ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4 ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα και ένα εσωτερικό σημείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f ( Μονάδες A. ίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο. Πότε η ευθεία yλ+β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 5 A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ορίζουμε z β Μια συνάρτηση f:a λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f( f( γ Για κάθε { συν} ισχύει: ( εφ συν ημ δ Ισχύει ότι: lim + ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ε Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. ΘΕΜΑ Β Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με ικανοποιούν τις σχέσεις: z 3i + z + 3i και w z 3i + Μονάδες z 3i, οι οποίοι z 3i B. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z B. Να αποδείξετε ότι z + 3i z 3i Μονάδες 7 Μονάδες 4 B3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι w B4. Να αποδείξετε ότι: z w z Μονάδες 8 Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f :, δύο φορές παραγωγίσιμη στο f f (, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:, με για κάθε. ( f ( + f ( f ( + f ( ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ. Να αποδείξετε ότι: f ( ln, Μονάδες 8 Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 3 Γ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής. Μονάδες 7 Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( συν έχει π ακριβώς μία λύση στο διάστημα, ΘΕΜΑ Μονάδες 7 ίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g :, οι οποίες για κάθε ικανοποιούν τις σχέσεις: i f(> και g(> ii iii f ( g( t dt g( + t t dt f ( + t. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο και ότι f( g( για κάθε.. Να αποδείξετε ότι: f(, Μονάδες 9 Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ 3. Να υπολογίσετε το όριο: lim ln f ( f Μονάδες 5 4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F( f (t τους άξονες και y y και την ευθεία με εξίσωση. dt Μονάδες 7 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3 ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης:. π.μ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σελ. 6 Α. Θεωρία σελ. 8 Α3. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β. z 3i + z+ 3i z 3i + z 3i z 3i + z 3i (ως γνωστόν z z z 3i z 3i ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Κ (,3 και ρ. Β. Εφόσον z 3i z 3i z3i z 3i z 3i z+ 3i z+ 3i z 3i
Β3. ( β w z 3 i + 3 z 3i z / i / + z + 3 / i / w z+ z R( z R (Από το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z το + ( y 3 άρα άρα R( z άρα R( z w Β4. z w z z w z z+ z z/ z/ z z z (από Β : w z+ z 3 y 3 ΘΕΜΑ Γ Γ. f + f f + f f + f f ( f ( ( f ( +, έχουμε f ( ( f f c για c f f άρα f, R Θεωρούμε h R f + c h + h + h γν. φθίνουσα γν.αύξουσα h( άρα h( > h, R Β Τρόπος Η g είναι κυρτή στο R, άρα η είναι πάνω από την εφαπτομένη της στο που είναι y + εκτός του σημείου επαφής. Επομένως +, R και το ισχύει μόνο για., R ( f f ( ln ( Έχουμε λοιπόν f g Α (,
ln άρα f ln ( f + c f ln+ c c, R, R και Γ. f ln f f Είναι >, R f > > και f < < άρα min για το f. + f + f γν. φθίνουσα γν. αύξουσα Γ3. f, R ( ( ( / / άρα / / / / + f f ( ( Θεωρούμε την R, R ( lim li m + R ' + R γν. αύξουσα γν. φθίνουσα R συνεχής και στο Α (,] οπότε R( Α limr, R( (, ] R συνεχής και στο Α [, + οπότε R( Α ( lim R, R( (, ], αφού + R, καθώς: lim li m lim lim lim,. lim + limr lim ( lim + + + li m + και lim( +, καθώς: +
R ( A άρα η R ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο Α (,] ρ η ρίζα στο Α ( ] Έστω, Για κάθε Α με < R < R ρ ( ρ, άρα f ( < > ρ R > R( ρ, άρα f ( > το πρόσημο της R ( είναι πρόσημο της f αφού (, R άρα μοναδική. f R, δηλαδή η R αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν της ρίζας ρ, οπότε το ρ είναι θέση σημείου καμπής της C f. Α +, R άρα R ( A άρα η R ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [, Γ4. μοναδική. Έστω Α, + Για κάθε Α με < R > R ρ η ρίζα στο [ ρ ( ρ, άρα f ( > > ρ R < R( ρ, άρα f ( < το πρόσημο της R ( είναι πρόσημο της f, δηλαδή η R αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν της ρίζας ρ, οπότε το θέση ρ σημείου καμπής της C f. Επομένως η f έχει ακριβώς δυο σημεία καμπής. Θεωρούμε την ln Φ συν π Φ συνεχής στο, ως διαφορά συνεχών. Φ ln συν π π π π π Φ ln συν f >. (Εφόσον η f από το Γ έχει ελάχιστο το π μόνο για, f, R, για π άρα f >. π Φ( Φ < π στο, Επίσης π Φ + ημ >, γιατί ημ >,,, >, R (από Γ και > >. π Άρα Φ γν.αύξουσα στο,, άρα η ρίζα μοναδική., από Θεώρημα Bolzano η εξίσωση Φ έχει μια τουλάχιστον ρίζα
ΘΕΜΑ Δ Δ. t t f dt f dt g( + t g( + t t+ f dt g ( + t t+ f dt g θέτουμε ( + t u + t t u du dt t u u f d u g u ( u u f du g u u + du f g u Επειδή η g( u συνεχής άρα η hu u συνεχής άρα ορίζεται η g u u ϕ du είναι παραγωγίσιμη άρα η f παραγωγίσιμη με g u f g ( Ομοίως θέτοντας u + t και με την ίδια διαδικασία u προκύπτει: + du g f u Επειδή η f ( u συνεχής άρα η t( u G u συνεχής άρα ορίζεται η g u u du που είναι παραγωγίσιμη άρα η g παραγωγίσιμη με f u g ( 3 f Από ( και (3 f g f g f g f g
ln ln f g ( f ( g( f g ln f ln g + c 4 για η σχέση f δίνει: f ( g ομοίως t f g t ( + Άρα η (4 δίνει: για ln f ln g + c ln ln+ c c Άρα ln f ln g f g( dt Δ. Από (3 εφόσον f g g f f f f f f f + c f για προκύπτει άρα άρα f Δ3. R. ln f ln lim lim f u u u u u lim lim lim u c u u f u ( u u lim lim lim( lim u u u u u u Δ4.
t F f t dt dt (επειδή t άρα t dt t t, dt dt F Ε F d F d F d F + F d u / F + F/ u + d ( / u / u du du d u du d u u τ. μ. Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη