5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της ανοικτής σφαίρας του ανοικτού και του κλειστού συνόλου στον, για να κατανοήσουµε καλύτερα τα όρια και θα χρειαστούµε τα όρια, για να ορίσουµε την συνέχεια την διαφορισιµότητα, καθώς και την ολοκληρωσιµότητα των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Έστω, x0 και ε > 0, η ανοικτή σφαίρα κέντρου x 0 και ακτίνας ε είναι το σύνολο Β ( x0, ε ) = { x : x x0 < ε}. Η κλειστή σφαίρα Β ( x0, ορίζεται ως το σύνολο ( x0, ε ) { x : x x0 ε} Επίσης συµβολίζεται και µε το σύµβολο,. =2 Β =. ε = O x0 x0-ε x0 χ0+ε Ο δίσκος Β ( x ε ) το ανοικτό διάστηµα ( x ε, x + 0, 0 0 Στην περίπτωση = 2 του Ευκλείδειου επιπέδου χρησιµοποιούµε και τους όρους ανοικτός και κλειστός δίσκος αντίστοιχα. 2. Ορισµός. Έστω U. Το U λέγεται ότι είναι ανοικτό υποσύνολο του, αν για κάθε x U υπάρχει ε > 0 ( εξαρτώµενο από το σηµείο x U ), ώστε ε U. Προφανώς ο ίδιος ο χώρος είναι ανοικτό σύνολο ( στον εαυτό του ). Συµβατικά θεωρούµε και το σύνολο ως ανοικτό. Το πρώτο µη τετριµµένο παράδειγµα ανοικτού συνόλου που θα δούµε είναι η ανοικτή σφαίρα στον. 2.2 Πρόταση: Κάθε ανοικτή σφαίρα στον είναι ανοικτό σύνολο. Απόδειξη: Το αποτέλεσµα αυτό είναι βέβαια γεωµετρικά προφανές αν = 2 ή = 3. Η γεωµετρική αυτή αίσθηση µας οδηγεί και στην αναλυτική απόδειξη της γενικής περίπτωσης. x Β x, ε x x < ε. Πρέπει να βρούµε ε χ0 y χ δ έστω ( 0 ) 0 δ 0 : ( x, ( x0, δ = ε x x 0 > 0. Έστω, (, > Β Β. Θέτουµε Από την τριγωνική ανισότητα έχουµε: y Β x y x < δ.
6 y x 0 = Εποµένως, y x0 ε O y x + x x 0 y x + x x0 < δ + x x0 = ε. < y Β ( x ε ) και άρα Β( x, Β ( x, 0, 0 Παραδείγµατα: ) Το άνω ανοικτό Ε = x, y 2 : y > 0 είναι ηµιεπίπεδο { } ανοικτό σύνολο. Η απόδειξη είναι απλή και γεωµετρικά προφανής και έτσι παραλείπεται: (( x0, y0), Β Ε όπου 0 < δ < y0 2) Αν ( x, ε 0 ) x ( x, ε 0 ) ( x, { x } Β είναι ανοικτή σφαίρα και Β, τότε το σύνολο Β είναι ανοικτό. Γενικότερα, 0 αν U ανοικτό και F U πεπερασµένο, τότε το U F είναι ανοικτό σύνολο. ( γιατί; ) 2.3 Ορισµός. Αν Α, ένα σηµείο x Α λέγεται εσωτερικό σηµείο του Α, δ > 0 : δ Α. Το σύνολο των εσωτερικών σηµείων ενός συνόλου Α αν υπάρχει ονοµάζεται το εσωτερικό του Α και συµβολίζεται µε it( Α ) ( ή 2.4 Πρόταση. Το εσωτερικό it( Α ) ενός συνόλου o Α ). Α είναι το µεγαλύτερο ανοικτό σύνολο, που περιέχεται στο Α. Ιδιαίτερα αν Α ανοικτό τότε Α=it(A). Απόδειξη: Υποθέτουµε βέβαια ότι it( Α) και αποδεικνύουµε πρώτα ότι it( Α ) είναι ανοικτό σύνολο. Αν x it( Α ), υπάρχει δ > 0 : Β( x, Α. Αν y Β ( x, τότε, επειδή η σφαίρα Β ( x, είναι ανοικτό σύνολο, υπάρχει ε > 0 : Β( y, Β( x, Α. Άρα, y it( Α ) και έτσι, Β( x, it( Α ), το οποίο σηµαίνει ότι it( Α ) είναι ένα ανοικτό σύνολο. Επίσης παρατηρούµε ότι, αν U είναι ανοικτό σύνολο µε U Α τότε U it( Α ), έπεται ότι it( Α ) είναι το µεγαλύτερο ανοικτό σύνολο που περιέχεται στο Α. Ο τελευταίος ισχυρισµός είναι προφανής. Παραδείγµατα. ) Το εσωτερικό του συνόλου Α = [ ) διάστηµα ( 0, ). 2)Το εσωτερικό it Β ( x, του κλειστού δίσκου ( x, δίσκος Β ( x, ( γεωµετρικά προφανές). 3)Ένα άπειρο υποσύνολο του Β του 0, είναι το ανοικτό 2 είναι ο ανοικτός µπορεί να έχει κενό εσωτερικό, πχ. it( Q ) = ( όπου Q = το σύνολο των ρητών στο ). Επίσης στον έχουν κενό εσωτερικό. τα σύνολα Q και Z
7 2.5 Πρόταση. (ι) Η ένωση οποιασδήποτε οικογένειας { V : i I} υποσυνόλων του είναι ανοικτό σύνολο. (ιι) Η τοµή µιας πεπερασµένης οικογένειας { },..., είναι ανοικτό σύνολο. Απόδειξη: (ι) Έστω, x V, τότε υπάρχει ανοικτό σύνολο, υπάρχει δ ( 0 ανοικτό σύνολο. (ιι) Έστω, x V, ( αν = i i ανοικτών V V, ανοικτών υποσυνόλων του i0 I : x Vi 0, επειδή το V i 0 είναι > : Vi Vi. Συνεπώς η ένωση Vi είναι V = τότε προφανώς ισχύει το συµπέρασµα). Για κάθε = =, 2,..., υπάρχει δ > 0 : Β( x, δ ) V. Αν δ = mi { δ,..., δ} τότε δ > 0 και ( x Β για κάθε, 2,...,, V ανοικτό σύνολο. =. Άρα Β( x, V και η τοµή = Ενδιαφέρουσα και χρήσιµη είναι και η έννοια του κλειστού συνόλου στον V, είναι = 2.6 Ορισµός. Ένα υποσύνολο F λέγεται κλειστό, αν το συµπλήρωµά του U = F είναι ανοικτό υποσύνολο του. Προφανώς ο και το κενό σύνολο είναι κλειστά υποσύνολα του. Σηµειώνουµε ότι υπάρχουν σύνολα που δεν είναι ανοικτά, αλλά ούτε και κλειστά στον 0, στο, δεν έχει καµιά από τις δύο αυτές. Για παράδειγµα το διάστηµα ( ] ιδιότητες. Πρέπει να είναι σαφές ότι τα πεπερασµένα υποσύνολα του κλειστά ( γιατί; ).. είναι 2.7. Πρόταση. Κάθε κλειστή σφαίρα ( x, ε ) x ε Β είναι κλειστό υποσύνολο του. Απόδειξη. Έστω, y ε x y > ε. Θέτουµε δ = x y ε > 0. Παρατηρούµε ότι ( y, ( x, ε ) ( y, Β Β. Πράγµατι, αν z Β, τότε z x x y z y x y z y > ε + δ δ = ε. z ε και το Εποµένως, σύνολο Β ( x, ε ) είναι ανοικτό. Συνεπώς η ( x ε ) 2.8. Ορισµός Έστω, δ z y Α και x. Β είναι κλειστό σύνολο. 0,
8 (ι) Το x λέγεται σηµείο επαφής του Α, αν Β( x, Α για κάθε δ > 0. Το σύνολο των σηµείων επαφής του Α λέγεται κλειστότητα του Α και συµβολίζεται µε Α. Προφανώς Α Α. δ Α x για (ιι) Το x λέγεται σηµείο συσσώρευσης (σ.σ.) του Α, αν { } κάθε δ > 0. Το σύνολο των σηµείων συσσώρευσης του Α συµβολίζεται µε Α και ονοµάζεται το παράγωγο σύνολο του Α. Παρατήρηση. Είναι εύκολο να ελέγξουµε ότι άσκηση). Α = Α Α'. (Αφήνετε ως Παραδείγµατα: ) Το είναι σηµείο επαφής του Α = { } [ 2,3] ( καθώς Α ) αλλά δεν είναι σηµείο συσσώρευσης του Α. 2) Κάθε σηµείο της κλειστής σφαίρας Β ( x, ε ) είναι σηµείο συσσώρευσης της ανοικτής σφαίρας Β ( x, ( αλλά και της κλειστής σφαίρας Β ( x, ε ) ).. Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση 3) Ένα σηµείο συσσώρευσης ενδέχεται να ανήκει στο Α ή να µην ανήκει στο Α, όπως το παράδειγµα (2) µας δείχνει ( αν y x = ε, τότε το y είναι σηµείο συσσώρευσης της Β ( x,, όµως y ( x, 4)Αν Β ). Α ανοικτό τότε Α Α ' = Α. ( γιατί; ) 2.9. Πρόταση. Έστω x Α και x. Τότε x είναι σ.σ. του Α, αν και µόνο x Α µε x xm αν υπάρχει ακολουθία Α { x} ( αντιστοίχως ακολουθία για m ) ώστε x x Απόδειξη: Είναι όµοια µε την περίπτωση που Α, ( ) = και έτσι παραλείπεται. (Σηµειώνουµε ακόµη ότι η απόδειξη αυτή είναι ανάλογη µε την απόδειξη του χαρακτηρισµού των κλειστών συνόλων παρακάτω.) Παρατήρηση: Αν το x είναι σηµείο συσσώρευσης του Α τότε κάθε ε, περιέχει άπειρα σηµεία του Α. Ιδιαίτερα το Α είναι άπειρο σύνολο. σφαίρα (Γιατί;) 2.0. Λήµµα. Έστω, (ι) ( Α ) = it (ιι) it Α = Α. Α τότε έχουµε: Α, εποµένως το Α είναι κλειστό υποσύνολο του Απόδειξη: (ι) Υπενθυµίζουµε ότι Α Α. Αν ( x, δηλαδή ( x, δ > 0 : Β, Α = it Α = Α.. x Α x Α, τότε υπάρχει Β Α, που σηµαίνει ότι x it Α. Άρα
9 Έπεται από την ισότητα αυτή ( εφόσον το εσωτερικό ενός συνόλου είναι ανοικτό ) ότι το Α είναι κλειστό σύνολο. (ιι) Εφαρµόζουµε την ισότητα που αποδείξαµε στο (ι) στο σύνολο Α και έχουµε αµέσως την ισότητα (ιι). 2. Πρόταση. Αν Α, τότε η κλειστότητα Α του Α είναι το µικρότερο κλειστό σύνολο που περιέχει το Α. Απόδειξη. Έπεται από το (ι) του προηγουµένου Λήµµατος και το γεγονός, που ήδη αποδείξαµε, ότι το εσωτερικό ενός συνόλου είναι το µεγαλύτερο ανοικτό σύνολο που περιέχεται σε αυτό. ( Αν F κλειστό και Α F, τότε το U = F είναι ανοικτό και U Α, άρα U it 2.2 Πρόταση. Έστω, (ι) Α είναι κλειστό (ιι) Α = Α (ιιι) Για κάθε ακολουθία ( x ) Α, ή F Α ή Α F ). Α, οι ακόλουθοι ισχυρισµοί είναι ισοδύναµοι: Α η οποία είναι συγκλίνουσα, έστω x x, έπεται ότι x Α Απόδειξη. (ι) (ιι) Επειδή γενικά ισχύει Α Α, το αποτέλεσµα έπεται αµέσως από την προηγουµένη πρόταση. (ιι) (ιιι) Έστω, ( x ) Α µε x N : x Β ( x,. Συνεπώς x ( x 0 0 ότι Β( x, Α. Άρα το x Α = Α. (ιιι) (ι) Έστω, ότι το κάθε 0 x, αν ε > 0 τότε υπάρχει Β Α. Ιδιαίτερα έπεται 0, Α δεν είναι ανοικτό, τότε υπάρχει x Α = Α,ώστε για ε Α ε Α για κάθε ε > 0. Θέτουµε ε > η σφαίρα ε = για N και προχωρώντας µε επαγωγή επιλέγουµε µία ακολουθία ( x ) Α µε x Α Β x, για κάθε. Έπεται ότι x x για κάθε. Αλλά τότε x Α, το οποίο αντιφάσκει µε την επιλογή του x. x x Από την συνολοθεωρία υπενθυµίζουµε τους κανόνες του De Morga: Έστω Χ σύνολο και { Αi : i I} οικογένεια υποσυνόλων του Χ, τότε ισχύουν τα ακόλουθα: του Α i = Αi και i Α = Α 2.3 Πρόταση. (ι) Η τοµή κάθε οικογένειας { F : i I} είναι κλειστό σύνολο. (ιι) Η ένωση µιας πεπερασµένης οικογένειας { },..., i i κλειστών υποσυνόλων F F κλειστών υποσυνόλων του είναι κλειστό σύνολο. Απόδειξη: Χρησιµοποιούµε τους κανόνες του De Morga και τις αντίστοιχες ιδιότητες των ανοικτών υποσυνόλων του, που περιγράψαµε προηγουµένως
20 ισότητα 2.4 Ορισµός. Έστω, Α = Α Α Α. Το σύνορο του Α στον ορίζεται από την Επειδή όπως αποδείξαµε, ισχύει ότι it( Α ) = Α, έπεται ότι it Α = Α Α. Τα σηµεία του Α ονοµάζονται και συνοριακά σηµεία του Α. Παρατηρούµε ότι το x ε Α και Β είναι συνοριακό σηµείο του Α ακριβώς τότε, αν ( x, Α για κάθε ε > 0. Παραδείγµατα. ) Το σύνορο του διαστήµατος Ι = [ 0,] είναι το σύνολο Ι = Ι Ι = Ι ( (,0] [, + )) = { 0,}. 2)Το σύνορο του άνω ηµιεπιπέδου Α = ( x, y) 2 : y > 0 είναι η ευθεία ( των πραγµατικών αριθµών ) 3) Αν ( x, { x,0 : x } του Β είναι ένας ανοικτός δίσκος στον κύκλος S( x, ε ) { y 2 : x y ε} { } 2. ( Γεωµετρικά προφανές ). = =. ( Γεωµετρικά προφανές). 2, τότε το σύνορό του είναι ο 4) Μπορεί µάλλον εύκολα να αποδειχθεί ότι το προηγούµενο παράδειγµα γενικεύεται σε κάθε ε είναι µια ανοικτή σφαίρα στον, τότε το. Αν σύνορό της είναι το σύνολο ( x, ε ) ( x, ε ) ( x, ε ) S( x, ε ) (, ε ) { : ε} S x = y x y = είναι η επιφάνειά της. Β = Β Β =, όπου ( Αποδεικνύουµε πρώτα ότι η κλειστότητα της ανοικτής σφαίρας ( x, την αντίστοιχη κλειστή σφαίρα Β ( x, ε ) του συνόρου. Η απόδειξη αυτή αφήνεται ως άσκηση). Β ισούται µε, οπότε το αποτέλεσµα έπεται από τον ορισµό Παρατηρήσεις. ) Μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα η έννοια του συνόρου στην περίπτωση που το Α είναι ένα ανοικτό σύνολο. Παρατηρούµε τότε ότι, ( αν Α ανοικτό ) ένα σηµείο x ανήκει στο Α, αν και µόνο αν, το x είναι σηµείο συσσώρευσης του Α και x Α ( γιατί; ). Αυτό εκφράζει την διαισθητική ιδέα ότι ένα συνοριακό σηµείο ενός συνόλου είναι ένα σηµείο στην «άκρη» του συνόλου. 2)Ένα συνοριακό σηµείο µπορεί βέβαια να ανήκει στο σύνολο, όπως δείχνει το ε και των σηµείων της περιφερείας του παράδειγµα του κλειστού δίσκου S( x, ε ). 3) Αν Α τότε τα σύνολα, it, it = it Α Α Α ( Άσκηση). 4) Ένα υποσύνολο Α του Α Α και it λέγεται φραγµένο, αν υπάρχει Α είναι ανά δύο ξένα και ισχύει, Μ > 0 : x Μ για κάθε x Α. Αποδεικνύεται ότι ( θεώρηµα Bolzao): Κάθε άπειρο και φραγµένο υποσύνολο του έχει τουλάχιστον ένα σηµείο συσσώρευσης ( Άσκηση). Βέβαια, ένα άπειρο υποσύνολο του ενδέχεται να µην έχει σηµεία συσσώρευσης, π.χ. Α = N ή Α = Z. Ασκήσεις
2 )Έστω Β ( x, και ( y, Αποδείξτε ότι ( x, ( y, Β ανοικτές σφαίρες στον Β Β = αν και µόνο αν ( x y και δ > 0 ). δ 2 x y. 2)Βρείτε τα it ( Α), Α και Α στις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) { x : 0 < x x0 δ}, δ > 0 (β) { x : x x0 = δ}, δ > 0 (γ) {( x, y) 2 : 0 < y < x+, x > } (δ) {( r os θ, r si θ) : 0< r <, 0 < θ < 2π} ( {( x, y) 2 : είτε ο xείτε ο yείναι άρρητος} (στ) Το Α είναι πεπερασµένο υποσύνολο του (ζ) { x : } { x}, όπου ( x ), x, x x (η) [0,] x [0,] ως υποσύνολο του ευκλείδειου επιπέδου. (θ)ποια από τα παραπάνω σύνολα είναι ανοικτά και ποια κλειστά; 3)Αν Α, Β αποδείξτε ότι: (α) Α = Α, (β) ( Α Β = Α Β Α = Α, (γ) it, (στ) it( Α Β) it( Α) it( Β) (η) Α= {F : F κλειστό και Α F}. Α = Α, (δ) it( Α Β ) = it( Α) it( Β),, (ζ) Α Β Α Β, Στα (στ) και (ζ) δώστε παραδείγµατα όπου η ισότητα δεν ισχύει. 4)Βρείτε τα σηµεία συσσώρευσης του συνόλου Α αν: (α) Α = ( ) : N +, (β) 2π 2π Α = os,si : N 5 5. 2π 2π (γ) Α = t os, t si : t =, 5 5. {, : 0 } (δ) ( x y) 2 ( x 2 y 2 )( y 2 x 2 ) Α = + +. ( { os : N} Α =. [ Για το ( συµβουλευτείτε την παρατήρηση της σελίδας 3]. 5) Έστω a, a 0. (α) είξτε ότι ο ηµίχωρος { x : a x } ανοικτό σύνολο [ Υπόδειξη a y a x a y x ] (β) είξτε ότι το σύνολο { x : a x } (γ) ότι το υπερεπίπεδο { x : a x } < ( ) είναι είναι κλειστό, χρησιµοποιώντας το (α) και = είναι κλειστό σύνολο. [ Τα (α), (β) και (γ) µπορούν να συναχθούν και από τις ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων σε επόµενη παράγραφο]
22