ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Πίνακας γειτνίασης ενός γραφήµατος ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρούµε ότι ο αναγνώστης είναι εξοικειωµένος µε τις έννοιες των πινάκων, την πρόσθεση πινάκων και τον πολλαπλασιασµό πινάκων. Αν ένα κατευθυνόµενο γράφηµα G έχει κορυφές u 1,u 2,..u k, τότε µπορεί να απεικονιστεί από τον πίνακα γειτνίασης Α(G).Το στοιχείο της γραµµής i και στήλης j του πίνακα είναι 1 αν (u i, u j ) είναι ακµή, ενώ θα είναι µηδέν αν (u i, u j ) δεν είναι ακµή. Εφόσον οι περισσότερες γλώσσες προγραµµατισµού υποστηρίζουν την αποθήκευση και τον χειρισµό πινάκων, o πίνακας γειτνίασης προσφέρει έναν βολικό τρόπο αποθήκευσης της πληροφορίας ενός κατευθυνόµενου γραφήµατος σε ένα υπολογιστή. Στο σχήµα 1 απεικονίζεται ένα κατευθυνόµενο γράφηµα και ο πίνακας γειτνίασης του. Παρατηρούµε ότι αν αναθέσουµε ξανά τα σύµβολα u 1 ως και u n στο διάγραµµα µε διαφορετικό τρόπο, θα πάρουµε ένα διαφορετικό πίνακα. Έτσι κάθε αρίθµηση των κορυφών δίνει ένα διαφορετικό πίνακα γειτνίασης. U2 U1 U3 U4 1 1 0 0 0 0 1 1 A( G) = 0 0 0 0 1 1 1 0 Σχήµα 1 Σελίδα 1 από 14

Ένα κατευθυνόµενο πολυγράφηµα µε κορυφές u i µπορεί να αντιπροσωπευθεί από ένα πίνακα γειτνίασης του οποίου το (i,j)-στοιχείο του είναι ο αριθµός των φορών που οι ακµές (u i, u j ) εµφανίζονται. Με παρόµοιο τρόπο ορίζουµε και τον πίνακα γειτνίασης για ένα οποιοδήποτε γράφηµα: θεωρούµε το Α(G) ij να είναι 1 αν µεταξύ των κορυφών {u i, u j } υπάρχει ακµή και 0 στην αντίθετη περίπτωση. Αφού θεωρούµε ότι {u i, u j } είναι ακµή τότε και η { u j, u i } είναι ακµή, άρα ο πίνακας Α(G) είναι συµµετρικός. Το γεγονός ότι το γράφηµα δεν έχει βρόγχους σηµαίνει ότι ο Α(G) θα έχει 0 στην κύρια διαγώνιο. Για πολυγραφήµατα, θεωρούµε το Α(G) ij να είναι η πολλαπλότητα της ακµής {i,j}. Ένα γράφηµα και ο πίνακας γειτνίασης του φαίνονται στο σχήµα 2. 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 A( G) = 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 4 2 3 1 Σχήµα 2 5 Τάξη Πίνακα και Περίπατοι Οι πράξεις των πινάκων µας δίνουν τη δυνατότητα να καθορίσουµε τις φυσικές ιδιότητες των γραφηµάτων. Το µήκος ενός περιπάτου στο παρακάτω θεώρηµα αναφέρεται στον αριθµό των ακµών. Θεώρηµα 7.1 Αν D είναι ένα (κατευθυνόµενο) (πολυ)γράφηµα µε n κορυφές και Α ο πίνακας γειτνίασης, τότε το στοιχείο {i,j} του πίνακα Α κ είναι ο αριθµός των (κατευθυνόµενων) περιπάτων µήκους k από την κορυφή i, στην κορυφή j στο D. Απόδειξη: A i,j είναι ο αριθµός των περιπάτων µήκους 1 από το u i στο u j. Θεωρούµε ότι το S είναι το σύνολο όλων των ακεραίων m, και ισχύει ότι Α m i,j είναι ο αριθµός των (κατευθυνόµενων) περιπάτων µήκους m από το u i, στο u j. Γνωρίζουµε ότι το 1 Σελίδα 2 από 14

ανήκει στο S.Υποθέτουµε ότι όλοι οι θετικοί ακέραιοι που είναι µικρότεροι από το k ανήκουν στο S. Τότε Α k = Α k-1 A (Α k n k 1 ) ij = ( A ) h= 1 ih A hj Μπορούµε να χωρίσουµε το σύνολο των (κατευθυνόµενων) περιπάτων µήκους k από την κορυφή u i στην κορυφή u j το πολύ σε n υποσύνολα, το υποσύνολο h περιλαµβάνει όλους τους περιπάτους των οποίων η επόµενη πριν την τελευταία κορυφή είναι η u h. Σύµφωνα µε την αρχή του πολλαπλασιασµού, ο αριθµός των περιπάτων στο υποσύνολο h, είναι ο αριθµός των περιπάτων µήκους κ-1 από την κορυφή u i στην κορυφή u j.το γινόµενο αυτό, υποθέτουµε ότι είναι (Α k-1 ) ih A hj Σύµφωνα µε την αρχή του αθροίσµατος, ο αριθµός των περιπάτων µήκους k από u i, στο u j είναι n k 1 k ( A ) Ahj = ( A ) h= 1 ih και έτσι το k ανήκει στο S. Όµως από την 1η υπόθεση της µαθηµατικής επαγωγής, το S περιλαµβάνει όλους τους θετικούς ακέραιους και το θεώρηµα έχει αποδειχτεί. Ο αριθµός των (κατευθυνόµενων) µονοπατιών µήκους k από την κορυφή i, στην κορυφή j είναι πολύ πιο δύσκολο να υπολογιστεί. Για γραφήµατα, τα στοιχεία της διαγωνίου του πίνακα στην k δύναµη περιέχουν ενδιαφέρουσες πληροφορίες. Για παράδειγµα, Θεώρηµα 7.2 Αν ο Α είναι ο πίνακας γειτνίασης του γραφήµατος, τότε ο βαθµός της κορυφής i είναι (Α 2 ) ii ij Απόδειξη: (Α 2 ) ii = A ij A ji n j= 1 Αφού A ij Α ji είναι 0 εκτός αν {u i, u j } είναι ακµή, και θα είναι 1 αν {u i, u j } είναι ακµή, ο (Α 2 ) ii είναι ο αριθµός των ακµών που περιέχουν την κορυφή i. Σελίδα 3 από 14

Συνδεσιµότητα και µεταβατικός εγκλεισµός Θεώρηµα 7.3 Ένα (κατευθυνόµενο) (πολυ)γράφηµα n κορυφών είναι συνδετικό (ισχυρά συνδετικό) αν και µόνο αν κάθε στοιχείο του n i (A ) δεν είναι µηδενικό. i= 1 Απόδειξη: Αφού κάθε ζευγάρι από συνδεδεµένες κορυφές µπορεί να συνδεθεί µε ένα περίπατο µήκους n ή λιγότερου, το θεώρηµα προκύπτει από το θεώρηµα 7.1 Στην πραγµατικότητα δεν χρειάζεται να υπολογίσουµε κάθε τάξη χωριστά και να τις προσθέσουµε. Θεώρηµα 7.4 Ένα πολυγράφηµα n κορυφών είναι συνδετικό (ισχυρά συνδετικό) αν και µόνο αν κάθε στοιχείο του πίνακα (I + A) n δεν είναι µηδενικό. Απόδειξη: Αφού (I + A) n = n n I A j = j n j k j= 0 k= 0 n A k και αφού τα στοιχεία του Α κ είναι όλα µη αρνητικοί αριθµοί, το (i,,j) στοιχείο του (Ι+Α) n θα είναι µη µηδενική αν και µόνο αν το (i,,j) στοιχείο οποιουδήποτε Α k δεν είναι µηδενικό. Το θεώρηµα 7.4 προκύπτει από το θεώρηµα 7.3. Ο πίνακας (I + A) n µας δίνει και άλλες πληροφορίες για ένα γράφηµα ή κατευθυνόµενο γράφηµα. Μπορούµε να ορίσουµε τον µεταβατικό εγκλεισµό ενός γραφήµατος µε τρόπο παρόµοιο µε αυτό για ένα κατευθυνόµενο γράφηµα.( Απλώς θα θεωρήσουµε το σύνολο των ακµών του γραφήµατος σαν µια συµµετρική σχέση) Θεώρηµα 7.5 Ο πίνακας γειτνίασης του µεταβατικού εγκλεισµού ενός πολυγραφήµατος n κορυφών έχει 1 στην θέση i,j, αν και µόνο αν το στοιχείο i,j του πίνακα (Α+Ι) n -I είναι µη µηδενικό. Απόδειξη: Υπάρχει ένας περίπατος από την κορυφή i στην κορυφή j µήκους k αν και µόνο αν η θέση (i,j) του Α k είναι µη µηδενική και ( n k )Αk είναι ο προσθετέος του (Α+Ι) n. Όµως η έκφραση ( 0 n ) Α 0 =I αντιστοιχεί σε περιπάτους µήκους 0 που δεν χρησιµοποιούνται στον µεταβατικό εγκλεισµό. Σε ένα γράφηµα δύο σηµεία συνδέονται στον µεταβατικό εγκλεισµό αν και µόνο αν είναι στην ίδια συνδεδεµένη συνιστώσα. Αυτό µας δίνει ένα θεµελιώδη απλό τρόπο, για να ξεχωρίζουµε τις συνδεδεµένες συνιστώσες ενός γραφήµατος. Οι κορυφές u i στην ίδια συνδεδεµένη συνιστώσα αντιστοιχούν στα µη µηδενικά στοιχεία της γραµµής i του (Α+Ι) n. Η αριθµητική των πινάκων δεν είναι µια βασική ηλεκτρονική λειτουργία. Είναι προφανές ότι πιο πολύπλοκες µέθοδοι που βασίζονται στα Σελίδα 4 από 14

επικαλυπτόµενα δέντρα είναι πιο αποτελεσµατικές για µεγάλης κλίµακας υπολογισµούς. Ακόµη και οι συνηθισµένες προσθέσεις απαιτούν περισσότερη προσπάθεια από τις πιο απλές πράξεις των υπολογιστών. Boolean Πράξεις Ένα άλλο είδος προσθέσεων, η Boolean πρόσθεση, που ορίζεται µόνο από το 0 και το 1 και τους κανόνες 1 1 = 1 1 0 = 0 1 = 1 0 0 = 0 που το σύµβολο που καλείται «ή» είναι ηλεκτρονικά πιο ακριβής από την συνηθισµένη αριθµητική. Εφόσον δουλεύουµε µόνο µε το 0 και το 1, ο συνήθης πολλαπλασιασµός δίνει µόνο 0 και 1 και είναι επίσης ηλεκτρονικά ακριβής. Όλοι οι συνηθισµένοι κανόνες σαν µεταφράζονται σε κανόνες a(b + c) = ab + ac a(b c) = ab ac για πολλαπλασιασµό και πρόσθεση Boolean. Στην Boolean αριθµητική, όµως, δεν υπάρχει η έννοια της αφαίρεσης, έτσι έστω και αν ισχύει ότι στην περίπτωση a + b = a + c b = c, a b = a c δεν συνεπάγεται b = c Επειδή µόνο ο πολλαπλασιασµός και η πρόσθεση χρησιµοποιούνται για να ερµηνεύσουν τον πολλαπλασιασµό πινάκων, µπορούµε να ερµηνεύσουµε τον Boolean πολλαπλασιασµό πινάκων. Χρησιµοποιούµε Α n να δηλώσουµε την n-τάξη ενός πίνακα µε µηδενικά και άσσους στην Boolean αριθµητική. Ο πίνακας συνδεσιµότητας ενός κατευθυνόµενου ή µη γραφήµατος έχει 1 στην θέση (i,j) αν η κορυφή i και η κορυφή j είναι (ισχυρά) συνδεδεµένες. Στις εκφράσεις για την τάξη του πίνακα και τον πολλαπλασιασµό κατά Boolean τα θεωρήµατα 7.3 µέχρι 7.5 µπορούν να διατυπωθούν ως εξής Θεώρηµα 7.6 Ο πίνακας συνδεσιµότητας ενός κατευθυνόµενου πολυγραφήµατος είναι ο (Ι+Α) n και ο µεταβατικός εγκλεισµός έχει πίνακα γειτνίασης τον Α(Ι+Α) n-1. Απόδειξη: Κάθε Boolean δύναµη πίνακα έχει 1 σε κάθε θέση που οι συνηθισµένες δυνάµεις είναι µη µηδενικές. Σελίδα 5 από 14

Το Θεώρηµα πίνακα-δέντρου Πιο εξειδικευµένες πληροφορίες για ένα γράφηµα µπορούν να αποκτηθούν από άλλες πράξεις ενός πίνακα. Το θεώρηµα πίνακα-δέντρου µας δίνει τη δυνατότητα να υπολογίσουµε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων ενός γραφήµατος G από τον πίνακα γειτνίασης. Θεωρούµε ότι ο Β(G) είναι ο πίνακας του οποίου το (i, j) στοιχείο είναι 0 αν i j και το (i,i) στοιχείο του είναι ο βαθµός της κορυφής u i στο G. Ο συντελεστής του (i, j) στοιχείου του τετραγωνικού πίνακα M, όπου Μ= Β(G) - Α(G) είναι (-1) i+j φορές την ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από την διαγραφή της γραµµής i και της στήλης j του Μ. Θεώρηµα 7.7 Αν το G είναι ένα συνδετικό γράφηµα, τότε όλοι οι συντελεστές του πίνακα Μ = B(G) A(G) ισούνται µε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων του G. Το θεώρηµα 7.7 µπορεί να αποδειχτεί σαν ένα εύκολο πόρισµα του θεωρήµατος 7.8. Για ένα κατευθυνόµενο γράφηµα D, θεωρούµε ότι ο C(D) είναι ο πίνακας του οποίου το (i, i) στοιχείο είναι ο εξωτερικός βαθµός της κορυφής i και το (i,j) στοιχείο είναι 0 αν i j. Λέµε ότι ένα δέντρο είναι κατευθυνόµενο στην κορυφή i αν οι ακµές του είναι κατευθυνόµενες µε τέτοιο τρόπο που υπάρχει µονοπάτι από κάθε κορυφή στην κορυφή i. Θεώρηµα 7.8 Ο συντελεστής (i,i) του πίνακα Μ = Β(D) A(D) είναι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται στην κορυφή i στο συνδετικό κατευθυνόµενο γράφηµα D. Απόδειξη: Θα αποδείξουµε το θεώρηµα µε επαγωγή στον αριθµό των ακµών του D. Θεωρούµε ότι το S είναι το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων n έτσι ώστε, αν ο D έχει n ακµές, τότε το θεώρηµα ισχύει για τον D. Αν ο D έχει µία ακµή, έστω (1, 2), τότε Β(D) = 1 0 0 0 A(D) = 0 1 0 0 M = Β(D) A(D) = 1 1 0 0 Ο συντελεστής (1, 1) του Μ είναι 0 και ο συντελεστής (2, 2) του Μ είναι 1. Αυτοί είναι οι αριθµοί των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται αντιστοίχως στην κορυφή 1 και στην κορυφή 2. Όµως το 1 ανήκει στο S. Τώρα υποθέτουµε ότι όλοι οι ακέραιοι που είναι µικρότεροι από το n ανήκουν στο S και ότι το D είναι ένα κατευθυνόµενο γράφηµα µε n ακµές και m κορυφές. Χωρίζουµε την απόδειξη σε δύο υποθέσεις. Η υπόθεση 1 είναι η υπόθεση κατά την οποία υπάρχει µία ακµή (1, i) από Σελίδα 6 από 14

την κορυφή 1 σε κάποια κορυφή i, έτσι ώστε ο εξωτερικός βαθµός της od(1)>0. Εφόσον η ακµή δεν µπορεί να βρίσκεται σε κανένα επικαλύπτον δέντρο που κατευθύνεται στην κορυφής 1, ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων είναι ο ίδιος για το G και για το γράφηµα G του οποίου οι ακµές είναι οι ακµές του G εκτός από την (1,i). Ο πίνακας M = Β(G ) A(G ) θα είναι διαφορετικός από τον M µόνο στην πρώτη γραµµή (και µόνο στην στήλη 1 και στην στήλη i). Έτσι οι Μ και Μ έχουν τον ίδιο συντελεστή(1,1) τον οποίο, αφού το G έχει n-1 ακµές και το n-1 ανήκει στο S, είναι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων του G που κατευθύνονται στη κορυφή 1 στο G. Από την παραπάνω αναφορά, αυτός είναι επίσης ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων του G που κατευθύνονται στη κορυφής 1. Η υπόθεση 2 είναι η υπόθεση κατά την οποία ο εξωτερικός βαθµός της κορυφής 1 είναι 0. Αυτή η υπόθεση θα αναλυθεί λεπτοµερέστερα σε τρία βήµατα για να ξεκαθαριστεί. Βήµα 1:Έστω ότι για κάθε κορυφή i τέτοια ώστε η (i,1) να είναι ακµή της, η κορυφή i έχει εξωτερικό βαθµό 1. Έστω G το γράφηµα που προκύπτει από µια τέτοια κορυφή. Έστω κορυφή j, διαγράφουµε την ακµή (j, 1), αντικαθιστούµε κάθε ακµή (i,1) µε την ακµή (i,j) και διαγράφουµε την κορυφή 1. Πιο συγκεκριµένα, αν εφαρµόσουµε αυτή την κατασκευή σε ένα επικαλύπτον δέντρο που κατευθύνεται στη κορυφή 1, θα πάρουµε ένα επικαλύπτον δέντρο του G που κατευθύνεται στην κορυφή j. Αν αντιστρέψουµε την διαδικασία, δηλαδή αν ξεκινήσουµε από ένα επικαλύπτον δέντρο του G που κατευθύνεται στην κορυφή j, θα πάρουµε ένα επικαλύπτον δέντρο του G που κατευθύνεται στη κορυφή 1. Αυτές οι αντιστοιχίες είναι 1-1, έτσι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων του G που κατευθύνονται στην κορυφή 1 είναι ίσος µε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων του G που κατευθύνονται στην κορυφή j. Ο πίνακας Μ του G προέρχεται από τον πίνακα Μ του G αν προσθέσουµε την στήλη i στην στήλη j και µετά διαγράψουµε την γραµµή και στήλη 1. Ο πίνακας που σχηµατίζεται όταν διαγραφούν οι γραµµές και στήλες 1 και j του πίνακα Μ, είναι ο ίδιος µε τον πίνακα που σχηµατίζεται αν διαγραφούν οι γραµµές και στήλες j του πίνακα Μ. Ονοµάζουµε τον πίνακα αυτό που προκύπτει Μ*. Επιστρέφουµε στον πίνακα Μ και παρατηρούµε ότι η γραµµή j έχει -1 στην θέση 1,έχει 1 στην θέση j και 0 οπουδήποτε αλλού. Έτσι ο συντελεστής (1,1) του Μ είναι η ορίζουσα του Μ*. Όµως η ορίζουσα του Μ* είναι ο συντελεστής (j,j) του Μ. Από την επαγωγική υπόθεση, αυτός είναι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται στην κορυφή j στο G. Έτσι ο αριθµός των επικαλυπτόµενων δέντρων του G που κατευθύνονται στην κορυφή 1 είναι ο συντελεστής (1,1) του Μ. Τα βήµατα 2 και 3 αναλύουν την κατάσταση στην οποία η (i,1) είναι ακµή και η κορυφή i έχει εξωτερικό βαθµό µεγαλύτερο του 1. Πρώτα υπολογίζουµε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων που χρησιµοποιούν την ακµή (i,1) στην κατάσταση αυτή (αυτό είναι το βήµα 2). Ακολούθως υπολογίζουµε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων που δεν χρησιµοποιούν την ακµή (i,1) (αυτό είναι το βήµα 3). Τέλος προσθέτουµε τους 2 αυτούς αριθµούς Υποθέτουµε ότι η (i,1) είναι ακµή και η κορυφή i έχει εξωτερικό βαθµό µεγαλύτερο του 1. Αν ένα επικαλύπτον δέντρο χρησιµοποιεί την ακµή (i,1), τότε δεν µπορεί να χρησιµοποιεί και την ακµή (i,j) γιατί τότε το κατευθυνόµενο µονοπάτι από την κορυφή j στην κορυφή 1 θα µας έδινε ένα µη κατευθυνόµενο κύκλο στο επικαλύπτον δέντρο µας. Έτσι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων που χρησιµοποιούν την ακµή (i,1) είναι ίσος µε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων του γραφήµατος G που προέρχεται διαγράφοντας όλες τις ακµές (i, j) µε j 1 του G. Σελίδα 7 από 14

Θέτουµε Μ =Β(G )-A(G ). Από την επαγωγική µας υπόθεση γνωρίζουµε ότι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων είναι ο συντελεστής του στοιχείου (1,1) του πίνακα Μ. Σε αυτήν την περίπτωση ο Μ διαφέρει από τον Μ µόνο στην γραµµή i.στην γραµµή i και στήλη 1 έχει -1 και στην γραµµή i και στήλη i έχει α+1. Όλα τα άλλα στοιχεία της γραµµής i είναι 0. Τώρα υπολογίζουµε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων που δεν χρησιµοποιούν την ακµή (i,1). Ο αριθµός αυτός είναι ίσος µε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται στην κορυφή 1 του γραφήµατος G** που προκύπτει διαγράφοντας την ακµή (i,1) από τον G. Αφού το G** έχει n-1 ακµές, η επαγωγική µας υπόθεση µας λεει ότι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων είναι ο συντελεστής του στοιχείου (1,1) του πίνακα Μ**=B(G**)-A(G**). Έστω Ν, Ν n και Ν** οι πίνακες που προκύπτουν από τους αντίστοιχους Μ, Μ n και Μ** αν διαγράψουµε την 1 η γραµµή και στήλη. Αν εξαιρέσουµε την 1 η γραµµή οι πίνακες αυτοί είναι πανοµοιότυποι και η γραµµή i του Ν είναι το άθροισµα της γραµµής i του Ν και της γραµµής i του Ν**. Έτσι από το θεώρηµα της πρόσθεσης των οριζουσών, η ορίζουσα του Ν είναι το άθροισµα των οριζουσών του Ν και του Ν**. Το άθροισµα αντιστοιχεί και στον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται στην κορυφή 1. Αυτό αποδεικνύει ότι το n ανήκει στο S και έτσι, από την πρώτη υπόθεση της µαθηµατικής επαγωγής αποδεικνύεται το θεώρηµα µας. Ο αριθµός των περιπάτων Euler σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα Με το να γνωρίζουµε το πόσα επικαλύπτοντα δέντρα έχει ένα κατευθυνόµενο γράφηµα µπορούµε να βρούµε τον αριθµό των περιπάτων Euler που έχει. Αν µας δίδεται ένα επικαλύπτον δέντρο κατευθυνόµενο στην κορυφή i σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα Euler που δεν έχει κορυφές περιττού βαθµού, µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα κατευθυνόµενο περίπατο Euler ως εξής :Ξεκινώντας από την κορυφή i, ακολουθούµε οποιαδήποτε ακµή (i,j 1 ) προς τα έξω. Από την κορυφή j 1 διαλέγουµε οποιαδήποτε ακµή, έστω την (j 1, j 2 ) που να µην ανήκει στο επικαλύπτον δέντρο. Επαναλαµβάνουµε την διαδικασία αυτή κάθε φορά που καταλήγουµε σε κορυφή j κ. Ακολουθούµε την ακµή (j κ, j κ+1 ) που οδηγεί προς τα έξω της κορυφής j κ+1, αλλά όχι προς το επικαλύπτον δέντρο αν υπάρχει τέτοια ακµή. Αλλιώς ακολουθούµε την µοναδική ακµή του επικαλύπτοντος δέντρου που φεύγει από την κορυφή κ. Με αυτό τον τρόπο κάθε ακµή µε κατεύθυνση προς τα έξω από κάθε κορυφή θα χρησιµοποιηθεί, και αφού κάθε κορυφή (εκτός ίσως από την κορυφή i και την τελική κορυφή) θα βρίσκεται σε ζυγό αριθµό ακµών στον περίπατο, η κορυφή i θα είναι η τελευταία κορυφή που θα επιλεχθεί. Στο θεώρηµα 7.9 το od(u 1 ) είναι ο εξωτερικός βαθµός της κορυφής i. Θεώρηµα 7.9 Ο αριθµός κατευθυνόµενων περιπάτων Euler από µια κορυφή i σε µια κορυφή j σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα n κορυφών D, του οποίου κάθε κορυφή έχει τον ίδιο εσωτερικό και εξωτερικό βαθµό που είναι ίσος µε το γινόµενο του συντελεστή του στοιχείου (i,i) B(D) A(D) µε το n ( od u j ) od( u ) ( ) 1! i j= 1 Σελίδα 8 από 14

Απόδειξη: Κάθε περίπατος Euler από την κορυφή u i στην κορυφή u i παράγει ένα δέντρο που κατευθύνεται στην κορυφή u i ως ακολούθως : Για κάθε κορυφή u j που δεν είναι ίση µε την u i,υπάρχει µια τελευταία ακµή (u j, u κ ) στον περίπατο που εµφανίζεται η j. Το σύνολο των κορυφών V µε αυτές τις τελευταίες ακµές, σχηµατίζει ένα δέντρο που κατευθύνεται στην κορυφή u i. Ονοµάζουµε το δέντρο αυτό, το δέντρο της τελευταίας διέλευσης του περιπάτου(tree of last passage of the walk). Ο αριθµός των περιπάτων που έχουν ένα δεδοµένο δέντρο τελευταίας διέλευσης µπορεί να υπολογιστεί µε το να παρατηρήσουµε τον τρόπο που κάθε τέτοιος περίπατος µπορεί να κατασκευαστεί µε την µέθοδο που περιγράψαµε πριν την διατύπωση του θεωρήµατος. Ξεκινάµε διαλέγοντας την κορυφή u i. Υπάρχουν od(u i ) τρόποι για να επιλέξουµε µια ακµή που να φεύγει από την u i. Την πρώτη φορά που οποιαδήποτε κορυφή u j για j i χρησιµοποιείται, θα υπάρχουν od(u j ) ακµές που να φεύγουν από την κορυφή u j για να επιλέξουµε. Την κ φορά που θα χρησιµοποιήσουµε είτε την u i είτε την u j (για j i), υπάρχουν αντίστοιχα od(u i )-κ+1 ή od(u j )-κ ακµές που φεύγουν από την κορυφή που έχουµε επιλέξει. Πολλαπλασιάζοντας, ο αριθµός των περιπάτων αν µας δίνεται το δέντρο τελευταίας διέλευσης είναι Ξανά πολλαπλασιάζοντας, αποδεικνύεται το θεώρηµα. υστυχώς, δεν υπάρχει το αντίστοιχο θεώρηµα(7.9) για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα Euler. Στις πιο κάτω ασκήσεις εντοπίζονται οι λόγοι που δεν µπορεί να εφαρµοστεί σε µη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Σελίδα 9 από 14

Ασκήσεις 1. Να σχεδιαστούν τα γραφήµατα µε τους πιο κάτω πίνακες γειτνίασης 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 2. Να γράψετε τον πίνακα γειτνίασης του γραφήµατος 4.39 7 3 6 1 5 2 Σχήµα 4.39 4 3. Να γράψετε τον πίνακα γειτνίασης για το πολυγράφηµα 4.40 4. Να βρεθεί ο αριθµός των περιπάτων µήκους 2 και µήκους 3 µεταξύ των κορυφών 1 και 5 του γραφήµατος 4.39. Να γίνει το ίδιο και για τα µονοπάτια. Τι γίνεται για µήκος 4? 5. Να βρεθεί ο αριθµός των περιπάτων µήκους 4 µεταξύ των κορυφών 1 και 4 στο πολυγράφηµα 4.40 6. Να βρεθεί ο πίνακας γειτνίασης του κατευθυνόµενου γραφήµατος 4.41 7. Να βρεθεί ο αριθµός των κατευθυνόµενων περιπάτων µήκους 3 και 4 από την κορυφή 1 στην κορυφή 3 στο κατευθυνόµενο γράφηµα 4.41 Σελίδα 10 από 14

1 5 3 2 4 Σχήµα 4.40 4 1 3 5 Σχήµα 4.41 2 8. (α)υπό ποιες συνθήκες το (i,i) στοιχείο του πίνακα A( G) 3 θα είναι µη µηδενικό? (π.χ τι ιδιότητα πρέπει να έχει το γράφηµα G στην περίπτωση αυτή?) (β)πως σχετίζεται ο αριθµός των τριγώνων του γραφήµατος G µε το ίχνος( άθροισµα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου) του πίνακα A( G ) 3? 9. Να δείξετε ότι ένα τουρνουά D είναι µεταβατικό τότε και µόνο τότε, όταν το ίχνος(δες άσκηση 8) του A( G ) 3 είναι µηδέν. 10. (α)να υπολογιστεί ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται στην κορυφή 3 στο κατευθυνόµενο γράφηµα 4.41 (β) Να υπολογιστεί ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται σε οποιαδήποτε άλλη κορυφή στο κατευθυνόµενο γράφηµα 4.41 11. (α)να υπολογιστεί ο αριθµός των περιπάτων Euler που ξεκινούν και τελειώνουν στην κορυφή 1 στο γράφηµα 4.42 (β)να υπολογιστεί ο αριθµός των περιπάτων Euler που ξεκινούν και τελειώνουν στην κορυφή 3 στο γράφηµα 4.42 Σελίδα 11 από 14

12. Να εξηγήσετε γιατί χρειαζόµαστε το πολύ log 2( n ) (ή το αµέσως επόµενο µεγαλύτερο ακέραιο) πολλαπλασιασµούς πινάκων για να εφαρµόσουµε το θεώρηµα 4.40 και 4.41. Τι θα γίνει στο θεώρηµα 4.42? 2 5 1 3 6 4 Σχήµα 4.42 *13. Εξηγήστε γιατί κάθε επικαλύπτον δέντρο που κατευθύνεται στην κορυφή 3 στο σχήµα 4.42 πρέπει να περιέχει την ακµή(6,3). *14. Να εξηγήσετε γιατί σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα Euler υπάρχει τουλάχιστον ένα επικαλύπτον δέντρο που να κατευθύνεται σε κάθε κορυφή. *15. ίδεται ένα γράφηµα G, το διπλάσιο του DG είναι ένα κατευθυνόµενο γράφηµα µε ακµές (i,j) και (j,i) για κάθε ακµή {i,j} του G. (α)να δείξετε ότι υπάρχει 1-1 αντιστοιχία µεταξύ των επικαλυπτόντων δέντρων του G και των επικαλυπτόντων δέντρων του DG που κατευθύνονται στην κορυφή i. (β)να δείξετε ότι οι διαγώνιοι συντελεστές του B(G)-A(G)(οι συντελεστές (i,i) δηλαδή) είναι ίσοι µε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων του G. (γ)να δείξετε ότι οι γραµµές και οι στήλες του B(G)-A(G) όταν προστεθούν µας δίνουν µηδέν. Είναι ένα θεώρηµα της γραµµικής άλγεβρας όπου οι συντελεστές ενός πίνακα µε µηδενικό άθροισµα στηλών και γραµµών είναι ίσοι. Έτσι αποδεικνύεται το θεώρηµα 7.7 *16. Ένας περίπατος Euler που ξεκινά και τελειώνει στην κορυφή i µας δίνει 2 κατευθύνσεις που µετατρέπουν το G σε κατευθυνόµενο γράφηµα. Υπάρχει δέντρο που κατευθύνεται στην κορυφή i και συσχετίζεται µε ένα τέτοιο περίπατο. Επίσης, κάθε επικαλύπτον δέντρο του G(σαν γράφηµα, όχι κατευθυνόµενο) µπορεί να προσανατολιστεί µε ακριβώς ένα τρόπο έτσι ώστε να γίνει επικαλύπτον δέντρο που να κατευθύνεται στην κορυφή i. Γιατί αυτά τα γεγονότα δεν µπορούν να χρησιµοποιηθούν όπως στο θεώρηµα 7.9 για να υπολογίσουµε τον αριθµό των περιπάτων Euler στο G? Σελίδα 12 από 14

17. Να βρεθεί ο πίνακας γειτνίασης του γραφήµατος 4.42 18. Να βρεθούν µε χρήση Boolean αριθµητικής τα τετράγωνα, η 4 η και 8 η δύναµη των πινάκων της άσκησης 1. 19. Το Boolean άθροισµα 2 διανυσµάτων γραµµής είναι το διάνυσµα του οποίου τα συστατικά του είναι τα Boolean αθροίσµατα των συστατικών των 2 διανυσµάτων. Χρησιµοποιούµε το Ai για να συµβολίσουµε την γραµµή i του πίνακα Α. Ο ακολούθως αλγόριθµος, που ονοµάζεται αλγόριθµος του Warshall, είναι πολύ αποτελεσµατικός στο να υπολογίζει τον µεταβατικό εγκλεισµό επειδή η πράξη υλοποιείται εύκολα. Να δείξετε ότι ο αλγόριθµος αυτός υπολογίζει τον µεταβατικό εγκλεισµό ενός κατευθυνόµενου γραφήµατος µε πίνακα πρόσπτωσης Α διαστάσεων n X n, και έπειτα αποθηκεύει τον πίνακα του Μεταβατικού εγκλεισµού στον πίνακα Α. For j=1 to n For i=1 to n If A i j = 1, then let Ai = Ai Aj 20. Στα θεωρήµατα αυτού του κεφαλαίου για τις n-οστές δυνάµεις των πινάκων, το n µπορεί συχνά να αντικατασταθεί από το n-1, αλλά σε κάποιες περιπτώσεις δεν γίνεται. Εξηγήστε το.(υπόδειξη: Υπάρχει διαφορά ανάµεσα στα γραφήµατα και τα κατευθυνόµενα γραφήµατα.) Σελίδα 13 από 14

Προτεινόµενη Βιβλιογραφία Behzad, M., Chartrand, G. and Lesniak-Foster, L.: Graphs and Digraphs, Wadsworth 1979. Biggs, N.L, Lloyd, E.K., and Wilson, R.J: Graph Theory 1736-1936, Oxford University Press 1976, Clarendon Press 1977. Harary, F.: Graph Theory, Addison-Wesley 1969. Harary, F., Norman, R.Z., and Cartwright, D: Structural Models: An Introduction to the Theory of Directed Graphs, Wiley 1965. Korfhage, R.: Discrete Computational Structures, Academic Press 1974. Liu, C.L.: Introduction to Combinatorial Mathematics, McGraw-Hill 1968 Nijenhuis, A and Wilf, H.S.: Combinatorial Algorithms, Academic Press 1974. Reingold, E.M., Nievergelt, Deo, N.: Combinatorial Algorithms, Prentice Hall 1977. Roberts, F.S.: Discrete Mathematical Models, Prentice Hall 1976. Tucker, Alan: Applied Combinatorics, Wiley 1980. Tutte, W.T.: Chromials in studies in Graph Theory II. MAA Studies in Mathematics, Volume 12, Mathematical Association of America 1975. Whitney, Hassler and Tutte, W.T.: Kempe Chains and the Four Color Problem in Studies in Graph Theory II, MAA Studies in Mathematics, Volume 12, G.S. Rota, e.d. Mathematical Association of America 1975. Σελίδα 14 από 14