Εισαγωγή στα Προσαρµοστικά Συστήµατα

Σχετικά έγγραφα
Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Οαλγόριθµος Least Mean Square (LMS)

Εφαρµογές Προσαρµοστικών Συστηµάτων: Καταστολή ηχούς, Ισοστάθµιση καναλιού και ανίχνευση συµβόλων

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Ο αναδροµικός αλγόριθµος ελάχιστων τετραγώνων (RLS Recursive Least Squares)

Προσαρµοστικοί αλγόριθµοι στο πεδίο της συχνότητας: ΟταχύςLMS (Fast Least Mean Square - FLMS)

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων

Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών. Συμπληρωματικό υλικό. Προσαρμοστική Ισοστάθμιση Καναλιού

Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής

Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Κινητά Δίκτυα Υπολογιστών

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Παραλλαγές του αλγόριθµου Least Mean Square (LMS)

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Χώρος Κατάστασης Μοντέλα Πεπερασµένων Διαφορών & Παραγώγων

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Διαφορική Παλµοκωδική Διαµόρφωση (DPCM)

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Στοχαστικές διεργασίες, Περιγραφή εργοδικών στοχαστικών διεργασιών

προβλήµατος Το φίλτρο Kalman διαφέρει από τα συνηθισµένα προβλήµατα ΜΕΤ σε δύο χαρακτηριστικά: παραµέτρων αγνώστων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2004., η οποία όµως µπορεί να γραφεί µε την παρακάτω µορφή: 1 e

Συστήµατα και Αλγόριθµοι Πολυµέσων

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας

Παρουσίαση Νο. 6 Αποκατάσταση εικόνας

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Επαναληπτικές Ασκήσεις για το µάθηµα Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων

20-Μαρ-2009 ΗΜΥ 429. Προηγμένες τεχνικές DSP

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στατιστική περιγραφή τουπεδίουβαρύτητας

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalman

Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµμάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 5 η : Αποκατάσταση Εικόνας

Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (Process Identifications)

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 5: Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

Γραµµικοί Ταξινοµητές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές. Προσαρµοστικά φίλτρα. ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής

Περιεχόµενα διαλέξεων 2ης εβδοµάδας

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι

ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΕΣ 08 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων. Βιβλιογραφία Ενότητας

27/4/2009. Για την υλοποίηση τέτοιων αλγορίθμων επεξεργασίας απαιτείται η χρήση μνήμης. T η περίοδος δειγματοληψίας. Επίκ. Καθηγητής.

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

ITU-T : H.261 (1990), H.262 (1996), H.263 (1995) MPEG-1, MPEG-2, MPEG-4. Αποθήκευση, Μετάδοση, Επικοινωνίες, ίκτυα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Κωδικοποίηση ήχου. Κωδικοποίηση καναλιού φωνής Κωδικοποίηση πηγής φωνής Αντιληπτική κωδικοποίηση Κωδικοποίηση ήχου MPEG

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Φίλτρα Kalman. Αναλυτικές μέθοδοι στη Γεωπληροφορική. ιατύπωση του βασικού προβλήματος. προβλήματος. μοντέλο. Πρωτεύων μοντέλο

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

Κεφάλαιο 3 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ. ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ και ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

E [ -x ^2 z] = E[x z]

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 18

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 4 o Φροντιστήριο

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 5

Κωδικοποίηση ήχου. Σύστημα ακοής MP3 / MP4 Κωδικοποίηση φωνής

Αναγνώριση Προτύπων Ι

«Επικοινωνίες δεδομένων»

ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς

Βέλτιστα γραµµικά χρονικά αναλλοίωτα συστήµατα Συστήµατα που ελαχιστοποιούν το µέσο-τετραγωνικό σφάλµα

Στα πλαίσια αυτής της άσκησης θα υλοποιηθούν στην αναπτυξιακή κάρτα TMS320C6711. Iσοστάθμιση τηλεπικοινωνιακού καναλιού.

Ανάλυση ΓΧΑ Συστημάτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

24-Μαρ-2009 ΗΜΥ Φίλτρα απόκρισης πεπερασμένου παλμού (FIR)

15/3/2009. Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου. χρόνου. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής

3 Διακριτοποίηση Συστημάτων Συνεχούς Χρόνου... 65

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1

10-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Παραθύρωση Ψηφιακά φίλτρα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Γενικά χαρακτηριστικά ανάδρασης

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Μετατροπείς A/D-Διαµόρφωση Δ Μετατροπείς Σ-Δ

Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Ορισµός του Προβλήµατος Ευθυγράµµιση : Εύρεση ενός γεωµετρικού µετασχηµατισµού που ϕέρνει κοντά δύο τρισδιάσ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

Εισαγωγή στα Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος

Συμπίεση Δεδομένων

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αρχές κωδικοποίησης. Τεχνολογία Πολυµέσων 08-1

Συστήµατα και Αλγόριθµοι Πολυµέσων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια)

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Κυκλική Συνέλιξη. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Θεώρημα δειγματοληψίας

Μοντέλο Επικοινωνίας Δεδομένων. Επικοινωνίες Δεδομένων Μάθημα 6 ο

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές. ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής

Εργαστήριο Επεξεργασίας Σηµάτων και Τηλεπικοινωνιών Κινητά ίκτυα Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό Ετος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ

Transcript:

ΒΕΣ 06 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Εισαγωγή στα Προσαρµοστικά Συστήµατα Νικόλας Τσαπατσούλης Επίκουρος Καθηγητής Π..407/80 Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto [00]: Κεφάλαιo 1 Widrow [1985]: Chapter 1 Haykin [001]: Chapter 1 Sayed [003]: Chapter 1 Boroujeny [1999]: Chapter 1 1

Εισαγωγή - Ορισµοί Φίλτρο ονοµάζουµε ένα σύστηµα απόυλικό(hardware) ήλογισµικό (software) το οποίο εφαρµόζεται σε ένα σύνολο από δεδοµένα στα οποία έχει επιδράσει θόρυβος (ανεπιθύµητη διαταραχή) µε στόχοτην εξαγωγή πληροφοριών που µας ενδιαφέρουν. Τα φίλτρα διακρίνονται σε Γραµµικά και Μη Γραµµικά Στα γραµµικά φίλτρα η έξοδος είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των δεδοµένων που εφαρµόζεται στην είσοδο (σήµα εισόδου). Για την εξαγωγή της πληροφορίας που µας ενδιαφέρει (χρήσιµο σήµα) από ένα θορυβώδες σήµα συνήθως γίνεται η υπόθεση ότι είναι γνωστά κάποια βασικά στατιστικά χαρακτηριστικά του χρήσιµου σήµατος όπως η µέση τιµή και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Ηβέλτιστηλύσηστοπαραπάνωπρόβληµα επιτυγχάνεταιµε τογραµµικό Φίλτρο Wiener Αν το χρήσιµο σήµα ή οι διαταραχές είναι χρονικά µεταβαλλόµενα η λύση του ανωτέρω προβλήµατος επιτυγχάνεται µε τοφίλτρο Kalman Εισαγωγή - Ορισµοί (II) Όταν τα στατιστικά χαρακτηριστικά του χρήσιµου σήµατος δεν είναι γνωστά η λύση του προβλήµατος του βέλτιστου φιλτραρίσµατος µπορεί να επιτευχθεί µε: Εκτίµηση των στατιστικών παραµέτρων του χρήσιµου σήµατος και µετά εφαρµογή του φίλτρου Wiener ήτουφίλτρουkalman Χρήση προσαρµοστικών φίλτρων Τα προσαρµοστικά φίλτρα είναι φίλτρα των οποίων οι παράµετροι είναι µεταβαλλόµενοι χρονικά ως συνάρτηση της τρέχουσας µορφής του σήµατος εισόδου Η επαναληπτική τροποποίηση των παραµέτρων ενός προσαρµοστικού φίλτρου επιτυγχάνεται µε διάφορεςµεθοδολογίες, όπως ο αλγόριθµος κατάβασης κατά τη µέγιστη κλήση (steepest descend) ή o αναδροµικός αλγόριθµος ελαχιστοποίησης του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος. Με την πάροδο του χρόνου η εφαρµογή ενός προσαρµοστικού φίλτρου θα πρέπει να συγκλίνει στη βέλτιστη λύση που επιτυγχάνεται µε τοφίλτρο Wiener.

Γραµµικά Φίλτρα Έστω ότι έχουµε έναψηφιακόσήµα. Ένα ψηφιακό φίλτρο πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης (FIR) περιγράφεται από τη σχέση εισόδου εξόδου: L 1 [ ] n 1) y( = w = k n k) wo w1. wl 1 k = 0. n L + 1) όπου y( είναι η έξοδος του φίλτρου, w k (k = 0,..,L-1) είναι οι παράµετροι και L είναι η τάξη του φίλτρου Στα προσαρµοστικά φίλτρα η ανωτέρω σχέση παραµένει η ίδια αλλά οι συντελεστές του φίλτρου µεταβάλλονται µε τοχρόνο(w k (): L 1 [ ] n 1) y( = w = k ( n k) wo ( w1 (. wl 1 ( k = 0. n L + 1) Μεθοδολογίες Ανάπτυξης Υπάρχουν δύο βασικές κατηγορίες αλγορίθµων για την ανάπτυξη προσαρµοστικών φίλτρων: Ελαχιστοποίηση µέσου τετραγωνικού σφάλµατος: Στόχος είναι η τροποποίηση των παραµέτρων του φίλτρου για την ελαχιστοποίηση της τρέχουσας τιµής του σφάλµατος e( = y(-d(, όπου y( είναι η έξοδος του προσαρµοστικού φίλτρου και d( είναι η επιθυµητή έξοδος Ελάχιστα τετράγωνα: Στόχος είναι η τροποποίηση των παραµέτρων του φίλτρου για την ελαχιστοποίηση της διαφοράς ανάµεσα στις Μ τελευταίες τιµές του τις πραγµατικής εξόδου από την επιθυµητή e( = M 1 k = 0 ( y( n k) d( n k) ) Για κάθε µια από τις ανωτέρω κατηγορίες υπάρχουν διάφορες υλοποιήσεις και παραλλαγές. 3

Παράγοντες Αξιολόγησης Προσαρµοστικών Αλγορίθµων Ρυθµός Σύγκλισης (Rate of Convergence): Αριθµός επαναλήψεων (ρυθµίσεων των παραµέτρων του φίλτρου) ώστε να έχουµε προσέγγιση της λύσης Wiener για στάσιµα (µη χρονικά µεταβαλλόµενα σήµατα). Απόκλιση από τη λύση Wiener (Misadjustment): ιαφορά της τελικής λύσης από τη βέλτιστη λύση Wiener. Παρακολούθηση εισόδου (Tracking): υνατότητα παρακολούθησης της µεταβολής των στατιστικών χαρακτηριστικών του σήµατος εισόδου (για χρονικά µεταβαλλόµενα σήµατα) Ευρωστία (Robustness): Αντοχή (µικρά σφάλµα εκτίµησης) σε πρόσκαιρες διαταραχές στο σήµα εισόδου που µπορεί να προέρχονται από θόρυβο. Υπολογιστική πολυπλοκότητα: Περιλαµβάνει τις απαιτήσεις µνήµης, χρόνο προγραµµατισµού, κοκ. Αριθµητικές ιδιότητες: Επίδραση του πεπερασµένου µήκους λέξης για την αναπαράσταση των συντελεστών αλλά και των δεδοµένων εισόδου Μη Γραµµικά Προσαρµοστικά Φίλτρα Οι περισσότεροι αλγόριθµοι για προσαρµοστικά συστήµατα υποθέτουν ότι τα χρησιµοποιούµενα φίλτρα είναι γραµµικά και FIR. Μια προσέγγιση για υλοποίηση µη γραµµικών προσαρµοστικών συστηµάτων φαίνεται στο επόµενο σχήµα και βασίζεται στην επέκταση µε σειρές Voterra: Για παράδειγµα γιατοσήµα εισόδου x = [x 0,x 1,x ] έχουµε u = [1, x, x, x, x, x x, x x, x, x x, ] 0 1 0 0 1 0 1 1 x 4

Εφαρµογές Η ικανότητα των προσαρµοστικών συστηµάτων να λειτουργούν ικανοποιητικά σε ένα άγνωστο (µη γνωστάταστατιστικά χαρακτηριστικά του σήµατος εισόδου) και µη στατικό περιβάλλον τα καθιστούν χρήσιµα σεµια ευρεία γκάµα εφαρµογών όπως: Αναγνώριση συστηµάτων (identificatio Αντίστροφη µοντελοποίηση συστηµάτων (inverse modeling) Γραµµική πρόβλεψη (linear predictio Απαλοιφή διαταραχών (interference canceling) Για τις παραπάνω κατηγορίες εφαρµογών υπάρχουν πολλές εξειδικεύσεις και χρήσεις όπως: Μοντελοποίηση επίγειων στρωµάτων για µελέτη σεισµικότητας Ισοστάθµιση τηλεπικοινωνιακών διαύλων Προσαρµοστικοί κβαντιστές και κωδικοποιητές Εξάλειψη ηχούς Αναγνώριση συστηµάτων Η βασική διάταξη αναγνώρισης συστηµάτων φαίνεται στο επόµενο σχήµα. Στη είσοδο εφαρµόζεται λευκός θόρυβος ώστε η απόκριση του άγνωστου συστήµατος και του προσαρµοστικού φίλτρου να συµπίπτει για µια ευρεία ζώνη συχνοτήτων. 5

Αντίστροφη µοντελοποίηση συστηµάτων Η βασική διάταξη αντίστροφης µοντελοποίησης συστηµάτων µε τη βοήθεια προσαρµοστικών φίλτρων φαίνεται στο επόµενο σχήµα. Επειδή κατά την επεξεργασία του σήµατος εισόδου από το άγνωστο σύστηµα αλλά και από το προσαρµοστικό φίλτρο δηµιουργείται µια καθυστέρηση στο σήµα εισόδου η σύγκριση της εξόδου του προσαρµοστικού φίλτρου γίνεται µε µια καθυστερηµένη εκδοχή του σήµατος εισόδου Γραµµική πρόβλεψη Η βασική διάταξη γραµµικής πρόβλεψης µε τηβοήθεια προσαρµοστικών φίλτρων φαίνεται στο επόµενο σχήµα. Στόχος είναι η πρόβλεψη των τιµών των δειγµάτων για σκοπούς βελτίωσης της συµπίεσης αλλά και για απαλοιφή ευρυζωνικού θορύβού που καλύπτει και τις συχνότητες του σήµατος ή αντίστροφα την απαλοιφή περιοδικού θορύβου. 6

Ενεργή αποµόνωση διαταραχών Η βασική διάταξη για ενεργή αποµόνωση θορύβου µε τηβοήθεια προσαρµοστικών φίλτρων φαίνεται στο επόµενο σχήµα. Στόχος είναι η µοντελοποίηση του συστήµατος δηµιουργίας θορύβου και η αφαίρεση του τµήµατος αυτού απο το σήµα εισόδου. Οθόρυβοςείναι ισχυρός και καλύπτει ένα µεγάλο εύρος συχνοτήτων (σχεδόν λευκός) επικαλύπτοντας και τις συχνότητες του πραγµατικού σήµατος. 7