ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Συγκριτική μελέτη των αποτελεσμάτων γεωμετρικής βελτιστοποίησης μεταξύ δύο εμπορικών προγραμμάτων πεπερασμένων στοιχείων

Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Σχεδίασης Προϊόντων και Συστημάτων Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Ειδίκευσης: Σχεδίαση Διαδραστικών & Βιομηχανικών Προϊόντων & Συστημάτων ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Συγκριτική μελέτη των αποτελεσμάτων γεωμετρικής βελτιστοποίησης μεταξύ δύο εμπορικών προγραμμάτων πεπερασμένων στοιχείων Μπάιλας Κωνσταντίνος Επιβλέπων: Παπανίκος Παρασκευάς Σύρος, Ιούνιος 2010

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τα προβλήματα που καλούνται να αντιμετωπίσουν οι μηχανικοί δεν επιδέχονται συνήθως αναλυτικές λύσεις. Οι διαθέσιμες αναλυτικές μέθοδοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση απλών προβλημάτων, αλλά είναι ανεπαρκείς όσον αφορά την ανάλυση περίπλοκων κατασκευών με σύνθετες καταπονήσεις. Για την ανάλυση περίπλοκων κατασκευών έχουν αναπτυχθεί προγράμματα, τα οποία βασίζονται στη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων, και απαλλάσσουν τον μελετητή/ερευνητή από τον κόπο των χρονοβόρων και αβέβαιων επιλύσεων σύνθετων προβλημάτων. Έτσι, εξασφαλίζονται πιο ακριβείς υπολογισμοί που επιτρέπουν την άμεση αξιολόγηση και βελτίωση των προϊόντων. Δύο από τα πιο δημοφιλή λογισμικά που χρησιμοποιούνται ευρέως για την ανάλυση κατασκευών είναι τα Pro-Engineer/Mechanica και ANSYS. Μία από τις βασικές χρήσεις των δύο αυτών λογισμικών είναι και η γεωμετρική βελτιστοποίηση προϊόντων και κατασκευών με σκοπό την ελαχιστοποίηση του όγκου του υλικού που απαιτείται και συνεπώς την ελαχιστοποίηση του κόστους. Τα προγράμματα αυτά προσφέρουν τη δυνατότητα στο χρήστη να αναζητήσει εύκολα και γρήγορα βέλτιστες λύσεις για μία κατασκευή θέτοντας παραμέτρους, περιορισμούς και στόχους, κάτι που είναι εξαιρετικά χρονοβόρο και επίπονο να επιτευχθεί με αναλυτικό τρόπο. Σκοπός της εργασίας Σκοπός της παρούσης εργασίας είναι η ανάπτυξη, επίλυση και παρουσίαση παραδειγμάτων βελτιστοποίησης χρησιμοποιώντας τα προγράμματα Pro-Engineer/Mechanica και ANSYS. Στόχος είναι να γίνει σύγκριση τόσο της ακρίβειας των αποτελεσμάτων όσο και του χρόνου ανάπτυξης και επίλυσης των προβλημάτων, καθώς και να διερευνηθούν οι δυνατότητες των προγραμμάτων ως προς την εφαρμογή των τεχνικών βελτιστοποίησης. Τα παραδείγματα που παρουσιάζονται καλύπτουν όλους τους τύπους ανάλυσης (επίπεδη και τρισδιάστατη) αλλά είναι αρκετά απλά στη μοντελοποίηση και προϋποθέτουν μόνο τις βασικές γνώσεις της μηχανικής των υλικών. Αυτό επιλέχθηκε αφ ενός για να είναι πιο αξιόπιστη η σύγκριση και αφ ετέρου για να είναι δυνατή η χρήση των αναπτυχθέντων μοντέλων ως εργαστηριακές ασκήσεις των προπτυχιακών και μεταπτυχιακών φοιτητών. 2

Δομή της εργασίας Η εργασία χωρίζεται σε οκτώ κεφάλαια. Στο κεφάλαιο 1 παρουσιάζονται οι βασικές αρχές της ανάλυσης κατασκευών με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων ενώ στο κεφάλαιο 2 δίνονται συνοπτικά οι βασικοί τύποι και τεχνικές γεωμετρικής βελτιστοποίησης κατασκευών που χρησιμοποιούνται στα προγράμματα Pro-Engineer/Mechanica και ANSYS. Στο κεφάλαιο 3 παρουσιάζονται αναλυτικά τα αποτελέσματα της γεωμετρικής βελτιστοποίησης για ένα απλό παράδειγμα βελτιστοποίησης μιας δοκού σε κάμψη τόσο αναλυτικά όσο και με τη χρήση των δύο προγραμμάτων. Στη συνέχεια, στα κεφάλαια 4-7 παρουσιάζονται 4 παραδείγματα βελτιστοποίησης, τα οποία καλύπτουν μεγάλο εύρος των διαφόρων τύπων ανάλυσης τάσης σε προβλήματα αντοχής των κατασκευών. Τέλος, στο κεφάλαιο 8 παρουσιάζονται τα συμπεράσματα της εργασίας. 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ...5 1.1 Εισαγωγή...5 1.2 Περιγραφή της μεθόδου Πεπερασμένων Στοιχείων...5 1.3 Δομή εμπορικών προγραμμάτων ΠΣ...7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ...8 2.1 Βελτιστοποίηση στο Pro-Engineer/Mechanica...9 2.2 Βελτιστοποίηση στο ANSYS...11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΔΟΚΟΥ ΣΕ ΚΑΜΨΗ...13 3.1 Αναλυτική επίλυση...13 3.2 Επίλυση με το Pro/Mechanica...16 3.3 Επίλυση με το ANSYS...21 3.4 Σύγκριση μεταξύ των τριών μεθόδων...25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΕΛΑΣΜΑ ΜΕ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΟΠΗ...27 4.1 Επίλυση με το Pro/Mechanica...27 4.2 Επίλυση με το ANSYS...34 4.3 Σύγκριση μεταξύ των δύο προγραμμάτων...36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΛΑΣΜΑ ΜΕ ΔΥΟ ΟΠΕΣ...37 5.1 Επίλυση με το Pro/Mechanica...37 5.2 Επίλυση με το ANSYS...42 5.3 Σύγκριση μεταξύ των δύο προγραμμάτων...44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΔΟΜΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΑΤΡΑΚΤΟΥ ΑΕΡΟΠΛΑΝΟΥ...46 6.1 Επίλυση με το Pro/Mechanica...46 6.2 Επίλυση με το ANSYS...52 6.3 Σύγκριση μεταξύ των δύο προγραμμάτων...54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΕΛΑΣΜΑ ΜΕ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΡΩΓΜΗ ΚΑΙ ΕΠΙΘΕΜΑ...56 7.1 Επίλυση με το Pro/Mechanica...56 7.2 Επίλυση με το ANSYS...60 7.3 Σύγκριση μεταξύ των δύο προγραμμάτων...60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...63 ΑΝΑΦΟΡΕΣ...64 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 1.1 Εισαγωγή Η ανάλυση μιας κατασκευής συνίσταται στον προσδιορισμό των μεγεθών τάσης και παραμόρφωσης που αναπτύσσονται στην κατασκευή λόγω της δράσης εξωτερικών δυνάμεων. Αρχικά οι μηχανικοί χρησιμοποιούσαν μόνο αναλυτικές μεθόδους για τον υπολογισμό των τάσεων. Σε περίπτωση μιας πολύπλοκης κατασκευής ήταν αναγκαίο να γίνουν πολλές απλοποιήσεις και παραδοχές για την ανάπτυξη αναλυτικών μεθόδων και, λόγω αυτού, ήταν επίσης αναγκαίος ο εκτεταμένος πειραματικός έλεγχος των αναλυτικών προβλέψεων. Με την ανάπτυξη των υπολογιστών κατέστη δυνατή η αριθμητική επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων και συγχρόνως ελαχιστοποιήθηκε η ανάγκη εκτεταμένων πειραματικών ελέγχων λόγω της αύξησης της αξιοπιστίας των αναλύσεων [1-2]. Οι περισσότερο διαδεδομένες αριθμητικές μέθοδοι είναι η Μέθοδος Πεπερασμένων Διαφορών (Finite Difference Method), η Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ, Finite Element Method, FEM) και η Μέθοδος των Συνοριακών Στοιχείων (Boundary Element Method). Από τις παραπάνω μεθόδους η σημαντικότερη και ευρύτερα χρησιμοποιούμενη σήμερα είναι η Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ), η οποία βρίσκει εφαρμογή σε όλους σχεδόν τους τεχνικούς τομείς και ιδιαίτερα στην ανάλυση κατασκευών. Από την πρώτη της εμφάνιση εδώ και τέσσερις περίπου δεκαετίες η ΜΠΣ αναδείχθηκε και καθιερώθηκε ως μία προσεγγιστική μέθοδος υπολογισμού με μεγάλη προσαρμοστικότητα και σχεδόν απεριόριστο πεδίο εφαρμογών. Η ανάπτυξή της, που συνδέεται στενά με τη ραγδαία ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών, έγινε πάνω στις βάσεις των κλασικών μεθόδων υπολογισμού. Η μέθοδος αυτή όμως εφαρμόζεται ήδη σε πολλούς τομείς, όπως π.χ. στη Στατική και Δυναμική των δομικών και αεροναυπηγικών κατασκευών, στην Yδροδυναμική, στη Θερμοδυναμική κ.ά. 1.2 Περιγραφή της μεθόδου Πεπερασμένων Στοιχείων Η Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων πήρε το όνομά της από τον τρόπο θεώρησης και προσομοίωσης (μοντελοποίησης) των προς επίλυση φορέων (κατασκευών): Το πρώτο βήμα συνίσταται στην υποδιαίρεση και διάσπαση του αρχικού φορέα σε έναν ανάλογα με την επιθυμητή ακρίβεια μικρότερο ή μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων πεπερασμένων διαστάσεων 5

(Σχήμα 1.1). Τα στοιχεία αυτά έχουν κοινά σημεία τις κορυφές τους που ονομάζονται κόμβοι. Μετά τη διακριτοποίηση αυτή του φορέα θεωρείται κάθε τέτοιο πεπερασμένο στοιχείο ξεχωριστά και για το λόγο αυτό αποσπάται από το σύμπλεγμα των στοιχείων που συνθέτουν τον φορέα. Αφού μελετηθεί και καθορισθεί η μηχανική συμπεριφορά κάθε στοιχείου ακολουθεί το τρίτο βήμα της διαδικασίας επίλυσης που είναι η σύνθεση του φορέα από τα επί μέρους πεπερασμένα στοιχεία, η κατάλληλη δηλαδή επανασύνδεση των στοιχείων προς σχηματισμό του διακριτοποιημένου φορέα. Ο υπολογισμός του αρχικού φορέα γίνεται επομένως σε τρία στάδια: Διακριτοποίηση - Θεώρηση των επί μέρους στοιχείων - Σύνθεση. Σχήμα 1.1: Διακριτοποίηση σώματος [1] Συνοπτικά, τα βήματα που ακολουθούνται για τον υπολογισμό των τάσεων σε ένα σώμα με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων είναι: Διακριτοποίηση Σχηματισμός του μητρώου δυσκαμψίας κάθε στοιχείου Σύνθεση και σχηματισμός του μητρώου δυσκαμψίας του σώματος Φορτίσεις και συνοριακές συνθήκες Επίλυση και υπολογισμός μετατοπίσεων Υπολογισμός παραμορφώσεων και τάσεων Η ΜΠΣ είναι προσεγγιστική εφόσον ο αρχικός συνεχής φορέας, για να μπορέσει να επιλυθεί, μετατρέπεται σε ένα ασυνεχές σύμπλεγμα πεπερασμένων στοιχείων. Όσο περισσότερα πεπερασμένα στοιχεία χρησιμοποιούνται για την κατασκευή του ασυνεχούς μοντέλου υπολογισμού του αρχικού φορέα, όσο πιο εκλεπτυσμένο είναι δηλαδή το μηχανικό/υπολογιστικό προσομοίωμα του πραγματικού συστήματος, τόσο ακριβέστερα μπορούν να θεωρηθούν γενικώς τα αποτελέσματα (εφόσον βέβαια και η μηχανική 6

συμπεριφορά των χρησιμοποιούμενων στοιχείων περιγράφεται ικανοποιητικά). Το εποπτικό αυτό σκεπτικό αντιστοιχεί απόλυτα στο ακόλουθο μαθηματικό σκεπτικό. O βασικός στόχος μιας αριθμητικής μεθόδου είναι να αντικαταστήσει τις διαφορικές ή ολοκληρωτικές εξισώσεις που περιγράφουν το εκάστοτε πρόβλημα με ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Προφανώς, όσο πιο πολλές αλγεβρικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται για να αντικαταστήσουν τις διαφορικές, τόσο περισσότερο θα πλησιάζει η προσεγγιστική την αναλυτική λύση του προβλήματος. Το πλήθος των πεπερασμένων στοιχείων έχει επομένως την αντιστοιχία του στο πλήθος των προς επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων. Η ΜΠΣ είναι από την φύση της πολύ δαπανηρή σε πόρους ηλεκτρονικού υπολογιστή. Ο χωρισμός του σώματος σε πολλά στοιχεία μπορεί να αυξάνει την ακρίβεια αλλά καθιστά την ανάλυση πολύ αργή στην περίπτωση πολύπλοκων σωμάτων. Είναι λοιπόν αναγκαίο να υπάρχει μια ισορροπία ανάμεσα στην ακρίβεια και στον χρόνο υπολογισμού. Συνήθως αυτό επιτυγχάνεται με ελεγχόμενη διακριτοποίηση του σώματος, δηλαδή πυκνή διακριτοποίηση (μικρά στοιχεία) στα σημεία που έχουμε αυξημένες τάσεις (π.χ. εγκοπές) και αραιά διακριτοποίηση (μεγάλα στοιχεία) στις περιοχές που δεν ενδιαφέρουν ως προς την αντοχή του σώματος, δηλαδή εκεί που οι τάσεις είναι μικρές. 1.3 Δομή εμπορικών προγραμμάτων ΠΣ Από την δεκαετία του 60 άρχισαν να αναπτύσσονται τα εμπορικά προγράμματα Πεπερασμένων Στοιχείων. Σήμερα τα προγράμματα αυτά μας δίνουν όχι μόνο τη δυνατότητα επίλυσης ενός προβλήματος αλλά συνήθως περιέχουν και γραφικά υπό-προγράμματα, τα οποία μας δίνουν τη δυνατότητα σχεδιασμού της γεωμετρίας της κατασκευής και την παρουσίαση των αποτελεσμάτων σε γραφική μορφή. Τα πιο διαδομένα εμπορικά προγράμματα ΠΣ είναι: NASTRAN, ANSYS, PRO MECHANICA, ABAQUS, MARC, ADINA κλπ. Τα εμπορικά προγράμματα ΠΣ αποτελούνται από τα εξής τμήματα [3-5]: Προ-επεξεργαστής (Pre-processor): Καθορισμός των τύπων στοιχείων και των ιδιοτήτων των υλικών, Κατασκευή της γεωμετρίας, Διακριτοποίηση Επίλυση: Συνοριακές συνθήκες, Φορτίσεις, Επίλυση Μετα-επεξεργαστής (Post-processor): Γραφικές απεικονίσεις της κατανομής των τάσεων, παραμορφώσεων, δυνάμεων κλπ., Γραφική απεικόνιση της παραμόρφωσης του σώματος, Εξαγωγή αποτελεσμάτων για μετέπειτα επεξεργασία. 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ο σκοπός των τεχνικών βελτιστοποίησης είναι η αναζήτηση και εύρεση της βέλτιστης σχεδίασης μιας κατασκευής. Θέτοντας κάποιους περιορισμούς, όπως για παράδειγμα ένα όριο στην αναπτυσσόμενη τάση καθώς και έναν στόχο, όπως ο ελάχιστος όγκος της κατασκευής, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη γεωμετρία της κατασκευής που ικανοποιεί τους περιορισμούς και επιτυγχάνει τον στόχο. Στην περίπτωση που μας ενδιαφέρει η αντοχή μιας κατασκευής, είναι αρκετή η μελέτη της αναπτυσσόμενης τάσης. Η μελέτη αποκλειστικά της τάσης είναι εφαρμόσιμη μόνο για έλεγχο της αντοχής και δεν δύναται να αντιμετωπίσει άλλους περιορισμούς όπως όρια στη μετατόπιση, θερμοκρασία, συχνότητα ταλάντωσης κ.α. Η τεχνική αυτή δεν αποτελεί στην πραγματικότητα μια μέθοδο βελτιστοποίησης, αλλά σε πολλές περιπτώσεις παρέχει μια ικανοποιητική λύση και δημιουργεί μια αρκετή καλή αρχική σχεδιαστική πρόταση που μπορεί να χρησιμοποιηθεί εν συνεχεία σε αναλύσεις βελτιστοποίησης όπου συνυπάρχουν επιπλέον περιορισμοί [6-8]. Η βασική αρχή της τεχνικής είναι η ανάλυση της κατασκευής και ο προσδιορισμός της τάσης σε κάθε στοιχείο υπό κάθε συνθήκη φόρτισης. Έπειτα, κάθε στοιχείο μπορεί να αλλάξει μέγεθος έτσι ώστε η μέγιστη τάση να είναι ίση με την επιτρεπόμενη. Αν για παράδειγμα η τάση σε ένα στοιχείο υπολογιστεί ίση με 50 MPa και η επιτρεπόμενη είναι 100 MPa, τότε η διατομή του στοιχείου (π.χ. μιας ράβδου) μπορεί να μειωθεί κατά 50% και έτσι να διπλασιαστεί η αναπτυσσόμενη τάση. Αυτό βασίζεται στο γεγονός ότι η δύναμη στο στοιχείο θα παραμένει σταθερή, ακόμα και εάν το μέγεθος του έχει αλλάξει. Συνεπώς, με την παραπάνω τεχνική μπορούν να επιλυθούν στατικά προβλήματα με μία μόνο ανάλυση, ενώ για πιο περίπλοκες κατασκευές η μέθοδος λειτουργεί ικανοποιητικά πετυχαίνοντας μια βέλτιστη γεωμετρία με λίγες αναλύσεις. Σε κάθε μελέτη βελτιστοποίησης χρησιμοποιούνται 2 βασικοί κανόνες. Αρχικά, δεν πρέπει να προσδοκούμε μια διαδικασία βελτιστοποίησης που να σχεδιάζει αυτόματα τα προϊόντα. Επιπλέον, αν και οι ρουτίνες βελτιστοποίησης είναι σήμερα πολύ ακριβείς και αποδοτικές, πρέπει στην αρχή της μελέτης να ερευνήσουμε τι πραγματικά μπορεί να συμβεί με την κατασκευή, όσον αφορά τη γεωμετρία της, τις ιδιότητες της και τη συμπεριφορά της, έτσι ώστε να γνωρίζουμε το πιθανό αποτέλεσμα της βελτιστοποίησης. Ακολουθώντας αυτή τη μεθοδολογία, εξοικονομούμε χρόνο φτάνοντας στη βέλτιστη κατασκευή πιο σύντομα. 8

2.1 Βελτιστοποίηση στο Pro-Engineer/Mechanica Κάθε μελέτη βελτιστοποίησης χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Pro-Engineer/Mechanica μπορεί να χωριστεί σε 2 φάσεις [9]. 1η Φάση Βελτιστοποίησης Στην 1η Φάση, εξετάζονται διεξοδικά οι αρχικές ιδέες για την πιθανή διάταξη της κατασκευής, η οποία καθορίζει τη λειτουργία, το κόστος και τη διαδικασία παραγωγής. Ένα λογισμικό πακέτο Πεπερασμένων Στοιχείων μπορεί γρήγορα να μας δώσει άφθονες πληροφορίες που αφορούν τα παραπάνω στοιχεία. Συνεπώς, στην 1η Φάση εξετάζεται και εκτιμάται μεγάλο πλήθος μοντέλων, συγκρίνονται διάφορα υλικά, μέθοδοι παραγωγής, γεωμετρικές διατάξεις και καταγράφονται παραδοχές που μπορεί να αφορούν τις εξωτερικές συνθήκες, την ενδεχόμενη επιπρόσθετη φόρτιση κ.ά. Άρα, στην 1η Φάση γίνεται αρχικά μελέτη και καταγραφή μεγεθών που ενδιαφέρουν τον χρήστη, όπως το βάρος ή η μέγιστη τιμή της τάσης για κάθε πιθανή γεωμετρία της κατασκευής. Στο επόμενο στάδιο, λαμβάνεται μία ή και περισσότερες παράμετροι, που μπορεί να είναι το υλικό του μοντέλου, οι διαστάσεις του κ.τ.λ.. Έτσι, ξεκινά ένας έλεγχος που ονομάζεται Local Sensitivity Study και μπορεί να αποφανθεί κατά πόσο η αλλαγή της τιμής μίας παραμέτρου είναι σημαντική για την κατασκευή. Ο τρόπος λειτουργίας είναι ο εξής: λαμβάνεται η τιμή μίας παραμέτρου (π.χ. μια διάσταση του μοντέλου) και ερευνάται η συμπεριφορά κάποιων χαρακτηριστικών μεγεθών (όπως είναι η μέγιστη μετατόπιση, η μέγιστη αναπτυσσόμενη τάση κ.ά.) όταν η τιμή της παραμέτρου αλλάξει λίγο, π.χ. ± 0,5%. Αν η αλλαγή των χαρακτηριστικών μεγεθών είναι μεγάλη, τότε μπορούμε να εκτιμήσουμε ότι η παράμετρος αυτή επηρεάζει σημαντικά τη συμπεριφορά του μοντέλου. Τα αποτελέσματα που θα πάρουμε από την Local Sensitivity Study μπορεί να μας παραπλανήσουν, αφού η αλλαγή μίας παραμέτρου δεν είναι πάντα γραμμική σε σχέση με κάποιο μέγεθος και το διάγραμμα που θα προκύψει στην Local Sensitivity Study δεν θα είναι αντιπροσωπευτικό. Ερευνώντας τη συμπεριφορά διαφόρων παραμέτρων, όπως περιγράφηκε παραπάνω, καταλήγουμε σε έναν αριθμό παραμέτρων οι οποίες επιδρούν περισσότερο στην κατασκευή, Έτσι, περιορίζουμε τον αριθμό των παραμέτρων που πρέπει να εξετασθούν διεξοδικά στο επόμενο στάδιο της 1ης Φάσης το οποίο ονομάζεται Global Sensitivity Study. Αυτό το στάδιο παρέχει μία ολοκληρωμένη και ευκρινή εικόνα της επίδρασης της αλλαγής τιμών μιας παραμέτρου στην συμπεριφορά της κατασκευής. Τα προγράμματα μας παρέχουν ένα 9

γράφημα όπου παρουσιάζεται η σχέση μεταξύ της, π.χ., αναπτυσσόμενης τάσης και της σχεδιαστικής παραμέτρου. Συμπερασματικά, στην 1η Φάση εκτελούνται οι Local και Global Sensitivity Studies και κρίνοντας ο χρήστης τα αποτελέσματα από την ανάλυση της κατασκευής, μπορεί να επιλέξει 2 ή 3 γεωμετρίες (concepts) που είναι πιο κοντά στο επιθυμητό προϊόν και που απαιτούν περαιτέρω διερεύνηση. Οι γεωμετρίες (concepts) αυτές, οι οποίες ικανοποιούν τις απαιτήσεις σε κόστος, ποιότητα και λειτουργία, περνούν στη 2η Φάση βελτιστοποίησης, μειώνοντας τον απαιτούμενο χρόνο και κόπο για τη προσέγγιση του τελικού προϊόντος. Επιπλέον, η παραγωγή πρωτοτύπων στην 1η Φάση μπορεί να κριθεί επιθυμητή ή απαραίτητη, για τη διασφάλιση της ορθότητας των παραδοχών που έγιναν και τη διασταύρωση και επαλήθευση των αποτελεσμάτων. 2η Φάση Βελτιστοποίησης Η 2η Φάση πραγματοποιείται με τη χρήση αυτόματων ρουτινών βελτιστοποίησης (Optimization Study), οι οποίες παρέχονται από τα λογισμικά βελτιστοποίησης. Mαζί με τον καθορισμό της αρχικής γεωμετρίας του μοντέλου, πρέπει να οριστούν στο πρόγραμμα ο στόχος, οι περιορισμοί και οι παράμετροι. Στις περισσότερες περιπτώσεις ο στόχος είναι η μείωση του βάρους, του όγκου ή του κόστους. Αν και αυτά συνδέονται μεταξύ τους, υπάρχουν περιπτώσεις όπου το μοντέλο μπορεί να αποτελείται από διάφορα υλικά. Άρα, σε μια τέτοια περίπτωση το πρόγραμμα προσπαθεί αρχικά να μειώσει τον όγκο των πιο δαπανηρών ή βαριών τμημάτων και εφόσον η μείωση δεν είναι επαρκής, τότε συνεχίζει στα υπόλοιπα τμήματα. Όσον αφορά τους περιορισμούς, αυτοί πρέπει να επιλεγούν με προσοχή, διότι στην περίπτωση που δεν είναι ρεαλιστικοί, τότε το πρόγραμμα θα προσπαθεί για αρκετό χρόνο να προσαρμόσει το μοντέλο στις απαιτήσεις, μέχρις ότου να εγκαταλείψει την προσπάθεια. Ο καλύτερος και ασφαλέστερος τρόπος να διασφαλίσει κάποιος ότι οι περιορισμοί είναι λογικοί είναι η εκτέλεση μελέτης τύπου Global Sensitivity πριν την έναρξη της βελτιστοποίησης. Έτσι, θα εξασφαλιστεί ότι υπάρχει μέσα στα όρια των περιορισμών τουλάχιστον μία λύση. Οι περιορισμοί που συνήθως ορίζονται είναι η μέγιστη επιτρεπόμενη τάση, η ελάχιστη επιτρεπόμενη μετατόπιση αλλά επίσης και κάποιο όριο για το βάρος ή κόστος. Τέλος, οι παράμετροι που καθορίζονται είναι αυτοί που έχουν εντοπιστεί νωρίτερα στην 1η Φάση και όπως έχουμε ήδη αναφέρει είναι παράμετροι που επιδρούν σημαντικά στη συμπεριφορά της κατασκευής. Επίσης, ο περιορισμός στον αριθμό των παραμέτρων έχει ως 10

αποτέλεσμα τη μείωση του χρόνου που απαιτείται προκειμένου να ολοκληρωθεί η έρευνα της βελτιστοποίησης. Εξάλλου είναι πιο αποδοτικό να ξεκινήσει η διαδικασία βελτιστοποίησης κοντά στη βέλτιστη διάταξη που έχει κρίνει ο χρήστης και να την τελειοποιήσει. Μπορεί φυσικά να φαίνεται ότι ο χρήστης κάνει τη δουλειά του λογισμικού, αλλά ο αλγόριθμος βελτιστοποίησης δεν έχει την ευφυΐα και δεν μπορεί να προβλέψει πιθανά σφάλματα. 2.2 Βελτιστοποίηση στο ANSYS Το πρόγραμμα ANSYS υποστηρίζει έναν αλγόριθμο σχεδιαστικής βελτιστοποίησης, ο οποίος μπορεί να προσδιορίσει τον βέλτιστο σχεδιασμό μιας κατασκευής, δηλαδή ένα σχεδιασμό που ανταποκρίνεται στις σχεδιαστικές απαιτήσεις και συγχρόνως ικανοποιεί την ελαχιστοποίηση παραμέτρων όπως το βάρος, την επιφάνεια, τον όγκο, την τάση, το κόστος κτλ. Θεωρητικά, οποιαδήποτε μεταβλητή του σχεδιασμού μπορεί να βελτιστοποιηθεί: διαστάσεις (π.χ. πάχος), σχήμα (π.χ. καμπυλότητα), τοποθέτηση συνδέσμων, κόστος παραγωγής, ιδιότητες υλικού κλπ. Κάθε στοιχείο που μπορεί να δοθεί ως μεταβλητή στο πρόγραμμα ANSYS, μπορεί συγχρόνως και να οριστεί ως σχεδιαστική παράμετρος (ή σχεδιαστική μεταβλητή). Για να χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης του ANSYS πρέπει να ορίσουμε τα εξής [10]: Σχεδιαστικές μεταβλητές (design variables): αυτές είναι ανεξάρτητες ποσότητες, οι οποίες μπορούν να μεταβληθούν για να πετύχουμε τον βέλτιστο σχεδιασμό. Συνήθως δίνουμε μια ελάχιστη και μια μέγιστη τιμή για κάθε σχεδιαστική μεταβλητή. Μεταβλητές κατάστασης (state variables): αυτές είναι ποσότητες που περιορίζουν τον σχεδιασμό και είναι γενικά εξαρτημένες μεταβλητές που υπολογίζονται από την ανάλυση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Μια μεταβλητή κατάστασης μπορεί να έχει ένα ελάχιστο ή/και ένα μέγιστο όριο. Παράδειγμα τέτοιας μεταβλητής είναι η μέγιστη τάση σε μια κατασκευή να μην μπορεί να υπερβεί μια συγκεκριμένη τιμή (την αντοχή του υλικού). Αντικειμενική συνάρτηση (objective function): αυτή είναι η ποσότητα που προσπαθούμε να ελαχιστοποιήσουμε για να επιτύχουμε τον βέλτιστο σχεδιασμό. Τέτοιες ποσότητες είναι το κόστος, ο όγκος, η επιφάνεια ή η τάση. 11

Για να χρησιμοποιήσουμε αποτελεσματικά τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης του ANSYS, θα πρέπει να προγραμματίσουμε (με τη γλώσσα προγραμματισμού του ANSYS) όλη την ανάλυση μας θέτοντας ως μεταβλητές τις σχεδιαστικές παραμέτρους και υπολογίζοντας από την ανάλυση την αντικειμενική συνάρτηση καθώς και τις μεταβλητές κατάστασης. Το πρόγραμμα υπολογίζει τις τιμές των σχεδιαστικών μεταβλητών που ελαχιστοποιούν την αντικειμενική συνάρτηση. 12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΔΟΚΟΥ ΣΕ ΚΑΜΨΗ 3.1 Αναλυτική επίλυση Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί η γεωμετρική βελτιστοποίηση μιας δοκού σε κάμψη με αναλυτικό τρόπο, έτσι ώστε να εκτιμηθούν οι προβλέψεις που δίνουν οι αλγόριθμοι γεωμετρικής βελτιστοποίησης του Pro/Mechanica και του ANSYS. Το πρόβλημα που εξετάζεται παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.1. Η δοκός είναι από αλουμίνιο (μέτρο ελαστικότητας E = 70 GPa) με διατομή διπλού ταυ. Ως σταθερές διαστάσεις θεωρούμε το μήκος της δοκού ( L = 1m), το πλάτος του πέλματος ( B = 100 mm), το πλάτος της δοκού στο μέσο της διατομής ( b = 50 mm). Σταθερή επίσης θεωρείται και η δύναμη που επιβάλλεται στο μέσον της δοκού ( P = 200 kn). Οι μεταβλητές του προβλήματος είναι το συνολικό ύψος της διατομής H με 100mm H 300mm και το ύψος h 2 20mm 80mm h2. Το ύψος 1 h υπολογίζεται από τη σχέση h1 = ( H h2)/2. με Σχήμα 3.1: Σχηματική αναπαράσταση δοκού σε κάμψη Για το πρόβλημα το Σχήματος 2.1, η λύση σύμφωνα με τις αρχές της τεχνικής θεωρίας κάμψης είναι [11-12]: Εμβαδόν διατομής: A= 2Bh1+ bh2 (3.1) Ροπή αδρανείας διατομής: I bh 3 3 2 1 1 2 2 Bh h + h = + + Bh1 12 12 2 2 (3.2) 13

PLH Μέγιστη ορθή τάση: σ max = (3.3) 8I Μέγιστη εγκάρσια μετατόπιση: u max 3 PL = (3.4) 48EI Στόχος είναι η εύρεση των H και h 2 έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί ο όγκος της δοκού (ή η διατομή A ) με τους εξής περιορισμούς: Επιτρεπόμενη τάση: σ επ = 100 MPa και σ max σ επ (3.5) Επιτρεπόμενη μετατόπιση: u επ = 2 mm και umax u επ (3.6) Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να υπολογίσουμε την ελάχιστη τιμή του εμβαδού της διατομής για να ικανοποιούνται και οι δύο περιορισμοί. Αυτό μπορούμε να το επιτύχουμε χρησιμοποιώντας τα επόμενα διαγράμματα όπου παρουσιάζονται οι τιμές της ανηγμένης μέγιστης τάσης ( σ / max σ επ )και ανηγμένης μέγιστης μετατόπισης ( u / u )ως max επ συνάρτηση του H με παράμετρο το h 2. Επειδή η διατομή εξαρτάται γραμμικά από τις δύο αυτές ποσότητες, είναι προφανές ότι επιζητούμε τις ελάχιστες τιμές τους που ικανοποιούν και τους δύο περιορισμούς. Στο Σχήμα 3.2 παρουσιάζεται η μεταβολή της ανηγμένης μέγιστης τάσης ενώ στο Σχήμα 3.3 η μεταβολή της ανηγμένης μέγιστης μετατόπισης. Και στα δύο σχήματα, αποδεκτές είναι οι τιμές μικρότερες της μονάδος. Παρατηρούμε ότι και στα δύο σχήματα και για όλο το εύρος τιμών του h 2 οι τιμές που ικανοποιούν και τους δύο περιορισμούς είναι για τιμές του H μεγαλύτερες από 170mm. Με δοκιμές βρίσκουμε τελικά ότι οι βέλτιστες τιμές είναι H = 180 mm, h 2 = 78 mm και το ελάχιστο εμβαδόν της διατομής A = 14100 mm 2. Για τις τιμές αυτές η μέγιστη τάση είναι 100 MPa και η μέγιστη μετατόπιση 1,33mm. 14

7 Ανηγμένη μέγιστη τάση 6 5 4 3 2 1 0 h2=20mm h2=40mm h2=60mm h2=80mm 0 50 100 150 200 250 300 350 H [mm] Σχήμα 3.2: Ανηγμένη μέγιστη τάση συναρτήσει των H και h 2 8 Ανηγμένη μέγιστη μετατόπιση 7 6 5 4 3 2 1 0 h2=20mm h2=40mm h2=60mm h2=80mm 0 50 100 150 200 250 300 350 H [mm] Σχήμα 3.3: Ανηγμένη μέγιστη μετατόπιση συναρτήσει των H και h 2 15

3.2 Επίλυση με το Pro/Mechanica Το πρόβλημα του Σχήματος 3.1 μοντελοποιείται στο Pro/Engineer και στη συνέχεια το CAD μοντέλο επιλύεται με τη χρήση του Pro/Mechanica. Λόγω συμμετρίας μοντελοποιούμε μόνο το ένα τέταρτο της γεωμετρίας. Το μοντέλο που δημιουργείται φαίνεται στο Σχήμα 3.4. Η τυπική διακριτοποίηση παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.5. Σχήμα 3.4: Μοντέλο της καμπτόμενης δοκού στο Pro/Mechanica Σχήμα 3.5: Τυπική διακριτοποίηση της καμπτόμενης δοκού στο Pro/Mechanica 16

Αφού οριστούν οι κατάλληλες σχέσεις για τις διαστάσεις της διατομής ορίζουμε ως μεταβλητές, όπως και στην αναλυτική επίλυση, τα ύψη H και h 2, τα οποία αντιστοιχούν στις μεταβλητές d4 και d2 του Pro/Mechanica. Ορίζουμε τα εύρη τιμών και τις αρχικές τιμές των μεταβλητών (σχεδιαστικών παραμέτρων) όπως φαίνεται στον Πίνακα 3.1. Σχεδιαστική παράμετρος Πίνακας 3.1: Τιμές παραμέτρων στο Pro/Mechanica Ελάχιστη τιμή Αρχική τιμή Μέγιστη τιμή H (mm) 100 200 300 h 2 (mm) 20 60 80 Στα σχήματα 3.6 και 3.7 φαίνονται οι κατανομές των ορθών τάσεων και εγκάρσιων μετατοπίσεων στη δοκό, για τις αρχικές τιμές των παραμέτρων. Η μέγιστη ορθή τάση είναι 81,6 MPa, ενώ η μέγιστη μετατόπιση είναι 1,18 mm. Μετά την αρχική ανάλυση, πραγματοποιούμε μια μελέτη γεωμετρικής βελτιστοποίησης (optimization) θέτοντας τους ίδιους περιορισμούς με την αναλυτική λύση. Το σχετικό παράθυρο του Pro/Mechanica παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.8. Οι βέλτιστες τιμές που υπολογίζονται από το πρόγραμμα είναι H = 182 mm, h 2 = 80 mm που αντιστοιχούν σε διατομή A = 14200 mm 2. Στα σχήματα 3.9 και 3.10 φαίνονται οι κατανομές των ορθών τάσεων και εγκάρσιων μετατοπίσεων στη δοκό, για τις βέλτιστες τιμές των παραμέτρων. Η μέγιστη ορθή τάση είναι 99,5 MPa, ενώ η μέγιστη μετατόπιση είναι 1,53 mm, δηλαδή ικανοποιούνται και οι δύο περιορισμοί που θέσαμε. Τα βήματα που ακολουθεί το Pro/Mechanica για τον υπολογισμό των βέλτιστων τιμών φαίνονται στον Πίνακα 3.2. Παρατηρούμε ότι χρειάστηκαν 4 διαφορετικά ζεύγη τιμών έως να βρεθεί το βέλτιστο ζεύγος. 17

Πίνακας 3.2: Βήματα βελτιστοποίησης στο Pro/Mechanica Initial Design Status Parameters: d4 200 d2 60 Goal: 1.1873e-02 Status of Optimization Limits: 1. max_disp_mag 1.1755e+00 < 2.0000e+00 (satisfied) 2. max_stress_prin 8.1591e+01 < 1.0000e+02 (satisfied) Resource Check (10:47:00) Elapsed Time (sec): 101.16 CPU Time (sec): 2.49 Memory Usage (kb): 171934 Result of Optimization Iteration 1 Parameters: d4 175 d2 61.125 Goal: 1.0087e-02 Status of Optimization Limits: 1. max_disp_mag 1.6304e+00 < 2.0000e+00 (satisfied) 2. max_stress_prin 1.0604e+02 < 1.0000e+02 (VIOLATED) Resource Check (10:54:34) Elapsed Time (sec): 554.81 CPU Time (sec): 8.99 Memory Usage (kb): 181119 Begin Optimization Iteration 2 (10:54:34) Begin Optimization Iteration 3 (10:57:55) Result of Optimization Iteration 3 Parameters: d4 182.282 d2 80 Goal: 9.9368e-03 Status of Optimization Limits: 1. max_disp_mag 1.5151e+00 < 2.0000e+00 (satisfied) 2. max_stress_prin 9.9744e+01 < 1.0000e+02 (satisfied) Resource Check (11:04:18) Elapsed Time (sec): 1138.71 CPU Time (sec): 16.25 Memory Usage (kb): 183198 Begin Optimization Iteration 4 (11:04:18) Converged to optimum design. Best Design Found: Parameters: d4 182.282 d2 80 Goal: 9.9368e-03 ------------------------------------------------------------ Memory and Disk Usage: Total Elapsed Time (seconds): 1173.38 Total CPU Time (seconds): 17.61 Result of Optimization Iteration 2 Parameters: d4 180.855 d2 69.1004 Goal: 1.0218e-02 Status of Optimization Limits: 1. max_disp_mag 1.5154e+00 < 2.0000e+00 (satisfied) 2. max_stress_prin 9.9922e+01 < 1.0000e+02 (satisfied) Resource Check (10:57:55) Elapsed Time (sec): 755.68 CPU Time (sec): 12.70 Memory Usage (kb): 181438 18

Σχήμα 3.6: Κατανομή ορθών τάσεων για τις αρχικές τιμές των παραμέτρων Σχήμα 3.7: Κατανομή μετατοπίσεων για τις αρχικές τιμές των παραμέτρων 19

Σχήμα 3.8: Ορισμός παραμέτρων και περιορισμών της βελτιστοποίησης στο Pro/Mechanica Σχήμα 3.9: Κατανομή ορθών τάσεων για τις βέλτιστες τιμές των παραμέτρων 20

Σχήμα 3.10: Κατανομή μετατοπίσεων για τις βέλτιστες τιμές των παραμέτρων 3.3 Επίλυση με το ANSYS Το πρόβλημα του Σχήματος 3.1 μοντελοποιείται χρησιμοποιώντας την γλώσσα προγραμματισμού του ANSYS. Λόγω συμμετρίας μοντελοποιούμε μόνο το ένα τέταρτο της γεωμετρίας. Η τυπική διακριτοποίηση παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.11. Στα σχήματα 3.12 και 3.13 φαίνονται οι κατανομές των ορθών τάσεων και εγκάρσιων μετατοπίσεων στη δοκό, για τις αρχικές τιμές των παραμέτρων. Η μέγιστη ορθή τάση είναι 76,3 MPa, ενώ η μέγιστη μετατόπιση είναι 1,16 mm. Οι βέλτιστες τιμές που υπολογίζονται από το πρόγραμμα είναι H = 178 mm, h 2 = 80 mm που αντιστοιχούν σε διατομή A = 13800 mm 2. Στα σχήματα 3.14 και 3.15 φαίνονται οι κατανομές των ορθών τάσεων και εγκάρσιων μετατοπίσεων στη δοκό, για τις βέλτιστες τιμές των παραμέτρων. Η μέγιστη ορθή τάση είναι 100 MPa, ενώ η μέγιστη μετατόπιση είναι 1,64 mm, δηλαδή ικανοποιούνται και οι δύο περιορισμοί που θέσαμε. Τα βήματα που ακολουθεί το ANSYS για τον υπολογισμό των βέλτιστων τιμών φαίνονται στον Πίνακα 3.3. Παρατηρούμε ότι χρειάστηκαν 21 διαφορετικά ζεύγη τιμών έως να βρεθεί το βέλτιστο ζεύγος. Τα βέλτιστα αποτελέσματα παρουσιάζονται με έντονα γράμματα. 21

Πίνακας 3.3: Βήματα βελτιστοποίησης στο ANSYS SET 1 SET 2 SET 3 SET 4 (FEASIBLE) (FEASIBLE) (FEASIBLE) (FEASIBLE) SSZ (SV) 76.294 40.901 98.216 71.020 UUY (SV) 1.1592 0.55295 1.5926 1.0507 H (DV) 200.00 269.43 177.60 207.51 H2 (DV) 60.000 47.431 61.542 57.075 VVV (OBJ) 0.42500E+07 0.61430E+07 0.36707E+07 0.44744E+07 SET 5 SET 6 SET 7 SET 8 (INFEASIBLE) (FEASIBLE) (FEASIBLE) (FEASIBLE) SSZ (SV) > 101.39 99.366 99.816 99.913 UUY (SV) 1.6620 1.6195 1.6272 1.6290 H (DV) 176.48 178.12 178.17 178.19 H2 (DV) 76.205 76.119 78.907 79.678 VVV (OBJ) 0.34595E+07 0.35015E+07 0.34679E+07 0.34589E+07 SET 9 SET 10 SET 11 SET 12 (FEASIBLE) (FEASIBLE) (FEASIBLE) (INFEASIBLE) SSZ (SV) 99.897 99.928 99.970 > 406.92 UUY (SV) 1.6296 1.6297 1.6302 > 10.751 H (DV) 178.20 178.19 178.19 100.00 H2 (DV) 79.835 79.866 79.875 79.875 VVV (OBJ) 0.34571E+07 0.34565E+07 0.34564E+07 0.15016E+07 SET 13 SET 14 SET 15 SET 16 (INFEASIBLE) (FEASIBLE) (FEASIBLE) (FEASIBLE) SSZ (SV) > 145.85 78.090 48.879 34.085 UUY (SV) > 2.6721 1.1933 0.68164 0.45253 H (DV) 150.00 200.00 250.00 300.00 H2 (DV) 79.875 79.875 79.875 79.875 VVV (OBJ) 0.27516E+07 0.40016E+07 0.52516E+07 0.65016E+07 SET 17 SET 18 SET 19 SET 20 (FEASIBLE) (FEASIBLE) (FEASIBLE) (FEASIBLE) SSZ (SV) 93.536 94.602 96.030 97.707 UUY (SV) 1.5021 1.5266 1.5530 1.5870 H (DV) 178.19 178.19 178.19 178.19 H2 (DV) 20.000 35.000 50.000 65.000 VVV (OBJ) 0.42048E+07 0.40173E+07 0.38298E+07 0.36423E+07 *SET 21* (FEASIBLE) SSZ (SV) 99.971 UUY (SV) 1.6301 H (DV) 178.19 H2 (DV) 80.000 VVV (OBJ) 0.34548E+07 22

Σχήμα 3.11: Τυπική διακριτοποίηση της καμπτόμενης δοκού στο ANSYS Σχήμα 3.12: Κατανομή ορθών τάσεων για τις αρχικές τιμές των παραμέτρων 23

Σχήμα 3.13: Κατανομή μετατοπίσεων για τις αρχικές τιμές των παραμέτρων Σχήμα 3.14: Κατανομή ορθών τάσεων για τις βέλτιστες τιμές των παραμέτρων 24

Σχήμα 3.15: Κατανομή μετατοπίσεων για τις βέλτιστες τιμές των παραμέτρων 3.4 Σύγκριση μεταξύ των τριών μεθόδων Στον Πίνακα 3.4 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της γεωμετρικής βελτιστοποίησης της καμπτόμενης δοκού από την αναλυτική προσέγγιση και από τα δύο προγράμματα. Παρατηρούμε ότι και τα δύο προγράμματα υπολογίζουν με μεγάλη ακρίβεια τις βέλτιστες τιμές των παραμέτρων. Θα πρέπει να τονιστεί εδώ ότι οι διαφορές στην μετατόπιση οφείλονται στις παραδοχές που γίνονται στην τεχνική θεωρία της κάμψης και δεν ισχύουν στην τρισδιάστατη ανάλυση. Η μεγάλη διαφορά μεταξύ των δύο προγραμμάτων είναι ο χρόνος υπολογισμού, τόσο ο συνολικός όσο και η χρήση της CPU. Ο βασικός λόγος του μεγάλου χρόνου επίλυσης με το Pro/Mechanica είναι ότι χρησιμοποιείται το Pro/Engineer για την αλλαγή της γεωμετρίας, τη δημιουργία ενός νέου CAD μοντέλου, την επανεκκίνηση του Pro/Mechanica, την εφαρμογή των φορτίσεων και συνοριακών συνθηκών, τη διακριτοποίηση και τελικά την επίλυση. Σε αντίθεση, λόγω του προγραμματιστικού περιβάλλοντος του ANSYS, αυτό επιτυγχάνεται πολύ πιο γρήγορα. 25

Σχεδιαστική παράμετρος Πίνακας 3.4: Συγκριτικός πίνακας βέλτιστων τιμών Αναλυτικά Pro/Mechanica ANSYS H (mm) 180 182 178 h 2 (mm) 78 80 80 σ max (MPa) 100 99,5 100 u max (mm) 1,33 1,53 1,63 Συνολικός χρόνος (sec) - 1173 62 CPU (sec) - 17,6 3,8 26

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΕΛΑΣΜΑ ΜΕ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΟΠΗ Η πρώτη ανάλυση που συνήθως πραγματοποιείται από ένα νέο χρήστη ενός προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων είναι αυτό ενός ελάσματος με κεντρική οπή που καταπονείται σε εφελκυσμό καθώς είναι το απλούστερο παράδειγμα συγκέντρωσης τάσεων. 4.1 Επίλυση με το Pro/Mechanica Στο Pro/Engineer σχεδιάζουμε στερεό με διαστάσεις 20Χ20Χ10 mm που περιέχει διαμπερή οπή με διάμετρο 10 mm (Σχήμα 4.1α). Λόγω συμμετρίας, μπορούμε να μοντελοποιήσουμε μόνο το ένα τέταρτο της γεωμετρίας, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.1β. Στην περίπτωση που εξετάζουμε θα πραγματοποιηθεί επίπεδη ανάλυση και επομένως το πάχος του στερεού δεν υπεισέρχεται άμεσα στην ανάλυση. (α) (β) Σχήμα 4.1: Μοντέλο στερεού στο Pro/Engineer: (α) συνολικό μοντέλο, και (β) το ένα τέταρτο του μοντέλου Το παραπάνω στερεό μπορεί να αναλυθεί στο Pro/Mechanica χρησιμοποιώντας την απλοποίηση της επίπεδης έντασης (plane stress), η οποία επιλέγεται από το κεντρικό μενού του Pro/Mechanica, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.2. 27

Σχήμα 4.2: Επιλογή επίπεδης ανάλυσης Στη συνέχεια εισάγουμε τις ιδιότητες της επιφάνειες με υλικό αλουμίνιο και πάχος 5 mm, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.3. Ακολουθεί η εισαγωγή των συνοριακών συνθηκών συμμετρίας καθώς και η εφελκυστική φόρτιση, όπως παρουσιάζονται στο Σχήμα 4.4. Το τελικό μοντέλο καθώς και η αρχική διακριτοποίηση φαίνονται στο Σχήμα 4.5. (α) (β) Σχήμα 4.3: Εισαγωγή υλικού και πάχους στην επιφάνεια: (α) παράθυρο εισαγωγής, και (β) ιδιότητες του υλικού 28

(α) (β) Σχήμα 4.4: Εισαγωγή (α) συνοριακών συνθηκών, και (β) φόρτισης Σχήμα 4.5: Μοντέλο έτοιμο για ανάλυση Τα αποτελέσματα της στατικής ανάλυσης παρουσιάζονται στο Σχήμα 4.6. Η μέγιστη ισοδύναμη τάση είναι 267 MPa για εφαρμοζόμενη τάση 40 MPa. 29

Σχήμα 4.6: Αποτελέσματα στατικής ανάλυσης Μελέτη βελτιστοποίησης Ορίζουμε μια ανάλυση Optimization με στόχο την ελαχιστοποίηση της μάζας και με περιορισμό η μέγιστη τάση να μην ξεπερνάει την θεωρούμενη αντοχή του υλικού. Για να μελετήσουμε την συμπεριφορά του μοντέλου, θεωρούμε έξι διαφορετικές τιμές για την αντοχή του υλικού, 155, 175, 200, 225, 250 και 275 MPa. Η μόνη σχεδιαστική παράμετρος είναι η ακτίνα της οπής με επιτρεπόμενες τιμές από 2 ως 7 mm (Σχήμα 4.7). Σχήμα 4.7: Ορισμός των παραμέτρων της βελτιστοποίησης Τα αποτελέσματα των μελετών βελτιστοποίησης παρουσιάζονται στο ακόλουθο σχήμα. Τα συγκεντρωτικά αποτελέσματα φαίνονται στον Πίνακα 4.1. Ο χρόνος υπολογισμού κυμαίνεται από 120 έως 250 sec και ο αντίστοιχος χρόνος χρήσης της CPU κυμαίνεται από 0,53 έως 0,83 sec. 30

Σχήμα 4.8: Αποτελέσματα βελτιστοποίησης με την πρώτη διακριτοποίηση 31

Πίνακας 4.1: Συγκεντρωτικά αποτελέσματα βελτιστοποίησης στο Pro/Mechanica (πρώτη διακριτοποίηση) 155 MPa 175 MPa 200 MPa 225 MPa 250 MPa 275 MPa MAX_STRESS 155,1 175,9 200,6 225,1 250,1 275,3 RADIUS 2,62 3,38 4,00 4,46 4,82 5,12 TOTAL_MASS 2,64*10^-6 2,54*10^-6 2,44*10^-6 2,35*10^-6 2,28*10^-6 2,22*10^-6 TOTAL_VOLUME 94,6 91,0 87,5 84,2 81,7 79,6 Αλλαγή της πυκνότητας διακριτοποίησης Για να εξετάσουμε την επίδραση της πυκνότητας της διακριτοποίησης στην περιοχή της μέγιστης τάσης τόσο στα αποτελέσματα όσο και στο χρόνο υπολογισμού, επιλέχθηκε να εξεταστεί και μια πυκνότερη διακριτοποίηση, όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 4.9. Τα αποτελέσματα των μελετών βελτιστοποίησης παρουσιάζονται στο Σχήμα 4.10 και τα συγκεντρωτικά αποτελέσματα φαίνονται στον Πίνακα 4.2. Ο χρόνος υπολογισμού κυμαίνεται από 77 έως 380 sec και ο αντίστοιχος χρόνος χρήσης της CPU κυμαίνεται από 0,56 έως 2,14 sec. Παρατηρούμε σημαντικές αλλαγές στις προβλεπόμενες τιμές της βέλτιστης ακτίνας της οπής. Σχήμα 4.9: Πυκνότερη διακριτοποίηση 32

Σχήμα 4.10: Αποτελέσματα βελτιστοποίησης με την δεύτερη διακριτοποίηση 33

Πίνακας 4.2: Συγκεντρωτικά αποτελέσματα βελτιστοποίησης στο Pro/Mechanica (δεύτερη διακριτοποίηση) 155 MPa 175 MPa 200 MPa 225 MPa 250 MPa 275 MPa MAX_STRESS 155,2 175,2 201,3 225,3 251,7 272,5 RADIUS 3 3,65 4,21 4,62 5 5,3 TOTAL_MASS 2,59*10^-6 2,50*10^-6 2,40*10^-6 2,32*10^-6 2,25*10^-6 2,18*10^-6 TOTAL_VOLUME 92,8 89,6 86,0 83,1 80,6 78,1 4.2 Επίλυση με το ANSYS Το πρόβλημα του Σχήματος 4.1 επιλύεται και με το πρόγραμμα ANSYS. Λόγω συμμετρίας είναι αρκετό να αναλύσουμε μόνο το ¼ της γεωμετρίας όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.11α, ενώ μια τυπική διακριτοποίηση φαίνεται στο Σχήμα 4.11β. Ο κώδικας που αναπτύχθηκε καθώς και μια τυπική κατανομή τάσεων φαίνονται στο Σχήμα 4.12. (α) Σχήμα 4.11: Μοντελοποίηση στο ANSYS: (α) μοντέλο, και (β) τυπική διακριτοποίηση (β) Μελέτη βελτιστοποίησης Η μελέτη βελτιστοποίησης στο ANSYS έγινε με την ίδια παράμετρο (ακτίνα) για 6 διαφορετικές μέγιστες επιτρεπόμενες τάσεις. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται συνοπτικά στον Πίνακα 4.3, ενώ στο Σχήμα 4.13 φαίνονται τα βήματα που ακολουθήθηκαν για την βελτιστοποίηση. Ο χρόνος υπολογισμού ήταν κατά μέσο όρο 10 sec και ο χρόνος CPU περίπου 0,2 sec. 34

(α) (β) (γ) Σχήμα 4.12: Κώδικας στο ANSYS: (α) απλής ανάλυσης, (β) βελτιστοποίησης, και (γ) τυπική κατανομή τάσεων Σχήμα 4.13: Αποτελέσματα βελτιστοποίησης (ANSYS) 35

Πίνακας 4.3: Συγκεντρωτικά αποτελέσματα βελτιστοποίησης στο ANSYS 155 MPa 175 MPa 200 MPa 225 MPa 250 MPa 275 MPa MAX_STRESS 157,2 174,8 199,9 225,0 249,7 274,6 RADIUS 3,07 3,61 4,18 4,6 4,93 5,22 TOTAL_VOLUME 92,6 89,8 86,3 83,4 80,9 78,6 4.3 Σύγκριση μεταξύ των δύο προγραμμάτων Οι τιμές της βέλτιστης ακτίνας της οπής συναρτήσει της θεωρούμενης μέγιστης επιτρεπόμενης τάσης παρουσιάζονται στο Σχήμα 4.14 για την ανάλυση με το ANSYS και για τις δύο περιπτώσεις ανάλυσης με το Pro/Mechanica, για δύο διαφορετικές διακριτοποιήσεις. Παρατηρούμε ότι με την πυκνότερη διακριτοποίηση, οι τμές που προβλέπουν τα δύο προγράμματα συμπίπτουν. Εντούτοις, ο χρόνος υπολογισμού του Pro/Mechanica ήταν κατά μέσο όρο 20 φορές μεγαλύτερος, ενώ ο χρόνος χρήσης CPU ήταν κατά 7 φορές μεγαλύτερος. 6 Βέλτιστη τιμή ακτίνας (mm) 5 4 3 ANSYS Pro/M - mesh1 Pro/M - mesh2 2 150 200 250 300 Επιτρεπόμενη τάση (MPa) Σχήμα 4.14: Σύγκριση αποτελεσμάτων 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΛΑΣΜΑ ΜΕ ΔΥΟ ΟΠΕΣ Το επόμενο παράδειγμα που εξετάστηκε είναι αυτό ενός ελάσματος που περιέχει κεντρικά δύο οπές, οι οποίες μπορούν να διαταχθούν διαφορετικά σχετικά με την διεύθυνση της φόρτισης. Το πρόβλημα είναι πάλι επίπεδο αλλά με τρεις σχεδιαστικές παραμέτρους και επομένως πιο πολύπλοκη διαδικασία βελτιστοποίησης. Το υπό θεώρηση πρόβλημα έχει ενδιαφέρον καθ ότι η σχετική διάταξη των οπών μπορεί να οδηγήσει σε σημαντική μείωση των τάσεων. 5.1 Επίλυση με το Pro/Mechanica Στο Pro/Engineer σχεδιάζουμε στερεό με διαστάσεις 60Χ60Χ2,5 mm που περιέχει δύο διαμπερείς οπές με διάμετρο 5 mm (Σχήμα 5.1). Η απόσταση μεταξύ των κέντρων των οπών είναι 10 mm, ενώ η γραμμή που συνδέει τα κέντρα τους σχηματίζει με τον άξονα x γωνία 45 ο. Σχήμα 5.1: Μοντέλο στερεού με δύο οπές στο Pro/Engineer Στο Pro/Mechanica ορίζουμε ανάλυση επίπεδης έντασης, υλικό αλουμίνιο και εφαρμόζουμε μια δύναμη στην άνω επιφάνεια ίση με 7500 N, ενώ πακτώνουμε την κάτω επιφάνεια (Σχήμα 5.2). Το μοντέλο καθώς και η αρχική διακριτοποίηση παρουσιάζονται στο Σχήμα 5.3. Η 37

αρχική ανάλυση του μοντέλου δείχνει υψηλή συγκέντρωση τάσεων στην περιοχή των οπών με μέγιστη ισοδύναμη τάση ίση με 166 MPa. (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα 5.2: Βασικοί ορισμοί στο Pro/Mechanica: (α) επίπεδη ένταση, (β) υλικό αλουμίνιο, (γ) εφαρμογή δύναμης, και (δ) εφαρμογή πάκτωσης (α) (β) (γ) Σχήμα 5.3: (α) Μοντέλο έτοιμο για ανάλυση, (β) αρχική διακριτοποίηση, και (γ) κατανομή τάσεων Μελέτη βελτιστοποίησης Ορίζουμε μια ανάλυση Optimization με στόχο την ελαχιστοποίηση της μάζας και με περιορισμό η μέγιστη τάση να μην ξεπερνάει την θεωρούμενη αντοχή του υλικού. Για να μελετήσουμε την συμπεριφορά του μοντέλου, θεωρούμε δύο διαφορετικές τιμές για την αντοχή του υλικού (μέγιστη επιτρεπόμενη τάση): 150 και 160 MPa. Οι σχεδιαστικές παράμετροι είναι η απόσταση μεταξύ των οπών, η γωνία προσανατολισμού των οπών και το 38

πάχος του ελάσματος. Οι αρχικές τιμές και τα εύρη των παραμέτρων φαίνονται στον Πίνακα 5.1. Η εισαγωγή των δεδομένων στο Pro/Mechanica γίνεται όπως στο Σχήμα 5.4. Πίνακας 5.1: Τιμές παραμέτρων στο Pro/Mechanica Σχεδιαστική παράμετρος Ελάχιστη τιμή Αρχική τιμή Μέγιστη τιμή Μισή απόσταση μεταξύ οπών (mm) 3,75 5 6,25 Γωνία προσανατολισμού (μοίρες) 0 45 90 Πάχος (mm) 1 2,5 4 Σχήμα 5.4: Εισαγωγή δεδομένων βελτιστοποίησης στο Pro/Mechanica Τα αποτελέσματα της ανάλυσης βελτιστοποίησης για τις δύο τιμές της μέγιστης επιτρεπόμενης τάσης παρουσιάζονται στο Σχήμα 5.5 και συνοψίζονται στον Πίνακα 5.2. Ο χρόνος υπολογισμού είναι 2436 sec και 3921 sec και ο αντίστοιχος χρόνος χρήσης της CPU κυμαίνεται από 18,5 έως 26,5 sec. Παρατηρούμε μικρές σχετικά αλλαγές στις προβλεπόμενες τιμές των σχεδιαστικών παραμέτρων ανάλογα με την επιτρεπόμενη τάση. 39

Σχήμα 5.5: Αποτελέσματα βελτιστοποίησης (Pro/Mechanica πρώτη διακριτοποίηση) Πίνακας 5.2: Συγκεντρωτικά αποτελέσματα βελτιστοποίησης στο Pro/Mechanica (πρώτη διακριτοποίηση) 150 MPa 160 MPa MAX_STRESS 151,9 159,9 DISTANCE 4,95 3,88 ANGLE 86,9 85,1 PAXOS 2,13 2,06 TOTAL_MASS 2,11*10^-5 2,05*10^-5 40

Αλλαγή της πυκνότητας διακριτοποίησης Για να εξετάσουμε την επίδραση της πυκνότητας της διακριτοποίησης στην περιοχή της μέγιστης τάσης τόσο στα αποτελέσματα όσο και στο χρόνο υπολογισμού, επιλέχθηκε να εξεταστεί και μια πυκνότερη διακριτοποίηση, όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 5.6. Τα αποτελέσματα των μελετών βελτιστοποίησης παρουσιάζονται στο Σχήμα 5.7 και τα συγκεντρωτικά αποτελέσματα φαίνονται στον Πίνακα 5.3. Ο χρόνος υπολογισμού κυμαίνεται από 980 έως 1460 sec και ο αντίστοιχος χρόνος χρήσης της CPU κυμαίνεται από 24 έως 30 sec. Σχήμα 5.6: Δεύτερη διακριτοποίηση Πίνακας 5.3: Συγκεντρωτικά αποτελέσματα βελτιστοποίησης στο Pro/Mechanica (δεύτερη διακριτοποίηση) 150 MPa 160 MPa MAX_STRESS 150,2 160,0 DISTANCE 4,45 3,75 ANGLE 90 90 PAXOS 2,29 2,13 TOTAL_MASS 2,28*10^-5 2,12*10^-5 41

Σχήμα 5.7: Αποτελέσματα βελτιστοποίησης (Pro/Mechanica δεύτερη διακριτοποίηση) 5.2 Επίλυση με το ANSYS Το πρόβλημα του Σχήματος 5.1 επιλύεται και με το πρόγραμμα ANSYS. Η γεωμετρία του μοντέλου καθώς και μια τυπική διακριτοποίηση παρουσιάζονται στο Σχήμα 5.8. Ο κώδικας που αναπτύχθηκε καθώς και μια τυπική κατανομή τάσεων φαίνονται στα Σχήματα 5.9 και 5.10. 42

(α) Σχήμα 5.8: Μοντελοποίηση στο ANSYS: (α) μοντέλο, και (β) τυπική διακριτοποίηση (β) (α) (β) Σχήμα 5.9: Κώδικας στο ANSYS: (α) απλής ανάλυσης, και (β) βελτιστοποίησης 43

Σχήμα 5.10: Τυπική κατανομή τάσεων για γωνία 90 ο Μελέτη βελτιστοποίησης Η μελέτη βελτιστοποίησης στο ANSYS έγινε με τις ίδιες παραμέτρους του Πίνακα 5.1. Στο Σχήμα 5.11 παρουσιάζονται τα βήματα που ακολουθήθηκαν για την βελτιστοποίηση, ενώ τα συνοπτικά αποτελέσματα παρουσιάζονται συνοπτικά στον Πίνακα 5.4. Ο συνολικός χρόνος υπολογισμού ήταν κατά μέσο όρο 92 sec και ο χρόνος CPU 6 sec. Πίνακας 5.4: Συγκεντρωτικά αποτελέσματα βελτιστοποίησης στο ANSYS 150 MPa 160 MPa MAX_STRESS 149,7 159,3 DISTANCE 3,77 3,81 ANGLE 89,8 89,8 PAXOS 2,19 2,06 5.3 Σύγκριση μεταξύ των δύο προγραμμάτων Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των Πινάκων 5.2 ως 5.4, παρατηρούμε συμφωνία μεταξύ των βέλτιστων τιμών των σχεδιαστικών παραμέτρων, ιδίως της γωνίας και του πάχους. Και σε αυτό το παράδειγμα, η μεγάλη διαφορά έγκειται στο χρόνο υπολογισμού, ο οποίος στο Pro/Mechanica ήταν τουλάχιστον 10πλάσιος. 44

150 MPa 160 MPa Σχήμα 5.11: Αποτελέσματα βελτιστοποίησης (ANSYS) 45

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΔΟΜΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΑΤΡΑΚΤΟΥ ΑΕΡΟΠΛΑΝΟΥ Το επόμενο παράδειγμα που εξετάστηκε είναι αυτό ενός ελάσματος που περιέχει σε δύο διευθύνσεις νευρώσεις για να αντιστέκονται στην κάμψη του ελάσματος. Πρόκειται για μια προσομοίωση της βασικής δομής της επιφάνειας της ατράκτου ενός αεροπλάνου, στην οποία τοποθετούνται αξονικά (stringers) και περιφερειακά (frames) νεύρα. Το πρόβλημα είναι τρισδιάστατο αλλά λόγω του μικρού πάχους των ελασμάτων μπορεί να προσομοιωθεί με κελύφη (shells). Το πρόβλημα έχει μεγάλο ενδιαφέρον αφού μπορούμε να ορίσουμε μεγάλο αριθμό σχεδιαστικών παραμέτρων και έτσι να ελέγξουμε τη δυνατότητα των προγραμμάτων να χειριστούν πολύπλοκα προβλήματα βελτιστοποίησης. 6.1 Επίλυση με το Pro/Mechanica Στο Pro/Engineer σχεδιάζουμε την επιφάνεια της ατράκτου διαστάσεων 1500Χ750Χ3 mm που περιέχει δύο αξονικά και δύο περιφερειακά νεύρα (Σχήμα 6.1). Τα νεύρα είναι μορφής Γ και οι διαστάσεις τους καθορίζονται από το ύψος τους, το πλάτος του πέλματος και το πάχος τους. Στον Πίνακα 6.1 φαίνονται τα εύρη των τιμών αυτών των σχεδιαστικών παραμέτρων. Οι τιμές που επιλέχθηκαν είναι χαρακτηριστικές τιμές αυτών των μεγεθών για μεσαίου μεγέθους αεροπλάνα. Η επιφάνεια του ελάσματος είναι σταθερών διαστάσεων, ενώ σταθερή θεωρείται και η απόσταση μεταξύ των νεύρων. Σχήμα 6.1: Μοντέλο ελάσματος με νεύρα σε δύο διευθύνσεις 46

Πίνακας 6.1: Τιμές παραμέτρων στο Pro/Mechanica Σχεδιαστική παράμετρος Ελάχιστη τιμή Αρχική τιμή Μέγιστη τιμή T1 - Πάχος frame (mm) 1 2 3 H1 - Ύψος frame (mm) 40 70 100 W1 - Πλάτος πέλματος frame (mm) 20 30 40 T2 - Πάχος stringer (mm) 1 2 3 H2 - Ύψος stringer (mm) 10 20 30 W2 - Πλάτος πέλματος stringer (mm) 10 15 20 Το τεχνικό σχέδιο που αντιστοιχεί στη γεωμετρία που εξετάζεται παρουσιάζεται στο Σχήμα 6.2. Στο Pro/Mechanica επιλέγουμε τις κατάλληλες επιφάνειες και τις ορίζουμε ως shells (κελύφη) και συγχρόνως ορίζουμε το υλικό (αλουμίνιο) και το πάχος της επιφάνειας και των νεύρων. Ορίζουμε ως συνοριακές συνθήκες την πλήρη πάκτωση του ελάσματος στα άκρα του (Σχήμα 6.3). Ως φόρτιση θεωρούμε εσωτερική πίεση ίση με 0,6 atm (=0,06 MPa) που είναι η μέγιστη διαφορά πίεσης μεταξύ του εσωτερικού του αεροπλάνου και του περιβάλλοντος κατά την πτήση (Σχήμα 6.4). Σχήμα 6.2: Τεχνικά σχέδια του ελάσματος με νεύρα σε δύο διευθύνσεις Η αρχική ανάλυση του δομικού στοιχείου με την αρχική διακριτοποίηση φαίνεται στο Σχήμα 6.5. Τα αποτελέσματα δείχνουν την κατανομή της εγκάρσιας μετατόπισης, η οποία θα χρησιμοποιηθεί και ως η μεταβλητή κατάστασης (δηλαδή θα θέσουμε ένα ανώτατο όριο) στην επόμενο στάδιο της βελτιστοποίησης. Η μέγιστη τιμή της εγκάρσιας μετατόπισης με τις αρχικές τιμές των παραμέτρων είναι περίπου 7,5 mm. 47

Σχήμα 6.3: Συνοριακές συνθήκες Σχήμα 6.4: Φόρτιση με εσωτερική πίεση Σχήμα 6.5: Διακριτοποίηση και κατανομή μετατοπίσεων 48

Μελέτη βελτιστοποίησης Ορίζουμε μια ανάλυση Optimization με στόχο την ελαχιστοποίηση της μάζας και με περιορισμό η μέγιστη μετατόπιση να μην ξεπερνάει μια επιτρεπόμενη τιμή. Για να μελετήσουμε την συμπεριφορά του μοντέλου, θεωρούμε δύο διαφορετικές τιμές για την επιτρεπόμενη μετατόπιση: 7,5 και 10 mm. Οι αρχικές προσπάθειες βελτιστοποίησης με όλες τις σχεδιαστικές παραμέτρους απέτυχαν καθώς ο χρόνος υπολογισμού ξεπέρασε τις 2 ώρες και έτσι η ανάλυση διακόπηκε. Αποφασίστηκε να γίνει μια πιο απλή βελτιστοποίηση χρησιμοποιώντας ως μεταβλητές μόνο τα πάχη των νεύρων (Τ1 και Τ2). Τα αποτελέσματα της ανάλυσης βελτιστοποίησης για τις δύο τιμές της μέγιστης επιτρεπόμενης μετατόπισης παρουσιάζονται στο Σχήμα 6.6 και συνοψίζονται στον Πίνακα 6.2. Ο χρόνος υπολογισμού είναι 294 sec και 689 sec και ο αντίστοιχος χρόνος χρήσης της CPU κυμαίνεται από 38 έως 95 sec. Παρατηρούμε σημαντικές αλλαγές στις προβλεπόμενες τιμές των σχεδιαστικών παραμέτρων ανάλογα με την επιτρεπόμενη μετατόπιση. Αλλαγή της πυκνότητας διακριτοποίησης Για να εξετάσουμε την επίδραση της πυκνότητας της διακριτοποίησης τόσο στα αποτελέσματα όσο και στο χρόνο υπολογισμού, επιλέχθηκε να εξεταστεί και μια πυκνότερη διακριτοποίηση, όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 6.7. Τα αποτελέσματα των μελετών βελτιστοποίησης παρουσιάζονται στο Σχήμα 6.8 και τα συγκεντρωτικά αποτελέσματα φαίνονται στον Πίνακα 6.3. Ο χρόνος υπολογισμού κυμαίνεται από 1545 έως 3670 sec και ο αντίστοιχος χρόνος χρήσης της CPU κυμαίνεται από 978 έως 1899 sec. Πίνακας 6.2: Συγκεντρωτικά αποτελέσματα βελτιστοποίησης στο Pro/Mechanica (πρώτη διακριτοποίηση) 7,5 mm 10 mm MAX_DISPL 7,5 10 T1 1,97 1,21 T2 1,99 1,25 TOTAL_MASS 1,1*10^-2 1,04*10^-2 49

Σχήμα 6.6: Αποτελέσματα βελτιστοποίησης (Pro/Mechanica πρώτη διακριτοποίηση) Σχήμα 6.7: Δεύτερη διακριτοποίηση 50

Σχήμα 6.8: Αποτελέσματα βελτιστοποίησης (Pro/Mechanica δεύτερη διακριτοποίηση) Πίνακας 6.3: Συγκεντρωτικά αποτελέσματα βελτιστοποίησης στο Pro/Mechanica (δεύτερη διακριτοποίηση) 7,5 mm 10 mm MAX_DISPL 7,5 10 T1 1,98 1,19 T2 1,99 1,30 TOTAL_MASS 1,1*10^-2 1,04*10^-2 51

6.2 Επίλυση με το ANSYS Το πρόβλημα του Σχήματος 6.1 επιλύεται και με το πρόγραμμα ANSYS χρησιμοποιώντας τις τιμές των παραμέτρων του Πίνακα 6.1. Μια τυπική διακριτοποίηση παρουσιάζεται στο Σχήμα 6.9. Ο κώδικας που αναπτύχθηκε καθώς και μια τυπική κατανομή τάσεων φαίνονται στα Σχήματα 6.10 και 6.11. Σχήμα 6.9: Μοντελοποίηση στο ANSYS και τυπική διακριτοποίηση (α) (β) Σχήμα 6.10: Κώδικας στο ANSYS: (α) απλής ανάλυσης, και (β) βελτιστοποίησης 52

Σχήμα 6.11: Τυπική κατανομή μετατοπίσεων Μελέτη βελτιστοποίησης Η μελέτη βελτιστοποίησης στο ANSYS έγινε για όλες τις παραμέτρους. Με στόχο να συγκρίνουμε με τα αποτελέσματα του Pro/Mechanica, έγινε και μια μελέτη βελτιστοποίησης για μόνο τις δύο μεταβλητές του πάχους. Τα αντίστοιχα αποτελέσματα παρουσιάζονται συγκεντρωτικά στους Πίνακες 6.4 και 6.5, ενώ τα βήματα που ακολουθήθηκαν για την βελτιστοποίηση φαίνονται στα Σχήματα 6.12-6.15. Πίνακας 6.4: Συγκεντρωτικά αποτελέσματα βελτιστοποίησης στο ANSYS (6 παράμετροι) 7,5 mm 10 mm MAX_DISPL 7,5 10 T1 1,98 1,51 H1 70 47,47 W1 20 22,22 T2 1,97 1,00 H2 20,04 38,1 W2 15,16 19,3 Πίνακας 6.5: Συγκεντρωτικά αποτελέσματα βελτιστοποίησης στο ANSYS (2 παράμετροι) 7,5 mm 10 mm MAX_DISPL 7,5 9,98 T1 1,92 1,19 T2 2,05 1,22 53

6.3 Σύγκριση μεταξύ των δύο προγραμμάτων Τα αποτελέσματα για τις δύο παραμέτρους είναι περίπου ίδια και από τα δύο προγράμματα. Το πιο σημαντικό αποτέλεσμα της παραπάνω ανάλυσης είναι η αδυναμία του Pro/Mechanica να χειριστεί πολλές παραμέτρους μια και ο χρόνος που απαιτείται είναι υπερβολικός. Σχήμα 6.12: Αποτελέσματα βελτιστοποίησης (ANSYS 6 παράμετροι, 7,5 mm) Σχήμα 6.13: Αποτελέσματα βελτιστοποίησης (ANSYS 6 παράμετροι, 10 mm) 54

Σχήμα 6.14: Αποτελέσματα βελτιστοποίησης (ANSYS 2 παράμετροι, 7,5 mm) Σχήμα 6.15: Αποτελέσματα βελτιστοποίησης (ANSYS 2 παράμετροι, 10 mm) 55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΕΛΑΣΜΑ ΜΕ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΡΩΓΜΗ ΚΑΙ ΕΠΙΘΕΜΑ Το τελευταίο παράδειγμα που εξετάστηκε είναι αυτό ενός ελάσματος που περιέχει κεντρικά μια διαμπερή ρωγμή, το οποίο επισκευάζεται με ένα επίθεμα (μπάλωμα) από το ίδιο υλικό και από τις δύο πλευρές του. Λόγω των δύο επικαλυπτόμενων ελασμάτων, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί μόνο με τρισδιάστατη ανάλυση. 7.1 Επίλυση με το Pro/Mechanica Κατά την μοντελοποίηση στο Pro/Engineer και επειδή θα πρέπει να μπορούμε να καθορίσουμε την ελεύθερη επιφάνεια της ρωγμής, είναι αναγκαίο να δημιουργήσουμε δύο στερεά για το έλασμα και ένα για το μπάλωμα. Λόγω συμμετρίας μοντελοποιούμε μόνο το 1/8 της γεωμετρίας (1/4 στο επίπεδο και μισό πάχος). Τα τρία στερεά που δημιουργήθηκαν παρουσιάζονται στο Σχήμα 7.1. Το μισό μήκος της ρωγμής είναι 20 mm, το μισό πλάτος του ελάσματος που περιέχει τη ρωγμή είναι 60 mm, ενώ οι αρχικές διαστάσεις του μπαλώματος είναι 40Χ40Χ2 mm. Το συνολικό μοντέλο φαίνεται στο Σχήμα 7.2. Κατά την ανάλυση στο Pro/Mechanica ορίζουμε το υλικό όλα τα στερεά το αλουμίνιο και στις επιφάνειες αριστερά και κάτω ορίζουμε συνθήκες συμμετρίας, εκτός από την επιφάνεια που καθορίζει τη ρωγμή. Τις ίδιες συνθήκες συμμετρίας ορίζουμε και για την πίσω πλευρά του ρηγματωμένου ελάσματος. Η φόρτιση που θεωρούμε είναι μια εφελκυστική τάση 100 MPa. Οι συνοριακές συνθήκες και η φόρτιση παρουσιάζονται στα Σχήματα 7.3 και 7.4. Το Σχήμα 7.5 δείχνει και τυπική τρισδιάστατη διακριτοποίηση και μια τυπική κατανομή τάσεων. Μελέτη βελτιστοποίησης Ορίζουμε μια ανάλυση Optimization με στόχο την ελαχιστοποίηση της μάζας και με περιορισμό η μέγιστη μετατόπιση να μην ξεπερνάει μια επιτρεπόμενη τιμή (0,155 mm). Ως παράμετροι ορίστηκαν οι διαστάσεις του μπαλώματος, όπως φαίνονται στον Πίνακα 7.1. Τα αποτελέσματα των μελετών βελτιστοποίησης παρουσιάζονται στο Σχήμα 7.6 και τα συγκεντρωτικά αποτελέσματα φαίνονται στον Πίνακα 6.2. Ο χρόνος υπολογισμού είναι 1653 sec και ο αντίστοιχος χρόνος χρήσης της CPU 369 sec. 56