ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2013-2014 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Πρώτο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 28 Φεβρουαρίου (στο μάθημα του κ. Παπανδρέου ή του κ. Χαριτάκη). Οι λύσεις θα αναρτηθούν στο τέλος της 27 Φεβρουαρίου και εργασίες δε θα γίνονται δεκτές μετά από αυτήν την ημέρα. Αντιστοιχεί μια μονάδα σε κάθε ερώτηση για σύνολο 10 ερωτήσεων 1) Ένα καλό πρωινό συμπεριλαμβάνει δημητριακά και αυγά. Έστω ότι κατανέμουμε 60 κάθε εβδομάδα στα δύο αυτά είδη και πως η τιμή των δημητριακών είναι 2 το κουτί και μια εξάδα αυγά κοστίζει 3. Α. Χρησιμοποιήστε ένα διάγραμμα με κουτιά δημητριακών στον οριζόντιο άξονα και εξάδες αυγών στο κάθετο άξονα για να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα: α) Δείξτε τον εβδομαδιαίο εισοδηματικό περιορισμό. Απάντηση: δείτε το διάγραμμα (α) β) Ποιο είναι το «κόστος ευκαιρίας» των δημητριακών και των αυγών; και συσχετίστε το κόστος αυτό με το διάγραμμα. Απάντηση: Το κόστος ευκαιρίας των δημητριακών είναι 2/3 μιας εξάδας αυγών (που είναι ίσο με το αρνητικό της κλίσης καθώς τα δημητριακά είναι στον οριζόντιο άξονα). Το κόστος ευκαιρίας εξάδας αυγών είναι 3/2 των δημητριακών (ίσο με το αντίστροφο του αρνητικού της κλίσης του εισοδηματικού περιορισμού καθώς τα αυγά βρίσκονται στο κάθετο άξονα). γ) Τι θα συνέβαινε στο διάγραμμα αν η τιμή των αυγών ανέβαινε στα 6; Ποια θα ήταν η νέα κλίση του εισοδηματικού περιορισμού; Απάντηση: Η αλλαγή φαίνεται στο διάγραμμα (β). Η νέα κλίση είναι -1/3. 1
δ) Τι θα συνέβαινε αν το οικογενειακό εβδομαδιαίο εισόδημα που διαθέτουμε για πρωινό έπεφτε (λόγω ανεργίας) στα 30; Αλλάζει η κλίση του εισοδηματικού περιορισμού; Απάντηση: Διάγραμμα (c). Δεν αλλάζει η κλίση εισοδηματικού περιορισμού. 2. Ο γιατρός σου έχει πει πως πρέπει να προσέχεις τις θερμίδες που καταναλώνεις και πως πρέπει να φροντίζεις η διατροφή σου να εμπεριέχει αρκετή βιταμίνη E. Για να απλοποιήσεις την ζωή σου έχεις αποφασίσει να τρως μόνο μπριζόλες και καρότα. Μια μπριζόλα έχει 250 θερμίδες και 10 μονάδες βιταμίνης ενώ μια μερίδα καρότα έχει 100 θερμίδες και 30 μονάδες βιταμίνης. Οι οδηγίες του γιατρού είναι να μην καταναλώνεις παραπάνω από 2000 θερμίδες και να καταναλώνεις τουλάχιστον 150 μονάδες βιταμίνης ημερησίως. (α) Σε διάγραμμα «μερίδες καρότων» στον οριζόντιο άξονα και μπριζόλες στον κάθετο άξονα, δείξτε όλους τους συνδυασμούς καρότων και μπριζολών που προσφέρουν 2000 θερμίδες ημερησίως. Απάντηση: Φαίνεται σε «θερμιδικός περιορισμός» στο (α) μέρος του διαγράμματος. (β) Στο ίδιο διάγραμμα δείξτε όλους τους συνδυασμούς καρότων και μπριζολών που προσφέρουν ακριβώς 150 βιταμίνες. Απάντηση: «Περιορισμός βιταμινών» στο (α) μέρος του διαγράμματος. (γ) Στο ίδιο διάγραμμα δείξτε, σκιάστε τους συνδυασμούς που ικανοποιούν και τις δύο οδηγίες του γιατρού. Εκφράστε μαθηματικά το σύνολο των συνδυασμών αυτών. Απάντηση: Σκιασμένο κομμάτι στο (α) μέρος του διαγράμματος. {(x 1, x 2 )! + 2 100x 1 + 250x 2 2000 & 30x 1 +10x 2 150} 2
(δ) Τώρα υποθέστε πως μπορείτε να αγοράσετε μερίδα από καρότα με 2 και μπριζόλα με 6. Έχεις 26 ημερησίως στο προϋπολογισμό για φαγητό. Δείξτε διαγραμματικά τον εισοδηματικό περιορισμό. Αν αγαπάς τις μπριζόλες και δεν σε πειράζει να τρως ή να μην τρως καρότα, τι συνδυασμό θα επιλέξεις (εφόσον ακολουθείς πιστά τις οδηγίες του γιατρού σου); Βρείτε τον συνδυασμό (αριθμητικά). Απάντηση: Θα επιλέξετε την τομή των δύο εισοδηματικών περιορισμών καθώς έτσι θα απολαμβάνετε την μέγιστη ποσότητα από μπριζόλες ικανοποιώντας παράλληλα τον περιορισμό βιταμινών. Ο συνδυασμός είναι (x 1, x 2 ) = (4,3) που αντιστοιχεί με θερμίδες 4 (100)+3 (250)=1150. 3. Ένα φωτοτυπάδικο χρεώνει 0.05 την σελίδα για τις πρώτες 10.000 φωτοτυπίες μέσα στο μήνα αλλά μετά μειώνει την τιμή σε 0.035 για κάθε επιπρόσθετη σελίδα μέχρι τις 100.000 και 0.02 την σελίδα πάνω από τις 100.000. Έστω ότι το οικονομικό τμήμα έχει μηνιαίο προϋπολογισμό 5.000. (α) Βάζοντας «φωτοτυπίες σε πακέτα των 100 σελίδων» στον οριζόντιο άξονα και «ευρώ για άλλα αγαθά» στο κάθετο άξονα, δείξτε διαγραμματικά τον εισοδηματικό περιορισμό. Απάντηση: Διάγραμμα (α) παρακάτω και το σύνολο επιλογών είναι (β) Υποθέστε ότι το φωτοτυπικάδικο αλλάζει την τιμολογιακή πολιτική του χρεώνοντας 0.05 την σελίδα για μηνιαίες φωτοτυπίες μέχρι τις 20,000 και 0,025 την σελίδα για όλες τις σελίδες αν οι φωτοτυπίες ξεπερνούν τις 20,000 το μήνα. Απάντηση: Διάγραμμα β και το σύνολο επιλογών είναι: 3
4. Μισώ τα δημητριακά αλλά μου αρέσουν οι ομελέτες. Στις παρακάτω περιπτώσεις βάλτε στο διάγραμμα τις ομελέτες στον κάθετο άξονα και τα δημητριακά στον οριζόντιο άξονα και δείξτε τρεις καμπύλες αδιαφορίας αριθμημένες στην κάθε περίπτωση. Δείξτε με βελάκια την κατεύθυνση που βελτιώνεται η ευημερία του καταναλωτή. Δώστε εξήγηση σε κάθε περίπτωση. (α) Υποθέστε πως οι προτιμήσεις μου ικανοποιούν την συνθήκη της κυρτότητας και συνέχειας και είναι σύμφωνες με την παραπάνω περιγραφή. Απάντηση: Διάγραμμα (α). Η κυρτότητα σημαίνει πως οι καμπύλες αδιαφορίας λυγίζουν προς την γωνία των αξόνων (τόξων) που δείχνουν την κατεύθυνση αναρρίχησης στις προτιμήσεις του καταναλωτή. Στο διάγραμμα (α) τα σημείο Α και Β βρίσκονται στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας και η γραμμή που ενώνει τα σημεία βρίσκεται σε χώρο με προτιμώμενους συνδυασμούς. (β) Πώς θα άλλαζε η απάντησή σας αν οι προτιμήσεις σας ήταν μη-κυρτές; Απάντηση: Διάγραμμα (β). Η κατεύθυνση αναρρίχησης στις προτιμήσεις παραμένει ίδια αλλά τώρα η γραμμή που ενώνει τα σημεία Α και Β βρίσκεται σε χώρο με λιγότερο προτιμώμενους συνδυασμούς. (γ) Πώς θα άλλαζε η απάντησή σας στο (α) αν μισούσες και τα δύο αγαθά αλλά και οι προτιμήσεις είναι κυρτές; Απάντηση: Διάγραμμα (c) (δ) Πώς θα ήταν το διάγραμμα αν μισούσες και τα δύο αγαθά αλλά οι προτιμήσεις ήταν μη-κυρτές; Απάντηση: Διάγραμμα (d) 5. Ένα καλάθι Α εμπεριέχει 1 μονάδα του x1 και 5 μονάδες του x2. Το Β καλάθι εμπεριέχει 5 μονάδες του x1 και 1 μονάδα του x2. Το καλάθι Γ έχει 3 μονάδες του x1 και 3 μονάδες του x2. Υποθέστε πως οι προτιμήσεις είναι μονοτονικές. Α. Την Δευτέρα σου προσφέρεται μια επιλογή μεταξύ Α και Γ και επιλέγεις το Α. Την Τρίτη σου προσφέρεται μια επιλογή μεταξύ Β και Γ και επιλέγεις Β. (Προσοχή: δώστε έμφαση στην λέξη «επιλέγετε» και πώς μεταφράζεται σε προτιμήσεις). 4
(α) Δείξτε σε διάγραμμα τα τρία καλάθια (τους τρεις συνδυασμούς) με x1 στον οριζόντιο άξονα και x2 στο κάθετο άξονα. Απάντηση: φαίνονται οι τρεις συνδυασμοί στο (α) και (β) διάγραμμα. (β) Αν γνωρίζετε ότι οι προτιμήσεις σας είναι αυστηρά κυρτές μπορώ να συμπεράνω ότι οι προτιμήσεις σας έχουν αλλάξει από την Δευτέρα στην Τρίτη; Απάντηση: Οι συνδυασμοί (τα καλάθια) Α, Β, και Γ βρίσκονται σε μια ευθεία με το Γ ως μέσο όρο (κυρτό συνδυασμό) των Α και Β. Για να επιλέγεις το Α από το Γ την Δευτέρα, πρέπει να σημαίνει πως η καμπύλη αδιαφορίας που περνά από το Α είναι πιο ψηλά από το Γ ή (στην περίπτωση που είσαι αδιάφορος με το Γ) περνάει μέσα από το Γ. Αν οι προτιμήσεις σου είναι αυστηρά κυρτές τότε πρέπει να μοιάζει η καμπύλη αδιαφορίας περίπου όπως φαίνεται στο διάγραμμα (α). Αν στην συνέχεια την Τρίτη επιλέξεις το Β (μεταξύ Β και Γ), πρέπει να ισχύει ότι η καμπύλη αδιαφορίας που περνάει μέσα από το Β είναι από πάνω ή περνάει και από μέσα από το Γ. Όπως φαίνεται και στο διάγραμμα, αυτό σημαίνει πως οι καμπύλες αδιαφορίας τέμνονται. Καμπύλες αδιαφορίας που σχετίζονται με τον ίδιο χάρτη προτιμήσεων και που αντιπροσωπεύουν ορθολογικές προτιμήσεις δεν μπορούν να τέμνονται. Οπότε η καμπύλη αδιαφορίας της Δευτέρας αντιπροσωπεύει διαφορετικές προτιμήσεις από της Τρίτης. Ή οι προτιμήσεις έχουν αλλάξει ή η μέρα της κατανάλωσης επηρεάζει τις προτιμήσεις, π.χ., μπορώ να προτιμάω τον καφέ από το τσάι το πρωί, το τσάι από την πορτοκαλάδα το απόγευμα και την πορτοκαλάδα από τον καφέ το μεσημέρι (σε αυτήν την περίπτωση οι προτιμήσεις για τα αγαθά σχετίζονται και με το χρόνο κατανάλωσης). (γ) Έστω ότι γνωρίζω μόνο ότι οι προτιμήσεις σου είναι ασθενώς κυρτές. Έστω επίσης ότι γνωρίζω πως οι προτιμήσεις σου δεν έχουν αλλάξει από Δευτέρα στην Τρίτη (και ότι ο χρόνος κατανάλωσης δεν επηρεάζει τις προτιμήσεις). Μπορώ να συμπεράνω κάτι για το σχήμα των καμπυλών αδιαφορίας; Απάντηση: Ξέρουμε από το (β) πως οι καμπύλες δεν μπορεί να έχουν καμπυλότητα (όπως τις έχουμε ζωγραφίσει). Οπότε σε αυτήν την περίπτωση 5
θα μπορούσαν οι καμπύλες να είναι ευθείες γραμμές οπότε και τα αγαθά να είναι τέλεια υποκατάστατα. (δ) Έστω ότι οι προτιμήσεις για x1 και x2 είναι αυστηρά μη-κυρτές. Πώς θα το εκφράζατε αυτό μαθηματικά; Θα άλλαζε η απάντησή σας στο ερώτημα (β) (δείξτε το διαγραμματικά); Απάντηση: Οι προτιμήσεις είναι αυστηρά μη-κυρτές εφόσον και μόνο εφόσον για όλους τους συνδυασμούς A και Β όπου A B, A α A + (1 α )B οπου 0 < α < 1. Στο διάγραμμα φαίνεται μια πιθανή περίπτωση όπου οι επιλογές είναι απόλυτα ορθολογικές. Θα μπορούσε επίσης να υπάρξει μια μη κυρτή καμπύλη αδιαφορίας που να περνάει και από τα 3 σημεία. 6. (α) Βρείτε τον Οριακό Λόγο Υποκατάστασης στις παρακάτω 5 συναρτήσεις χρησιμότητας: Απάντηση: 6
(β) Ποιες από αυτές τις συναρτήσεις αντιπροσωπεύουν γραμμικές καμπύλες αδιαφορίας; Απάντηση: Η περίπτωση 2. (γ) Ποιες από αυτές τις συναρτήσεις αντιπροσωπεύουν τις ίδιες προτιμήσεις; Απάντηση: Δύο προϋποθέσεις πρέπει να πληρούν οι συναρτήσεις χρησιμότητας για να αντιπροσωπεύουν τις ίδιες προτιμήσεις: (1) οι καμπύλες αδιαφορίας πρέπει να έχουν το ίδιο σχήμα, και (2) η αρίθμηση των καμπυλών αδιαφορίας πρέπει να έχει την ίδια σειρά (ιεραρχία) χωρίς να χρειάζεται να έχει το ίδιο μέγεθος. Για το σχήμα πρέπει να δούμε αν έχουν το ίδιο ΟΛΥ. Αυτό ισχύει για το 1, 4 και 5. Για να δούμε ότι η σειρά είναι ίδια πρέπει να δούμε τις αρχικές συναρτήσεις χρησιμότητας. Για την περίπτωση 1 και 4 αυξήσεις στα αγαθά x1 και/ή x2 αντιστοιχούν με περισσότερη χρησιμότητα (προτιμότερα), όμως η περίπτωση 5 διαφέρει. Αυξήσεις στις ποσότητες των x1 και/ή x2 φέρνουν μειώσεις χρησιμότητας. Οπότε οι μόνες συναρτήσεις που αντιπροσωπεύουν τις ίδιες προτιμήσεις είναι οι 1 και 4. (δ) Ποιες συναρτήσεις χρησιμότητας δεν εκπληρούν την υπόθεση της μονοτονικότητας; Απάντηση: Η περίπτωση 5 για τους λόγους που αναφέραμε στην προηγούμενη απάντηση. (ε) Ποιες από αυτές τις συναρτήσεις δεν εκπληρούν την υπόθεση της κυρτότητας; Απάντηση: Στις περιπτώσεις 1, 4 και 5 το απόλυτο μέγεθος του ΟΛΥ μειώνεται καθώς αυξάνεται το x1 και μειώνεται το x2. Οπότε οι προτιμήσεις είναι κυρτές στην περίπτωση 1 και 4 καθώς μια κυρτή γραμμή δύο σημείων στην καμπύλη θα βρίσκεται σε προτιμότερους συνδυασμούς. Όμως στην περίπτωση 5 καθώς η φορά των προτιμήσεων είναι αντίθετη οι καμπύλες αδιαφορίας είναι μη κυρτές. (check). Στη περίπτωση 3 ο απόλυτος ΟΛΥ μειώνεται καθώς αυξάνεται το x1 και μειώνεται το x2, (μόνο που σε αυτήν την περίπτωση το x1 δεν παίζει ρόλο στην αλλαγή της κλίσης). Οπότε και η 3 αντιπροσωπεύει κυρτές προτιμήσεις. Η 7
περίπτωση δυο έχει σταθερό ΟΛΥ οπότε ικανοποιεί μόλις την υπόθεση ασθενών κυρτών προτιμήσεων. (στ) Ποιες από αυτές τις συναρτήσεις αντιπροσωπεύουν προτιμήσεις που δεν είναι ορθολογικές (πληρότητα και μεταβατικότητα); Απάντηση: Όλες οι συναρτήσεις ικανοποιούν τις ιδιότητες μαθηματικών συναρτήσεων οπότε σε κάθε συνάρτηση μπορείτε να δοκιμάσετε οποιοδήποτε συνδυασμό αγαθών (x1,x2) και πάντα θα βρίσκετε κάποια χρησιμότητα. Οπότε για όποιους δύο συνδυασμούς θα υπάρχει σύγκριση (καλύτερο, χειρότερο ή αδιάφορο) οπότε και πληρότητα. Επίσης, είναι μαθηματικά αδύνατον μια συνάρτηση να δώσει χρησιμότητα σε συνδυασμό Α που να είναι υψηλότερη από την χρησιμότητα του Β που να είναι υψηλότερη από την χρησιμότητα του Γ χωρίς να σημαίνει αυτό ότι το Γ θα είναι λιγότερο χρήσιμο από το Α. Η μεταβατικότητα ικανοποιείται. 7. Αγαπώ τους λουκουμάδες. Αποτελούν ένα μικρό μέρος του προϋπολογισμού μου και η διάθεσή μου να αγοράσω περισσότερους λουκουμάδες εξαρτάται μόνο από το πόσα έχω ήδη καταναλώσει. Έστω ότι είμαι διατιθεμένη να θυσιάσω 1 «άλλων αγαθών» για να καταναλώσω άλλον έναν λουκουμά όταν καταναλώνω συνδυασμό Α (100 λουκουμάδες και 500 σε άλλα αγαθά το μήνα). (α) Ποιος είναι ο ΟΛΥ όταν καταναλώνω την ίδια ποσότητα λουκουμάδων με το σημείο Α αλλά καταναλώνω 200 το μήνα σε άλλα αγαθά; Απάντηση: Εφόσον ο μόνος παράγοντας που καθορίζει την διάθεση πληρωμής μου για λουκουμάδες είναι πόσα ήδη καταναλώνω ο ΟΛΥ παραμένει ίδιος όταν καταναλώνω 200 το μήνα σε άλλα αγαθά. (β) Οι προτιμήσεις μου είναι οιονεί γραμμικές; Μπορεί να είναι ομοθετικές; Απάντηση: Έτσι όπως έχουν περιγραφεί οι προτιμήσεις μου είναι οιονεί γραμμικές. Θα μπορούσαν να είναι ομοθετικές αν ο ΟΛΥ είναι επίσης ανεξάρτητος από την κατανάλωση των λουκουμάδων (σε αυτήν την περίπτωση θα ήταν τέλεια υποκατάστατα οι λουκουμάδες με τα άλλα αγαθά. (γ) Παρατηρείς ότι αυτό το μήνα καταναλώνω συνδυασμό Β ( 600 σε άλλα αγαθά και μόνο 25 λουκουμάδες). Όταν με ρωτάς για την αλλαγή της συμπεριφοράς μου(από το συνδυασμό Α), σου λέω ότι είμαι εξίσου ευχαριστημένος με το νέο συνδυασμό. Τον επόμενο μήνα παρατηρείς ότι καταναλώνω συνδυασμό C (400 λουκουμάδες και 300 σε άλλα αγαθά) και πάλι σου λέω ότι είμαι εξίσου ευχαριστημένος. Αυτή η νέα πληροφόρηση για τα σημεία Β και C αλλάζει την απάντηση σου στο (β); Απάντηση: Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει ότι είμαι αδιάφορος μεταξύ των 3 σημείων Α, Β, C. Με αυτό το δεδομένο καταλαβαίνω ότι οι λουκουμάδες και τα άλλα αγαθά δεν μπορούν να είναι τέλεια υποκατάστατα. Οπότε οι προτιμήσεις μου δεν μπορεί να είναι ομοθετικές (αφού γνωρίζουμε ότι είναι οιονεί γραμμικές). 8
(δ) Είναι η κατανάλωση (εκτός από λουκουμάδες) απαραίτητη για μένα; Απάντηση: Εφόσον γνωρίζουμε ότι οι προτιμήσεις μου είναι οιονεί γραμμικές ως προς τους Λουκουμάδες ο ΟΛΥ είναι ίδιος σε όποια κάθετη γραμμή. Οπότε γνωρίζω ότι υπάρχει κάποια καμπύλη αδιαφορίας όπως η δεύτερη στο διάγραμμα που τέμνει τον οριζόντιο άξονα σε κάποιο σημείο όπως το D. Μάλιστα όλες οι καμπύλες αδιαφορίας πρέπει να τέμνουν τον οριζόντιο άξονα σε κάποιο σημείο. Οπότε είναι δυνατόν να έχω θετική χρησιμότητα μεγαλύτερη από το σημείο της αρχής των αξόνων χωρίς να καταναλώνω άλλα αγαθά. Άρα τα άλλα αγαθά δεν είναι απαραίτητα για μένα. 8. Έστω πως η Κοκα κόλα και η Πέπσι είναι τέλεια υποκατάστατα για μένα και πως τα δεξιά και αριστερά παπούτσια είναι τέλεια συμπληρωματικά. Έστω πως το εισόδημα που διαθέτω για Κόκα κόλα/πέπσι είναι 100, και διαθέτω 100 το μήνα για αριστερά/δεξιά παπούτσια. (α) Έστω πως η Κόκα κόλα κοστίζει 50 λεπτά και η Πέπσι 75 λεπτά το κουτί. Μετά η τιμή της Κόκα κόλας πάει στο 1 το κουτί. Δείξτε τον αρχικό νέο βέλτιστο συνδυασμό με Κόκα κόλα στον οριζόντιο άξονα και Πέπσι στο κάθετο άξονα. Απάντηση: Στο διάγραμμα αρχικά είμαι στο σημείο Α (ξοδεύω όλο το εισόδημα στις Κόκες) και μετά πάω στο σημείο Β (ξοδεύω όλο το εισόδημα στην Πέπσι καθώς τώρα είναι φθηνότερη από την Κόκα κόλα). 9
(β) Έστω πως τα δεξιά και αριστερά παπούτσια πουλιούνται χωριστά. Αν έχουν αρχική τιμή και τα δύο 1 δείξτε την αρχική και νέα επιλογή μου όταν η τιμή των αριστερών παπουτσιών ανέβει στα 2 (με δεξιά παπούτσια στον οριζόντιο άξονα). Απάντηση: Διάγραμμα (β) (γ) Σωστό ή Λάθος: Τέλεια συμπληρωματικά αντιπροσωπεύουν μια ειδική περίπτωση ομοθετικών προτιμήσεων με την έννοια ότι αν αυξηθεί το εισόδημα ή μειωθεί η τιμή ενός αγαθού, η βέλτιστη επιλογή θα βρίσκεται πάντα στην ίδια ευθεία από την αρχή των αξόνων. Απάντηση: Σωστό. Ανάλογα με τον λόγο κατανάλωσης των δύο συμπληρωματικών αγαθών απλά αλλάζει η κλίση της ευθείας όλων των βέλτιστων επιλογών. (δ) Γράψτε δύο συναρτήσεις που να αντιπροσωπεύουν τις προτιμήσεις στην άσκηση αυτή και εξηγείστε γιατί η μέθοδος Λαγκράντζ δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αυτές τις προτιμήσεις. Απάντηση: u(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 για τα τέλεια υποκατάστατα και u(x 1, x 2 ) = min{x 1, x 2 } για τα τέλεια συμπληρωματικά αγαθά. Η μέθοδος Lagrange βρίσκει σημεία που η κλίση των καμπυλών αδιαφορίας είναι ίδια με την κλίση εισοδηματικού περιορισμού αλλά στην περίπτωσή μας δεν βοηθάει γιατί σχεδόν πάντα οι βέλτιστες επιλογές θα είναι σε ακραία σημεία. 9. Έστω πως έχουμε δύο αγαθά x και y, με αρχικές τιμές p = 20, p = 10. Ένας x y καταναλωτής έχει εισόδημα I = 400 αλλά αν ο καταναλωτής αγοράσει παραπάνω από 10 μονάδες του αγαθού x οι επιπλέον μονάδες του x μπορούν να αγοραστούν σε τιμή έκπτωσης p * x = 10. (α) Ζωγραφίσετε τον εισοδηματικό περιορισμό. 10
y 40 30 20 10 10 20 30 40 x (β) Τι θα μπορούσαμε να λέγαμε για τις επιλογές του καταναλωτή αν οι προτιμήσεις του είναι κοίλες; Κάντε χρήση διαγράμματος. 40 y 30 20 10 10 20 30 40 x Απάντηση: Οι καμπύλες αδιαφορίας μπορεί να έμοιαζαν όπως στο παραπάνω διάγραμμα. Εδώ βλέπουμε πως για να φτάσει στην υψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας θα πρέπει να επιλέξει μόνο y. Γενικότερα θα έκανε ακραίες επιλογές ο καταναλωτής (ή μόνο x ή μόνο y). (γ) Τι θα μπορούσαμε να λέγαμε για τις επιλογές του καταναλωτή αν οι προτιμήσεις του είναι αυστηρά κυρτές; Κάντε χρήση διαγράμματος. y 50 40 30 20 10 20 40 60 80 x Απάντηση: Γενικά θα περιμέναμε «εσωτερική» λύση (δηλαδή με συνδυασμούς που εμπεριέχουν θετικές ποσότητες και των δύο αγαθών). Το αν θα εφάπτεται η καμπύλη αδιαφορίας στο πρώτο ή δεύτερο τμήμα του εισοδηματικού περιορισμού θα εξαρτάται σε κάθε περίπτωση από την συγκεκριμένη μορφή των προτιμήσεων. Στο παραπάνω διάγραμμα επιλέγει ο καταναλωτής ποσότητα του x μικρότερη του 10 οπότε βρίσκεται στο πρώτο τμήμα του 11
εισοδηματικού περιορισμού. Υπάρχει και μια περίεργη περίπτωση να εφάπτεται μια καμπύλη αδιαφορίας και στα δύο τμήματα του εισοδηματικού περιορισμού. Τι θα συνέβαινε τότε; (δ) Αν γνωρίζουμε πως οι προτιμήσεις του καταναλωτή αποτυπώνονται με την 3/4 1/4 συνάρτηση χρησιμότητας u= x y, τι ποσότητες του x θα αγοράσει; Απάντηση: Εδώ μπορούμε να δούμε αν θα έχει μεγαλύτερη χρησιμότητα αντιμετωπίζοντας τον εισοδηματικό περιορισμό 20x +10y = 400 ή τον εισοδηματικό περιορισμό 10x +10y = 300. Κάνοντας χρήση της έμμεσης συνάρτησης χρησιμότητας μπορούμε να βρούμε σε πιο τμήμα του εισοδηματικού περιορισμού θα κατακτήσει μεγαλύτερη χρησιμότητα. Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας μας δείχνει πως ο καταναλωτής θα προτιμήσει να βρίσκεται στο τμήμα του εισοδηματικού περιορισμού που είναι πιο επίπεδο. v( p x, p y, I) = 1 4 3 3 4 I 3 1 p 4 4 x p y v(20,10,400) = 13,554 v(10,10,300) = 17,0963 Για να βρούμε τις ποσότητες χρειαζόμαστε τις συναρτήσεις ζήτησης: x = 3I, y = I 4 p x 4 p x x = 3*300 4*10 = 22,5 y = 300 4*10 = 7,5 50 y 40 30 20 10 20 40 60 80 x 10. Υποθέστε έναν καταναλωτή με προτιμήσεις για τα αγαθά Χ και Υ που περιγράφονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας U = 10X 2/3 Y 1/3 +100. α. Να βρείτε την εξίσωση για συνάρτηση γραμμής ζήτησης ως προς το εισόδημα (καμπύλη εισοδήματος κατανάλωσης), όταν η τιμή του Χ είναι 8 και η τιμή του Υ είναι 3. Να βρείτε επίσης την εξίσωση για την καμπύλη Engel για το X, με δεδομένες τις τιμές αυτών των αγαθών. Ποια η εισοδηματική ελαστικότητα 12
ζήτησης του Χ; Τι συνεπάγεται αυτό για την εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης του Υ και πώς μεταβάλλεται το εισοδηματικό μερίδιο που δαπανάται για το Υ όταν αυξάνει το εισόδημα; 13