ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 2
1. Σκοποί ενότητας... 4 2. Περιεχόμενα ενότητας... 4 3. Εισαγωγή... 4 4. Προαπαιτούμενες Γνώσεις Γραμμικών Συστημάτων... 4 4.1 Περιγραφή συστήματος με Κρουστική Απόκριση και με Συνάρτηση Μεταφοράς... 4 4.1.1 Γραμμικό Χρονικά Αμετάβλητο Σύστημα Μίας Εισόδου Μίας Εξόδου 5 4.1.2 Κρουστική Απόκριση... 6 4.1.3 Σχέση εισόδου εξόδου... 6 4.1.4 Συνάρτηση Μεταφοράς... 8 3
1. Σκοποί ενότητας Σκοπός της εισαγωγικής αυτής ενότητας είναι η παρουσίαση ορισμένων προαπαιτούμενων γνώσεων πάνω στα γραμμικά συστήματα. 2. Περιεχόμενα ενότητας Οι προαπαιτούμενες γνώσεις πάνω στα γραμμικά συστήματα που θα παρουσιαστούν στην εισαγωγική ενότητα είναι οι εξής: Περιγραφή συστήματος με κρουστική απόκριση. Σχέση Εισόδου Εξόδου. Συνάρτηση μεταφοράς. Παραδείγματα. 3. Εισαγωγή Οι σημειώσεις που ακολουθούν αφορούν στο αντικείμενο των Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου (ΣΑΕ), το οποίο διδάσκεται στο ΣΤ εξάμηνο του προπτυχιακού προγράμματος σπουδών και αφορά συστήματα συνεχούς χρόνου, δηλαδή «αναλογικά» ΣΑΕ. Έμφαση δίνεται στο αντικείμενο ελέγχου της ευστάθειας ενός κλειστού συστήματος, το οποίο εδώ προσεγγίζεται από εφαρμοσμένη και πρακτική σκοπιά. Για το σκοπό αυτό δίνονται οι σχετικοί ορισμοί και έννοιες και ακολουθούν σειρά από παραδείγματα και λυμένες ασκήσεις, μέσα από τα οποία γίνεται η εμπέδωση της ύλης. Προαπαιτούμενη είναι βασική γνώση της θεωρίας Γραμμικών Συστημάτων, καθώς και των μετασχηματισμών Laplace και Fourier για την περιγραφή των συστημάτων και των σημάτων εισόδου και εξόδου τους στο πεδίο της συχνότητας. 4. Προαπαιτούμενες Γνώσεις Γραμμικών Συστημάτων 4.1 Περιγραφή συστήματος με Κρουστική Απόκριση και με Συνάρτηση Μεταφοράς 4
4.1.1 Γραμμικό Χρονικά Αμετάβλητο Σύστημα Μίας Εισόδου Μίας Εξόδου Ένα σύστημα μίας εισόδου μίας εξόδου (ΜΕ-ΜΕ) συμβολίζεται σε μορφή διαγράμματος βαθμίδων ως εξής: x(t) -> [h(t)] -> y(t) Σχήμα Α.1 όπου x(t) και y(t) συμβολίζουν τα σήματα εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα. Το σύστημα χαρακτηρίζεται ως γραμμικό (linear) αν ισχύει η εξής συνθήκη: Aν η είσοδος x 1 (t) παράγει ως έξοδο την y 1 (t) και η είσοδος x 2 (t) παράγει ως έξοδο την y 2 (t), τότε ο γραμμικός συνδυασμός των εισόδων με οποιεσδήποτε αριθμητικές σταθερές a 1 και a 2, x(t) = a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t) παράγει ως έξοδο τον ίδιο ακριβώς γραμμικό συνδυασμό των επιμέρους εξόδων, y(t) = a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t). Το σύστημα χαρακτηρίζεται ως χρονικά αμετάβλητο (time invariant) αν ισχύει η εξής συνθήκη: Αν η είσοδος x(t) παράγει ως έξοδο την y(t), τότε η χρονική μετάθεση της εισόδου κατά σταθερό χρονικό διάστημα Τ, x(t-t), παράγει ως έξοδο ακριβώς την ίδια συνάρτηση y(t) απλώς μετατεθιμένη χρονικά κατά το ίδιο χρονικό διάστημα Τ, δηλαδή y(t-t). Το T μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός πραγματικός αριθμός. Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα συστήματα που έχουν και τις δύο παραπάνω ιδιότητες, δηλαδή τα Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα (ΓΧΑ) συστήματα (Linear Time Invariant LTI Systems). Το πλεονέκτημά τους είναι ο εύκολος χειρισμός (ανάλυση, σχεδίαση, κατασκευή), με εκμετάλλευση του πεδίου της συχνότητας. Επιπλέον πολλά πραγματικά μη γραμμικά συστήματα μπορούν να θεωρηθούν προσεγγιστικά ως γραμμικά, αν η είσοδος και η περιοχή λειτουργίας του συστήματος περιοριστούν κατάλληλα. Αν το σύστημα είναι Γραμμικό Χρονικά Αμετάβλητο (ΓΧΑ) τότε μπορεί να περιγραφεί είτε στο πεδίο του χρόνου, από την Κρουστική του Απόκριση, είτε στο πεδίο της συχνότητας, από τη Συνάρτηση Μεταφοράς του. Η καθεμία από αυτές τις μορφές, στο δικό της πεδίο, περιγράφει πλήρως και μοναδικά τη φύση και τη συμπεριφορά του συστήματος, αποτελώντας τη μοναδική του «ταυτότητα». Η πληροφορία που μεταφέρουν για το σύστημα είναι η ίδια, άρα οι δύο αναπαραστάσεις αυτές είναι ισοδύναμες. 5
Σημειώνεται ότι ένα Γραμμικό Χρονικά Μεταβλητό σύστημα (ΓΧΜ) επίσης περιγράφεται από μία συνάρτηση αντίστοιχη της κρουστικής απόκρισης, η οποία όμως εξαρτάται από δύο χρονικές μεταβλητές. 4.1.2 Κρουστική Απόκριση Η κρουστική απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος είναι η έξοδος (απόκριση) που θα παραχθεί αν στην είσοδο δοθεί η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(t). Συνεπώς, με βάση το διάγραμμα βαθμίδων του Σχήματος Α.1, αν x(t) = δ(t) τότε y(t) = h(t). H μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(t) ή συνάρτηση δ του Dirac (από το όνομα του διάσημου Άγγλου μαθηματικού Paul Dirac, που την όρισε το 1930) ορίζεται ως εξής: (Α.1.a) (Α.1.b) Ως μαθηματική συνάρτηση είναι εξαιρετικά χρήσιμη στη μελέτη των συστημάτων αν και με αυστηρό μαθηματικό ορισμό δεν είναι ακριβώς συνάρτηση! Ως κυματομορφή τάσης, όμως, στο εργαστήριο δεν μπορεί να κατασκευαστεί ακριβώς αλλά μόνο να προσεγγιστεί, διότι στο t=0 δεν έχει πεπερασμένη τιμή. «Καρφιά» (spikes) τάσης, δηλαδή απότομες πολύ υψηλές τιμές τάσης που διαρκούν ελάχιστο χρόνο, θεωρούνται προσεγγίσεις της κρουστικής συνάρτησης. Σύμφωνα με την αρχή της δυαδικότητας που ισχύει μεταξύ των πεδίων του χρόνου και της συχνότητας (duality principle), η συνάρτηση δ του Dirac που από τον ορισμό της είναι απείρως περιορισμένη στο πεδίο του χρόνου, καταλήγει αντίστοιχα να είναι απείρως εξαπλωμένη στο πεδίο της συχνότητας. Πράγματι, το φάσμα της (spectrum) αν υπολογιστεί μέσω του Μετασχηματισμού Fourier, είναι ίσο με τη μονάδα για οποιαδήποτε συχνότητα, (Α.2) δηλαδή παρουσιάζει ισοκατανεμημένη ισχύ σε όλες τις συχνότητες από το 0 (DC) μέχρι το άπειρο (θεωρητικώς). Αυτό το φάσμα ονομάζεται λευκό (white spectrum). Ο όρος είναι δανεισμένος από την Οπτική, όπου η σύνθεση όλων των χρωμάτων (συχνοτήτων) με ίση ισχύ δίνει το λευκό χρώμα. 4.1.3 Σχέση εισόδου εξόδου Η σχέση εισόδου εξόδου που υλοποιεί το σύστημα του Σχήματος Α.1 είναι συνελικτική στο πεδίο του χρόνου, δηλαδή η έξοδος είναι η συνέλιξη της εισόδου με 6
την κρουστική απόκριση. Αυτή υπολογίζεται μέσω του συνελικτικού ολοκληρώματος (convolution integral): (Α.3) Σημειώνεται ότι σε ένα Γραμμικό Χρονικά Μεταβλητό σύστημα (ΓΧΜ) η έξοδος επίσης περιγράφεται από μία αντίστοιχη σχέση ολοκληρώματος που καλείται ολοκλήρωμα υπέρθεσης (superposition integral) και όχι συνελικτικό ολοκλήρωμα (convolution integral). Δεδομένου ότι έχουμε μία εξίσωση (την Α.3), αν δύο από τις τρεις εμπλεκόμενες ποσότητες (είσοδος, σύστημα και έξοδος) είναι γνωστές, τότε η τρίτη μπορεί να υπολογιστεί ως άγνωστη. Συνεπώς υπάρχουν τρία διαφορετικά είδη προβλημάτων, που μπορούν να επιλυθούν με βάση τη σχέση Α.3, ανάλογα με το ποια είναι η άγνωστη ποσότητα που υπολογίζουμε, δηλαδή ως προς ποιο από τα τρία μεγέθη x(t), h(t), y(t) λύνεται η σχέση Α.3. 1. Το Πρόβλημα της Μέτρησης (The Measurement Problem): Ζητείται η (άγνωστη)έξοδος y(t), δίνονται (γνωστά) το σύστημα h(t) και η είσοδος x(t). x(t) -> [h(t)] -> y(t) =? Σχήμα Α.2 Η 1.3 πρέπει να επιλυθεί ως προς την y(t), ακριβώς δηλαδή στη μορφή που εμφανίζεται παραπάνω. Ο υπολογισμός της εξόδου ισοδυναμεί με υπολογισμό ενός ολοκληρώματος. 2. Το Πρόβλημα της Αναγνώρισης Συστήματος (The System Identification Problem): Ζητείται το (άγνωστο) σύστημα h(t), δίνονται (γνωστά) η είσοδος x(t) και η έξοδος y(t). x(t) -> [h(t) =?] -> y(t) Σχήμα Α.3 Η Α.3 πρέπει να επιλυθεί ως προς την h(t) η οποία εμφανίζεται όμως συνελιγμένη με την είσοδο x(t). Η επίλυση της Α.3ως προς h(t) απαιτεί πρώτα να την «ξεμπλέξουμε» από το ολοκλήρωμα. Η πράξη αυτή καλείται αποσυνέλιξη 7
(deconvolution) και είναι αρκετά δύσκολη για μη τετριμμένες περιπτώσεις σημάτων και συστημάτων. 3. Το Πρόβλημα της Αποσυνέλιξης (The Deconvolution Problem): Ζητείται η (άγνωστη) είσοδος x(t), δίνονται (γνωστά) το σύστημα h(t) και η έξοδος y(t). x(t) =? -> [h(t)] -> y(t) Σχήμα Α.4 Η Α.3 πρέπει να επιλυθεί ως προς την x(t) η οποία εμφανίζεται όμως συνελιγμένη με την κρουστική απόκριση του συστήματος h(t). Η επίλυση της Α.3 ως προς x(t) απαιτεί πρώτα να την «ξεμπλέξουμε» από το ολοκλήρωμα, άρα από μαθηματική σκοπιά απαιτείται κι εδώ αποσυνέλιξη. Το πρώτο από τα προβλήματα αυτά ονομάζεται «ευθύ πρόβλημα» (Forward problem) ενώ τα δύο επόμενα ονομάζονται «αντίστροφα προβλήματα» (Inverse problems) και αφορούν ένα πλήθος από διαφορετικά πεδία εφαρμογής (τηλεπικοινωνίες εκτίμηση διαύλου (channel estimation), βιοϊατρική ανακατασκευή εικόνων από τομογραφικά δεδομένα, κα.) 4.1.4 Συνάρτηση Μεταφοράς Για ένα Γραμμικό Χρονικά Αμετάβλητο (ΓΧΑ) σύστημα, η Συνάρτηση Μεταφοράς H(s) ορίζεται ως ο Μετασχηματισμός Laplace της κρουστικής απόκρισης h(t) του συστήματος: (Α.4) Σημειώνεται ότι για ένα Γραμμικό Χρονικά Μεταβλητό σύστημα (ΓΧΜ) επίσης ορίζεται ο Μετασχηματισμός Laplace της αντίστοιχης «κρουστικής απόκρισης», ο οποίος παίζει το ρόλο «συνάρτησης μεταφοράς», είναι όμως συνάρτηση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών. Η Συνάρτηση Μεταφοράς αποκτά ιδιαίτερη πρακτική αξία στη μελέτη και ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων, διότι αποδεικνύεται ότι η πράξη της συνέλιξης στο πεδίο του χρόνου αντιστοιχεί στην πράξη του πολλαπλασιασμού στο πεδίο της συχνότητας. Κατά συνέπεια, αν υπολογιστούν οι Μετασχηματισμοί Laplace X(s), H(s) και Y(s) των τριών εμπλεκομένων ποσοτήτων στη σχέση εισόδου εξόδου, και (Α.5) η συνελικτική σχέση εισόδου εξόδου Α.3 παίρνει την μορφή απλού γινομένου: 8
(Α.6) Προσεκτικός μαθηματικός ορισμός των παραπάνω ποσοτήτων και σχέσεων προβλέπει ότι αυτές ισχύουν μόνο αν οι αρχικές συνθήκες του συστήματος τη στιγμή t = 0 (χρονική στιγμή που η είσοδος εφαρμόζεται στο σύστημα) είναι μηδενικές. Υπενθυμίζεται ότι προκειμένου περί ηλεκτρονικών κυκλωμάτων που περιγράφονται ως ΓΧΑ συστήματα, οι αρχικές συνθήκες αφορούν (α) ηλεκτρικές τάσεις στους πυκνωτές και (β) ηλεκτρικά ρεύματα στα πηνία, που ενδεχομένως περιέχει το κύκλωμα. Οι συνθήκες αυτές εργαστηριακά επιτυγχάνονται ανοιχτοκυκλώνοντας τα πηνία ή βραχυκυκλώνοντας τους πυκνωτές ΠΡΙΝ από την εφαρμογή της εισόδου στο κύκλωμα. Ας υποθέσουμε ότι αντιμετωπίζουμε ένα Πρόβλημα Μέτρησης, όπως αυτό ορίστηκε προηγουμένως. Αν εξαιρέσουμε ορισμένες πολύ απλές περιπτώσεις σημάτων και συστημάτων, το συνελικτικό ολοκλήρωμα που πρέπει να υπολογιστεί, ειδικά για μεγάλης χρονικής διάρκειας σήματα εισόδου ή/και κρουστικές συναρτήσεις, απαιτεί πολλές υπολογιστικές πράξεις οι οποίες μάλιστα σε ψηφιακό υπολογιστή μπορούν μόνο να γίνουν προσεγγιστικά, λόγω του ολοκληρώματος που περιέχει η σχέση (Α.3). Πρακτικότερη μέθοδος είναι ο υπολογισμός της εξόδου από τη σχέση Α.6 με πολλαπλασιασμό. Φυσικά το σήμα εξόδου Y(s) που προκύπτει θα πρέπει να μετασχηματιστεί πίσω στο πεδίο του χρόνου, με αντίστροφο Μετασχηματισμό Laplace, για να δώσει το ζητούμενο y(t). Τα ανάλογα ισχύουν αν υποθέσουμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα πρόβλημα από τις άλλες δύο κατηγορίες των «Αντίστροφων Προβλημάτων», όπως ορίστηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, π.χ. ένα πρόβλημα αναγνώρισης συστήματος. Η επίλυση γίνεται πολύ πρακτικότερα, αν αντί για την αποσυνέλιξη που απαιτείται στο πεδίο του χρόνου, επιλέξουμε να μεταβούμε στο πεδίο της συχνότητας. Εκεί επιλύεται η σχέση Α.6 ως προς H(s) που δίνεται από το πηλίκο της εξόδου προς την είσοδο: (Α.7) Φυσικά, η συνάρτηση μεταφοράς H(s) που υπολογίστηκε έτσι θα πρέπει να μετασχηματιστεί πίσω στο πεδίο του χρόνου, με αντίστροφο Μετασχηματισμό Laplace, για να δώσει τη ζητούμενη κρουστική απόκριση h(t). 9