ιαίρεση Πολυωνύμων Ταυτότητα διαίρεσης Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ ( ) και δ ( ), με δ ( ) 0 υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα π ( ) και υ ( ) τέτοια, ώστε: Δ ( ) =δ( ) π ( ) +υ ( ) όπου το υ( ) μικρότερο από το βαθμό του ( ) Το ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό δ Δ ( ) ονομάζεται διαιρετέος, το ( ) υ υπόλοιπο της διαίρεσης πηλίκο και το ( ) δ διαιρέτης, το π ( ) Αν Δ ( ) = δ( ) π( ), δηλαδή αν το υπόλοιπο ( ) διαίρεσης Δ( ): ( ) (υ( ) = 0) τότε λέμε: Το δ ( ) διαιρεί το Δ( ) Το δ ( ) είναι παράγοντας του Δ ( ) (όπως και το π ( ) ) Το δ ( ) είναι διαιρέτης του Δ ( ) Το Δ ( ) διαιρείται με το δ( ) υ της δ είναι το μηδενικό πολυώνυμο Για να γίνεται η διαίρεση, πρέπει το Δ( ) να είναι μεγαλύτερου βαθμού από το δ ( ) ( ) Βαθμός π = βαθμός Δ( ) - βαθμός δ( ) 45
Δώστε παράδειγμα διαίρεσης πολυωνύμου Να γίνει η διαίρεση: + 8 + 4 : ( ) ( + ) και να γραφτεί η ταυτότητά της + 8 + 4 Το άθροισμα ( 5 + 4) + + 8 + 4 + + + 8 + 4 + + + 5 + 4 + λέγεται μερικό υπόλοιπο + 8 + 4 + + + 1 + 5 + (υπόλοιπο) 4 + 8 +1 (πηλίκο) Διαιρούμε τον πρώτο όρο του διαιρετέου με τον πρώτο όρο του διαιρέτη, και το αποτέλεσμα είναι ο πρώτος όρος του πηλίκου Πολλαπλασιάζουμε το με όλους τους όρους του διαιρέτη και γράφουμε τον αντίθετο του γινομένου κάτω από το αντίστοιχο μονώνυμο του διαιρετέου Προσθέτουμε το διαιρετέο με ό,τι έχουμε γράψει από κάτω Διαιρούμε τον πρώτο όρο του διαιρετέου με τον πρώτο όρο του μερικού υπολοίπου, βρίσκουμε το δεύτερο όρο του πηλίκου, τον πολλαπλασιάζουμε με το διαιρέτη, γράφουμε τον αντίθετο του γινομένου κάτω από το μερικό υπόλοιπο και προσθέτουμε Η ισότητα 4 + + 1= = ( 1)( + + ) + +1 είναι η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου 4 P( ) = + + 1 με το Q( ) = + + αφού υ( ) = + 1 και βαθμ υ ( ) <βαθμ Q( ) όχι όμως και η ταυτότητα της διαίρεσης του P( ) με το R( ) = 1, αφού ο βαθμός του R( ) είναι 1 και του υ( ) = + 1 είναι > 1 (πρέπει βαθμ υ( ) < βαθμ R ) ( ) 46
Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα, μέχρι το υπόλοιπο να είναι μικρότερου βαθμού από του διαιρετέου ή 0 Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι: + 8 + 4 = + + 1 ( )( ) + 8 + 1 Διαίρεση πολυωνύμου με το χ ρ Θεώρημα Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P( ) με το ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για = ρ Δηλαδή: υ= P( ρ ) Απόδειξη: Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(χ) με το πολυώνυμο χ-ρ γράφεται: Ρ(χ) = (χ-ρ)π(χ) + υ(χ) Επειδή ο διαιρέτης χ-ρ είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ Έτσι έχουμε: Ρ(χ) = (χ-ρ)π(χ)+υ και, αν θέσουμε χ = ρ, παίρνουμε Ρ(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ)+υ = 0+υ = υ Επομένως: Ρ(χ) = (χ-ρ)π(χ)+ρ(ρ) Για παράδειγμα, το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) = χ +χ -1χ-15 με το χ- είναι: υ = Ρ() = +- - 1-15 = -1, ενώ με το χ+1 που γράφεται χ-(-1), είναι υ = Ρ(-1) = (-1) +(- 1) - 1 (-1)-15 = 0 Θεώρημα Ένα πολυώνυμο Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ-ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(χ), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0 Απόδειξη: Έστω ότι το χ-ρ είναι παράγοντας του Ρ(χ) Τότε Ρ(χ) = (χ-ρ)π(χ) Από την ισότητα αυτή για χ = ρ παίρνουμε Ρ(ρ) = (ρ-ρ)π(ρ) = 0, που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(χ) Αντιστρόφως: Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(χ), δηλαδή ισχύει Ρ(ρ) = 0 Τότε από τη σχέση Ρ(χ) = (χ-ρ)π(χ)+ρ(ρ) παίρνουμε: Ρ(χ) = (χ-ρ)π(χ), που σημαίνει ότι το χ-ρ είναι παράγοντας του Ρ(χ) Αν ο διαιρέτης είναι πρώτου βαθμού ( ρ), το υπόλοιπο θα είναι σταθερός αριθμός, οπότε η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται: P ( ) = ( ρ) π( ) + υ 47
Το σχήμα Horner Η διαίρεση ενός πολυωνύμου Ρ(χ) με το πολυώνυμο χ-ρ μπορεί να παρουσιασθεί εποπτικά με ένα πίνακα που είναι γνωστός ως σχήμα του Horner με το P = + θα την κάνουμε με την βοήθεια του σχήματος Horner Για παράδειγμα η διαίρεση του πολυωνύμου ( ) Ο πίνακας με το σχήμα Horner αποτελείται από τρεις γραμμές: Στην πρώτη γραμμή βάζουμε τους συντελεστές του διαιρετέου και δεξιά τη ρίζα του διαιρέτη Για παράδειγμα, το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) = χ +χ -1χ-15 με το χ + 1 είναι: υ = Ρ(-1) = 0 δηλαδή ότι το -1 είναι ρίζα του Ρ(χ) και Ρ(χ) = (χ+1)π(χ)+0 = (χ+1)π(χ), δηλαδή ότι το χ+1 είναι παράγοντας του Ρ(χ) 1-0 - - - 10-0 1-5 10 - Οι συντελεστές του πηλίκου Το υπόλοιπο Αν λείπει κάποιος όρος από το πολυώνυμο στο πινακάκι, στη θέση του βάζουμε μηδέν Το πρώτο στοιχείο της πρώτης γραμμής το γράφουμε και στην τρίτη γραμμή ως πρώτο στοιχείο Το πρώτο κουτάκι της δεύτερης γραμμής μένει κενό Κάθε στοιχείο της δεύτερης γραμμής προκύπτει με πολλαπλασιασμό του αμέσως προηγούμενου στοιχείου της τρίτης γραμμής επί το Για να εφαρμόσουμε το σχήμα Horner, τα μονώνυμα του πολυωνύμου πρέπει να είναι διατεταγμένα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του Από την ταυτότητα της διαίρεσης, αν υ = 0, μπορούμε να γράψουμε το πολύώνυμο ως γινόμενο παραγόντων Κάθε στοιχείο της τρίτης γραμμής (εκτός του πρώτου) προκύπτει από το άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων της πρώτης και της δεύτερης γραμμής 48
Παρατηρήσεις 1 Ο τελευταίος αριθμός της τρίτης γραμμής είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης, δηλαδή: υ = Τα υπόλοιπα στοιχεία της τρίτης γραμμής είναι οι συντελεστές του πηλίκου Το πηλίκο είναι ένα βαθμό μικρότερο από το διαιρετέο (αφού ο διαιρέτης είναι 1ου βαθμού), άρα π = 5 + ( ) 10 Επειδή το υπόλοιπο είναι υ = P ( ρ), το είναι και η τιμή του πολυωνύμου P( ) = για =, δηλαδή; P = ( ) Έτσι, με το σχήμα Horner μπορούμε να εξετάσουμε αν ένας αριθμός ρ είναι ρίζα του P ( ) Κάνουμε το σχήμα Horner, δεξιά από το πινακάκι βάζουμε το ρ και, αν ο τελευταίος αριθμός της τρίτης γραμμής είναι μηδέν, τότε P ρ = ( ) 0 49