Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν κ πραγµατική f ( x, y, κ ( το υποσύνολο S f { κ} του ). Η S Παραδείγµατα: )Έστω f : : f ( x, y, x + y + z. Αν x + y + z κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου κ > τότε η,, και ακτίνας r κ στον. Ιδιαίτερα αν κ, έχουµε την επιφάνεια της µοναδιαίας σφαίρας του. Η συνάρτηση f είναι βέβαια C. ) Έστω (,, ),(,, ) f x y z x y z x y z συνάρτηση). Αν κ, η εξίσωση κώνο στο Πράγµατι, Η εξίσωση + (,,. µε κορυφή στο z x + y z ± x + y. f : είναι µια C x + y z x + y z ορίζει έναν διπλό z x + y, ορίζει έναν ορθό κώνο που βρίσκεται πάνω από το xy επίπεδο και η z x + y ορίζει τον «κατά κορυφήν» κώνο που βρίσκεται κάτω από το xy επίπεδο. Η επιφάνεια αυτή σχηµατίζεται µε την περιστροφή µιας ευθείας π που διέρχεται από το (,, ) περί τον άξονα των z και σε γωνία µε αυτόν. 4
)Έστω (,, ) f x y z ax+ β y+ γ z, όπου a, β, γ µε a + β + γ >. Αν κ τότε η εξίσωση ax+ β y+ γ z κ, ορίζει ένα επίπεδο Ε στον διάνυσµα ( a, β, γ ). Είναι βέβαια προφανές ότι η f είναι C στον 4)Έστω ανοικτό και : (, ),(, ) g κάθετο στο. C συνάρτηση. Θέτουµε z g x y x y και ορίζουµε µια συνάρτηση f : θέτοντας, f x, y, z z g x, y, x, y, z. Η f είναι C συνάρτηση στο, αφού οι µερικές παράγωγοί της, f, και, είναι συνεχείς συναρτήσεις. z Είναι απλό να ελέγξουµε ότι η επιφάνεια S που ορίζεται από την εξίσωση f x, y, z z g x, y G g της g. συµπίπτει µε το γράφηµα Πράγµατι, S x, y, z : f x, y, z { } ( x, y, : z g( x, y) ( x, y, g ( x, y )) :( x, y ) G( g ). ( Σηµειώνουµε ότι το υποσύνολο του.) είναι ανοικτό Παρατήρηση. Ο παραπάνω ορισµός µπορεί βέβαια να διατυπωθεί για κάθε και κάθε C συνάρτηση f : U. Αν κ τότε το σύνολο των x x,..., x : f x κ, ορίζεται ως το σύνολο στάθµης της f. Αν, µιλάµε για µια καµπύλη στάθµης και αν για µια επιφάνεια στάθµης. Για παράδειγµα, αν f ( x, y) x + y και κ >, τότε η καµπύλη στάθµης που ορίζει σηµείων η εξίσωση x + y κ είναι ο κύκλος κέντρου (, ) και ακτίνας r κ. Παρατηρούµε ότι το παράδειγµα 4 γενικεύεται και για g :.. Πρόταση. Έστω U ανοικτό, x U και f : U C συναρτήσεις συνάρτηση διαφορίσιµη στο x. Αν f ( x) ( x),..., ( x) δείχνει προς εκείνη την κατεύθυνση κατά µήκος της οποίας η f αυξάνει ταχύτερα. Απόδειξη: Έστω ευθείας,, τότε η κλίση f ( x ) η µε η. Ο ρυθµός µεταβολής της f στο x επί της l t x + tη t δίνεται από την παράγωγο της f στο x στην κατεύθυνση η, δηλαδή την ποσότητα, f ( x) η f ( x)( η). Όµως f ( x) η f ( x) η cosθ f ( x) cosθ όπου θ [, π] η γωνία των διανυσµάτων η και f ( x ). Αν θ τότε cosθ και ο ρυθµός αυτός γίνεται µέγιστος. ηλαδή έχουµε τον µέγιστο ρυθµό µεταβολής όταν τα διανύσµατα η και f ( x ) είναι παράλληλα και οµόρροπα.
Παραδείγµατα. ) Σε ποια κατεύθυνση ξεκινώντας από το (, ) αυξάνει f x, y x y ; ταχύτερα η Λύση. f f,, j. (,) (, ), (,) (, ) (, ) κατεύθυνση x + y + z )Έστω f ( x, y,,( x, y, (,,) x,, x, y. Άρα. Έτσι η f αυξάνει ταχύτερα στην. Ποια είναι η κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης για την f στο σηµείο (,, ) ; Λύση Οι µερικές παράγωγοι της f στο ανοικτό U (,,) x x x + y + z, y y x + y + z και 9,,. 9 Συνεπώς, f (,, ),, (,,) στην κατεύθυνση. Θεώρηµα. Έστω z z x + y + z ανοικτό και : είναι οι. Έτσι η f αυξάνει ταχύτερα f C συνάρτηση και P ( x, y, z) f ( x, y, κ όπου κ σταθερά, ( κ f ( ) ). Τότε το διάνυσµα f ( P) ένα σηµείο στην επιφάνεια S που ορίζεται από την εξίσωση είναι κάθετο στην S υπό την ακόλουθη έννοια: Αν v είναι το εφαπτόµενο διάνυσµα στο t µιας c : a, b S a, b c P, τότε C καµπύλης [ ] µε ( και ) f ( P) v. Απόδειξη: Από την υπόθεσή µας, c [ a, b] S, εποµένως f ( c( t) ) κ για κάθε t [ a, b]. Το εφαπτόµενο διάνυσµα της c στο c είναι το v c '. Εφαρµόζουµε τον κανόνα αλυσίδας στην σύνθετη συνάρτηση foc :[ a, b] και στο t, οπότε έχουµε, λαµβάνοντας υπόψη ότι η foc είναι σταθερή συνάρτηση, ότι d( foc) dt f dx f dy f dz dt dt z dt ( c ) + ( c ) + ( c ) (,, ), [, ] f c( ) c ' f ( P) v ( όπου c t x t y t z t t a b
4 Γεωµετρική σηµασία της κλίσης: Το είναι σταθερή. Σηµείωση Το v και f ( P) το P ( x, y, z ). f είναι ορθογώνιο στην επιφάνεια όπου η f µεταφέρονται παράλληλα ώστε να αρχίζουν από Παρατηρήσεις: ) Το προηγούµενο θεώρηµα ισχύει για κάθε f :, ( ανοικτό ) µε. Στην περίπτωση ορίζει µια καµπύλη { κ} C f, την καµπύλη στάθµης της f. ) Αν f :, ( ανοικτό ) είναι C συνάρτηση f x y κ, η (, ) C συνάρτηση, τότε η διανυσµατική συνάρτηση, f : : x f ( x) ( x),..., ( x) ονοµάζεται διανυσµατικό πεδίο κλίσεων της f και είναι βέβαια συνεχής. Η συνάρτηση αυτή έχει µεγάλη γεωµετρική σηµασία καθώς µας δείχνει συγχρόνως δύο πράγµατα, ον την κατεύθυνση στην οποία η f αυξάνει ταχύτερα και ον την κατεύθυνση που είναι ορθογώνια στις επιφάνειες στάθµης της f. Από την προηγούµενη συζήτηση οδηγούµαστε στον ακόλουθο ορισµό.. Ορισµός Έστω f : C συνάρτηση ( ανοικτό ) και S µια επιφάνεια στάθµης της f, δηλαδή S ορίζεται από µια εξίσωση της µορφής f ( x, y, κ. Το εφαπτόµενο επίπεδο της S σε ένα σηµείο P ( x, y, z ) ορίζεται από την εξίσωση, f P X P ( ), αν f ( P), X ( x, y, της S, ( P)( x x) + ( P)( y y) + ( P)( z z) z Με περισσότερη ακρίβεια το εφαπτόµενο επίπεδο της S στο P είναι το σύνολο,
{ x : f ( x) ( x P) } ' S µε c P, τότε το σηµείο x P c Ε Παρατηρούµε ότι αν c είναι µια + ανήκει στο Ε. 5 C καµπύλη της Σηµειώνουµε ότι στο προηγούµενο θεώρηµα όπως και στον παραπάνω ορισµό θα µπορούσαµε εξίσου καλά να είχαµε εργασθεί και στις δύο ή και στις διαστάσεις, µε τις προφανείς τροποποιήσεις. Παρατήρηση. Έστω είδαµε στο παράδειγµα (4) η ανοικτό και : g g ορίζει φυσιολογικά µια C συνάρτηση. Όπως C συνάρτηση, f :, θέτοντας f ( x, y, z g( x, y),( x, y,. Επίσης παρατηρήσαµε ότι η επιφάνεια S που ορίζεται από την εξίσωση f ( x, y, z ) συµπίπτει µε το γράφηµα G( g ) της g. Περαιτέρω παρατηρούµε ότι το εφαπτόµενο επίπεδο της S στο P ( x, y, z ) f ( P), όπου, όπως ορίστηκε προηγουµένως, συµπίπτει µε τον ορισµό του ( ) x y g x y ( πρβλ. τις εφαπτόµενου επιπέδου του γραφήµατος της g στο,, (, ) παρατηρήσεις µετά τον ορισµό του διαφορικού συνάρτησης ). Πράγµατι, ( P) ( x, y), ( P) ( x, y) και ( P). Συνεπώς, z f f P x x + ( P)( y y) + f ( P)( z z) z ( x, y)( x x) ( x, y)( y y) + z z z g( x, y) + ( x, y)( x x) + ( x, y)( y y). Παράδειγµα. Να βρεθεί ένα µοναδιαίο διάνυσµα κάθετο στην επιφάνεια z x y y x,, f x, y, z z x y+ y+ x, + + στο σηµείο P. Έστω θεωρούµε την επιφάνεια που ορίζεται από την εξίσωση, f x, y, z z x y y x P,, S x, y, z + +. Το, η κλίση της f στο z είναι f ( x, y,,, ( xy, x,). Εποµένως, f ( P) (,,) Το διάνυσµα αυτό είναι κάθετο στην S στο σηµείο (,,) f ( P) µοναδιαίο διάνυσµα είναι το η (,,) f ( P) 6 Ασκήσεις. P. Το ζητούµενο ) Βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που εφάπτεται στην επιφάνεια, z f ( x, y) στο σηµείο που υποδεικνύεται: π +, (β) z cos x cos y,,,, π (γ) z cos x si y,,, z x + y,,, (α) z x y 6 xy, (,, ), (δ)
6 z ) Βρείτε ένα µοναδικό κάθετο διάνυσµα στην επιφάνεια cos xy e στο (, π,) ) Έστω r ( x, y, r. Αποδείξτε ότι, r r στο U (,,) και κατόπιν ότι, + +. r r z r 4) Έστω f : διαφορίσιµη συνάρτηση στο a. Αποδείξτε ότι ο πυρήνας της γραµµικής απεικόνισης f ( a) : είναι ο γραµµικός υπόχωρος του που είναι κάθετος στην κλίση f ( a) της f στο a. 5) Υπολογίστε την κλίση f για κάθε µια από τις συναρτήσεις: (α) f ( x, y, x + y + z x + y + z (β) f ( x, y, xy+ yz+ xz f x, y, z cos x+ y + z (γ) f ( x, y,, (δ) Για κάθε µια από τις παραπάνω συναρτήσεις, ποια είναι η κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης στο σηµείο (,, ) ;