ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5, : 1,5, : 37,5. Επομένως, παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του ισούται με το άθροι-σμα των εμβαδών και, κάτι που γίνεται φανερό αν «ενώσουμε» κατάλληλα τα σχήματα και.. Με τη βοήθεια του σχήματος μετατροπής μονάδων εμβαδού, να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα. m x100 :100 dm x100 :100 cm x100 :100 mm m dm cm mm 53 30 71 1653 Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 1

Μήκος ορθογωνίου Πλάτος ορθογωνίου Περίμετρ ος ορθογωνίου Εμβαδόν ορθογωνίου Σύμφωνα με το πιο πάνω σχήμα, για να μετατρέψουμε ένα εμβαδόν στην αμέσως μικρότερη μονάδα, πολλαπλασιάζουμε με το 100, ενώ για να το μετατρέψουμε στην αμέσως μεγαλύτερη μονάδα, διαιρούμε με το 100. Επομένως: m dm cm mm 53 5300 530000 53000000 3,0 30 3000 300000 0,71 71, 71 7100 0,01653 1,653 16,53 1653 3. Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τα παρακάτω εμβαδά: α) 3,7 dm, 7 cm, 4,3 cm, 3,7 m. β) 40 cm, 4 mm, 40 dm, 3 m. γ) 1453 mm, 14,5 cm, 1,4 dm, 0,14 m. α) Μετατρέπουμε τα τέσσερα εμβαδά στην ίδια μονάδα μέτρησης: 3,7 dm = 370 cm, 3,7 m = 37000 cm, οπότε: 4,3 cm < 7 cm < 3,7 dm = 370 cm < 3,7 m = 37000 cm. β) 4 mm < 40 cm = 4000 mm < 40 dm = 400000 mm < 3 m = 3000000 mm γ) φού 14,5 cm = 1450 mm, 1,4 dm = 14000 mm και 0,14 m = 140000 mm, έχουμε ότι: 14,5 cm < 1453 mm < 1,4 dm < 0,14 m. 4. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: 1 m 10 m 17 m 44 m 9 m 45 m 33 m 330 m Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ

Μήκος ορθογωνίου Πλάτος ορθογωνίου Περίμετρος ορθογωνίου Εμβαδόν ορθογωνίου Με τη βοήθεια της σχέσης: εμβαδόν ορθογωνίου = μήκος πλάτος, συμπληρώνουμε τον πίνακα: 1 m 10 m 44 m 10 m 17 m 5 m 44 m 85 m 5 m 9 m 8 m 45 m 33 m 10 m 86 m 330 m 5. Η αίθουσα Φυσικής στο σχολείο της Άννας αποφασίστηκε να στρωθεί με τετράγωνα πλακάκια που το καθένα έχει πλευρά 5 cm. α) Να βρείτε πόσα πλακάκια θα χρειαστούν, αν το δάπεδο της τάξης έχει διαστάσεις 1 m μήκος και 8 m πλάτος. β) ν κάθε πλακάκι κοστίζει 0,5, πόσα χρήματα θα χρειαστούν για να στρωθεί η τάξη; α) Το εμβαδόν του δαπέδου είναι: Ε Π = 1 8 = 96 (m ) και το εμβαδόν σε κάθε πλακάκι είναι: Ε ΠΛΚ = 5 5 = 65 (cm ) = = 0,065 (m ). ιαιρώντας τα δύο αυτά εμβαδά βρίσκουμε πόσα πλακάκια χρειάζονται για να στρωθεί η τάξη: Ε Π 96. Ε ΠΛΚ = = 1536. 0,065 β) φού χρειάζονται 1536 πλακάκια και το κάθε πλακάκι κοστίζει 0,5, το συνολικό κόστος θα είναι: 1536 0,5 = 768. 6. Στο σχολείο της Κάτιας το μαθητικό συμβούλιο εκδίδει μια εφημερίδα που κάθε φύλλο της έχει διαστάσεις 4 cm μήκος και 30 cm πλάτος. Να υπολογίσετε τη συνολική επιφάνεια του χαρτιού που θα χρησιμοποιηθεί, για να τυπωθούν 800 αντίτυπα της εφημερίδας, αν κάθε αντίτυπο έχει 8 φύλλα. Το εμβαδόν κάθε φύλλου είναι 30 4 = 160 (cm ). φού κάθε αντίτυπο έχει 8 φύλλα, χρειάζονται 8 160 = 10080 (cm ) χαρτί για κάθε αντίτυπο. Επομένως, για να τυπωθούν 800 αντίτυπα, θα χρειαστούν: 800 10080 = 8064000 (cm ) = 806,4 (m ) χαρτί. Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 3

7. Στο τρίγωνο του σχήματος φέρνουμε τη διάμεσο Μ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα Μ και Μ έχουν το ίδιο Εμβαδόν. Η Μ Φέρνουμε το ύψος Η. Τότε το τρίγωνο Μ έχει εμβαδόν: (Μ) = Μ Η.. Το τρίγωνο Μ έχει εμβαδόν: (Μ) = Η.. Όμως, Μ = Μ, επειδή το Μ είναι το μέσο της (η Μ είναι διάμεσος). Άρα: (Μ) = (Μ). 8. Ένα οικόπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, πωλείται προς 300 το m. Ποια είναι η αξία του οικοπέδου; ρίσκουμε πρώτα το εμβαδόν του οικοπέδου. υτό αποτελείται από το ορθογώνιο και το τραπέζιο ΕΖ. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι: () = 18 15 = 70 (m 15 m ). Το εμβαδόν του τραπεζίου είναι: 18 m Ζ 8 m (ΕΖ) = (15 + 8) 10. = 115 (m ). Άρα, το εμβαδόν του οικοπέδου είναι 70 + 115 = 385 (m ). ια να βρούμε την αξία πώλησης του οικοπέδου, πολλαπλασιάζουμε το εμβαδόν του με την τιμή πώλησης του τετραγωνικού μέτρου. Άρα, η αξία του οικοπέδου είναι: 385 300 = 115.500. 8 m Ε Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 4

5x + 10 9. Στο παρακάτω σχήμα: α) Να εκφράσετε το εμβαδόν του τρα-πεζίου ως συνάρτηση του x. β) ν το εμβαδόν του τραπεζίου είναι το τριπλάσιο από το εμβαδόν του ορθογωνίου ΕΖ, να υπολογίσετε το x. α) Στο τραπέζιο, η μικρή βάση είναι = x + 3 (cm), η μεγάλη βάση είναι = x + 1 + 3 = x + 4 (cm) και το ύψος του είναι = 6 (cm). 6 cm Άρα, το εμβαδόν του είναι: () = (β + ) υ. = = (x + 3 + x + 4) 6. = 3(x + 7) (cm ). β) Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι (ΕΖ) = 3 6 = 18 (cm ). φού το εμβαδόν του τραπεζίου είναι τριπλάσιο από το εμβαδόν του ορθογωνίου, έχουμε: () = 3 (ΕΖ) ή 3(x + 7) = = 3 18 ηλαδή: x + 7 = 18 ή x = 11 ή x = 5,5 (cm). A 3 cm x Ζ E x + 1 10. Να επαληθεύσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο του διπλανού σχήματος. Ε 5 1 13 Ζ Στο τρίγωνο ΕΖ οι κάθετες πλευρές έχουν μήκη 5 και 1, οπότε το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών είναι 5 + 1 = 5 + 144 = 169. Επιπλέον, η υποτείνουσα έχει μήκος 13 και το τετράγωνό της ισούται με: 13 = 169. Επομένως, ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, αφού: 5 + 1 = 13. 11. Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο έχει περίμετρο 150 m. α) Να βρείτε τον αριθμό x. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 3x 5 α) Η περίμετρος του τριγώνου είναι: + + = 5x + 10 + 6x + 5 + 3x 5 = 14x + 10. Σύμφωνα με την εκφώνηση είναι: 14x + 10 = 150 ή 14x = 150 10 ή 14x = 140 ή χ= 140 ή x = 10. 14 Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 5

β) ια x = 10 τα μήκη των πλευρών (σε μέτρα) είναι: = 5 10 + 10 = 60, = 3 10 5 = 5, = 6 10 + 5 = 65. Επομένως: + = 60 + 5 = = 3600 + 65 = 45. Επίσης: = 65 = 45. Επομένως: + = και σύμφωνα με το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 1. Ένα ράφι είναι στερεωμένο σε ένα Κατακόρυφο τοίχο με ένα μεταλλικό Στήριγμα μήκους = 3,6 cm. ν = 7,7 cm και = 17, cm, να εξετάσετε αν το ράφι είναι οριζόντιο. Το ράφι θα είναι οριζόντιο, μόνο αν είναι κάθετο στον τοίχο, δηλαδή αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο. Είναι: + = 7,7 + 17, = = 767,9 + 95,84 = 1063,13. Επίσης: = 3,6 = 106,76. Επομένως: +, οπότε το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο. 13. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τετράγωνο πλευράς 1 cm. Το σημείο Μ είναι το μέσο της πλευράς και Ρ = 3 cm. α) Να υπολογίσετε τα Μ, ΜΡ και Ρ. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΡ είναι ορθογώνιο στο Μ. α) φού το Μ είναι μέσο του, είναι Μ = Μ = 6 (cm). Επίσης: Ρ = 1 3 = 9 (cm). πό το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο Μ έχουμε: Μ = + Μ = 1 + 6 = 144 + 36 = 180. Ομοίως, στο ορθογώνιο τρίγωνο ΜΡ έχουμε: ΜΡ = Μ + Ρ = 6 + 3 = 36 + 9 = 45, και στο ορθογώνιο τρίγωνο Ρ έχουμε: Ρ = + Ρ = 1 + 9 = 144 + 81 = 5. β) Είναι Μ + ΜΡ = 180 + 45 = 5 = Ρ, οπότε σύμφωνα με το αντίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος, το τρίγωνο ΜΡ είναι ορθογώνιο στο Μ. 1 Μ Ρ 3 Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 6

14. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα = 13 cm. ν η μία κάθετη πλευρά έχει μήκος = 5 cm, να υπολογίσετε τις εφαπτομένες των γωνιών και. νωρίζουμε ότι:. απέναντι κάθετη πλευρά. προσκείμενη κάθετη πλευρά εφ= = και εφ=. απέναντι κάθετη πλευρά. A. = προσκείμενη κάθετη πλευρά Επομένως, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το μήκος της κάθετης πλευράς. πό το Πυθαγόρειο θεώρημα γνωρίζουμε ότι + = και αντικαθιστώντας με = 5 cm και = 13 cm, έχουμε: 5 + = 13 ή 5 + = 169 ή = 169-5 = 144 Επομένως, = 144 = 1 (cm). A. B Άρα: εφ = 1 = 5 και 5 εφ = = 1. 15. Nα σχεδιάσετε μια γωνία ω, με εφω =1/5 Σύμφωνα με τον ορισμό της εφαπτομένης οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, ισχύει: εφω =. απέναντι κάθετη πλευρά. προσκείμενη κάθετη πλευρά Επομένως, για να σχεδιάσουμε μια οξεία γωνία ω με εφω =, αρκεί να 1. κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που η μία κάθετη πλευρά 5 του θα είναι ίση με 1 και η άλλη κάθετη πλευρά ίση με 5. 1ο βήμα ο βήμα 3ο βήμα Κατασκευή ορθής γωνίας Μέτρηση πλευρών Κατασκευή τριγώνου B 1 B ω 5 ια τη γωνία ω ισχύει: εφω = / = 1/5. Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 7

15 cm 16. Να υπολογίσετε το ύφος του κυπαρισσιού του παρακάτω σχήματος χρησιμοποιώντας το μήκος της σκιάς του και τη γωνία ω. Στο ορθογώνιο τρίγωνο γνωρίζουμε ότι = 9 m και = ω = 5 ο. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πλευρά. Ο τριγωνομετρικός αριθμός που συνδέει την απέναντι με την προσκείμενη πλευρά μιας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η εφαπτομένη της γωνίας. Έχουμε λοιπόν: εφ = / οπότε: = εφ άρα = 9 εφ5 ο Με τη βοήθεια του πίνακα εφαπτομένων βρίσκουμε ότι εφ5 ο = 0,47. Άρα, = 9 0,47 = 4,3, δηλαδή το ύψος του κυπαρισσιού είναι 4,3 m. 9 m ω = 5 ο 17. Ένας τουρίστας ύψους = 1,80 m «βλέπει» τον πύργο με γωνία 3 ο και απέχει από αυτόν 45 m. Να υπολογίσετε το ύψος Ε του πύργου. Στο ορθογώνιο τρίγωνο E γνωρίζουμε το μήκος της κάθετης πλευράς = 45 m και μια οξεία γωνία 3 o. Επομένως, για να υπολογίσουμε την άλλη κάθετη πλευρά Ε, χρησιμοποιούμε την εφαπτομένη της γωνίας των 3. Είναι: εφ3 o =Ε/=Ε/45 1,80 m πό τον πίνακα εφαπτομένων βρίσκουμε: εφ3 o = 0,6, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται: 0,6 = Ε/45 οπότε έχουμε: Ε = 45 0,6 = 7,9 (m). Επομένως, το συνολικό ύψος του πύργου είναι: Ε = + Ε = 1,8 + 7,9 = 9,7(m). 3 o 45 m Ε 18. Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές = 15 cm και = 0 cm. Να υπολογίσετε τα ημίτονα και τα συνημίτονα των γωνιών και. Τι παρατηρείτε; ια τον υπολογισμό του ημιτόνου ή του συνημιτόνου μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, πρέπει να γνωρίζουμε και το μήκος της υποτείνουσας. πό το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε: = + = 15 + 0 = 5 + 400 = 65 οπότε 0 cm = 65 = 5 cm. Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 8

έ.. ά 0 4 Άρα: B 0. 8 ί 5 5 ί.. ά 15 3 0.6 ί 5 5 έ.. ά 15 3 0.6 ί 5 5 ί.. ά 0 4 0.8 ί 5 5 Άρα παρατηρώ ότι ημ=συν και συν=ημ 19. Nα σχεδιάσετε μια οξεία γωνία ω, με ημω =3/5 Σύμφωνα με τον ορισμό του ημιτόνου οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, ισχύει: έ.. ά ί Επομένως, για να κατασκευάσουμε οξεία γωνία ω με ημω = 3/5, αρκεί να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο η μία κάθετη πλευρά του θα είναι ίση με 3 και η υποτείνουσά του ίση με 5. 1ο βήμα Κατασκευή ορθής γωνίας ο βήμα Μέτρηση πλευρών ρ = 3 cm B ρ = 5 cm 3ο βήμα Κατασκευή τριγώνου ια τη γωνία ω ισχύει: B ημω = / = 3/5. 3 5 ω Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 9

0. Στο παρακάτω σχήμα είναι Ο = 5 cm, OB = 8 cm και = cm. Να υπολογίσετε την απόσταση. Παρατηρούμε ότι στο σχήμα υπάρχουν δύο ορθογώνια τρίγωνα, τα Ο και Ο με κοινή γωνία θ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο έχουμε: ημθ =. θ Ο Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο έχουμε: ημθ =. ρα, θα ισχύει ότι: = οπότε: Ο = OB ή 5 = 8 ή 5β =16/5 άρα = 3, cm. 1. Το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζει μια πίστα του σκι με το οριζόντιο επίπεδο είναι ημ = 0,31. ν ένας σκιέρ βρίσκεται σε σημείο ύψους = 155 m από το έδαφος, να βρεθεί η απόσταση που θα διανύσει ο σκιέρ ώσπου να φτάσει στο έδαφος. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ( =90 ο ) πρέπει να βρούμε την πλευρά (υποτείνουσα) γνωρίζοντας ότι: = 155 m και 155 m ημ = 0,31. Έχουμε ότι: ημ = ή = 155 0.31 ή = ή = 500 m. B. Ένας παρατηρητής, που βρίσκεται 100 m από την ακτή και 150 m από ένα δέντρο, θέλει να υπολογίσει την απόσταση του πλοίου από την ακτή. Μ ένα γωνιόμετρο (ένα όργανο που μας επιτρέπει να μετράμε γωνίες) σκοπεύει το πλοίο και το δέντρο και βρίσκει τη γωνία =70 ο. ν = 90 ο, να υπολογίσετε την απόσταση. Έστω x = η απόσταση του πλοίου από την ακτή. Στο ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιούμε το συνημίτονο της γωνίας των 70 ο. Είναι: συν70 ο ί.. ά = ί Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 10 150 m B 100 m

150 70 0 Μ έναν επιστημονικό υπολογιστή τσέπης βρίσκουμε: συν70 ο = 0,34, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται 150 0,34 = και έχουμε: 0.34=150 ή ( 100 + x ) 0,34 = 150 ή 34 + 0,34 x = 150 ή 0,34 x = 150 34 ή x = 341,18 (m). 3. Να αποδείξετε ότι ισχύει η ισότητα: ημ 45 ο = 1 - ημ30 ο. νωρίζουμε ότι ημ45 ο = οπότε ημ 45 ο = ( ) 1 Επίσης γνωρίζουμε ότι: ημ30 ο 1 = 4 οπότε 1 ημ30 ο 1 1 = 1 - =. Επομένως ημ 45 ο = 1 - ημ30 ο 1 =. 4. Να αποδείξετε ότι το ύψος και το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου a 3 a 3 πλευράς α, δίνονται από τους τύπους: υ = και Ε = 4 Φέρνουμε το ύψος Μ του ισόπλευρου τριγώνου, οπότε: ημ = ημ60 ο = / 30 ο 30 ο 3 3 ή / α α 3 ή 4 Το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου είναι: 1 1 3 () = α υ =.. 4 60 ο 60 ο Μ α () = 4 3 Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 11

M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com 5. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: = ημ30 ο + συν60 ο + συν30 ο εφ45 ο + ημ45 ο. Έχουμε: = ημ30 ο + συν60 ο + συν30 ο - εφ45 ο + ημ45 ο = Math Composer 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com = 1 + 1 + 3-1 + = 1 + 3 - + = 3 + - 1 6. Σε ένα κύκλο (Ο, ρ) θεωρούμε τρία σημεία,,, έτσι ώστε = 10 ο και = 100 ο. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. 10 ο Ο 100 ο φού = 100 ο, τότε η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία Ο θα είναι και αυτή ίση με 100 ο. Επομένως, η γωνία που είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο ίδιο τόξο με την επίκεντρη Ο θα είναι: = Ο/ = 50 ο. Ομοίως προκύπτει ότι: = 10 0 / = 60 ο. Επειδή το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι 180 ο, θα ισχύει ότι: = 180 ο - 50 ο - 60 ο = 70 ο. 7. Στο παρακάτω σχήμα η είναι διάμετρος του κύκλου. Να υπολογίσετε τα διαδοχικά τόξα,,,. Τα διαδοχικά τόξα και σχηματίζουν ημικύκλιο, οπότε: 5x + 10 o + x + 50 o =180 o ή 6x = 10 o, επομένως x = 0 o. Ομοίως τα διαδοχικά τόξα και σχηματίζουν ημικύκλιο, οπότε: 3y - 0 o + 7y = 180 o, επομένως 10y = 00 o ή y = 0 o 5x + 10 o. Έχουμε ότι: = 3y - 0 o = 3 0 0-0 0 = 60 o - 0 o = 40 o, 3y - 0 o = 5 0 o + 10 o = 110 o, = 0 ο + 50 ο = 70 ο, = 7 0 ο = 140 ο. O 7y x + 50 o Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 1

8. Στο παρακάτω σχήμα η είναι διάμετρος του κύκλου και οι Ο, ΟΕ είναι διχοτόμοι των γωνιών Ο, Ο αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το τόξο Ε. φού οι Ο, ΟΕ είναι διχοτόμοι των γωνιών Ο και Ο αντίστοιχα, θεωρούμε ότι Ο = Ο = φ και ΟΕ = ΕΟ = ω. Όμως, ΟΕ = Ο + ΕΟ = φ + ω. Έχουμε Ο + Ο = 180 ο, δηλαδή φ + ω = 180 ο, οπότε φ + ω = 90 ο. Άρα ΟΕ = 90 ο και το αντίστοιχο τόξο Ε είναι ίσο με 90 ο Ε ω ω Ο φ φ 9. α) Να βρείτε τη γωνία του κανονικού δεκαγώνου. β) Να βρείτε ποιο κανονικό πολύγωνο έχει γωνία 16 ο. α) ν ονομάσουμε φ τη γωνία του κανονικού δεκαγώνου και ω την κεντρική του γωνία, έχουμε: φ = 180 ο - ω = 180 ο - 360/10 = 180 ο - 36 ο = 144 ο. β) ισχύει ότι: φ = 180 ο - ω ή 16 ο = 180 ο 360/ν ή 360/ν = 180 ο - 16 ο ή 360/ν = 18 ο ή ν = 360/18 ή ν = 0. ηλαδή το κανονικό εικοσάγωνο έχει γωνία φ = 16 ο. ω φ 30. Να κατασκευαστεί κανονικό πεντάγωνο. ράφουμε κύκλο (Ο, ρ) και σχηματίζουμε μια επίκεντρη γωνία Ο = 360/ν = 360 / 5 = 7 ο. Με το διαβήτη θεωρούμε διαδοχικά τόξα ίσα με το. Φέρνουμε τις χορδές των παραπάνω τόξων. Ε Ο 7 Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 13

31. ίνεται ένα κανονικό ν-γωνο. Να κατασκευάσετε το κανονικό πολύγωνο που έχει διπλάσιες πλευρές (ν-γωνο). ν ω είναι η κεντρική γωνία του πολυγώνου που έχει ν πλευρές, και θ η κεντρική γωνία του πολυγώνου με ν πλευρές, έχουμε ότι ω = 360/ν και θ = 360 / ν Επομένως, θ = ω/. ν φέρουμε τις διχοτόμους των κεντρικών γωνιών του ν-γώνου, οι γωνίες που θα σχηματιστούν θα είναι οι κεντρικές γωνίες του πολυγώνου με ν πλευρές. Οι διχοτόμοι, όπως γνωρίζουμε, διέρχονται από τα μέσα των τόξων. Τα μέσα αυτών των τόξων και οι κορυφές του αρχικού ν-γώνου αποτελούν τις κορυφές του κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές. θ Ο ω 3. Ένας κύκλος έχει μήκος L = 9,4 cm. Να βρείτε το μήκος της ακτίνας του. ια το μήκος του κύκλου ισχύει ότι: L = πρ ή ρ = L. = 9,4. = 1,5 cm. π 3,14 33. Ένας κύκλος έχει μήκος 10 cm περισσότερο από έναν άλλο. Πόσο μεγαλύτερη είναι η ακτίνα του; Θα ισχύει ότι: L 1 = L + 10 ή πρ 1 = πρ + 10. Επομένως: ρ 1 = ρ + 10/π ή ρ 1 = ρ + 10/6.8 ή ρ 1 = ρ + 1,59. ηλαδή, η ακτίνα του πρώτου κύκλου είναι μεγαλύτερη κατά 1,59 cm της ακτίνας του δεύτερου. 34. Να υπολογιστεί το μήκος του κύκλου στο παρακάτω σχήμα. Η εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με 30 ο, οπότε βρίσκουμε την αντίστοιχη επίκεντρη Ο = 30 ο = 60 ο. Επομένως το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο με Ο = Ο = = cm, οπότε ρ = cm. Άρα, το μήκος του κύκλου είναι: L = πρ = 3,14 = 1,56 cm. B 3 c O Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 14

M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com 35. ν το μήκος ενός κύκλου είναι 6,8 cm, να βρείτε το εμβαδόν του. Το μήκος του κύκλου δίνεται από τον τύπο L = πρ, δηλαδή 6,8 = 3,14 ρ, οπότε ρ = 1 (cm). Τότε, το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου είναι: Ε = πρ = 3,14 1 = 3,14 (cm ). 36. Στο διπλανό σχήμα η κίτρινη περιοχή που βρίσκεται ανάμεσα στους δύο κύκλους ονομάζεται κυκλικός δακτύλιος. ν το εμβαδόν του κίτρινου δακτυλίου είναι ίσο με το εμβαδόν του μπλε κυκλικού δίσκου, ο οποίος έχει ακτίνα ρ = cm, να βρείτε την ακτίνα R του μεγάλου κύκλου. ρ Ο R Το εμβαδόν Ε του δακτυλίου ισούται με τη διαφορά των εμβαδών Ε 1 = πr και E = πρ των δύο κυκλικών δίσκων. Επομένως, Ε = Ε 1 - Ε = πr - πρ. φού Ε = Ε, θα έχουμε: πr - πρ = πρ ή πr = πρ ή R = ρ ή R = ( ) = 4. Οπότε: R = cm. 37. Μια πιτσαρία προσφέρει πίτσες κυκλικού σχήματος σετρία μεγέθη: τη μικρή, τη μεσαία και τη μεγάλη. Η μικρή έχει διάμετρο 3 cm και κοστίζει 7. Η μεσαία έχει διάμετρο 8 cm και κοστίζει 8 και 50 λεπτά. Η μεγάλη έχει διάμετρο 33 cm και κοστίζει 11 και 90 λεπτά. Ποια από τις τρεις πίτσες συμφέρει από άποψη τιμής; ια να συγκρίνουμε τις 3 πίτσες, αρκεί να βρούμε το κόστος τού 1 cm για κάθε πίτσα. Η μικρή έχει εμβαδόν: Ε 1 = πρ 1 = π ( 3/ ) = 415,7 (cm ). Η μεσαία έχει εμβαδόν: Ε = πρ = π 14 = 615,44 (cm ). Η μεγάλη έχει εμβαδόν: Ε 3 = πρ 3 = π (33/) = 854,87 (cm ). Το κόστος του 1 cm για κάθε πίτσα είναι: Μικρή =1,69 (λεπτα/cm ) 700. 415,7 850. 615,44 1190. 854,87 Μεσαία =1,38 (λεπτα/cm ) Μεγάλη =1,39 (λεπτα/cm ) Επομένως, συμφέρει να αγοράσουμε τη μεσαία πίτσα. Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 15