2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 Ο ΜΑΘΗΜΑ 2.1.1. Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών, είναι γνωστό και με τα στιχεία τυ δυλέψαμε όλες τις πρηγύμενες τάζεις. Στ σημεί όμως αυτό, είναι σκόπιμ να ανακεφαλαιώσυμε τις γνώσεις μας και να τις βάλυμε σε τάξη. Οι πραγματικί αριθμί, απτελύνται από: Τυς ρητύς αριθμύς πυ συμβλίζνται με και είναι τ σύνλ: α = / ακέ ραιι με β 0 β Βλέπετε αμέσως δημιυργείται η ανάγκη να θυμηθύμε τυς ακέραιυς αριθμύς, ι πίι συμβλίζνται με και είναι τ σύνλ: = {..., 3, 2, 1,0,1, 2,3,... } Μέσα στ σύνλ των ακέραιων αριθμών, δηλαδή υπσύνλ τυ συνόλυ των ακεραίων, είναι ι φυσικί αριθμί, πυ συμβλίζυμε με και είναι τ σύνλ: = { 1,2,3,... } Έχει καθιερωθεί όταν αναφερόμαστε στ σύνλ των φυσικών αριθμών, να εννύμε τ σύνλ: = { 0,1, 2,3,... } Τυς άρρητυς αριθμύς. Άρρητι είναι όλι ι πραγματικί αριθμί πυ δεν είναι ρητί. Δηλαδή είναι όλι ι πραγματικί αριθμί πυ δεν μπρύν να γραφύν με τη μρφή: α, με β 0 β Τ σύνλ των άρρητων αριθμών συμβλίζυμε με και είναι συμπληρωματικό σύνλ τυ ως πρς τ. Δηλαδή σ αυτό περιέχνται όλι ι πραγματικί αριθμί πυ δεν είναι ρητί. 63
Για τα σύνλα,,, και, ισχύυν:, αλ ά =, εν ώ = (1) Οι παραπάνω συνθήκες, απεικνίζνται στ διάγραμμα τυ Venn πυ ακλυθεί: Πρσχή: Τ δεν είναι υπσύνλ τυ, όπως θα μπρύσε να συμπεράνει κάπις από τ διάγραμμα τυ Venn. Είναι δυ ξένα μεταξύ τυς σύνλα, όπως σημειώνεται και στις συνθήκες (1). Για τν λόγ άλλωστε αυτό η διαγράμμιση τυ είναι διαφρετική. Στα σύνλα,,, περιέχεται τ μηδέν. Όταν συμβλίζυμε: τότε τ μηδέν δεν περιέχεται.,,, Άξνας των πραγματικών αριθμών Αν σε ευθεία ρίσυμε σημεί στ πί αντιστιχύμε τ 0 και δεξιά αυτύ άλλ σημεί στ πί αντιστιχύμε τ 1, τότε έχυμε την ευθεία των πραγματικών αριθμών, όπως εμφανίζεται στ παρακάτω σχήμα. Η ευθεία αυτή, νμάζεται και άξνας των πραγματικών αριθμών. Σε κάθε σημεί τυ άξνα αντιστιχεί ένας πραγματικός αριθμός και αντίστρφα 64
κάθε πραγματικός αριθμός αντιστιχεί σε ένα σημεί τυ άξνα. Όπως παρατηρείτε και στ σχήμα, ι θετικί αριθμί είναι δεξιά τυ μηδενός, ενώ ι αρνητικί αριθμί είναι δεξιά αυτύ. 2.1.2. Πράξεις και διάταξη στ Στ σύνλ των πραγματικών αριθμών, έχυμε ρίσει την πρόσθεση και τν πλλαπλασιασμό και μέσω αυτών την αφαίρεση και διαίρεση. Οι ιδιότητες των πράξεων είναι γνωστές και δεν είναι σκόπιμ να αναφερθύμε σ αυτές. Είναι σκόπιμ όμως να αναφερθύμε διεξδικότερα στη διάταξη πυ υπάρχει στ σύνλ των πραγματικών αριθμών. Ο πραγματικός αριθμός α είναι μεγαλύτερς ή ίσς τυ β και συμβλίζυμε α β, αν και μόν αν η διαφρά α β είναι αριθμός θετικός ή μηδέν. Η παραπάνω πρόταση εκφράζεται από την ισδυναμία: α β α β 0 Στην περίπτωση πυ δεν μπρεί να έχυμε ισότητα μεταξύ των αριθμών α, β τότε συμβλίζυμε α>β και ισχύει ι ισδυναμία: α >β α β> 0 Πρσέξτε στ σχήμα. Ένας πραγματικός θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερς από ένα άλλ θετικό, αν είναι πι μακριά από την αρχή 0 τυ άξνα. Αντίθετα για τυς αρνητικύς αριθμύς, μεγαλύτερς είναι πι κντά στην αρχή 0. Η διάταξη στ σύνλ των πραγματικών αριθμών, χαρακτηρίζεται από τις ιδιότητες: 1. Αν α β και β γ α γ Είναι η μεταβατική ιδιότητα 2. α β α+γ β+γ Αν και στα δυ μέλη μιας ανισότητας πρσθέσυμε τν ίδι αριθμό, τότε έχυμε μόστρφη ανισότητα. 3. α β αγ βγ όταν γ > 0 και α β αγ βγ ό ταν γ < 0 65
Όταν πλλαπλασιάσυμε και τα δυ μέλη μιας ανισότητας με θετικό αριθμό, πρκύπτει μόστρφη ανισότητα, ενώ αν πλλαπλασιάσυμε με αρνητικό αριθμό, η ανισότητα αλλάζει φρά. 4. Αν α β και γ δ α+γ β+δ Μπρύμε να πρσθέσυμε κατά μέλη δυ μόστρφες ανισότητες και πρκύπτει μόστρφη μ αυτές ανισότητα. 5. Αν α β και γ δ με αγ βδ αβγδ>,,, 0 Μπρύμε να πλλαπλασιάσυμε κατά μέλη δυ μόστρφες ανισότητες, εφ όσν τα μέλη τυς είναι θετικί αριθμί. α 6. Αν 0 αβ 0 και β 0 β 7. Αν αβ, 0 και ν τότε ισχύει η ισδυναμία: α β α β ν ν Δηλαδή μπρύμε να υψώσυμε στην ίδια δύναμη και τα δυ μέρη μια ανισότητας, όταν αυτά είναι θετικί αριθμί και πρκύπτει μόστρφη ανισότητα. 8. Αν αβ> 0, τότε ισχύει η ισδυναμία: 1 1 α β α β Αν και τα δυ μέρη μιας ανισότητας είναι θετικί αριθμί, ι αντίστρφι αυτών, δίνυν ετερόστρφη ανισότητα και αντίστρφα. 66
2.1.3. Διαστήματα πραγματικών αριθμών Αν αβ, με α<β, νμάζυμε διαστήματα με άκρα τα α, β καθένα από τα παρακάτω σύνλα: ( α, β ) = { x / α<x <β} [ αβ, ] = { x / α x β} [ α, β ) = { x / α x <β} ( α, β ] = { x / α<x β} : ανικτό διάστημα : κλειστό διάστημα : κλειστό αριστερά ανικτό δεξιά : ανικτό αριστερά κλειστό δεξιά Αν α, τότε νμάζυμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρ τ α καθένα από τα παρακάτω σύνλα: ( α+, ) = { x / x >α} [ α+, ) = { x / x α} (, α ) = { x / x< α} (, α ] = { x / x α} Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών υπό μρφή διαστήματς, είναι: = (, + ) Τα σημεία ενός διαστήματς Δ πυ είναι διαφρετικά από τα άκρα τυ, είναι εσωτερικά σημεία τυ Δ. 2.1.4. Απόλυτη τιμή πραγματικών αριθμών Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικύ αριθμύ α, συμβλίζεται με α και ρίζεται από τη συνθήκη: 67
α, αν α 0 α= α, αν α< 0 Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικύ αριθμύ α, εκφράζει την απόσταση τυ σημείυ πυ αντιστιχεί στν αριθμό, από τ μηδέν πυ είναι η αρχή τυ άξνα, όπως φαίνεται στ σχήμα: Η απόλυτη τιμή της διαφράς α β, εκφράζει την απόσταση των σημείων πυ αντιστιχύν στυς αριθμύς α, β όπως φαίνεται στ σχήμα: Η απόλυτη τιμή των πραγματικών αριθμών, χαρακτηρίζεται από τις ιδιότητες: 2 α =α 2, για κάθε α 2 α = α, για κάθε α αβ =α β, για κάθε α,β α α =, για καθε α και β β β α β α±β α+β, γιακάθε α,β x x <δ δ< x x <δ x δ< x < x +δ, δ> 0 68