεξιότερα και πιο κοντά στο σημείο / 1. γ. Για οποιοδήποτε Q, στο συντονισμό, το σώμα ταλαντώνεται πάντα με καθυστέρηση 9. Δεν πρέπει να μας διαφεύγει το γεγονός ότι η λύση (4.α) είναι λύση της μόνιμης κατάστασης. Στη μεταβατική περίοδο (διαρκεί ~ Q περιόδους) η κίνηση του σώματος είναι πιο σύνθετη και η συνάρτηση που την περιγράφει αποτελεί υπέρθεση μίας φθίνουσας συνάρτησης τύπου (4.9) και της συνάρτησης (4.α). Έτσι, στη μεταβατική περίοδο, όταν η διεγείρουσα συχνότητα διαφέρει λύγο από την ιδιοσυχνότητα του ταλανττή ( ), ανάλογα με τις αρχικές συνθήκες, στις ταλαντώσεις του σώματος παρατηρούνται διακροτήματα τα οποία σιγά-σιγά (σε Q περιόδους) εξαφανίζονται και το πλάτος ταλάντσης σταθεροποιείται στην τιμή που δίνεται από τη σχέση (4.α). 6

Η συχνότητα συντονισμού προσδιορίζεται από το ακρότατο του παρανομαστή της σχέσης (4.α) και η τιμή της είναι γ (rad/s) ή r γ f r f (Hz). (4.3α,β) π Βλέπουμε ότι στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις η συχνότητα συντονισμού r είναι μικρότερη από τη με την οποία ταλαντώνεται ένα σύστημα χρίς τριβές. Επίσης, είναι μικρότερη και από τη συχνότητα που παρατηρείται στα συστήματα που εκτελούν ελεύθερες ταλαντώσεις με μικρή απόσβεση όπου, όπς είδη είδαμε, η συχνότητα αυτή είναι Α()/Α max 1..9 /..5 1. 1.5. -.8-4.7.6.5.4.3. Q 1 Q > Q 1 Q 1-6 -8-1 -1-14.1 Q Q -16...5 1. 1.5. -18 φ / (μοίρες) Σχήμα 4.5 f γ. (4.4) Σε κατάσταση συντονισμού, την τιμή του μέγιστου πλάτους την υπολογίζουμε θέτοντας στη σχέση (4.8α) r : A max F / M F / M F (4.5α,β,γ) 4γ ( γ ) γ f b f Αν τώρα χρησιμοποιήσουμε τον συντελεστή ποιότητας 7

f M Q ~, (4.6α,β,γ) γ γ b η έκφραση για το μέγιστο πλάτος γίνεται F F A max Q M k QA, (4.7α,β,γ) όπου Α είναι η στατική μετατόπιση του σώματος ( ) όταν του ασκείται δύναμη F. Συνεπώς, στο συντονισμό, η δυναμική μετατόπιση του σώματος (η μετατόπιση σε ταλάντση) είναι Q φορές μεγαλύτερη από τη στατική. Βλέπουμε ότι, το Q εκφράζει το κέρδος που επιτυγχάνεται στη μετατόπιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας όταν η μετατόπιση επιτυγχάνεται δυναμικά (σε ταλάντση) και όχι στατικά. Επίσης, χρήσιμη είναι και η σχέση που περιλαμβάνει τα μεγέθη r, και Q. Έτσι, από τις σχέσεις (4. 3) και (4.1), έχουμε: 1 Q r γ 1 (rad/s) ή f r f 1 1 (Hz). (4. 8α,β) Q 4.5 Η πειραματική διάταξη Μέθοδος 1. Η πειραματική διάταξη αποτελείται από δύο όμοια ελατήρια και ένα βαγονάκι από αλουμίνιο που μπορεί να ολισθαίνει πάν στην αεροτροχιά πρακτικά χρίς τριβές (Σχ.4.6). Τις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις τις διεγείρει ένας δονητής που τροφοδοτείται από τη γεννήτριά του. Το πλάτος και η συχνότητα τν ταλαντώσεν του δονητή μπορούν να ρυθμιστούν στην κατάλληλη τιμή. Η τιμή της επιλεγμένης συχνότητας αναγράφεται σε ψηφιακή μορφή στην πρόσοψη της γεννήτριας. Η διάταξη περιλαμβάνει και έναν ηλεκτρομαγνήτη με διάκενο στον πυρήνα του. Το βαγονάκι κινείται στο διάκενο του πυρήνα όπου δημιουργείται ισχυρό μαγνητικό πεδίο που προκαλεί τις απώλειες του συστήματος. Μεταβάλλοντας την Ηλεκτρομαγνήτης Δονητής k 1 Al k Διάκενο Μ 1 ψ x Σχήμα 4.6 8

ένταση του μαγνητικού πεδίου στο διάκενο ελέγχεται το μέγεθος της τριβής. Το ρεύμα από το οποίο εξαρτάται η ένταση του μαγνητικού πεδίου ρυθμίζεται μέσ μεταβολής της τάσης του τροφοδοτικού που τροφοδοτεί τα πηνία του ηλεκτρομαγνήτη. Δύο μετρητές, της τάσης και του ρεύματος, που βρίσκονται στην πρόσοψη του τροφοδοτικού επιτρέπουν τη μέτρηση τν μεγεθών αυτών. Η μέτρηση της ταχύτητας και της φάσης του βαγονιού γίνεται μέσ μέτρησης διαφόρν χρονικών διαστημάτν. Τα χρονικά αυτά διαστήματα μετρώνται με μία σημαία και δύο φτοπύλες. Εκτενέστερη περιγραφή τν φτοπυλών γίνεται στην Άσκηση 7 (Τόμος 1, Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής του ΕΜΠ). Η σημαία ( mm) είναι κολλημένη στην αλουμινένια προέκταση του βαγονιού.. Στα πειράματα που εκτελούνται στην εργασία αυτή, η εξτερική δύναμη δεν ασκείται στο σώμα έτσι όπς αυτό περιγράφεται στα θερητικά μοντέλα. Εδώ απλώς μεταβάλλεται αρμονικά η θέση του σημείου στήριξης του αριστερού ελατηρίου (Σχ.4.6). Παρόμοιες καταστάσεις δημιουργούνται και στις παραμετρικές ταλαντώσεις. Η κίνηση του άκρου του ελατηρίου προκαλεί την άσκηση στο σώμα μιας εναλλασσόμενης δύναμης η οποία επιδρά στο σύστημα με τον ίδιο τρόπο όπς αυτό γίνεται και στο θερητικό μοντέλο. Επειδή αυτό δεν είναι προφανές, θα το δείξουμε με τους εξής συλλογισμούς: Έστ ότι το σώμα ισορροπεί στο σημείο x ενώ το σημείο στήριξης του αριστερού ελατηρίου, στο σημείο ψ. Έστ ακόμα ότι τη χρονική στιγμή t, η μάζα Μ κινείται προς τις θετικές τιμές του x και είναι x > και ψ > (Σχ. 4.6). Αν το σημείο στήριξης ταλαντώνεται γύρ από σημείο ψ σύμφνα με τη σχέση ψ ψ cos(t), τότε για τη μάζα Μ μπορούμε να γράψουμε την εξίσση b k F x bx k1 ( x ψ ) k x ή x + x + x cos( t), (4.9α,β) M M M M όπου k k 1 +k είναι η ελαστική σταθερά του συστήματος και F k 1 ψ είναι το πλάτος της εναλλασσόμενης δύναμης που ασκείται στο σώμα. Η Εξ. (4.35β) μπορεί να γραφτεί στη μορφή F x + γ x + x cos( t), (4.3) M όπου γ b/m και k/m. Βλέπουμε λοιπόν ότι η Εξ. (4.36) είναι όμοια με την Εξ. (4.) που προκύπτει από την ανάλυση του θερητικού μοντέλου. Συνεπώς, όλο το μαθηματικό υπόβαθρο και τα συμπεράσματα της παραγράφου 4.3 μπορούν να επεκταθούν και στην περίπτση όπου το σημείο στήριξης του ενός από τα δύο ελατήρια ταλαντώνεται αρμονικά. Στο σημείο αυτό πρέπει να επισημάνουμε μία ιδιαιτερότητα της πειραματικής διάταξης. Στη διάταξη, τα ελατήρια είναι δύο και όχι ένα όπς στο θερητικό μοντέλο. Επιπλέον, τα ελατήρια είναι όμοια, δηλαδή k 1 k k/. Συνεπώς, το πλάτος F της εναλλασσόμενης δύναμης που ασκείται στο σώμα είναι Η αντικατάσταση της σχέσης (4.37) στη (4.33) δίνει: k ψ k F 1 ψ (4.31) F ψ A max Q Q (4.3) k 4.5.1 Ρύθμιση του συντελεστή ποιότητας Q Στα πειράματα, ο συντελεστής ποιότητας τν ταλαντώσεν ρυθμίζεται κατά βούληση. Σύμφνα με τη σχέση (4.3), στο συντονισμό, το πλάτος ταλάντσης του βαγονιού είναι Q/ φορές μεγαλύτερο από αυτό του δονητή. Η πειραματική διάταξη επιτρέπει τη μέτρηση τν πλατών αυτών. Έτσι, ρυθμίζοντας το πλάτος ταλάντσης του δονητή π.χ. στην τιμή 1 mm, ρυθμίζουμε το ρεύμα τν πηνίν του μαγνήτη ές 9

ότου στο συντονισμό, το πλάτος ταλάντσης του βαγονιού αποκτήσει την επιθυμητή τιμή, π.χ. mm όταν επιθυμούμε Q 4. 4.5. Καταγραφή της καμπύλης συντονισμού του συστήματος για ορισμένη τιμή του Q Αφού πρώτα γίνει ρύθμιση της επιθυμητής τιμής του Q, στη συνέχεια γίνεται μέτρηση τν πλατών ταλάντσης του βαγονιού συναρτήσει της συχνότητας. Η επιλεγμένη περιοχή συχνοτήτν θα πρέπει να περιλαμβάνει και τη συχνότητα συντονισμού (~1 Hz). Σημείση. Στην περιοχή 1 Hz, το πλάτος ταλάντσης του δονητή είναι σταθερό (1, mm) και δεν είναι απαραίτητος ο έλεγχός του. 4.5.7 Μέτρηση της ταχύτητας του βαγονιού σε συνθήκες κρίσιμης απόσβεσης Όταν ο επιλογέας λειτουργιών του χρονομέτρου είναι στη θέση GATE, το χρονόμετρο ενεργοποιείται όταν η σημαία φράζει το φς της πηγής και απενεργοποιείται όταν το φς επανέρχεται στον δέκτη (Σχ.4.8). Με άλλα λόγια, η χρονομέτρηση διεξάγεται στο χρονικό διάστημα που το φς είναι φραγμένο. Η λειτουργία αυτή επιτρέπει τη μέτρηση της μέσης ταχύτητας της σημαίας που είναι κολλημένη πάν στη προέκταση του βαγονιού. Το πλάτος της σημαίας είναι Δl, ±,1mm. Είναι l υ, (4.33) t όπου Δt είναι ο χρόνος φραγής της δέσμης και Δl είναι το πλάτος της σημαίας. Σημαία Δέκτης φτός Προέκταση του βαγονιού Πηγή φτός Σχήμα 4.8 Βιβλιογραφία 1. H. J. Pain, Φυσική τν ταλαντώσεν και τν κυμάτν, 3 έκδοση (Αθήνα 199).. Μαθήματα Φυσικής Πανεπ. Berkeley. Τόμος Γ: Κυματική (Αθήνα 1979). 3. C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Ruderman, A. C. Helmholz, B. J. Moyer, Μηχανική.(Παν. Εκδ. ΕΜΠ). 1

1. Ελευθερές ταλαντώσεις 4.6.1 Μέτρηση του συντελεστή ποιότητας και της ιδιοσυχνότητας τν ελεύθερνταλαντώσεν όταν οι απώλειες του συστήματος είναι ελάχιστες Για λόγους προστασίας, τα ελατήρια είναι χαλαρμένα στο φυσικό τους μήκος όταν η αεροτροχιά δεν λειτουργεί. Στις ελεύθερες ταλαντώσεις ο ηλεκτρομαγνήτης δεν πρέπει να λειτουργεί. Για να εκτελέσετε τα δύο πειράματα: 1) Θέσατε σε λειτουργία την αεροτροχιά και τεντώστε τα ελατήρια μετατοπίζοντας το στήριγμα τν ελατηρίν ές ότου το δεξί (αριστερό) άκρο του βαγονιού βρεθεί στο σημείο 4 (16) cm. ) Για τη μέτρηση του Q, μετατοπίστε τον ηλεκτρομαγνήτη έτσι ώστε ο πυρήνας του να βρίσκεται περίπου στο κέντρο του βαγονιού. Μετατοπίστε το βαγονάκι 5 cm από τη θέση ισορροπίας, ελευθερώστε το και μετρήστε τον αριθμό τν ταλαντώσεν κατά τη διάρκεια τν οποίν το αρχικό τους πλάτος μειώνεται κατά ένα παράγοντα e 1/ (είναι 6% της αρχικής τιμής). 3) Για τη μέτρηση της ιδιοσυχνότητας f, μετατοπίστε το βαγονάκι 5 cm από τη θέση ισορροπίας και ελευθερώστε το για να εκτελέσει ελεύθερες ταλαντώσεις. Μετρήστε το χρόνο 1 ταλαντώσεν. Υπολογίστε τη συχνότητα ταλάντσης f του συστήματος. Σημειώστε το σφάλμα αυτής της μέτρησης. 4) Υπολογίστε τον συντελεστή ποιότητας Q και την ιδιοσυχνότητα f (σχέσεις 4.8γ,δ και 4.1β) όταν οι απώλειες του συστήματος είναι ελάχιστες. Η μάζα του βαγονιού αναγράφεται πάν της και το σφάλμα της τιμής αυτής είναι ±.1 gr.. Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις 4.6. Μέτρηση της καμπύλης συντονισμού Η μετρήσεις τν καμπυλών συντονισμού γίνονται μέσ μέτρησης του πλάτους ταλάντσης (Σχ.4.7) συναρτήσει της συχνότητας του δονητή. Για το σκοπό αυτό: 1) Θέσατε σε λειτουργία τη γεννήτρια του δονητή (ο διακόπτης λειτουργίας βρίσκεται στο πίσ μέρος του οργάνου). Αμέσς, ο δονητής τίθεται σε ταλάντση με συχνότητα 1 Hz. Η συχνότητα αυτή είναι πολύ υψηλή. Για να μειθεί στην τιμή ~1 Hz, πατήστε δύο φορές το κουμπί Range (το κάτ) που βρίσκεται στην πρόσοψη της γεννήτριας. Η συχνότητα τν ταλαντώσεν θα γίνει 1 Hz. Ρυθμίστε την συχνότητα στην επιθυμητή τιμή (~ 1Hz) με το κουμπί ADJUST. Το κουμπί AMPLITUDE δεν το πειράζουμε. Το πλάτος ταλάντσης του δονητή είναι ρυθμισμένο από τον υπεύθυνο της άσκησης και είναι, ±,1 mm. ) Αξιοποιώντας την τιμή της f που μετρήσατε στα προηγούμενα πειράματα, υπολογίστε την τιμή της συχνότητας συντονισμού f r, (4.8β), για Q 3 και εφαρμόστε την τιμή αυτή στην γεννήτρια του δονητή. Θέσατε σε λειτουργία το τροφοδοτικό του ηλεκτρομαγνήτη και ελέγξτε αν το πλάτος ταλάντσης του βαγονιού είναι 3 mm, δηλαδή 7,5 φορές μεγαλύτερο από αυτό του δονητή. Αν το πλάτος διαφέρει από την τιμή αυτή, ρυθμίστε τη συχνότητα και το ρεύμα του ηλεκτρομαγνήτη ανάλογα ές ότου το πλάτος ταλάντσης γίνει 3 mm. 3) Με βήμα, Hz, μετρήστε το πλάτος ταλάντσης στο διάστημα,6 1,4 Hz. Στα πειράματα η διάρκεια της μεταβατικής περιόδου είναι 3 s. Συνεπώς, μετά από κάθε αλλαγή της συχνότητας η καταγραφή τν τιμών πρέπει να γίνεται μετά από παρέλευση 3 δευτερολέπτν. 4.6.3 Μέτρηση της ταχύτητας του βαγονιού συναρτήσει της θέσης σε συνθήκες κρίσιμης απόσβεσης 1) Μετατοπίστε τον ηλεκτρομαγνήτη προς τη πλευρά του βαγονιού όπου βρίσκεται η αλουμινένια προέκταση με την σημαία. Το βαγονάκι πρέπει να βρίσκεται εντός του μαγνητικού πεδίου και να εξέχει από αυτό μόνο ~1 mm. Με την ρύθμιση αυτή το βαγονάκι μπορεί να κινείται εντός του μαγνητικού πεδίου σε μία διαδρομή 1 cm. ) Θέσατε τον επιλογέα λειτουργιών του χρονομέτρου στη θέση GATE. Ο μοχλός της μνήμης (Memory) πρέπει να είναι κάθετος, στη θέση ΟN και η διακριτική ικανότητα του χρονομέτρου πρέπει να είναι 11

.1ms. Στη λειτουργία αυτή το χρονόμετρο μετρά τον χρόνο φραγής της υπέρυθρης δέσμης. Το πλάτος της σημαίας είναι, ±,1 mm. 3) Για να επιτύχετε την κρίσιμη απόσβεση: εφαρμόστε στον ηλεκτρομαγνήτη ρεύμα 1 Α. Μετατοπίστε το βαγονάκι 1 cm προς την πλευρά της σημαίας, ελευθερώστε το και παρακολουθήστε την κίνησή του. Όταν η απόσβεση είναι κρίσιμη ή πολύ μεγάλη, το βαγονάκι επιστρέφει στη θέση ισορροπίας χρίς ταλάντση, ασυμπττικά. Όταν είναι μικρότερη από τη κρίσιμη, τότε η επιστροφή του βαγονιού γίνεται με ταλαντώσεις γύρ από το σημείο ισορροπίας. Στην περίπτση αυτή θα πρέπει να αυξήσετε το ρεύμα που διαρρέει τα πηνία του ηλεκτρομαγνήτη και να επαναλάβετε το πείραμα με το βαγονάκι. Οι διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται ές ότου η απόσβεση τν ταλαντώσεν γίνει κρίσιμη. 4) Στο πείραμα αυτό, κάθε φορά, το βαγονάκι μετατοπίζεται από τη θέση ισορροπίας 1 cm και αφήνεται να επιστρέψει. Για να μετρήσετε την ταχύτητα του βαγονιού σε κάποιο ενδιάμεσο σημείο που απέχει π.χ. 4 cm από τη θέση ισορροπίας, μετατοπίστε το βαγονάκι 4 cm και ρυθμίστε τη θέση της φτοπύλης έτσι ώστε στο σημείο αυτό η δέσμη της να αρχίζει να φράζεται από τη σημαία. Τη φραγή τη διαπιστώνει κανείς με το κόκκινο λαμπάκι που βρίσκεται στο πάν μέρος της φτοπύλης. Το λαμπάκι αυτό ανάβει όταν η δέσμη φράζεται. Δύο πλευρές της σημαίας μπορούν να φράξουν τη δέσμη. Η δέσμη πρέπει να φράζεται από τη πλευρά της σημαίας που βρίσκεται σε μικρότερη απόσταση από το βαγονάκι λόγ του ότι αυτή η πλευρά της σημαίας θα συναντήσει πρώτη την δέσμη καθώς η σημαία θα κινείται προς τη θέση ισορροπίας. 5) Μετατοπίστε το βαγονάκι 1 cm και αφήστε το να επιστρέψει. Στην οθόνη του χρονομέτρου θα εμφανιστεί ο χρόνος φραγής της δέσμης στο σημείο x 4 cm. Σημειώστε την τιμή. Επαναλάβατε τη διαδικασία αυτή για διάφορα σημεία που βρίσκονται στο διάστημα 1 cm και απέχουν μεταξύ τους,5 cm. Η μέτρηση στο σημείο ισορροπίας δεν έχει νόημα, εδώ ο χρόνος φραγής είναι άπειρος. Προφανώς, στα σημεία x και x 1 cm, η ταχύτητα του βαγονιού είναι. 6) Κλείστε όλα τα όργανα και χαλαρώστε τα ελατήρια. Προσοχή! Μην κλείσετε την τροφοδοσία του ηλεκτρομαγνήτη εάν προηγουμένς δεν μηδενίσατε το ρεύμα που τον διαρρέει. Επίσης, ο ηλεκτρομαγνήτης θερμαίνεται έντονα όταν τροφοδοτείται με ρεύματα της τάξης 3 Α και μπορεί να καεί εάν ξεχάσετε να τον κλείσετε. 4.7 Επεξεργασία τν μετρήσεν 1) Υπολογίστε τη συχνότητα f και το συντελεστή ποιότητας Q τν ελεύθερν ταλαντώσεν του βαγονιού. Υπολογίστε την ιδιοσυχννότητα f και την ελαστική σταθερά k του συστήματος. (Για να είναι δυνατή η ρύθμιση του Q στην τιμή 3, ένας πρόχειρος αλλά ακριβής υπολογισμός τν τιμών f και f είναι αναγκαίο να γίνεται στο εργαστήριο κατά τη διάρκεια τν πειραμάτν). Υπολογίστε τα σφάλματα τν τιμών αυτών. Πόσο (επί τοις εκατό) διαφέρουν οι τιμές f και f ; ) Σχεδιάστε σε μία γραφική παράσταση την θερητική κανονικοποιημένη καμπύλη συντονισμού και τα πειραματικά σημεία (τα πειραματικά σημεία, με σταυρούς). 3) Πόσο (επί τοις εκατό) διαφέρει η συχνότητα συντονισμού f r από την ιδιοσυχννότητα f ; 4) Σχεδιάστε σε γραφική παράσταση την καμπύλη ταχύτητας συναρτήσει της θέσης του βαγονιού, σε συνθήκες κρίσιμης απόσβεσης. Στο διάστημα.5 cm η ταχύτητα του βαγονιού δεν καταγράφηκε. Συμπληρώστε το τμήμα αυτό της γραφικής παράστασης κατ εκτίμηση. 5) Από τη γραφική παράσταση που σχεδιάσατε στο (4), υπολογίστε τη δύναμη της μαγνητικής τριβής που ασκείται στο βαγονάκι, στο σημείο της διαδρομής όπου η ταχύτητα είναι μέγιστη. 6) Υπολογίστε τους συντελεστές ποιότητας Q 1 και Q τν δύο ταλανττών, οι καμπύλες συντονισμού τν οποίν δίνονται στο Σχ. 4.5. 1