Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ)
Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες x και y τέμνονται στην αρχή των συντεταγμένων. Τα σημεία αναπαρίστανται με το ζεύγος (x, y).
Πολικό σύστημα συντεταγμένων Ορίζουμε την αρχή των αξόνων και έναν άξονα αναφοράς. Το σημείο βρίσκεται σε απόσταση r από την αρχή των αξόνων στην κατεύθυνση της γωνίας, η οποία μετρείται ως προς τον οριζόντιο άξονα (αναφοράς). Ο οριζόντιος άξονας είναι συνήθως ο άξονας x. Τα σημεία αναπαρίστανται με το ζεύγος (r, ).
Μετατροπή πολικών συντεταγμένων σε καρτεσιανές Με βάση το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από τις r και x = r cos y = r sin Αν οι καρτεσιανές συντεταγμένες είναι γνωστές: tan y x r x y 2 2
Οι καρτεσιανές συντεταγμένες ενός σημείου στο επίπεδο xy είναι (x,y) = (3.50, 2.50) m, όπως φαίνεται στην εικόνα. Βρείτε τις πολικές συντεταγμένες του σημείου. Λύση: Από την Εξίσωση, r x y ( 3.50 m) ( 2.50 m) και, 2 2 2 2 Παράδειγμα 4.30 m y 2.50 m tan 0.714 x 3.50 m 216 (τα πρόσημα προσδιορίζουν το τεταρτημόριο)
Διανυσματικά και βαθμωτά μεγέθη Ένα βαθμωτό μέγεθος ορίζεται πλήρως από μία τιμή ακολουθούμενη από την κατάλληλη μονάδα και δεν έχει κατεύθυνση. Πολλά βαθμωτά μεγέθη είναι πάντα θετικά (ή μηδέν). Άλλα έχουν είτε θετικές είτε αρνητικές τιμές. Οι πράξεις με βαθμωτά μεγέθη γίνονται σύμφωνα με τους κανόνες της απλής αριθμητικής. Ένα διανυσματικό μέγεθος ορίζεται πλήρως από έναν αριθμό ακολουθούμενο από την κατάλληλη μονάδα και μία κατεύθυνση.
Συμβολισμός διανυσμάτων Συμβολίζουμε κάθε διάνυσμα με ένα έντονο γράμμα μαζί με ένα βέλος πάνω από αυτό: Επίσης, χρησιμοποιούμε και τον απλό έντονο χαρακτήρα: A Όσον αφορά το μέτρο ενός διανύσματος, θα χρησιμοποιούμε ένα πλάγιο γράμμα: A ή Το μέτρο του διανύσματος έχει φυσικές μονάδες. Το μέτρο ενός διανύσματος είναι πάντα θετικός αριθμός. Όταν γράφετε με το χέρι, να χρησιμοποιείτε το βέλος: A A A
Ισότητα δύο διανυσμάτων Δύο διανύσματα είναι ίσα αν έχουν το ίδιο μέτρο και την ίδια κατεύθυνση. A B αν A=B και αν τα διανύσματα έχουν ίδια διεύθυνση και φορά, δηλαδή ίδια κατεύθυνση. Όλα τα διανύσματα της εικόνας είναι ίσα. Αυτό μάς επιτρέπει να μεταθέσουμε παράλληλα ένα διάνυσμα σε μια νέα θέση.
Πρόσθεση διανυσμάτων Η πρόσθεση διανυσμάτων είναι πολύ διαφορετική από την πρόσθεση βαθμωτών μεγεθών. Όταν προσθέτουμε διανύσματα, πρέπει να λαμβάνουμε υπόψη την κατεύθυνσή τους. Οι μονάδες τους πρέπει να είναι ίδιες. Γραφικές μέθοδοι Σχεδιάζουμε τα διανύσματα υπό κλίμακα. Αλγεβρικές μέθοδοι Είναι πιο βολικές.
Πρόσθεση διανυσμάτων με τη γραφική μέθοδο Επιλέγουμε μια κλίμακα. Σχεδιάζουμε το πρώτο διάνυσμα,, με το κατάλληλο μήκος και την κατεύθυνση που ορίζεται, ως προς ένα σύστημα συντεταγμένων. Σχεδιάζουμε το επόμενο διάνυσμα με το κατάλληλο μήκος και την κατεύθυνση που ορίζεται, ως προς ένα σύστημα συντεταγμένων το οποίο έχει αρχή την αρχή του διανύσματος A και είναι παράλληλο προς το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται για το. A A
Πρόσθεση διανυσμάτων με τη γραφική μέθοδο Συνεχίζουμε να σχεδιάζουμε διανύσματα τοποθετώντας την ουρά κάθε επόμενου διανύσματος στην αιχμή του τελευταίου. Η συνισταμένη είναι το διάνυσμα που αρχίζει από την ουρά του πρώτου διανύσματος και τελειώνει στην αιχμή του τελευταίου. Μετράμε το μήκος της συνισταμένης και τη γωνία της. Χρησιμοποιούμε τον συντελεστή κλίμακας για να μετατρέψουμε το μήκος στο πραγματικό μέτρο του διανύσματος.
Πρόσθεση διανυσμάτων με τη γραφική μέθοδο Όταν έχετε πολλά διανύσματα, επαναλάβετε τη διαδικασία μέχρι να τα συμπεριλάβετε όλα. Η συνισταμένη εξακολουθεί να είναι το διάνυσμα που αρχίζει από την ουρά του πρώτου διανύσματος και τελειώνει στην αιχμή του τελευταίου.
Κανόνες πρόσθεσης διανυσμάτων Στην πρόσθεση δύο διανυσμάτων, το άθροισμα είναι ανεξάρτητο από τη σειρά της άθροισης. Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης. A B B A
Κανόνες πρόσθεσης διανυσμάτων Στην πρόσθεση τριών ή περισσοτέρων διανυσμάτων, το άθροισμα είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο ομαδοποίησης των επιμέρους διανυσμάτων. Η ιδιότητα αυτή ονομάζεται προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης. A B C A B C
Κανόνες πρόσθεσης διανυσμάτων Στην πρόσθεση διανυσμάτων, όλα τα διανύσματα πρέπει να έχουν τις ίδιες μονάδες. Όλα τα διανύσματα πρέπει να περιγράφουν το ίδιο μέγεθος. Για παράδειγμα, δεν μπορείτε να προσθέσετε ένα διάνυσμα μετατόπισης με ένα διάνυσμα ταχύτητας.
Αντίθετο ενός διανύσματος Ως αντίθετο ενός διανύσματος ορίζουμε το διάνυσμα το οποίο, όταν προστεθεί στο αρχικό, δίνει μηδενικό διανυσματικό άθροισμα. Συμβολίζεται με A A A 0 Το αρχικό διάνυσμα και το αντίθετό του θα έχουν ίδιο μέτρο αλλά αντίθετες κατευθύνσεις.
Αφαίρεση διανυσμάτων Ειδική περίπτωση της πρόσθεσης διανυσμάτων: A B Αν, τότε χρησιμοποιούμε το A B Συνεχίζουμε τα διανύσματα. προσθέτοντας
Αφαίρεση διανυσμάτων, μέθοδος 2 Ένας άλλος τρόπος θεώρησης της αφαίρεσης είναι να βρούμε το διάνυσμα που πρέπει να προσθέσουμε στο δεύτερο διάνυσμα για να πάρουμε το πρώτο Όπως μπορείτε να δείτε, η συνισταμένη έχει κατεύθυνση από την αιχμή του δεύτερου διανύσματος προς την αιχμή του πρώτου. A B C
Μέθοδος πρόσθεσης διανυσμάτων με χρήση συνιστωσών Η γραφική μέθοδος πρόσθεσης διανυσμάτων δεν ενδείκνυται όταν: Θέλουμε μεγάλη ακρίβεια. Λύνουμε προβλήματα σε τρεις διαστάσεις. Μία εναλλακτική μέθοδος είναι η μέθοδος πρόσθεσης με χρήση συνιστωσών. Χρησιμοποιεί τις προβολές των διανυσμάτων πάνω σε άξονες συντεταγμένων.
Συνιστώσες διανύσματος Εισαγωγή Συνιστώσα είναι η προβολή ενός διανύσματος πάνω σε έναν άξονα. Κάθε διάνυσμα μπορεί να περιγραφεί πλήρως από τις συνιστώσες του. Είναι καλύτερο να χρησιμοποιούμε τις καρτεσιανές συνιστώσες. Αυτές είναι οι προβολές του διανύσματος στους άξονες x και y.
Συνιστώσες διανύσματος Ορολογία Τα A και A είναι οι διανυσματικές συνιστώσες του. x y Είναι διανύσματα, οπότε ακολουθούν όλους τους κανόνες των διανυσμάτων. Τα A x και A y είναι βαθμωτά μεγέθη. Θα αναφερόμαστε σε αυτά ως τις συνιστώσες του. A A
Συνιστώσες διανύσματος Έστω ότι δίνεται το διάνυσμα A. Αυτό μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των A A A x y Ax και Ay Τα τρία διανύσματα σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο.
Συνιστώσες διανύσματος (2) Η συνιστώσα y μετατίθεται στην αιχμή της συνιστώσας x. Αυτό είναι εφικτό επειδή μπορούμε να μεταθέσουμε παράλληλα οποιοδήποτε διάνυσμα σε μια νέα θέση χωρίς να το επηρεάσουμε. Έτσι σχηματίζεται το τρίγωνο.
Συνιστώσες διανύσματος (3) Η συνιστώσα x ενός διανύσματος είναι η προβολή του πάνω στον άξονα x. A Acos x Η συνιστώσα y ενός διανύσματος είναι η προβολή του πάνω στον άξονα y. A Asin y Έχουμε υποθέσει ότι η γωνία θ μετριέται ως προς τον άξονα x. Αν αυτό δεν ισχύει, οι εξισώσεις δεν θα είναι σωστές. Χρησιμοποιήστε τις πλευρές του τριγώνου για να βρείτε τις σωστές σχέσεις.
Συνιστώσες διανύσματος (4) Οι συνιστώσες είναι οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα μήκους A. A A A και tan 2 2 x y Και πάλι, πρέπει να υπολογίσουμε τη θ ως προς τον θετικό άξονα x. Στα προβλήματα, μπορούμε να ορίσουμε ένα διάνυσμα είτε με τις συνιστώσες του είτε με το μέτρο και την κατεύθυνσή του. A A y x
Μοναδιαία διανύσματα Ένα μοναδιαίο διάνυσμα δεν έχει διαστάσεις και το μέτρο του είναι ίσο με 1. Τα μοναδιαία διανύσματα ορίζουν μία συγκεκριμένη κατεύθυνση και δεν έχουν κάποια άλλη φυσική σημασία. Συμβολίζουμε τα μοναδιαία διανύσματα με τα σύμβολα ˆ ˆ ˆ Είναι ένα σύνολο κάθετων μεταξύ τους διανυσμάτων σε δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων. Το μέτρο κάθε μοναδιαίου διανύσματος ισούται με 1. ˆi ˆj kˆ 1 i, j, και k
Διανύσματα σε μορφή μοναδιαίων διανυσμάτων Η συνιστώσα A x είναι ίδια με το γινόμενο A x î και η συνιστώσα A y είναι ίδια με το γινόμενο A y ĵ, κ.ο.κ. Το πλήρες διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί ως: A A ˆi A ˆj x y
Διάνυσμα θέσης Παράδειγμα Ένα σημείο του επιπέδου xy έχει καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y). Το σημείο μπορεί να οριστεί από το διάνυσμα θέσης rˆ xˆi yˆj Η παραπάνω σχέση δίνει τις συνιστώσες του διανύσματος και τις συντεταγμένες του.
Πρόσθεση διανυσμάτων με χρήση μοναδιαίων διανυσμάτων Χρησιμοποιούμε τη σχέση R A B Τότε, A ˆ ˆ ˆ ˆ x Ay Bx By R i j i j A B ˆ A B R i ˆj R R ˆi R ˆj x x x y y y Άρα, R x = A x + B x και R y = A y + B y R R R tan 2 2 1 x y R R y x
Πρόσθεση διανυσμάτων με χρήση μοναδιαίων διανυσμάτων Προσέξτε τις σχέσεις ανάμεσα στις συνιστώσες της συνισταμένης και στις συνιστώσες των αρχικών διανυσμάτων. R x = A x + B x R y = A y + B y
Επέκταση στις τρεις διαστάσεις Χρησιμοποιούμε τη σχέση R A B Τότε, A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x Ay Az Bx By Bz R i j k i j k A B A B A B R ˆi ˆj kˆ x x y y z z R R ˆi R ˆj R kˆ x y z Άρα, R x = A x +B x, R y = A y +B y, και R z = A z +B z 2 2 2 1 Rx R Rx Ry Rz x cos, κλπ. R
Πρόσθεση τριών ή περισσότερων διανυσμάτων Η ίδια μέθοδος μπορεί να επεκταθεί για την πρόσθεση τριών η περισσότερων διανυσμάτων. Υποθέτουμε ότι R A B C και R ˆi ˆj A B C A B C x x x y y y A B C z z z kˆ
Εσωτερικό γινόμενο Στο εσωτερικό γινόμενο ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. A B B A Στο εσωτερικό γινόμενο ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού. A B C A B A C
Διανυσματικό γινόμενο Ορισμός Για δύο οποιαδήποτε διανύσματα και : Το διανυσματικό (εξωτερικό) γινόμενο των και είναι ένα τρίτο διάνυσμα, το A B A B. C A B Το μέτρο του διανύσματος C είναι AB sin είναι η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ των και. A B
Περισσότερα για το διανυσματικό γινόμενο Η ποσότητα AB sin ισούται με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα Aκαι B. Η διεύθυνση του C είναι κάθετη στο επίπεδο που σχηματίζουν τα Aκαι B. Για να προσδιορίσουμε την κατεύθυνση του διανύσματος χρησιμοποιούμε τον κανόνα του δεξιού χεριού.
Ιδιότητες του διανυσματικού γινομένου Στο διανυσματικό γινόμενο δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. Η σειρά με την οποία πολλαπλασιάζουμε τα δύο διανύσματα έχει σημασία. Για να λάβετε υπόψη τη σειρά, θυμηθείτε ότι A B B A. Αν το A είναι παράλληλο με το B ( = 0 o ή 180 o ), τότε A B 0 Άρα, A A 0. Αν το A είναι κάθετο στο B, τότε A B AB. Στο διανυσματικό γινόμενο ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα. A x ( B + C) = A x B + A x C
Ιδιότητες του διανυσματικού γινομένου Η παράγωγος του διανυσματικού γινομένου ως προς μια μεταβλητή, όπως ο χρόνος t, είναι d d A d B A B B A dt dt dt Είναι σημαντικό να τηρούμε τη σειρά των παραγόντων του γινομένου.
Πρόσημα των διανυσματικών γινομένων Στα διανυσματικά γινόμενα, τα πρόσημα μπορούν να αλλάξουν θέση: A -B A B και ˆi ˆj ˆi ˆj Ενότητα Μ11.1
Διανυσματικά γινόμενα μοναδιαίων διανυσμάτων ˆi ˆi ˆj ˆj kˆ kˆ 0 ˆi ˆj ˆj ˆi kˆ ˆj kˆ kˆ ˆj ˆi kˆ ˆi ˆi kˆ ˆj
Χρήση οριζουσών Το διανυσματικό γινόμενο μπορεί να εκφραστεί σε μορφή ορίζουσας ως ˆi ˆj kˆ Ay Az Ax A A z x Ay A B Ax Ay Az ˆi ˆj kˆ By Bz B B x Bz x By B B B x y z Αν αναπτύξουμε τις ορίζουσες, παίρνουμε τη σχέση A B ˆi ˆj kˆ A B A B A B A B A B A B y z z y x z z x x y y x
Παράδειγμα διανυσματικού γινομένου Δίνονται τα διανύσματα Βρείτε το A B A 2ˆi 3 ˆj, B ˆi 2ˆj Αποτέλεσμα A B (2ˆi 3 ˆj ) ( ˆi 2 ˆj ) 2 ˆi ( ˆi ) 2ˆi 2ˆj 3 ˆj ( ˆi ) 3ˆj 2ˆj 0 4kˆ 3kˆ 0 7kˆ
Διανυσματικό γινόμενο και ροπή Η διεύθυνση του διανύσματος της ροπής είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν το διάνυσμα της θέσης και το διάνυσμα της δύναμης r F Η ροπή είναι το διανυσματικό (ή εξωτερικό) γινόμενο των διανυσμάτων της θέσης και της δύναμης.
Παράδειγμα διανύσματος ροπής Δίνονται η δύναμη και η θέση: F (2.00 ˆi 3.00 ˆj ) r (4.00 ˆi 5.00 ˆj ) N m Βρείτε την παραγόμενη ροπή. r F [(4.00ˆi 5.00 ˆj )N] [(2.00ˆi 3.00 ˆj )m] [(4.00)(2.00) ˆi ˆi (4.00)(3.00) ˆi ˆj (5.00)(2.00) ˆj ˆi (5.00)(3.00) ˆj ˆj 2.00kˆ N m