Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Transcript

1 Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

2

3 Χάρις στο έργα των Viete (16 ος αιώνας) και Descartes (17 ος αιώνας) ξεκινά η ανάπτυξη της θεωρίας των πολυωνυμικών εξισώσεων. 1. Έχει κάθε πολυώνυμο ρίζα? 2. Πόσεςρίζεςέχειέναπολυώνυμοβαθμούn? 3. Μπορούμε να καθορίσουμε πότε οι ρίζες είναι ρητές, πραγματικές, θετικές, κλπ? 4. Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στις ρίζες του πολυωνύμου και στους συντελεστές του? 5. Πως βρίσκουμε τις ρίζες ενός πολυωνύμου?

4 1. Έχει κάθε πολυώνυμο ρίζα? Απάντηση: Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας Κάθε πολυώνυμο με πραγματικούς ή μιγαδικούς συντελεστές έχει μία μιγαδική ρίζα. Κάθε πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πολυωνύμων βαθμού 1 με μιγαδικούς συντελεστές. Κάθε πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πολυωνύμων βαθμού 1 ή 2 με πραγματικούς συντελεστές.

5 Descartes: (17 ος αιώνας) : «κάθε εξίσωση μπορεί να έχει τόσες ρίζες όσος είναι ο αριθμός των διαστάσεων της άγνωστης ποσότητας στην εξίσωση.» Το ΘΘΑ χρησιμοποιήθηκε στον λογισμό στο τέλος του 17 ου αιώνα για τα ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων f(x)/g(x). Ο Leibniz ισχυρίστηκε σε εργασία του το 1702 ότι το το πολυώνυμο δεν μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο γραμμικών ή δευτεροβάθμιων όρων.

6 Αποδείξεις του ΘΘΑ 1746 D Alembert 1746 Euler ελλειπείς 1799 Gauss (3 άλλες αποδείξεις, τελευταία το 1849) Σε κάθε απόδειξη χρησιμοποιείται το ακόλουθο αποτέλεσμα από την ανάλυση: κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει μία πραγματική ρίζα.

7 Η απόδειξη του ΘΘΑ ήταν απόδειξη ύπαρξης : η ρίζα δεν κατασκευάζεται αλλά δείχνεται ότι πρέπει να υπάρχει. Αυτό τον 19 ο αιώνα ήταν πρωτόγνωρο και τέτοιου είδους αποδείξεις ακόμα και τον 20 αιώνα ήταν αμφισβητήσιμες.

8 2. Πόσες ρίζες έχει ένα πολυώνυμο βαθμού n? Ο Descartes έδειξε ότι αν a είναι ρίζα του p(x) και p(x) έχει βαθμό n τότε p(x)=(x-a)q(x) όπου βαθμός q(x) είναι n- 1. Επαναλαμβάνοντας (και θεωρώντας ότι το ΘΘΑ ισχύει) προκύπτει ότι αν ο βαθμός του p(x) είναι n τότε

9 3. Μπορούμε να καθορίσουμε πότε οι ρίζες είναι ρητές, πραγματικές, θετικές, κλπ? κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει μία πραγματική ρίζα. Παρόλο αποδεκτό τον 17 και 18 αιώνα αποδείχτηκε τον 19 ο αιώνα ως συνέπεια του Θεωρήματος Μέσης Τιμής από τον Λογισμό: (Κάθε συνεχής συνάρτηση που είναι θετική για κάποιες τιμές και αρνητική για κάποιες άλλες πρέπει να διασχίζει τον άξονα των x και να έχει μία ρίζα.)

10 Newton: αν a+bi ρίζα του p(x) τότε a bi ρίζα του p(x). Descartes: κριτήριο για το ποιοί ρητοί a/b μπορούν να είναι ρίζες ενός πολυωνύμου. Descartes: (χωρίς απόδειξη) άνω όριο για τον αριθμό των θετικών ριζών ενός πολυωνύμου μετράμε τον αριθμό των αλλαγών των προσήμων από + σε και από σε + Descartes: (χωρίς απόδειξη) άνω όριο για τον αριθμό των αρνητικών ριζών ενός πολυωνύμου μετράμε τον αριθμό των δύο συνεχόμενων + και δύο συνεχόμενων

11 4. Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στις ρίζες του πολυωνύμου και στους συντελεστές του? σχέση ανάμεσα στις ρίζες ενός δευτεροβάθμιου πολυωνύμου και συντελεστές του πολυωνύμου: γνωστό. αντίστοιχη σχέση για τις ρίζες και τους συντελεστές πολυωνύμου βαθμού έως 5 από τον Viete. Ο Newton εισήγαγε την έννοια των συμμετρικών συναρτήσεων που εκφράζουν αυτές τις σχέσεις ανάμεσα στις ρίζες και τους συντελεστές για κάθε βαθμό.

12 5. Πως βρίσκουμε τις ρίζες ενός πολυωνύμου? Το επιθυμητό είναι να δοθεί η λύση με ριζικά όπως για πολυώνυμα βαθμού 2,3,4. Προσπάθεια: εύρεση τέτοιας λύσης (ακριβής λύση) για πολυώνυμα βαθμού μεγαλύτερου του 4. Παράλληλα: όταν δεν υπάρχει ακριβής λύση τότε αναπτύσσονται μεθόδοι για την εύρεση προσεγγιστικών λύσεων π.χ. Newton (17 ος αιώνας), Horner (19 ος αιώνας)