ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μάθημα: Επικοινωνίες ΙΙ. Εξεταστική Περίοδος: B Θερινή, 14 Σεπτεμβρίου 2009. ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Αναστάσιος Παπατσώρης Θέμα 1 ο (25 μονάδες) Ένα ADSL modem λειτουργεί με ταχύτητα downloading 1 Mpbs και uploading 192 kbps, χρησιμοποιώντας ως βασική διαμόρφωση QPSK, ενώ ο εμφανιζόμενος ρυθμός εσφαλμένων bit είναι P e = 9Ε-8. Προσδιορίστε τη μείωση στην αντίσταση στο θόρυβο που θα προκύψει, εάν το modem προκειμένου να αυξήσει τις ταχύτητες downloading και uploading, χρησιμοποιεί πλέον ως βασική διαμόρφωση 16-QAM. Και στις δύο περιπτώσεις το modem λειτουργεί με τον ίδιο ρυθμό εμφάνισης εσφαλμένων bit πριν την όποια εφαρμογή τεχνικής κωδικοποίησης (π.χ. Forward Error Correction). Ο ρυθμός εμφάνισης σφαλμάτων για την QPSK δίδεται από τη σχέση: P e QPSK =Q 2 E b / N 0 9x10 8 =Q 2 E b / N 0 5.2= 2 E b / N 0 E b / N 0 =13.52 ή 11.31dB. Για την 16-QAM ισχύει: P 16QAM S = P 16QAM e log 2 M =P 16QAM e log 2 16=9.8 10 8 4 P 16QAM S =3.6 10 7, οπότε έχουμε: P 16QAM S =1 1 P m 2 3.6 10 7 =1 1 P m 2 P m ={2, 1.8x10 7 }, και διατηρώντας την εφικτή λύση του διωνύμου έχουμε P m =1.8 10 7. Επίσης, γνωρίζουμε ότι: P m =2 1 1 M Q 3k E / N b 0 M 1 1.8 10 7 1.5 =Q 12E b / N 0 15 1.2 10 7 =Q 0.8E b / N 0 Τομέας Τ&Δ 1 από 9 Α Δ Παπατσώρης

Από το διάγραμμα της συνάρτησης Q διαπιστώνουμε ότι για τεταγμένη 1.2Ε-7 αντιστοιχεί τετμημένη 5.1, οπότε: 5.1= 0.8 E b / N 0 E b / N 0 =32.5125 ή 15.12dB. Συνεπώς, η μείωση στην αντίσταση στο θόρυβο για τη μετάβαση από QPSK σε 16-QAM είναι 32.5125 / 13.52 ή περίπου 2.4 φορές. Σε περίπτωση που επιθυμούμε να εκφράσουμε τη μείωση σε db, -όπως συνήθως άλλωστε κάνουμε στην τεχνική γλώσσα- τότε έχουμε: 15.12 db 11.31 db = 3.8 db, ή θα μπορούσαμε επίσης να κάνουμε τον ίδιο υπολογισμό ως 10 log10 (2.4) = 3.8 db. Θέμα 2 ο (40 μονάδες) α) Προσδιορίστε το διάγραμμα πλάτους και φάσης της ακόλουθης περιοδικής κυματομορφής (20/40): Voltage 10V 0.5μs 1μs ime β) Η παραπάνω κυματομορφή εισέρχεται στην είσοδο μίκτη του οποίου ο τοπικός ταλαντωτής χρησιμοποιεί συχνότητα 100 MHz. Στη συνέχεια η έξοδος του μίκτη οδηγείται σε ζωνοπερατό φίλτρο του οποίου η Τομέας Τ&Δ 2 από 9 Α Δ Παπατσώρης

κεντρική συχνότητα είναι 95 MHz και το εύρος ζώνης 400 khz. Ακολούθως η έξοδος του φίλτρου οδηγείται σε ενισχυτή τάσης του οποίου το κέρδος είναι 20 db. Σχεδιάστε την κυματομορφή που θα εμφανιστεί στην οθόνη του παλμογράφου (20/40). Μίκτης f c =95MHz MHzMMHz Ενισχυτής Ζωνοπερατό Φίλτρο Παλμογράφος f LO =100 MHz Ο όρος α 0 = 0, προφανώς λόγω της συμμετρίας περί τον άξονα των τετμημένων. Οι λοιποί όροι έχουν ως εξής εφαρμόζοντας απλά τους τύπους για τις σειρές Fourier: b n = 2 0 a n =0,επειδή η συνάρτηση είναι περιττή. = 20 /2 x t sin 2πnt dt = 2 0 / 2 2πn sin 2πnt 0 = 10 πn[ cos 2πnt = 10 10 [ cos πn 1] πn 10 sin 2πnt d 2πnt 20 ]0 / 2 dt 2πn / 2 /2 sin 2πnt 10sin 2πnt dt = 10 πn [ cos 2πnt ] / 2 d 2πnt = { 0 για n άρτιο, } πn [cos 2πn cos πn ] b = n 40 nπ για n περιττό = Επομένως, έχουμε τον ακόλουθο πίνακα: Τομέας Τ&Δ 3 από 9 Α Δ Παπατσώρης

n f [MHz] a n b n c n [Volt] φ n =tan -1 (-b n /a n ) 1 1 0 40/π 40/π=12.73 π 2 2 0 0 0 αόριστο 3 3 0 40/3π 40/3π=4.24 π 4 4 0 0 0 αόριστο 5 5 0 40/5π 40/5π=2.55 π 6 6 0 0 0 αόριστο 7 7 0 40/7π 40/7π=1.82 π 8 8 0 0 0 αόριστο 9 9 0 40/9π 40/9π=1.41 π Η κυματομορφή μπορεί να γραφεί δηλαδή ώς εξής: x t = i=1,3,5,... 40 nπ sin 2πn 106 t, όπου περίοδος Τ είναι 1μs οπότε f 0 = 1/= 1MHz. Από τον παραπάνω Πίνακα προκύπτει και το ακόλουθο διάγραμμα πλάτους. 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σχήμα 1: Συντελεστές Fourier (σε Volt) συναρτήσει της συχνότητας (σε MHz) Τομέας Τ&Δ 4 από 9 Α Δ Παπατσώρης

Στην έξοδο του μίκτη θα προκύψει το γινόμενο των δύο εισόδων του, δηλαδή της κυματομορφής x(t) και αυτής του τοπικού ταλαντωτή x LO t =sin 2 π 100 10 6 t. Έτσι με απλή εφαρμογή της σχέσης sin(a)sin(b)=0.5[cos(a-b)-cos(a+b)] θα έχουμε στην έξοδο: y t = x LO t x t = sin 2π 100 10 6 t 20 = i =1,3,... i =1,3,... nπ cos 2π 100 106 n10 6 t i=1,3,5... 40 nπ sin 2πn 106 t = 20 nπ cos2π 100 106 n10 6 t. Για τους 4 πρώτους υφιστάμενους περιττούς όρους του αναπτύγματος Fourier θα έχουμε: Κάτω πλευρική ζώνη n=1, πλάτος 20/π = 6.37 Volt, συχνότητα 99 MHz, n=3, πλάτος 20/3π = 2.12 Volt, συχνότητα 97 MHz, n=5, πλάτος 20/5π = 1.27 Volt, συχνότητα 95 MHz, n=7, πλάτος 20/7π = 0.91 Volt, συχνότητα 93 MHz. Άνω πλευρική ζώνη n=1, πλάτος 20/π = 6.37 Volt, συχνότητα 101 MHz, n=3, πλάτος 20/3π = 2.12 Volt, συχνότητα 103 MHz, n=5, πλάτος 20/5π = 1.27 Volt, συχνότητα 105 MHz, n=7, πλάτος 20/7π = 0.91 Volt, συχνότητα 107 MHz. Η έξοδος του μίκτη οδηγείται στην είσοδο ζωνοπερατού φίλτρου κεντρικής συχνότητας 95 MHz και εύρους διέλευσης μόλις 400 khz. Επομένως, θα διέλθει όπως πολύ εύκολα διαπιστώνουμε μόνο η 5 η αρμονική της κάτω πλευρικής ζώνης, της οποίας το πλάτος είναι 1.27 V και η πλήρης μαθηματική περιγραφή c 5 = 20 5π sin 2π 95 106 t. Στον ενισχυτή το πλάτος θα ενισχυθεί κατά 20 db, δηλαδή κατά έναν παράγοντα 20dB= 20log10(x), x= 10 φορές. Έτσι το ενισχυμένο Τομέας Τ&Δ 5 από 9 Α Δ Παπατσώρης

πλάτος θα λάβει την τιμή 12.73 V και αυτό που θα εμφανιστεί στην οθόνη του παλμογράφου θα είναι απλά μια ημιτονική κυματομορφή με συχνότητα 95 MHz και πλάτος 12.73 V. Θέμα 3 ο (5 μονάδες) Ένας πομπός αποστέλλει δυαδικό σήμα 50 kbps με εναλλασσόμενα ψηφία 01010101 κατευθείαν στην είσοδο ενός φασματικού αναλυτή. Σε ποιες συχνότητες θα εμφανιστούν συνιστώσες στην οθόνη του αναλυτή? Ο πομπός αποστέλλει 50000 bits κάθε 1s, δηλαδή χρειάζεται χρόνο 1/50000= 20 μs για κάθε bit. Η περίοδος ισούται με το διπλάσιο του χρόνου αυτού, δηλαδή είναι Τ= 40μs. Καθότι η κυματομορφή είναι περιοδική, μπορεί να αναπτυχθεί με σειρά Fourier της οποίας η θεμελιώδης συχνότητα θα είναι f 0 = 1/= 25kHz. Επομένως, στην οθόνη του φασματικού αναλυτή θα εμφανιστούν συνιστώσες στα περιττά πολλαπλάσια της θεμελειώδους, δηλαδή στις συχνότητες 25kHz, 75kHz, 125kHz, κ.ο.κ. Θέμα 4 ο (15 μονάδες) a) Πως μπορώ να αυξήσω το ρυθμό μετάδοσης σε ένα μονό καλώδιο εάν περιορίζομαι να διατηρήσω το ρυθμό μετάδοσης συμβόλων; (5/15) b) Πόσες περιοχές διακρίνουμε σε ένα φίλτρο τύπου Nyquist; (5/15) c) Ποια σημαντική απαίτηση επιβάλει στον δέκτη η σχεδίαση της συνολικής συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος σύμφωνα με το κριτήριο Nyquist; (5/15) Τομέας Τ&Δ 6 από 9 Α Δ Παπατσώρης

Συμβουλευτείτε τις απαντήσεις στις ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης του μαθήματος αναρτημένες στην σελίδα http://anamorfosi.teiser.gr. Θέμα 5 ο (25 μονάδες) Για την ίδια μέση ισχύ συμβόλου ποια από τις διαμορφώσεις 16-PSK και τετραγωνική 16-QAM παρουσιάζει καλύτερο BE για τον ίδιο λόγο E b /N 0;. Εννοείται ότι και για τις δύο διαμορφώσεις η ισχύς μετράται στην ίδια αντίσταση. Ας εξετάσουμε αρχικά ποια είναι η μέση ισχύς συμβόλου για την διαμόρφωση 16-QAM. Για την ισχύ των συμβολικών καταστάσεων Α, B, C, D έχουμε: P A = V 2 A = a2 a 2 P B =P C = V 2 B P D = V 2 A = 2a2 = 3a 2 a 2 = 3a 2 3a 2, = 10a2 = 18a2 Η μέση ισχύς για την 16-QAM είναι:., P QAM = P A P B P C P D = V 2 A V 2 B V 2 2 C V D 4 4 = 2a2 10a 2 10a 2 18a 2 = 40a2 4 4 = 10a2. Τομέας Τ&Δ 7 από 9 Α Δ Παπατσώρης

Σχήμα 2. Διάγραμμα αστερισμού διαμόρφωσης 16-QAM. Ας εξετάσουμε τώρα την μέση ισχύ του συμβόλου της 16-PSK. Εδώ, επειδή όλα τα σύμβολα έχουν το ίδιο πλάτος τάσης μεταφέρουν την ίδια ισχύ, και επομένως η μέση ισχύς συμβόλου ταυτίζεται με την ισχύ κάθε συμβόλου. Σχήμα 3. Διάγραμμα αστερισμού διαμόρφωσης 16-PSK. Η ισχύς ενός οποιουδήποτε συμβόλου και μέση ισχύς, είναι πολύ απλά: P 16PSK = r2, Τομέας Τ&Δ 8 από 9 Α Δ Παπατσώρης

και αφού η μέση ισχύς είναι η ίδια και για τις δύο διαμορφώσεις, θα πρέπει: P 16QAM = P 16PSK 10a2 = r2 r= 10a Προκειμένου να αποφανθούμε για το ποια διαμόρφωση έχει καλύτερο BE για τον ίδιο λόγο E b /N 0, θα πρέπει να συγκρίνουμε την κοντινότερη απόσταση μεταξύ δύο γειτονικών συμβόλων κάθε διαμόρφωσης. Για την 16-QAM, προφανώς, η κοντινότερη απόσταση μεταξύ δύο συμβολικών καταστάσεων είναι d 16QAM = 2a. Για την 16-PSK η κοντινότερη απόσταση μεταξύ δύο συμβόλων είναι η απόσταση d 16PSK =(AB)=2(AC) την οποία και θα πρέπει να εκτιμήσουμε. Φέροντας τη μεσοκάθετο στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε για το ορθογώνιο τρίγωνο OAC, θ=φ/2=11.25 ο και για το ευθύγραμμο τμήμα (AC): AC = r sin θ = r sin 11.25 o = 10 a 0.1951= 0.617a και d 16PSK =2(AC)=1.234a. Έτσι, για την ίδια μέση ισχύ συμβόλου d 16QAM > d 16PSK και συνεπώς η 16-QAM εμφανίζει καλύτερο BE από την 16-PSK. Τομέας Τ&Δ 9 από 9 Α Δ Παπατσώρης