ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ 6. Εισαγωγικά Το αγνητοστατικό πεδίο παράγεται από σταθερά (όνια) ρεύατα ή όνιους αγνήτες, χαρακτηριστικό του δε διάνυσα είναι η αγνητική επαγωγή ή πυκνότητα αγνητικής ροής. Αντίστοιχα προς τη διηλεκτρική σταθερά ε = ε ε του ηλεκτρικού πεδίου, που συνδέει τη διηλεκτρική ετατόπιση D και την ηλεκτρική πεδιακή ένταση E ε τη σχέση D= εe, (6.) στο αγνητικό πεδίο, εισάγεται η αγνητική διαπερατότητα =, που συνδέει τη αγνητική επαγωγή και τη αγνητική πεδιακή ένταση H ε την καταστατική σχέση η αδιάστα- όπου 4π τη σχετική αγνητική διαπερατότητα. = H, (6.) 7 = H/m είναι η αγνητική διαπερατότητα στο κενό και 37

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ 6. Νόος των iot-savat 6.. Γραικός αγωγός Έστω ένα αγνητικό πεδίο που δηιουργείται από ένα ρεύα που διαρρέει τον συρατόορφο αγωγό του σχήατος 6-. Ο νόος των iot και Savat καθορίζει ότι η στοιχειώδης αγνητική επαγωγή d σ ένα σηείο P του έσου, που οφείλεται στο στοιχείο ρεύατος dl, δίνεται από τη σχέση dl d = (6.3) 3 4π θ P dl C Σχήα 6- Από την ολοκλήρωση της (6.3), προκύπτει η αγνητική επαγωγή του πεδίου d = l, (6.4) 3 4π C που εκφράζει και την ολοκληρωτική ορφή του νόου των iot-savat. Η (6.3), αν θ είναι η γωνία εταξύ dl και, οδηγεί στην έκφραση sin θdl d =, 4π από την οποία για αγωγό που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο ε το θεωρούενο σηείο P, προκύπτει η 38

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 sin θ = dl (6.5) 4π C 6.. Επιφανειακή κατανοή ρεύατος (αγώγιη ταινία) Έστω αγώγιη ταινία απειροστού πάχους, πλάτους d και άπειρου ήκους, που διαρρέεται από ένα ρεύα. Στην περίπτωση αυτή, αντί της πυκνότητας ρεύατος J που α- πειρίζεται (απειροστό πάχος ταινίας) χρησιοποιείται η επιφανειακή πυκνότητα ρεύατος s, που εκφράζει το ρεύα ανά ονάδα πλάτους της ταινίας. s ds P S d Σχήα 6- Από την (6.4), προκύπτει ότι η αγνητική επαγωγή σ ένα σηείο P δίνεται από τη σχέση s = ds. (6.6) 3 4π S 6..3 Χωρική κατανοή ρεύατος Έστω ο αγωγός του σχήατος 6-3, που διαρρέεται από ρεύα. Αν θεωρήσουε τον τυπικό στοιχειώδη ρευατικό σωλήνα του σχήατος, που διαρρέεται από το απειροστό 39

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ρεύα d, τότε, σύφωνα ε την (6.3), η αγνητική επαγωγή που οφείλεται στο στοιχειώδες ρεύα d dl είναι ds dl d P Σχήα 6-3 d dl = (6.7) 3 4π Αν η στοιχειώδης ένταση d, αντικατασταθεί από τη σχέση d = J ds, όπου J είναι η πυκνότητα του ρεύατος στο θεωρούενο στοιχείο όγκου, στην (6.8) και λάβουε υπόψη ότι ο στοιχειώδης όγκος dv είναι ίσος ε το εσωτερικό γινόενο ds dl, η (6.7) ετά την ολοκλήρωση σ όλο τον όγκο του αγωγού δίνει = J dv (6.8) 3 4π V 6.3 Ο νόος του Ampèe Σύφωνα ε το νόο του Ampèe, το κλειστό επικαπύλιο ολοκλήρωα H d l κατά ήκος ενός τυχόντος κλειστού δρόου C είναι ίσο ε το συνολικό ρεύα που επλέκει ο δρόος C, ισχύει δηλαδή η σχέση H dl= J ds =, (6.9) C όπου S οποιαδήποτε επιφάνεια που περατώνεται στην κλειστή καπύλη C. Η (6.9), ε τη βοήθεια της καταστατικής σχέσης (6.), οδηγεί στην ακόλουθη εναλλακτική διατύπωση του νόου του Ampèe S l 33

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 d l = (6.) C Η διαφορική διατύπωση του νόου του Ampèe, που προκύπτει από την (6.9) ε τη βοήθεια του θεωρήατος του Stokes είναι η ή, για σταθερή διαπερατότητα, η H dl= H ds, C S H = J, (6.) = J (6.) Από την (6.) (που προκύπτει επίσης και από την πρώτη εξίσωση του Maxwell για χρονικά αετάβλητα πεδία) παρατηρούε ότι το αγνητοστατικό πεδίο χαρακτηρίζεται από πηγές cul (κλειστές δυναικές γραές), ενώ το ηλεκτροστατικό πεδίο, ως γνωστόν, από πηγές div (ανοικτές δυναικές γραές, αφού E = ). Τέλος, στην περίπτωση όπου ο κλειστός δρόος C δεν επλέκει κανένα ρεύα ( = ), από την (6.9) έχουε H d l = (6.3) C 6.4 Μαγνητική ροή. Πεπλεγένη ροή Έστω αγνητικό πεδίο και ds στοιχείο κάποιας προσανατολισένης επιφάνειας S. Από τη στοιχειώδη αγνητική ροή dφ δια του στοιχείου ds που ορίζεται από τη σχέση dφ = ds, προκύπτει ε ολοκλήρωση η ολική ροή Φ που διέρχεται από την επιφάνεια S Φ = d S (6.4) S Αν το περίγραα C της επιφάνειας S, είναι ο αγώγιος δρόος ενός πηνίου που έχει n ελίγατα, η πεπλεγένη (ε το πηνίο) ροή Ψ (ή λ ) ορίζεται από τη σχέση Ψ = n Φi, (6.5) i= όπου Φ i είναι η αγνητική ροή που διέρχεται από το i-στό έλιγα. Όταν όλα τα ελίγατα επλέκουν την ίδια ροή Φ, τότε η (6.5) καταλήγει στην 33

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Ψ = nφ (6.6) Αν S είναι ια κλειστή επιφάνεια που περικλείει έναν όγκο V, ισχύει η d S =, (6.7) S δηλαδή η ροή που εισέρχεται δια της επιφάνειας S είναι ίση ε τη ροή που εξέρχεται δια της S. Με εφαρογή του θεωρήατος του Gauss, η (6.7) δίνει dv = (6.8) από την οποία προκύπτει η πολύ βασική σχέση (τρίτη εξίσωση του Maxwell) V = (6.9) 6.5 Οριακές συνθήκες Από τις (6.9) και (6.7) προκύπτουν εύκολα οι ακόλουθες οριακές συνθήκες στη διαχωριστική επιφάνεια S δύο έσων () και () ε αγνητικές διαπερατότητες και, α- ντίστοιχα και n ( ) = (6.) n ( H H) = S (6.) όπου S είναι το ανά ονάδα ήκους επιφανειακό ρεύα στη διαχωριστική επιφάνεια και n το οναδιαίο κάθετο σ αυτήν διάνυσα ε φορά από το έσο () προς το έσο (). Η (6.) που γράφεται και ως = (6.) n n εκφράζει τη συνέχεια της κάθετης συνιστώσας της αγνητικής επαγωγής, ενώ η (6.) στην περίπτωση απουσίας επιφανειακών ρευάτων ( S = ) γράφεται H = H (6.3) t t και εκφράζει τη συνέχεια της εφαπτοενικής συνιστώσας της αγνητικής πεδιακής έντασης. 33

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6.6 Βαθωτό αγνητικό δυναικό. ΜΕ Όταν οι εξεταζόενες περιοχές ενός αγνητικού πεδίο δεν περιλαβάνουν ηλεκτρικά ρεύατα, τότε, επειδή σύφωνα ε την (6.) ισχύει η H =, (6.4) πορούε να εκφράσουε την ένταση H του αγνητικού πεδίου ε την αρνητική κλίση ιας βαθωτής συνάρτησης φ m. Η βαθωτή συνάρτηση φ m, που ικανοποιεί την ονοάζεται βαθωτό αγνητικό δυναικό. πύλης C H = φ m, (6.5) Από την (6.5), καθορίζεται η διαφορά δυναικού δύο σηείων P και P ιας κα- φ P m(p ) φm(p ) = d P H l (6.6) Αντίθετα προς το βαθωτό ηλεκτρικό δυναικό που είναι ια ονοσήαντη συνάρτηση της θέσης του, το βαθωτό αγνητικό δυναικό εκτός από την περίπτωση όπου η εξεταζόενη περιοχή είναι απλά συνεκτική και απαλλαγένη ρευάτων δεν είναι εν γένει ια ονοσήαντη συνάρτηση. Όταν ένας κλειστός δρόος ολοκλήρωσης, επλέκει ένα πηνίο που έχει N ελίγατα και διαρρέεται από ρεύα, αντίστοιχα προς την ηλεκτρεγερτική (ΗΕ ) δύναη E, ορίζουε τη αγνητεγερτική (ΜΕ ή MMF) F, από τη σχέση H d l = N = F (6.7) C 6.7 ιανυσατικό αγνητικό δυναικό Α Οι σχετικά περιορισένες δυνατότητες αποτελεσατικής χρησιοποίησης του βαθωτού αγνητικού δυναικού φ m, στην επίλυση των προβληάτων του αγνητικού πεδίου, επιβάλλουν την εισαγωγή και του διανυσατικού αγνητικού δυναικού A. Έχοντας υπόψη την (.78), σύφωνα ε την οποία η απόκλιση της στροφής ιας διανυσατικής συνάρτησης είναι ίση ε ηδέν, εύκολα παρατηρούε, ότι η ισχύς της (6.9) 333

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ διασφαλίζεται αυτόατα, αν ορίσουε ένα διανυσατικό έγεθος A, τέτοιο, ώστε να ισχύει η = A (6.8) Αξίζει να παρατηρήσουε ότι την (6.8), λόγω της (.79), ικανοποιεί και κάθε διανυσατική συνάρτηση A της ορφής όπου φ τυχούσα βαθωτή συνάρτηση. A = A + φ, (6.9) Είναι, όως, γνωστό ότι ένα διανυσατικό πεδίο περιγράφεται πλήρως όταν δίνεται η στροφή και η απόκλισή του σε κάθε θέση. Για τον ονοσήαντο, συνεπώς, καθορισό του διανυσατικού δυναικού A, χρειάζεται να επιβληθεί ια πρόσθετη συνθήκη. Η συνθήκη που, συνήθως, επιλέγεται στα προβλήατα του αγνητοστατικού πεδίου είναι η που είναι γνωστή και ως συνθήκη Coulomb. A =, (6.3) Αργότερα στη ελέτη των χρονικά εταβαλλόενων πεδίων θα δούε ότι στη θέση της (6.3) συχνά χρησιοποιείται η συνθήκη Loent. Από την αντικατάσταση της (6.8) στην (6.), αν λάβουε υπόψη τη διανυσατική ταυτότητα (.49) και τη σχέση (6.3), προκύπτει η διανυσατική εξίσωση Poisson A = J (6.3) Αν Ax, Ay, A και Jx, Jy, J είναι οι συνιστώσες των διανυσάτων A και J σ ένα καρτεσιανό σύστηα ορθογώνιων συντεταγένων, από την (6.3), προκύπτουν οι παρακάτω τρεις βαθωτές εξισώσεις Ax = Jx, (6.3) Ay = Jy, (6.33) Ανάλογα προς τη γενική λύση A = J (6.34) της εξίσωσης Poisson φ = πε 4 V ρdv, (6.35) 334

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 φ =, (6.36) ε ρ στο ηλεκτροστατικό πεδίο, προκύπτουν οι γενικές λύσεις των (6.3), (6.33) και (6.34) Ax = 4π V Ay = 4π V JdV x, (6.37) JdV y, (6.38) δηλαδή, η λύση της (6.7) είναι η A = 4π V JdV, (6.39) dv = J A (6.4) 4π V Στην περίπτωση, ενός συρατόορφου αγωγού που διαρρέεται από ρεύα, λόγω της (6.4) έχουε d = l A (6.4) 4π C Τέλος, η αγνητική ροή Φ δια ιας επιφάνειας S που περατώνεται στην κλειστή κα- πύλη C, από τις σχέσεις (6.4) και (6.8) ε τη βοήθεια του θεωρήατος του Stokes, πορεί να γραφεί και ε τη ορφή Φ = ( A) ds= A dl (6.4) S C 6.8 Μαγνητικές δυνάεις Η δύναη df που ασκείται σ ένα στοιχειώδες ήκος dl ενός συρατόορφου αγωγού C που διαρρέεται από ρεύα, όταν βρεθεί σ ένα εξωτερικό αγνητικό πεδίο, δίνεται από την df= ( dl ), (6.43) που είναι γνωστή ως νόος του Laplace. Η συνολική δύναη F, που προκύπτει από την ολοκλήρωση της (6.43), δίνεται από τη σχέση 335

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ F= d ( l ) (6.44) l Οι εκφράσεις της δύναης για επιφανειακές ( J s ) και χωρικές ( J ) κατανοές ρευάτων είναι, αντίστοιχα, οι και F= ( J ) ds, (6.45) S s F= ( J ) dv (6.46) V Με βάση τη σχέση (6.44) εύκολα αποδεικνύεται ότι η δύναη που ασκείται εταξύ δύο παράλληλων αγωγών ήκους l, που διαρρέονται από ρεύατα και και που απέχουν απόσταση α, δίνεται από τη σχέση F = l (6.47) πα Η δύναη F που βρίσκεται στο επίπεδο των δύο αγωγών και είναι κάθετη στη διεύθυνσή τους, είναι ελκτική όταν τα ρεύατα και έχουν την ίδια φορά και απωστική όταν έχουν αντίθετη φορά. Ας σηειώσουε, τέλος, ότι από τη σχέση (6.43) πορεί να εξαχθεί η έκφραση της δύναης που ασκείται σ ένα φορτισένο σωατίδιο q που κινείται σ ένα αγνητικό πεδίο ε ταχύτητα υ. Πράγατι, ε αντικατάσταση της (5.3) στην (6.43), παίρνουε dq d d ( d ) dq l F= l = = dq( ) dt dt υ Β (6.48) Η (6.48) δίνει τη δύναη df που ασκείται στο φορτίο dq όταν κινείται ε ταχύτητα υ έσα στο αγνητικό πεδίο. Η ανά ονάδα όγκου, συνεπώς, ασκούενη δύναη f, σε ια θέση του χώρου στην οποία το ε πυκνότητα ρ διανεηένο χωρικό φορτίο κινείται ε ταχύτητα υ σ ένα αγνητικό πεδίο, δίνεται από την είναι η f = ρ( υ ) = J (6.49) Η αντίστοιχη έκφραση για τη δύναη που ασκείται σ ένα φορτισένο σωατίδιο q 336

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 F = q( υ ) (6.5) 6.9 Μαγνητική ροπή Έστω ότι στο αγνητικό πεδίο του σχήατος 6-4(α), τοποθετείται παράλληλα προς τη διεύθυνσή του ο βρόχος ΑΒΓ Α, που διαρρέεται από ένα ρεύα. Τότε, επί του βρόχου ενεργεί το ζεύγος των δυνάεων F που τείνει να στρέψει τον βρόχο γύρω από τον άξονα περιστροφής κκ. κ A F l F l Γ κ Σχήα 6-4(α) Η ηχανική ροπή T του ζεύγους για ια στροφή κατά γωνία α (σχήα 6-4(β)) περί τον άξονα κκ είναι T = S cos α, (6.5) όπου S = ll, είναι η επιφάνεια του βρόχου. Αν ορίσουε τη αγνητική ροπή M ως το διανυσατικό έγεθος που έχει έτρο ίσο προς το γινόενο του ρεύατος επί το εβαδόν του βρόχου SM ( = S), και διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο του βρόχου ε θετική φορά εκείνη που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία, δηλαδή M = Mn = Sn, (6.5) 337

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ F F t l / Β Γ l / κ κ α Β A F F t Σχήα 6-4(β) όπου n το κάθετο στην επιφάνεια του βρόχου οναδιαίο διάνυσα, η (6.47), υπό διανυσατική ορφή, πορεί επίσης να γραφεί T = M, (6.53) όπου το διάνυσα της ροπής T βρίσκεται στον άξονα περιστροφής κκ του βρόχου. Αποδεικνύεται ότι η (6.53) είναι γενική και ισχύει για κάθε βρόχο, οποιουδήποτε σχήατος, που η αγνητική του ροπή είναι M. Τέλος, αν αντί ενός όνο βρόχου έχουε n σπείρες που διαρρέονται από το ίδιο ρεύ- α, η αγνητική ροπή M είναι και η ροπή T του ζεύγους M = nsn (6.54) T = M =ns cos ακ, (6.55) όπου κ το οναδιαίο διάνυσα στη διεύθυνση του άξονα περιστροφής κκ. 338

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6. Παραδείγατα 6. Το βαθωτό δυναικό φ m των σηείων ενός αγνητικού πεδίου δίνεται από τη σχέση φ m h π = C actan + x, όπου C και h δοσένες σταθερές θετικές ποσότητες. Ζητούνται: (α) Να βρεθεί η ορφή των ισοδυναικών επιφανειών και των αγνητικών δυναικών γρα- ών. (β) Το σχήα και η θέση του αγωγού, που διαρρέεται από το ρεύα που δηιουργεί το πεδίο. (γ) Να προσδιοριστεί η σταθερά C συναρτήσει της έντασης του ρεύατος. φ m = V Ισοδυν. επιφάνειες ϕ φ = V m ρ ϕ P x h υναικές γραές x Σχήα 6-5 α) Η ορφή των ισοδυναικών επιφανειών προκύπτει από την φ m = C, () όπου C η παραετρική σταθερά της οικογένειας των ισοδυναικών επιφανειών. Από την έκφραση της φ m και την (), έχουε 339

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ h = C, () x όπου C, ια νέα παραετρική σταθερά της οικογένειας, έτσι ώστε σε κάθε τιή της C ν αντιστοιχεί ια ισοδυναική επιφάνεια και αντίστροφα. Από την () παρατηρούε ότι οι ισοδυναικές επιφάνειες είναι επίπεδα κάθετα στο επίπεδο Ox, που περιλαβάνουν τα σηεία του άξονα ( x =, = h). Οι δυναικές γραές, είναι φανερό ότι είναι οοαξονικές περιφέρειες, παράλληλες προς το επίπεδο Ox, που τα κέντρα τους βρίσκονται πάνω στον άξονα ( x =, = h). Οι συνιστώσες H, H της έντασης H του αγνητικού πεδίου ( H = : διδιάστατο πεδιακό πρόβληα), υπολογίζονται από την και x H = φm φm h h Hx = = C = C x h x x + ( h) + x φm x H = = C = C h x x + ( h) + x Η εξίσωση των δυναικών γραών y (3) (4) dx H x d =, (5) H ε αντικατάσταση των (3) και (4) δίνει ή ή dx d =, (6) h x xdx + ( h) d =, (7) dx ( h) + = Από την ολοκλήρωση της (8), προκύπτει η οικογένεια των δυναικών γραών (8) x + ( h) = C, (9) 3 που περιλαβάνει τις οόκεντρες περιφέρειες που προαναφέραε ( C 3 : σταθερά). 34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 β) Από τα προηγούενα, είναι φανερό, ότι το πεδίο δηιουργείται από έναν ευθύγραο αγωγό παράλληλο προς τον άξονα y, τοποθετηένο στη θέση ( = h, x = ) και διαρρεόενο από κάποιο σταθερό ρεύα. γ) Η ένταση H του αγνητικού πεδίου του ρεύατος = y στο τυχόν σηείο P που απέχει από τον αγωγό απόσταση ρ είναι H = ϕ / πρ = ϕ () π x + ( h) ή, επειδή h x ϕ = sinϕx + cosϕ = x +, () H = Hxx + H = [ ( h) x ] π x + ( h) x + () Από τις (3), (4) και (), συπεραίνουε ότι η σταθερά C συναρτήσει του ρεύατος του αγωγού, δίνεται από τη σχέση C = (4) π 6. Να δειχτεί ότι το έτρο της αγνητικής επαγωγής στο κέντρο ενός κανονικού n- πλεύρου που διαρρέεται από ρεύα, δίνεται από τη σχέση n π = tan, πr n όπου R είναι η ακτίνα της περιγεγραένης περιφέρειας του κανονικού n-πλεύρου και η αγνητική διαπερατότητα του έσου. Από τον τύπο αυτό, να εξαχθεί η τιή της αγνητικής επαγωγής στο κέντρο κύκλου ακτίνας R που η περιφέρειά του διαρρέεται από ρεύα. 34

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ y H R dl θ l α A ϕπ = π/n O x Σχήα 6-6 Ας θεωρήσουε το προσανατολισένο κατά τη φορά του ρεύατος, στοιχειώδες ήκος dl πάνω στην τυχούσα πλευρά ΑΒ του n-πλεύρου. Η στοιχειώδης αγνητική επαγωγή d στο κέντρο O, που οφείλεται στο στοιχείο ρεύατος dl, σύφωνα ε το νόο π των iot-savat, δίνεται από τη σχέση dl dl d sin π = = θ 3 () 4π 4π Αν H είναι το ύψος του κανονικού n-πλεύρου, η (), ε αντικατάσταση του sin θ και της απόστασης από τις σχέσεις και γράφεται sin θ = H / () = H + l, (3) H dl dπ = 3/ (4) 4 π ( H + l ) επαγωγή Έτσι, ε ολοκλήρωση της (4), από l = a/ έως l = a/, προκύπτει η αγνητική π που οφείλεται σε ια όνο πλευρά του n-πλεύρου 34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 π H H a /4 l= a/ a / H dl H π = = a / 4 π ( H l ) 4π + H H + l a / = + 3/ l= a/ (5) H (5), αν λάβουε υπόψη ότι R = H + a /4 (6) και π a / tan =, (7) n H γράφεται π π = tan (8) πr n ή a π = (9) 4π HR Από τις (8) και (9), προκύπτει η επαγωγή = n π του n-πλεύρου n π = tan () πr n ή na = () 4π HR Αν, στη συνέχεια, θεωρήσουε ότι ο αριθός n των πλευρών του πολυγώνου διαρκώς αυξάνει, τότε, για n το n-πλευρο, καταλήγει στην περιγεγραένη περιφέρεια (O, R). Επειδή στην οριακή αυτή περίπτωση η περίετρος na του πολυγώνου τείνει στην περίετρο π R του κύκλου na πr, () ενώ το ύψος H τείνει στην ακτίνα R H R, (3) η (), λόγω των () και (3) γράφεται = (4) R 343

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Σηείωση: Μπορούε ν αποδείξουε την (4) και κατευθείαν από την () παρατηρώντας ότι για n, η έκφραση n π = n tan, (5) πr n επειδή είναι απροσδιόριστη, πορεί να υπολογιστεί ε τον κανόνα του l Hospital. Πράγατι, στην περίπτωση αυτή, έχουε διαδοχικά δηλαδή π tan π lim n = = lim n cos π / n n πr (/ n) n πr / n (6) π π = lim, n πr cos π/ n = = πr cos R = (7) R 6.3 Λεπτός συρατόορφος αγωγός κάπτεται ώστε να σχηατίσει ορθογωνικό πλαίσιο διαστάσεων πλευρών a και b. Ο αγωγός διαρρεέται από ρεύα έντασης. Να βρεθεί η τιή της αγνητικής επαγωγής στα σηεία του κατακόρυφου άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του πλαισίου, στο κέντρο Ο. Επίσης, να βρεθεί η έκφραση της αγνητικής επαγωγής στα σηεία του άξονα, και ειδικότερα στην αρχή Ο, στην περίπτωση τετραγωνικού πλαισίου πλευράς a. Η απειροστή επαγωγή d που οφείλεται στο στοιχείο ρεύατος dx της πλευράς ΑΒ του πλαισίου, είναι κάθετη στο επίπεδο των δύο διανυσάτων dx και, δηλαδή κάθετη στο επίπεδο ( ΜΑΒ, ). Η τιή της επαγωγής d, σύφωνα ε το νόο iot-savat, δίνεται από τη σχέση sin θdx d = () 4π 344

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 y φ M(,, ) y Γ (, b, ) b A a O φ π - θ K (,-b, ) a dx (x,, ) θ (a,, ) b x Σχήα 6-7 γράφεται Η (), ε αντικατάσταση του sin θ από τη σχέση sin θ = sin( π θ) = = + x d = dx 3/ 4 π ( + x ), () (3) Ολοκλήρωση της (3), από x σηείο Μ που οφείλεται στο ρεύα του αγωγού ΑΒ = a έως x = a, δίνει τη αγνητική επαγωγή στο a x= a dx x = = 3/ / 4 π a ( + x ) 4 π ( + x ) x= a a = π + a (4) 345

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Αν η αγνητική επαγωγή, αναλυθεί σε ια συνιστώσα κατά τον άξονα και σε ια οριζόντια συνιστώσα y κατά τον άξονα y, η οριζόντια αυτή συνιστώσα, είναι προφανές ότι, εξουδετερώνεται από την ίση και αντίθετη οριζόντια συνιστώσα της αγνητικής επαγωγής που προκαλεί το ρεύα του αγωγού Γ. ή, επειδή Η συνιστώσα, λόγω της (4), είναι b ab = cosϕ = = π + a (5) = b +, (6) ab = π ( b + )( b + + a ) / (7) Λόγω συετρίας ως προς a και b, η συνιστώσα κατά τον άξονα, της αγνητικής επαγωγής του αγωγού ΒΓ, ε εναλλαγή των a και b στην (7), είναι ab = π ( a + )( a + + b ) / (8) Επειδή και οι συνιστώσες κατά τον άξονα των αγνητικών επαγωγών των αγωγών Γ και Α δίνονται από τις (7) και (8), αντίστοιχα, η συνολική αγνητική επαγωγή του πλαισίου στο σηείο Μ του άξονα, δίνεται από τη σχέση = ( + ) ab = / + π ( a + + b ) a + b + (9) Στην περίπτωση όπου έχουε ένα τετραγωνικό πλαίσιο πλευράς a, που διαρρέεται από ρεύα, από την (9), για a = b, προκύπτει η αγνητική επαγωγή στα σηεία του κατακόρυφου άξονα () = a / π ( a + ) ( a + ) () Η (), για =, δίνει τη αγνητική επαγωγή στο κέντρο O(,, ) του πλαισίου () = () πa 346

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6.4 Ο χώρος εταξύ δύο απείρου ήκους κυλίνδρων ακτίνων a και b ( a > b), πληρούται ε η αγνητικό υλικό αγνητικής διαπερατότητας.ο κενός ύλης κύλινδρος ακτίνας b τοποθετείται έκκεντρα στο εσωτερικό του κυλίνδρου ακτίνας a ενώ οι παράλληλοι άξονες των δύο κυλίνδρων απέχουν απόσταση c. Αν δια του υλικού εταφέρεται ρεύα, παράλληλο προς τους άξονες των κυλίνδρων και οοιόορφα διανεηένο πάνω σ όλη τη διατοή, να δειχτεί ότι η αγνητική επαγωγή στο εσωτερικό του ικρού κυλίνδρου δίνεται από τη σχέση c = π( a b ) και διευθύνεται κάθετα προς το επίπεδο που περιλαβάνει τους δύο άξονες. Επίσης, να βρεθεί η αγνητική επαγωγή στα σηεία τοής του πιο πάνω επιπέδου ε την επιφάνεια του εξωτερικού κυλίνδρου. y a φ Α O c ρ φ P ρ O b Α x Σχήα 6-8 Το υπό ελέτη πεδίο πορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την υπέρθεση των πεδίων των ακόλουθων δύο ρευατικών κατανοών: α) Πεδίο της οοιόορφης πυκνότητας ρεύατος J =, () π( a b ) 347

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ που διανέεται στο εσωτερικό του κυλίνδρου β) πεδίο της οοιόορφης πυκνότητας ρεύατος x + y = a και J = J =, () π( a b ) που διανέεται στο εσωτερικό του κυλίνδρου ( x c) + y = b. Από την υπέρθεση των () και () είναι φανερό, ότι έσα στον εσωτερικό κύλινδρο δεν έχουε ρεύα. Ας θεωρήσουε, αρχικά, το πεδίο που οφείλεται στη ρευατική κατανοή (). Στην περίπτωση αυτή, σ ένα σηείο P που απέχει από το κέντρο O απόσταση ρ, σύφωνα ε το νόο του Ampèe, έχουε ή και ε διανυσατική ορφή πρ = Jπρ (3) = Jρ, (4) = Jρϕ = J ρ, (5) όπου ϕ είναι το κάθετο στην ακτινική διεύθυνση ρ οναδιαίο γωνιακό διάνυσα. Η αγνητική επαγωγή στο σηείο P, που οφείλεται στη ρευατική κατανοή (), αντίστοιχα προς την (5), είναι = J ρ, (6) όπου ρ η απόσταση από το κέντρο O. Από την υπέρθεση των (5) και (6), προκύπτει η ζητούενη αγνητική επαγωγή στο εσωτερικό του ικρού κυλίνδρου Η (7), επειδή για κάθε σηείο P έχουε = + = ( ) J ρ ρ (7) γράφεται ρ ρ = cx, (8) 348

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 οογενές. Jc Jc = ( x) = y (9) Τέλος, αντικατάσταση της () στην (9) δίνει τη ζητούενη σχέση c = y () π( a b ) Από την () παρατηρούε ότι το πεδίο στο εσωτερικό του ικρού κυλίνδρου είναι Για το δεύτερο σκέλος της ερώτησης, χρειάζεται να υπολογίσουε το πεδίο έξω από τις δύο ρευατικές κατανοές. Έτσι για ρ > a πυκνότητα ρεύατος (), υπολογίζεται από τη και, η αγνητική επαγωγή που οφείλεται στην a a J x y πρ πa J J y x = = ϕ = ρ x + y () Ανάλογα, η που οφείλεται στην κατανοή (), είναι bj bj ( x c) y y x = ϕ = () ρ ( x c) + y Για τα σηεία του επιπέδου y =, από τις () και () έχουε aj = y, (3) x bj = y (4) ( x c) J a b = + = x x c y (5) ή a b = π( a b ) x x c y (6) Ειδικά για τα σηεία τοής A και A, του επιπέδου y = ε τον εξωτερικό κύλινδρο, από την (6) για x =± a, προκύπτουν οι ακόλουθες εκφράσεις και b A = a π( a b ) a + c y (7) 349

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ b A = a π( a b ) a c y (8) 6.5 Αγωγός A ήκους l, βρίσκεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο και διαρρέεται από ρεύα. Κάθετα στο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται αγωγός EE άπειρου ήκους, που διαρρέεται από ρεύα. Η κοινή κάθετος των δύο ευθειών A και EE είναι η Ο = α και διέρχεται από το έσο Ο της A. Ζητείται να υπολογιστεί η ροπή που ασκείται πάνω στην A. y Ι θ θ a A df Γ l θ Β x O Ι x l df θ dx Γ Β x Σχήα 6-9 Αρχικά, θεωρούε τις δυνάεις που ασκούνται σε δύο συετρικά ως προς το O στοιχεία ρεύατος dx, που απέχουν από αυτό απόσταση x. Έτσι, στο στοιχείο dx στο σηείο Γ, έχουε df = ( dx ) = dxsinθ, () όπου είναι η αγνητική επαγωγή στο σηείο Γ. Αντίστοιχα, η δύναη df στο στοιχείο dx στο σηείο Γ, είναι 35

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 df = dxsin θ () Από τις () και () παρατηρούε ότι έχουε ανάπτυξη δύο ίσων και αντίθετων δυνά- εων έτρου df = df = df = dx sin θ (3) Η (3), ε αντικατάσταση των και sin θ από τις σχέσεις και γράφεται = = π π ( x + a ) / x x sin θ = =, / ( x + a ) (5) x df = dx π ( x + a ) (6) (4) Η στοιχειώδης ροπή dt του ζεύγους των δυνάεων df και df, είναι ή, λόγω της (6), dt= df( x y ) x dt= dx( y ) (7) π x + a Με ολοκλήρωση της (7), από x = έως x = l, προκύπτει η ζητούενη ροπή ή l x = x dx x l T= ( y ) = ( y ) x aactan, x + a π a x = π T l = l aactan ( ) π a y (8) 6.6 Ευθύγραος αγωγός κυκλικής διατοής ακτίνας a, διαρρέεται από οοιόορφα διανεηένο ρεύα. Αν είναι η αγνητική διαπερατότητα του υλικού του αγωγού, να βρεθεί η έκφραση της ηχανικής πίεσης, λόγω του αγνητικού πεδίου του αγωγού, σε ια ακτινική απόσταση ρ. 35

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ α ρ = ϕ Ο dϕ dρ Σχήα 6- Έστω ότι ο άξονας του αγωγού συπίπτει ε τον άξονα ενός συστήατος κυλινδρικών συντεταγένων (, ρϕ,). Σύφωνα ε το νόο του Ampèe, επειδή η πυκνότητα J της έντασης του ρεύατος ( J = /( πα )) είναι οοιόορφα διανεηένη πάνω σ όλη τη διατοή του αγωγού, σε ια ακτινική απόσταση ρ έχουε Jρ πρh = Jπρ H = = ρ () πα Η αγνητική επαγωγή, λόγω της (), είναι = H = ρϕ () πα Αν, στη συνέχεια, θεωρήσουε ένα ρευατικό σωλήνα διατοής ( ρdρdϕ ), το ρεύα που διέρχεται από αυτόν είναι d = J ρdρdϕ = ρd ρdϕ (3) πα Η δύναη df που ασκείται σ ένα ήκος dl, του ρευατικού αυτού σωλήνα σύφωνα ε την (6.43) και τις () και (3) δίνεται από την df= d( dl ) = ρdρdϕdl ρ( ϕ) πα πα = ρdρ( ρdϕdl)( ρ 4 ) πα Από την (4) προκύπτει ότι η στοιχειώδης πίεση dp, που οφείλεται στο στοιχειώδη αυτό ρευατικό σωλήνα, είναι (4) 35

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 df df dp = = = ρdρρ 4 (5) ds ρϕ d dl πα Από την ολοκλήρωση της (5) από ρ = ρ έως ρ = α, προκύπτει η πίεση σε ια ακτινική απόσταση ρ του αγωγού δηλαδή, α p = ρd ρ 4 πα ρ, (6) ρ p = ( α ρ )ρ 4 (7) 4πα Παρατηρούε, ότι η ηχανική πίεση p έχει κατεύθυνση προς το κέντρο του αγωγού, τείνει δηλαδή να ελαττώσει τη διατοή του (pinch effect). 6.7 Ο άξονας ενός κυκλικού αγώγιου δίσκου πάχους t και ακτίνας R είναι παράλληλος προς ένα οοιόορφο αγνητικό πεδίο. Ζητείται να υπολογιστεί η ροπή που ασκείται στο δίσκο όταν ρεύα εισέρχεται από τον άξονά του και, διαχεόενο ακτινικά, εξέρχεται ο- οιόορφα από την περιφέρειά του. Η πυκνότητα του ρεύατος J, σε ια ακτινική απόσταση ρ, σύφωνα ε την εξίσωση της συνέχειας, είναι J = ρ, () πρt όπου ρ είναι το οναδιαίο διάνυσα κατά την ακτινική διεύθυνση. Το ρεύα d, στο στοιχειώδη όγκο dv = ρd ρdϕt, είναι 353

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ dρ J R dϕ t Σχήα 6- Στο στοιχειώδη όγκο dv ασκείται δύναη F Η (3), λόγω της (), γράφεται Η ροπή της d = J ρϕ d t = dϕ () π d = d d = ddρ( ) d F ως προς τον άξονα είναι d F που, σύφωνα ε την (6.43), είναι ρ ϕ (3) d F = dϕdρϕ (4) π ή ή T = F ( ρ) = ρϕρ( ϕ ρ ), π d d d d d T = ρdρdϕ (5) π Με ολοκλήρωση της (5) στην επιφάνεια του δίσκου προκύπτει η ζητούενη ροπή R π T = ( ) ρ d ρ d ϕ π, T = R (6) Όπως παρατηρούε η ροπή T τείνει να στρίψει το δίσκο κατά τη φορά του σχήατος. 354

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6.8 Ευθύγραος αγωγός αελητέας διατοής τοποθετείται στη θέση του άξονα ενός ορθογώνιου καρτεσιανού συστήατος συντεταγένων. Αν ο αγωγός διαρρέεται από ρεύα, να δειχτεί ότι ια δυνατή έκφραση της συνάρτησης του διανυσατικού αγνητικού δυναικού A είναι η A 4π = ln( x + y ) dl R P( xy,, ) l φ ρ y x Σχήα 6- Λόγω του άπειρου ήκους του αγωγού αν επιχειρούσαε να προσδιορίσουε τη συνάρτηση του διανυσατικού αγνητικού δυναικού A από την (6.4), θα είχαε dl dl / π R π l + x + y A = 4 = 4 () ( ) Από τη ορφή, όως, του ολοκληρώατος () συπεραίνουε ότι η έκφραση (6.4) δε πορεί να χρησιοποιηθεί στην περίπτωσή ας. Μια δυνατή έκφραση του A πορεί να προκύψει αν σκεφθούε ως εξής: Το διανυσατικό δυναικό A, είναι προφανές ότι, είναι παράλληλο προς τον άξονα και, λόγω 355

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ συετρίας, ανεξάρτητο των συντεταγένων ϕ και. Συνεπώς, η έκφρασή του είναι της ορφής Από τη σχέση, όως, ορισού του A A = A( ρ) () και τη () έχουε = A (3) A = ϕ (4) ρ Σύφωνα, όως, ε το νόο του Ampèe η αγνητική επαγωγή ενός ευθύγραου αγωγού δίνεται από την πρ = ϕ (5) Από τις (4) και (5) προκύπτει η A =, (6) ρ πρ που ε ολοκλήρωση δίνει τη ζητούενη έκφραση A x y π 4π = ln ρ = ln( + ) (7) 6.9 Σ ένα οοιόορφο αγνητικό πεδίο H = H, εκτεινόενο στον άπειρο κενό χώρο, εισάγεται αγνητική σφαίρα ακτίνας R που το υλικό της έχει αγνητική διαπερατότητα =. Να καθοριστεί το αγνητικό πεδίο έσα και έξω από τη σφαίρα. Εφόσον στον θεωρούενο χώρο δεν υφίστανται διανεηένα ρεύατα, η ένταση του αγνητικού πεδίου H, πορεί να προκύψει από την αρνητική κλίση ενός βαθωτού αγνητικού δυναικού φ m που πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace =, () φ m 356

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 H P(, θϕ, ) () O () = θ R Σχήα 6-3 και τις σχετικές οριακές συνθήκες. Αν χρησιοποιήσουε το σύστηα των σφαιρικών συντεταγένων του σχήατος και λάβουε υπόψη την υφιστάενη συετρία ως προς τη γωνία ϕ, η () γράφεται sin sin θ θ θ φ m φ m φ m φm = + + θ = Αν φ m και φ m είναι οι συναρτήσεις δυναικού για τα σηεία έσα και έξω από τη σφαίρα, αντίστοιχα, ακολουθώντας την ίδια πορεία ε εκείνην που ακολουθήσαε στο α- ντίστοιχο ηλεκτροστατικό πρόβληα (άσκηση 5.), αναζητούε εκφράσεις των φ m της ορφής και φ m = A + cos θ + C ( < R) φ m () φ m και = A+ cos θ + C ( > R), (4) όπου AC,,, A,, C προσδιοριστέες σταθερές. Οι σταθερές αυτές πρέπει να είναι τέτοιες, ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω οριακές συνθήκες: α) Το δυναικό φ m να παίρνει πεπερασένες τιές στα θεωρούενα σηεία του χώρου. β) Το δυναικό φ m να εφανίζει συνεχή εταβολή στη διαχωριστική επιφάνεια = R. (3) 357

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ γ) Στα αποακρυσένα από τη σφαίρα σηεία ( ) το αγνητικό πεδίο να παρα- ένει αδιατάρακτο ( H = H ). δ) Η εφαπτοενική συνιστώσα της αγνητικής πεδιακής έντασης H και η κάθετη συνιστώσα της αγνητικής επαγωγής, να εφανίζουν συνεχή εταβολή στη διαχωριστική επιφάνεια της σφαίρας = R. Έτσι, από την πρώτη οριακή συνθήκη προκύπτει Από τη δεύτερη οριακή συνθήκη, οι (3) και (4) για την (5), δίνουν = (5) AR cos θ + C = A R + cos θ + C R Για να ισχύει η (6) για οποιαδήποτε τιή της γωνίας θ, πρέπει = R, και αφού λάβουε υπόψη (6) C = C (7) και Για, η (4) γράφεται A= A + (8) 3 R φm = A cos θ + C = A + C, (9) οπότε, η αγνητική πεδιακή ένταση H έχει την έκφραση προκύπτει n φm H = φm = = A () Από την () και την τρίτη οριακή συνθήκη H = H = H, () A = H () Τέλος, από τη συνέχεια των κάθετων συνιστωσών της αγνητικής επαγωγής ( = ) για = R, παίρνουε n φ φ = m m = R = R (3) 358

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ή Acos A 3 δηλαδή, και θ = cos θ R, (4) A= A 3 R Από το σύστηα των εξισώσεων (8), () και (5) υπολογίζουε τις σταθερές A και 3 A= H + = 3 + R H Αντικατάσταση των (5), (7), (), (6) και (7) στις (3) και (4), δίνει τις ζητούενες εκφράσεις των δυναικών έσα και έξω από τη σφαίρα 3 φ m = Hcos θ ( R) + (5) (6) (7) (8) και και φ = + Hcos θ ( R) 3 R m + Οι αντίστοιχες εκφράσεις για την ένταση του αγνητικού πεδίου είναι H 3 H = φ = H ( cosθ + sin θθ ) m + 3 H ( R) = + 3 R = φm = H cosθ + + + > 3 R H sin θ ( R) + θ Ας παρατηρήσουε ότι η () για R, γράφεται (9) () () H H ( cosθ + sin θθ ) = H, () όπως άλλωστε απαιτεί και η οριακή συνθήκη (). 359

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Η αγνητική επαγωγή στους αντίστοιχους χώρους, είναι = H (3) και = H, (4) όπου οι H και H δίνονται από τις () και (), αντίστοιχα. Μια ειδική περίπτωση που αξίζει ν αναφέρουε είναι εκείνη όπου η αγνητική διαπερατότητα του υλικού της σφαίρας είναι πολύ εγαλύτερη από τη διαπερατότητα του κενού ( ). Τότε, όπως βλέπουε από την () lim H = (5) και + 3 lim = lim H = lim H = 3 H (6) δηλαδή, ενώ η ένταση του αγνητικού πεδίου ουσιαστικά ηδενίζεται στο εσωτερικό της σφαίρας, η αγνητική επαγωγή παραένει πεπερασένη και άλιστα έχει τιή τρεις φορές εγαλύτερη από την τιή που είχε πριν από την εισαγωγή της σφαίρας. 6. Μέσα σ ένα έσο ε αγνητική διαπερατότητα, υπάρχει οοιόορφο αγνητικό πεδίο H = H. (α) Ζητείται να υπολογιστεί το πεδίο στα σηεία του χώρου, όταν εισαχθεί σφαιρικός πυρήνας ακτίνας και αγνητικής διαπερατότητας, που περιβάλλεται από ένα σφαιρικό στρώα, εξωτερικής ακτίνας και αγνητικής διαπερατότητας. (β) Να δειχτεί ότι όταν το βρίσκεται εταξύ των και, για κατάλληλη εκλογή του λόγου του όγκου του πυρήνα προς τον όγκο του σφαιρικού στρώατος, το εξωτερικό πεδίο παραένει αετάβλητο. (γ) Για τον πιο πάνω λόγο των δύο όγκων, να αποδειχτεί ότι η ένταση του οοιόορφου αγνητικού πεδίου του πυρήνα, είναι εγαλύτερη ή ικρότερη της H, όταν το είναι εγαλύτερο ή ικρότερο του, αντίστοιχα. 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 H P(, θϕ, ) θ (3) () () Σχήα 6-4 α) Όπως και στην προηγούενη άσκηση, έτσι και εδώ, επειδή δεν υπάρχουν διανε- ηένα ρεύατα, θα προσδιορίσουε τη συνάρτηση του βαθωτού αγνητικού δυναικού φ m που ικανοποιεί την εξίσωση Laplace στους τρεις χώρους (), () και (3) και τις οριακές συνθήκες του προβλήατος. Έτσι, αν φ m, φ m και φ 3m είναι οι συναρτήσεις του βαθωτού αγνητικού δυναικού στις τρεις περιοχές (), () και (3), αντίστοιχα, χρησιοποιώντας το σύστηα των σφαιρικών συντεταγένων του σχήατος, εξετάζουε, αν αυτές πορούν να έχουν εκφράσεις της ορφής φ = A + cos θ + C ( ), () m φ = A + cos θ + C ( ) m () και φ = A+ cos θ + C ( ), (3) 3 3m 3 3 όπου οι σταθερές A,, C, A,, C, A3, 3 και C 3 θα ζητηθεί να προσδιοριστούν από τις παρακάτω οριακές συνθήκες του προβλήατος: 36

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ) Το δυναικό φ m πρέπει να ην απειρίζεται σε κανένα σηείο του σφαιρικού πυρήνα. Έτσι από την (), για να έχει η φ m πεπερασένη τιή για =, πρέπει να ισχύει η = (4) ) Το δυναικό φ m πρέπει να ην εφανίζει ασυνέχειες στις οριακές επιφάνειες = και =, πρέπει δηλαδή να ισχύουν οι και φ φ ( ) = φ ( ) (5) m m ( ) = φ ( ) (6) m m Από τις (), (), (3), (5) και (6) προκύπτουν οι σχέσεις A + = A +, (7) 3 3 A + = A +, (8) 3 3 3 3 C = C = C3 = C (9) Η σταθερά C, πορεί να εκλεγεί ίση ε ηδέν, αν πάρουε για επιφάνεια αναφοράς του αγνητικού δυναικού, το επίπεδο θ = π/. Έτσι, λοιπόν, πορούε να πάρουε C = C = C3 = () Ας σηειώσουε, επίσης, ότι οι συνθήκες (5) και (6), επειδή H = φ, διασφαλίζουν και την ισότητα των εφαπτοενικών συνιστωσών της αγνητικής πεδιακής έντασης H στις δύο οριακές επιφάνειες. 3) Το πεδίο στα σηεία του εξωτερικού χώρου (3) που απέχουν πάρα πολύ από την αρχή των αξόνων ( ), πρέπει να παραένει αετάβλητο. Έτσι, από την (3) και την () έχουε φ = Acos θ = A () 3m 3 3 και συνεπώς δηλαδή H = φ = ( A) = A = H, () 3 3m 3 3 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 A = H (3) 3 4) Τέλος, από τη συνέχεια της κάθετης συνιστώσας της αγνητικής επαγωγής στις δύο διαχωριστικές επιφάνειες = ( n = n) και = ( n = n3) έχουε και και φ φ = m m = = φ φ = m 3m = = Με αντικατάσταση των (), (), (3) στις (4) και (5) προκύπτουν οι σχέσεις A = A 3 3 A = A 3 3 3 3 (4) (5) (6) (7) Από το σύστηα των εξισώσεων (7), (8), (3), (6) και (7) υπολογίζονται και οι τι- ές των σταθερών A, A, και 3 A A 9 3 = H 3 3 k + k 3 ( + ) 3 = H 3 3 k + k, (8), (9) και όπου και 3 ( ) 3 3 = H 3 3 k + k ( + )( ) + ( )( + ) 6 3 3 3 = H 3 3 k + k (), () k = ( )( ) () k = ( + )( + ) (3) 363

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Οι συναρτήσεις φ m, φ m και φ 3m ετά τον προσδιορισό των σταθερών A,, C, A,, C, A3, 3, C 3 είναι πλήρως καθορισένες, η ένταση δε του πεδίου προκύπτει εύκολα από τις (), (), (3) και την και είναι H H H = φm φ φ = θ θ = A(cos θ sin θθ ) = A ( < ) m m m m H φ φ = θ θ = A cos θ 3 A + + sin θ 3 ( < < ) θ φ φ = θ θ 3 3 = H cos θ 3 H + + sin θ 3 ( > ) θ 3m 3m 3 β) Από την (6) γίνεται αέσως φανερό, ότι για (4) (5) (6) 3 =, (7) H = H ( cosθ + sin θθ ) = H = H, (8) 3 δηλαδή το εξωτερικό πεδίο παραένει αετάβλητο. ή ή Η (7), λόγω της () ισχύει όταν ( + )( ) + ( )( + ) =, (9) 6 3 3 ( + )( ) = ( )( ) 3 3 + ( )( + ) 4 π /3 V 3 3 = = = 3 3 3 3 3 ( ) 4 π( )/3 V, (3), (3) όπου V και V είναι οι όγκοι του πυρήνα και του σφαιρικού στρώατος, αντίστοιχα. Για να ισχύει η (3), πρέπει να είναι 364

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 >, (3) δηλαδή, η διαπερατότητα να βρίσκεται εταξύ των και. Ώστε, λοιπόν, για < <, ή, < < και εκλογή του λόγου των όγκων V και V από την (3), το εξωτερικό πεδίο παραένει αετάβλητο. γ) Η σταθερά A, αν λάβουε υπόψη την (3) και τις τιές των k και k από τις () και (3) έχει τιή + A = H (33) + Η ένταση του αγνητικού πεδίου H στον σφαιρικό πυρήνα, αν αντικαταστήσουε την (33) στην (4), δίνεται από την + H = H (34) + Από την (34) διαπιστώνουε εύκολα ότι: αν >, οπότε και ( + )/( + ) >, είναι H > H, ενώ αν <, οπότε ( + )/( + ) <, είναι H < H. 6. Ο χώρος στον οποίο εκτείνεται ένα αγνητικό πεδίο αποτελείται από δύο έσα ε αγνητικές διαπερατότητες και, αντίστοιχα. Ηλεκτρικό ρεύα έντασης είναι παράλληλο προς τη διαχωριστική επιφάνεια = των δύο έσων και απέχει από αυτήν απόσταση h. Ζητείται να ελετηθεί το δηιουργούενο αγνητικό πεδίο. Θεωρούε ότι το πεδίο στο χώρο (), είναι ισοδύναο ε το αγνητικό πεδίο δύο παραλλήλων ρευάτων και που είναι τοποθετηένα στα σηεία P και P, έσα σ ένα έσο ε διαπερατότητα. Επίσης, το πεδίο στο χώρο () θεωρείται ισοδύναο ε το αγνητικό πεδίο ενός ρεύατος, που τοποθετείται (παράλληλα προς τα, ) στο ση- είο P έσα σ ένα έσο ε αγνητική διαπερατότητα. 365

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ () () () P Ι P Ι Η, Β Η, Β h h θ h θ θ y x Α x Α x h θ P Ι () () () (+) θ Η, Β θ Σχήα 6-5 Τα ρεύατα και πρέπει να υπολογιστούν έτσι, ώστε στη διαχωριστική επιφάνεια =, να ικανοποιούνται οι εξής δύο οριακές συνθήκες: α) Ισότητα των εφαπτοενικών συνιστωσών H t και H t της έντασης του αγνητικού πεδίου στα δύο έσα. β) Ισότητα των κάθετων συνιστωσών n και n της αγνητικής επαγωγής στα δύο έσα. Αν HH,, H και,, είναι οι εντάσεις και οι αγνητικές επαγωγές, σ ένα ση- είο A( x,,) της διαχωριστικής επιφάνειας, που δηιουργούν τα ρεύατα,,, αντίστοιχα, τότε, για φορές αναφοράς των,, κατά τον αρνητικό άξονα y έχουε H = Hxx + H = H(cos θx + sin θ) = (cos θx + sin θ ), () π H = H xx + H = H ( cosθx + sin θ) = ( cosθx + sin θ ), () π H = H xx+ H = H (cos θx + sin θ) = (cos θx + sin θ ) (3) π / Από τις (), (), (3) επειδή cos θ = h/, sin θ = x/ και = ( h + x ), προκύπτουν οι εντάσεις H και H στο σηείο A στα δύο έσα () και (), αντίστοιχα και H = + = H x + H = h( ) + x( + ) π( h + x ) (4) H = H = Hxx + H = ( h x + x ) π( h + x ) (5) 366

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 και Οι αντίστοιχες εκφράσεις της αγνητικής επαγωγής, λόγω των (4) και (5), είναι = x + = = h( ) + x( + ) π( h + x ) (6) = xx + = H = ( h x + x ) π( h + x ) (7) Από την πρώτη οριακή συνθήκη, επειδή Ht = H x και Ht = H x, και τις (4) και (5), παίρνουε δηλαδή έχουε δηλαδή, H = H, (8) x x = (9) Επίσης, από τη δεύτερη οριακή, επειδή n = και n =, και τις (6) και (7), =, () ( + ) = () Από την επίλυση του συστήατος των (9) και () προκύπτουν οι τιές των εικονικών ρευάτων και και = () + = (3) + 6. Ο χώρος στον οποίο εκτείνεται ένα αγνητικό πεδίο διαχωρίζεται από δύο κάθετα η- ιεπίπεδα στα δύο τήατα Ι και ΙΙ του σχήατος. Το τήα ΙΙ πληρούται ε σιδηροαγνητικό υλικό πολύ εγάλης αγνητικής διαπερατότητας ( ). Στο τήα Ι (αέρας) είναι τοποθετηένος ευθύγραος αγωγός, παράλληλος προς τα δύο επίπεδα, που διαρρέεται από ρεύα. Ζητείται να υπολογιστεί η δύναη που ασκείται ανά ονάδα ήκους του αγωγού. 367

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ y : >> : Ι = Ι a a Ι = Ι () () b θ x b (3) (4) Ι 3 = Ι Ι 4 = Ι Σχήα 6-6 Από την προηγούενη άσκηση, για = και =, η τιή του κατοπτρικού ρεύατος είναι ή, επειδή, = () + = () Το αγνητικό πεδίο, συνεπώς, στο χώρο (), είναι ισοδύναο ε το πεδίο των τεσσάρων ευθύγραων αγωγών,, 3 και 4 που είναι τοποθετηένοι στις θέσεις του σχήατος, διαρρέονται από το ίδιο ρεύα, και βρίσκονται σ ένα έσο αγνητικής διαερατότητας. Η ζητούενη δύναη F = F x + F y, (3) x y που ασκείται στον αγωγό (), υπολογίζεται από την υπέρθεση των τριών δυνάεων F, F 3 και F 4 που ασκούν στον αγωγό () οι τρεις αγωγοί, 3 και 4, αντίστοιχα. Οι δυνάεις 368

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 αυτές, επειδή όλα τα ρεύατα είναι οόρροπα, είναι ελκτικές, σύφωνα δε ε τη σχέση (6.47) δίνονται από τις και F = x, (4) 4πa F3 = = (cos θx + sin θy) 4π 4π a b = ( a b ), 4π x + y = + x y 4 π( a + b ) F4 = y (6) 4πb Από τις (4), (5) και (6) προκύπτει Στην περίπτωση όπου a F = F + F + F 3 4 a b = 4 π + + + a a b x + b a + b y = b η (7) γράφεται (5) (7) 3 3 F = ( x + y) = (8) 8πa 8πa 369

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ 6. Ασκήσεις 6/ Επίπεδο κύκλωα συνίσταται από συράτινο αγωγό που το σχήα του ορίζεται σε πολικές συντεταγένες από τις εξισώσεις: ρ = a για ϕ π, ρcosϕ = a για π ϕ 3 π/ και ρcosϕ = a για 3 π/ ϕ π Ζητείται η εύρεση της έντασης H του αγνητικού πεδίου στην αρχή των συντεταγ- ένων, αν το κύκλωα διαρρέεται από το ρεύα ε τη φορά (ανθωρολογιακή) του σχή- ατος 6-7. Ι y a φ x Ι Ι Σχήα 6-7 6/ ύο όοια κυκλικά πηνία ακτίνας a = m και αριθού ελιγάτων n = το καθένα, τοποθετούνται σε απόσταση d = m ε τους άξονές τους να συπίπτουν. Αν τα πηνία διαρρέονται από ρεύα έντασης = Α της ίδιας φοράς, να υπολογιστεί και σχεδιαστεί γραφικά η εταβολή της έντασης του αγνητικού πεδίου στο τήα του άξονα που περιορίζεται εταξύ των δύο πηνίων. Επίσης, να γίνει σύγκριση της έντασης του συστήατος των δύο πηνίων ε την ένταση του αγνητικού πεδίου ενός όνο οοαξονικού πηνίου ( n =, a = m) που διαρρέ- 37

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 εται από ρεύα και είναι τοποθετηένο στο έσο εταξύ των δύο πηνίων της προηγού- ενης περίπτωσης. Ποια πρέπει να είναι η τιή του ρεύατος που διαρρέει το πηνίο αυτό, ώστε η τιή της έντασης του αγνητικού πεδίου στο κέντρο του να είναι η ίδια ε την τιή της έντασης του συστήατος των δύο πηνίων στο ίδιο σηείο; Τέλος, να υπολογιστεί η έγιστη ( H max )και η ελάχιστη ( H min ) τιή της έντασης του αγνητικού πεδίου καθώς επίσης και ο λόγος ( Hmax Hmin)/ Hmax, στις δύο περιπτώσεις. a d/ d/ = d Σχήα 6-8 6/3 ίνεται ένα πηνίο ήκους l, που αποτελείται από N οοαξονικές κυκλικές σπείρες ακτίνας a, διαρρεόενες από το ίδιο ρεύα. Οι σπείρες είναι παράλληλες και τυλιγένες έτσι, ώστε να εφάπτονται εταξύ τους. Ζητείται ο υπολογισός της αγνητικής επαγωγής στα σηεία του θετικού ηιάξονα. 37

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ x l O a y Σχήα 6-9 6/4 ύο ελικοειδή σφικτά τυλιγένα επίπεδα πηνία βρίσκονται ε τα κέντρα τους στον ί- διο άξονα σε παράλληλα επίπεδα που απέχουν απόσταση d εταξύ τους. Τα πηνία έχουν ακτίνα a ( a d) και διαρρέονται από ρεύα της ίδιας φοράς. Ζητείται να βρεθεί συναρτήσει της γωνίας ϕ το διάνυσα της έντασης του αγνητικού πεδίου στα σηεία του επιπέδου που ισαπέχει από τα επίπεδα των δύο πηνίων. a θ d/ y θ d/ a x a Σχήα 6-37

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6/5 Να δειχτεί ότι η αγνητική επαγωγή σ ένα εσωτερικό σηείο P του άξονα ενός οοιόορφου σωληνοειδούς δίνεται από τον τύπο N Ω + Ω = l 4π, όπου Ω και Ω είναι οι στερεές γωνίες ε τις οποίες φαίνονται από το σηείο P η πάνω και η κάτω βάση του σωληνοειδούς, l είναι το ήκος του και N είναι ο αριθός των ελιγ- άτων του. a Ω P l Ω Σχήα 6-6/6 Ηλεκτρικό ρεύα διαρρέει λεπτή λωρίδα άπειρου ήκους. Το ρεύα κυκλοφορεί κάθετα προς το επίπεδο του σχήατος 6-. Αν d είναι το πάχος της λωρίδας και J η πυκνότητα της έντασης του ρεύατος, ζητούνται: (α) Να υπολογιστεί η αγνητική επαγωγή σ ένα σηείο O του χώρου. Να γίνει εφαρ- ογή για d = mm και J = 5 Α/mm. 373

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ (β) Όταν η λωρίδα περιορισθεί στο τετράπλευρο AA, όπου AA = b = 4 cm και OC = a = cm, ε ποιά εκατοστιαία απόκκλιση η αγνητική επαγωγή που υπολογίστηκε στο προηγούενο ερώτηα, εκφράζει την πραγατική τιή της αγνητικής επαγωγής στη δεύτερη περίπτωση; A b ω C a O b Α d Σχήα 6-6/7 Απέραντος ευθύγραος αγωγός διαρρέεται από ρεύα. Στο ίδιο επίπεδο ε τον αγωγό, υπάρχει αγώγιο πλαίσιο που διαρρέεται από ρεύα. Να βρεθεί η δύναη που ασκείται πάνω στο πλαίσιο για τις τρεις περιπτώσεις (α), (β), (γ) του σχήατος 6-3. 374

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 a b a a a c a c c x x x (α) (β) (γ) Σχήα 6-3 6/8 Απέραντος ευθύγραος αγωγός, διαρρεόενος από ρεύα, συπίπτει ε τον ά- ξονα ενός ορθογώνιου συστήατος συντεταγένων. Η φορά του ρεύατος του αγωγού είναι κατά τα αρνητικά. Ζητείται να υπολογιστεί η δύναη που ασκείται στον ευθύγραο αγωγό PP, ήκους l, που διαρρέεται από ρεύα. ίνεται ότι ο αγωγός βρίσκεται στο επίπεδο Oxy, είναι παράλληλος προς τον άξονα x και απέχει από αυτόν απόσταση h (σχήα 6-4). y P P l h x Σχήα 6-4 375

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ 6/9 Ο βρόχος του σχήατος 6-5 αποτελούενος από το τόξο ΒΚΑ ακτίνας a και το ευθύγραο τήα ΑΒ, διαρρέεται από ρεύα. Ο βρόχος αναρτάται από το σηείο Κ έτσι ώστε το επίπεδό του να είναι κάθετο προς το ρεύα ενός ευθύγραου αγωγού ά- πειρου ήκους στο κέντρο O. Να δειχτεί ότι η ως προς το σηείο Κ ροπή είναι T = a (sin θ θcos θ), π Κ Επίσης, να δειχτεί ότι η ροπή είναι ίδια και ως προς οποιοδήποτε άλλο σηείο του επιπέδου βρόχου. y C K a O θ x A Σχήα 6-5 6/ Να δεχτεί ότι το διανυσατικό αγνητικό δυναικό A ιας γραής εταφοράς δύο αγωγών που είναι παράλληλοι προς τον άξονα και διαρρέονται από ρεύα, πορεί να δίνεται από τη σχέση A ρ = ln π ρ, όπου ρ είναι η απόσταση από τον αγωγό στον οποίο το ρεύα κατευθύνεται προς τα θετικά και ρ η απόσταση από τον άλλο αγωγό. 376

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6/ Ένας απέραντος αγωγός πολύ εγάλης αγνητικής διαπερατότητας ( ), έχει ελλειπτική διατοή, που το όριό της καθορίζεται από την εξίσωση της έλλειψης ( x/ a) ( y/ b) + =. Κάνοντας την υπόθεση ότι όλη η αγνητική ροή περιορίζεται στο εσωτερικό του αγωγού, να υπολογιστεί το διανυσατικό αγνητικό δυναικό A έσα στον αγωγό, όταν αυτός διαρρέεται από ρεύα οοιόορφης πυκνότητας J (Α/m ). 6/ Αν είναι γνωστό ότι το βαθωτό αγνητικό δυναικό φ m ενός κυκλικού βρόχου, που διαρρέεται από ρεύα, δίνεται από τη σχέση φm = Ω, 4π όπου Ω είναι η στερεά γωνία ε την οποία φαίνεται ο κυκλικός βρόχος από το θεωρούενο σηείο, να υπολογιστεί το βαθωτό αγνητικό δυναικό φ m σε ια κατακόρυφη απόσταση από το κέντρο ενός οριζόντιου κυκλικού βρόχου ακτίνας a. 6/3 Σ ένα οοιόορφο αγνητικό πεδίο H = H y, εκτεινόενο στον άπειρο κενό χώρο, εισάγεται κυλινδρικό κέλυφος πολύ εγάλου ήκους (σχήα 6-6). Το υλικό του έ- χει αγνητική διαπερατότητα =. Αν ρ και ρ είναι η εσωτερική και η εξωτερική ακτίνα του κελύφους, αντίστοιχα, ζητείται: (α) Να υπολογιστεί η ένταση H του αγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του κυλινδρικού κελύφους. (β) Αν ρ =, 3ρ και = 5, να βρεθεί ο λόγος H/ H. Τι παρατηρείτε σχετικά ε τη αγνητική θωράκιση που παρέχει ο κύλινδρος όταν ; 377

ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ y H = -H y O ρ ρ x Σχήα 6-6 6/4 Ευθύγραος αγωγός, πολύ εγάλου ήκους, διαρρέεται από ρεύα. Ο αγωγός είναι τοποθετηένος πάνω στην επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια δύο έσων () και () ε αγνητικές διαπερατότητες και, αντίστοιχα. Να υπολογιστεί η ένταση του αγνητικού πεδίου και η αγνητική επαγωγή στα δύο έσα. 378