Εαρινό εξάμηνο 2012 24.05.12 Χ. Χαραλάμπους
Πίσω στην Άλγεβρα... Έως το τέλος του 18 ου αιώνα, άλγεβρα ήταν η μελέτη πολυωνυμικών εξισώσεων (κλασσική άλγεβρα). Το 20 ο αιώνα η άλγεβρα έγινε η μελέτη αφηρημένων συστημάτων, συστημάτων που καθορίζονται από αξιώματα (μοντέρνα έ άλγεβρα). ) Η μετάβαση έγινε τον 19 ο αιώνα. Τότε εμφανίστηκαν και αναγνωρίσθηκαν οι δομές για ομάδες, για αντιμεταθετικούς και μη δακτυλίους, για σώματα και για διανυσματικούς χώρους.
Οι διαφορετικοί αυτοί κλάδοι αναπτύχθηκαν παράλληλα και αλληλοεπιρρεάζοντας ο ένας τον άλλον. Η θεωρία ομάδων οφείλει την εξέλιξή της στη: Κλασσική άλγεβρα (Lagrange 1770) * Θεωρία αριθμών (Gauss, 1801)* Γεωμετρία (Klein, 1874, πρόγραμμα του Erlangen) Ανάλυση (Lie 1874, Poincare και Klein, 1876)
Ο Lagrange απέδειξε ότι αναγκαία συνθήκη για την επίλυση της εξίσωσης βαθμού n είναι η ύπαρξη κάποιας επιλύσουσας βαθμού <n. Όταν επιχείρησε για την εξίσωση βαθμού 5 βρήκε μόνο επιλύουσες βαθμού 6. OL Lagrange για πρώτη φορά έκανε τη σύνδεση ανάμεσα στην ύπαρξη τύπου για τις ρίζες μίας πολυωνυμικής εξίσωσης και στις μεταθέσεις των ριζών. Η συνέχεια για τις λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων με Ruffini, Abel και Galois (αν και χρονολογικά σια τη Θεωρία Ομάδων προηγείται ο Gauss)
Niels Abel 1802-1829 Paolo Ruffini 1765-1822
Ο Ruffini (1799) και ο Abel (1824) έδειξαν ότι δεν υπάρχουν επιλύουσες εξισώσεις βαθμού μικρότερου του n όταν ο βαθμός της αρχικής εξίσωσης n είναι >4. Το έργο τους συνέβαλλε στην ανάπτυξη της θεωρίας των μετασχηματισμών. Η απόδειξη του Ruffini είχε λάθη.
Ο Cauchy μελέτησε το έργο του Ruffini και συνέβαλλε ιδιαίτερα στην ανάπτυξη της θεωρίας των μεταθέσεων. 1789-1857
Για τον Galois το κύριο ζήτημα ήταν να καταλάβει τις γενικές αρχές. Θεωρούσε ότι οι υπολογιστικές μέθοδοι είχαν γίνει τόσο περίπλοκες που πρόοδος με αυτόν τον τρόπο ήταν αδύνατη. Για τον Galois υπήρξαν δύο ζητήματα: 1. αντιστοιχία ομάδων και σωμάτων (θεωρία Galois) και 2. εφαρμογές για την επίλυση των εξισώσεων, --- πότε οι ρίζες ενός πολυωνύμου εκφράζονται αλγεβρικά.
Ο Galois πρώτος χρησιμοποίησε τον όρο ομάδα: μία συλλογή από μεταθέσεις που το γινόμενο τους ανήκει σε αυτή τη συλλογή. Έδειξε ότι οι ιδιότητες μίας αλγεβρικής γβρ εξίσωσης συνδέονται άμεσα με της ιδιότητες μία ομάδας μεταθέσεων. Η ομάδα αυτή αποτελείται από εκείνες τις μεταθέσεις εαθέσεςρζώ ριζών που δεν αλλάζουν τις σχέσεις έσες ανάμεσα στις ρίζες. Για να περιγράψει αυτές τις ιδιότητες ανακάλυψε την έννοια των κανονικών υποομάδων και των ομάδων πηλίκα.
Παρατήρησε ότι η ύπαρξη επιλύουσας είναι ισοδύναμης με την ύπαρξη κανονικών υποομάδων με κατάλληλους δείκτες. Το έργο του γράφτηκε το 1830 και εμφανίστηκε το 1846 (Louiville). (O Cayley το 1854 έδωσε τον πρώτο αφηρημένο ορισμό ομάδας.)
Evariste Galois 25 Oct 1811-31 May 1832 Bourg-la-Reine
Οι γονείς του: μορφωμένοι και σκεπτόμενοι: (φιλοσοφία, φιλολογία, θρησκευτικά) πατέρας του: ημοκρατικός και ήμαρχος του Bourg-la-Reine 1814 μητέρα του: κόρη δικαστή, πρώτη του δασκάλα (έως τα 12) ελληνικά, λατινικά, θρησκευτικά 1826: βιβλίο του Legendre «Στοιχεία της Γεωμετρίας» Καλός μαθητής έως το 1825 Επανάληψη τάξης το 1826 (έμεινε στα ρητορικά) «Είναι το πάθος των μαθηματικών που τον έχει καταλάβει. Πιστεύω ότι θα ήταν καλύτερα για αυτόν αν οι γονείς του του επέτρεπαν να μελετήσει μόνο τα μαθηματικά. Χάνει τον χρόνο του εδώ και δεν κάνει τίποτα άλλο από το να παιδεύει τους δασκάλους του και να τιμωρείται.» «παράξενος, κλειστός...» «πρωτότυπος, ρ όχι μεθοδικός»
Lagrange g 1736-1813 Legendre 1752-1833 Abel 1802-1829
1828 1829 (τραγικός θάνατος πατέρα του) École Polytechnique ιπλή αποτυχία... το καλύτερο ανώτατο ίδρυμα της εποχής, Μεγάλο πολιτικό φοιτητικό κίνημα πανεπιστήμιο
Cauchy 1789-1857 Fourier 1768-1830 απόρριψη -- υποβολή της εργασίας το 1830... το χειρόγραφο δε βρέθηκε ποτέ
1830: Το μεγάλο βραβείο της Ακαδημίας αποδίδεται στον Abel και στον Jacobi Η εργασία του Galois δεν βρέθηκε ποτέ. Poisson 1781-1840 1831, 3,ηη δουλιά του Galois απορίφθηκε ακόμα μία φορά από τον Poisson
Αποβολή από την ENS: εκέμβρης1830, λόγος: πολιτικό γράμμα, υπογεγραμμένο, κατά του διευθυντή της Σχολής στο Gazette des Ecoles Μάιος 1831, λόγος: απειλή κατά του βασιλιά, χρόνος φυλάκισης: 1 μήνας Ιούλιος 1831 (ημέρα της Bastille) λόγος: στολή των Δημοκρατικών φρουρών (και με πιστόλια, τουφέκι, σπαθί..) χρόνος φυλάκισης: 6 μήνες
Στη φυλακή της Αγίας Πελαγίας ο Galois έλαβε την απόριψη από τον Poisson: «το επιχείρημα του συγγραφέα δεν είναι σαφές ούτε αρκετά ανεπτυγμένο για να αποφασίσουμε ως προς την ισχύ του... Προτείνουμε ο συγγραφέας να δημοσιεύσει το έργο του στο σύνολό του για να μπορέσουμε να διαμορφώσουμε οριστική άποψη.» Απόπειρα αυτοκτονίας...
Απρίλιο 1832, ανάρωση από χολέρα
30 Μαίου 1832: μονομαχία, έναν μήνα μετά την αποφυλάκιση... 29 Μαίου 1832: ολονυκτία για το περίφημο γράμμα στον φίλο Chevalier Τελευταία λόγια στον αδελφό του Alfred: Ne pleure pas, Alfred! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans!
«υπάρχει κάτι να προστεθεί για να ολοκληρωθεί αυτή η απόδειξη. εν προλαβαίνω.» Σημείωση στο γράμμα προς τον Chevalier «Ρώτα τον Jacobi ή τον Gauss για την γνώμη τους, όχι ως προς την ισχύ των όσων γράφω, αλλά ως προς την σημασία αυτών των θεωρημάτων. Αργότερα ελπίζω ότι θα υπάρξουν κάποιοι που θα θεωρήσουν καλό να αποσαφηνίσουν όλα αυτά...»
1843: Liouville 1846: Δημοσίευση η Journal des mathématiques pures et appliquées Liouville 1809-1882
Gauss 1777 1855
Θεωρία Αριθμών και Gauss Στο έργο του «Disquisitions» (1801) βρίσκονται οι απαρχές της θεωρίας των πεπερασμένων αβελιανών ομάδων. Οι ομάδες εμφανίζονται σε 4 μορφές: 1. ακέραιοι modulo m 2. ακέραιοι που είναι πρώτοι προς το m, modulo m 3. κλάσεις ισοδυναμίας διγραμμικών συναρτήσεων βαθμού 2 4. το σύνολο των n-στών ριζών της μονάδας
Ο Gauss δεν φαίνεται να είχε την έννοια της αφηρημένης ομάδας. Παρόλο που οι τεχνικές του ήταν γενικές, αντιμετώπισε τη κάθε περίπτωση ομάδας (από τις 4 που εμφανίζονται στη δουλειά του) χωριστά. εν είχε μία μέθοδο που να εφαρμόζεται σε όλες τις περιπτώσεις.
Gauss Galois Οι ακέραιοι του Τετραδικοί Gauss (1829) Ομάδες (1832) Αριθμοί (1843) Hamilton
Θεωρία Δακτυλίων Αντιμεταθετικοί Δακτύλιοι Ξεκίνημα: αλγεβρική θεωρία αριθμών, αλγεβρική γεωμετρία, θεωρία αναλλοιώτων. Μη Αντιμεταθετικοί Δακτύλιοι Ξεκίνημα: τετραδικοί αριθμοί του Hamilton (1843)
Ακολούθησαν πολλά καινούρια παραδείγματα όπου ο πολλαπλασιασμός δεν ικανοποιούσε την αντιμεταθετική ιδιότητα. Για παράδειγμα, στην πολλαπλασιασμό λ των τετραγωνικών πινάκων (Cayley 1855, 1858).
Αντιμεταθετικοί Δακτύλιοι Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών: παρόλο που τα κύρια προβλήματα είχα τεθεί ως προς τους ακεραίους, για την επίλυσή τους φάνηκε ότι έπρεπε να σκεφτούν τους ακεραίους ως κομμάτι πιο γενικευμένων συστημάτων αριθμών, τους «αλγεβρικούς λ β ύ ακεραίους». Ένα από τα κύρια ζητήματα που τέθηκε ήταν η ιδιότητα της μοναδικής παραγοντοποίησης.
Dedekind 1831-19161916
Η όρος δακτύλιος χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Hilbert το 1892. Ο πρώτος αξιωματικός ορισμός του δακτυλίου από τον Fraenkel το 1914. Οι αξιωματικές αρχές της θεωρίας των αντιμεταθετικών δακτυλίων δόθηκαν για πρώτη ηφορά από την Noether το 1921.