A A i j, i i. Ta kiểm chứng lại rằng giá trị này không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành tổ hợp tuyền tính những hàm ñặc trưng. =, = j A B.

Σχετικά έγγραφα
HỒI QUI VÀ TƯƠNG QUAN

TRÌNH TỰ TÍNH TOÁN THIẾT KẾ BỘ TRUYỀN BÁNH RĂNG TRỤ (THẲNG, NGHIÊNG)

(2.2) (2.3) - Mômen xoắn là tổng các mômen của các ứng suất tiếp ñối với trục z. Hình 2.3. Các thành phần nội lực P 6. Q x II.

GIÁO TRÌNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HỒI QUI VÀ TƯƠNG QUAN

( 1, ; 1, ) Chương 1. MA TRẬN ðịnh THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH A = (gồm m dòng và n cột). ... amn = = = = = = A = B =

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: 1 sin x sin cos x π x x = + +.

ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ CỦA VIỆT NAM TỪ NĂM 2005 ĐẾN NĂM 2010

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A1) Ths. ĐỖ PHI NGA

Chuỗi Fourier và tích phân Fourier

MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

TOÁN CAO CẤP (A2) BÀI GIẢNG HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG Biên soạn : Ts. LÊ BÁ LONG Ths.

CHƯƠNG 1: HÀM NHIỀU BIẾN

Kinh tế học vĩ mô Bài đọc

9.2. Lựa chọn thiết bị và các tham số theo điều kiện làm việc lâu dài Kiểm tra các thiết bị điện Lựa chọn các phần tử của

O 2 I = 1 suy ra II 2 O 1 B.

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ TRONG HẢI DƯƠNG HỌC. Phạm Văn Huấn

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Gi i tých c c hµm nhiòu biõn

AD AB và M là một điểm trên cạnh DD ' sao cho DM = a 1 +.

CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ ĐIỆN XOAY CHIỀU

Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức

1. Ma trận A = Ký hiệu tắt A = [a ij ] m n hoặc A = (a ij ) m n

5. Phương trình vi phân

Năm Chứng minh. Cách 1. Y H b. H c. BH c BM = P M. CM = Y H b

Tối ưu tuyến tính. f(z) < inf. Khi đó tồn tại y X sao cho (i) d(z, y) 1. (ii) f(y) + εd(z, y) f(z). (iii) f(x) + εd(x, y) f(y), x X.

SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP (A1) Ths. ĐỖ PHI NGA

Q B Y A P O 4 O 6 Z O 5 O 1 O 2 O 3

Lecture-11. Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biếnđổi Laplace

Năm Chứng minh Y N

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

M c. E M b F I. M a. Chứng minh. M b M c. trong thứ hai của (O 1 ) và (O 2 ).

BÀI TOÁN HỘP ĐEN. Câu 1(ID : 74834) Cho mạch điện như hình vẽ. u AB = 200cos100πt(V);R= 50Ω, Z C = 100Ω; Z L =

I 2 Z I 1 Y O 2 I A O 1 T Q Z N

Suy ra EA. EN = ED hay EI EJ = EN ED. Mặt khác, EID = BCD = ENM = ENJ. Suy ra EID ENJ. Ta thu được EI. EJ Suy ra EA EB = EN ED hay EA

BIÊN SOẠN : TS. MAI VĂN NAM

là: A. 253 B. 300 C. 276 D. 231 Câu 2: Điểm M 3; 4 khi đó a b c

HỒI QUY TUYẾN TÍNH ĐƠN. GV : Đinh Công Khải FETP Môn: Các Phương Pháp Định Lượng

Dữ liệu bảng (Panel Data)

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 LẦN 1

BÀI TOÁN ĐẲNG CHU RỜI RẠC TRONG MỘT GÓC

Chương 1: VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯU BA PHA

Năm 2017 Q 1 Q 2 P 2 P P 1

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 04) Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Năm 2014 B 1 A 1 C C 1. Ta có A 1, B 1, C 1 thẳng hàng khi và chỉ khi BA 1 C 1 = B 1 A 1 C.

HÀM NHIỀU BIẾN Lân cận tại một điểm. 1. Định nghĩa Hàm 2 biến. Miền xác định của hàm f(x,y) là miền VD:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút.

L P I J C B D. Do GI 2 = GJ.GH nên GIH = IJG = IKJ = 90 GJB = 90 GLH. Mà GIH + GIQ = 90 nên QIG = ILG = IQG, suy ra GI = GQ hay Q (BIC).

Tài liệu dạy học Môn Hóa: Este và chất béo Bi m Sơn Lời nói đầu

Tuyển chọn Đề và đáp án : Luyện thi thử Đại Học của các trường trong nước năm 2012.

Tự tương quan (Autocorrelation)

Tự tương quan (Autoregression)

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

Nội dung. 1. Một số khái niệm. 2. Dung dịch chất điện ly. 3. Cân bằng trong dung dịch chất điện ly khó tan

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG ===== ===== SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP (A2) (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa)

Chương 2: Mô hình hồi quy đơn

x i x k = e = x j x k x i = x j (luật giản ước).

Ch : HÀM S LIÊN TC. Ch bám sát (lp 11 ban CB) Biên son: THANH HÂN A/ MC TIÊU:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ NINH HOÀI ANH NGHIÊN CỨU VÀ XÂY DỰNG ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH DỮ LIỆU KINH DOANH THIẾT BỊ ĐIỆN TỬ

Ngày 26 tháng 12 năm 2015

DONGPHD. DongPhD Problems Book Series. Vector Spaces. Inner Product Spaces. Hilbert Spaces. Banach Spaces. Normed Spaces.

Năm Pascal xem tại [2]. A B C A B C. 2 Chứng minh. chứng minh sau. Cách 1 (Jan van Yzeren).

Phụ thuộc hàm. và Chuẩn hóa cơ sở dữ liệu. Nội dung trình bày. Chương 7. Nguyên tắc thiết kế. Ngữ nghĩa của các thuộc tính (1) Phụ thuộc hàm

Bài giảng Giải tích 3: Tích phân bội và Giải tích vectơ HUỲNH QUANG VŨ. Hồ Chí Minh.

Exercises. Functional. Analysis. A review for final exam st Edition

BÀI GIẢNG MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Μπορείτε να με βοηθήσετε να γεμίσω αυτή τη φόρμα; Για να ρωτήσετε αν κάποιος μπορεί να σας βοηθήσει να γεμίσετε μια φόρμα

ĐỀ 56

Bài Tập Môn: NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH

Biên soạn và giảng dạy : Giáo viên Nguyễn Minh Tuấn Tổ Hóa Trường THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ

O C I O. I a. I b P P. 2 Chứng minh

Chứng minh. Cách 1. EO EB = EA. hay OC = AE

Tính: AB = 5 ( AOB tại O) * S tp = S xq + S đáy = 2 π a 2 + πa 2 = 23 π a 2. b) V = 3 π = 1.OA. (vì SO là đường cao của SAB đều cạnh 2a)

Chương 12: Chu trình máy lạnh và bơm nhiệt

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a

1.6 Công thức tính theo t = tan x 2

Μετανάστευση Σπουδές. Σπουδές - Πανεπιστήμιο. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να εγγραφείτε

CHUYÊN ĐỀ 7. CACBOHIĐRAT

(CH4 - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI, SO SÁNH VÀ KIỂM ĐỊNH) Ch4 - Phân tích phương sai, so sánh và kiểm định 1

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ. đến va chạm với vật M. Gọi vv, là vận tốc của m và M ngay. đến va chạm vào nó.

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG

Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16

BÀI TẬP LỚN MÔN THIẾT KẾ HỆ THỐNG CƠ KHÍ THEO ĐỘ TIN CẬY

* Môn thi: VẬT LÝ (Bảng A) * Ngày thi: 27/01/2013 * Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ:

SINH-VIEÂN PHAÛI GHI MAÕ-SOÁ SINH-VIEÂN LEÂN ÑEÀ THI VAØ NOÄP LAÏI ÑEÀ THI + BAØI THI

Chương 2: Đại cương về transistor

ĐỀ THI THỬ LẦN 10 THPT QUỐC GIA

x y y

ĐỀ 83.

Vectơ và các phép toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC NGÀY THI : 19/06/2009 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

1.3.3 Ma trận tự tương quan Các bài toán Khái niệm Ý nghĩa So sánh hai mô hình...

+ = k+l thuộc H 2= ( ) = (7 2) (7 5) (7 1) 2) 2 = ( ) ( ) = (1 2) (5 7)

c) y = c) y = arctan(sin x) d) y = arctan(e x ).

x = Cho U là một hệ gồm 2n vec-tơ trong không gian R n : (1.2)

CƠ HỌC LÝ THUYẾT: TĨNH HỌC

Transcript:

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN LEESGUE 2.. ðịh ghĩa tích phâ Lebesgue 2... Tích phâ cho hàm ñơ gả hôg âm Cho hôg ga ñộ ño ( XF,, µ ). Gả sử là hàm ñơ ga hôg âm xác ñịh trê. Kh ñó hôg âm. = vớ c χ F, = ( j ) j, = và c là các số thực = Tổg c µ ñược gọ là tích phâ của trê theo ñộ ño µ là. Kí hệu dµ hoặc. Như vậy = dµ c µ Ta ểm chứg lạ rằg gá trị ày hôg phụ thuộc vào cách bểu dễ hàm thàh tổ hợp tuyề tíh hữg hàm ñặc trưg. Thật vậy, gả sử = vớ j j j = d µ =, = j j j = ( j ) = = j = ( j ) Tươg tự ta có. Do các tập j = j = ( ) c ( ) c µ = c µ = µ j j j = = j = ( ) = d ( ) d µ µ j j j j j = j = rờ hau ñô một ê j = thì ta có j c µ = d µ j = j j thì j ( x ) = c trê và ( ) = j x d trê j. Suy ra c = d trê j j. Vậy c µ = d µ j = j j Trag 33

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu 2..2. Tích phâ cho hàm hôg âm, ño ñược Cho là hàm ño ñược hôg âm trê. Theo ñịh lí về cấu trúc hàm ño ñược, tồ tạ dãy hữg hàm ñơ gả ( ) sao cho 0 < + và lm = trê. Ta ñịh ghĩa tích phâ của hàm ño ñược hôg âm trê là lm d µ. Kí hệu là dµ và do ñó dµ = lm d µ Ta phả chứg mh gớ hạ lm dµ tồ tạ và ñược xác ñịh một cách duy hất hôg phụ thuộc vào cách chọ dãy hàm( ). Khẳg ñịh ày dựa vào 2 bổ ñề sau: ổ ñề Cho g, là ha hàm ñơ gả trê và 0 g. Kh ñó ổ ñề 2 Gả sử ( ),( ) lm =, dµ gdµ. g là ha dãy hàm ñơ sao cho 0 <, 0 g < g và + + lmg =. Kh ñó lm 2..3. Tích phâ cho hàm ño ñược bất ì Cho là hàm ño ñược bất ì trê. sự phâ tích dµ = lm gdµ = vớ + = max {,0}, = m {,0 } hệu số dµ d µ có ghĩa (hôg có dạg ) thì ta ñịh ghĩa hệu trê là tích phâ của trê và vết là dµ = + dµ dµ. dµ là hữu hạ thì ta ó là hả tích trê. Nhậ xét Hàm hả tích trê h và chỉ h Trog trườg hợp X =R, = L, gọ là tích phâ Lebesque của hàm trê. Kí hệu là ( L) ( x ) dx hoặc ( x ) dµ ( x ) + và hả tích trê. µ = µ thì tích phâ ñược ñịh ghĩa hư trê ñược Trag 34

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Ví dụ () Cho, X F, xét hàm χ ( x) ( ) ( ) = χ x dµ =. µ + 0. µ X\ = µ. X () Gả sử là hàm Drchlet trê R, ta có Từ ñịh ghĩa tích phâ, ta suy ra () cdµ = cµ () αχ dµ = αµ ( ) () α χ dµ = α µ ( ) 2..4 ðều ệ hả tích ðịh lí () µ = 0 và ño ñược trê thì = 0 0 eáu x eáu x R = χ Q. Kh ñó, d µ = µ ( ) = Q 0 () Gả sử là hàm ño ñược, bị chặ trê và µ < + thì hả tích trê Chứg mh () Chứg mh = 0 ước Hàm ñơ gả, hôg âm = c χ vớ F =, = ( j ) j, =. Kh ñó, = = dµ c µ Do 0 µ µ = 0 ê µ =0 vớ =,2,...,. Do ñó dµ = c µ = 0 ước 2 Hàm ño ñược, hôg âm. = lm vớ là hàm ñơ gả thỏa 0 < vàlm = + trê. Trag 35

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Theo bước, ta có d µ = 0 vớ mọ. Suy ra ước 3 Hàm là ño ñược = lm = 0 + 0, 0, bị chặ trê ê theo bước 2 ta có = = 0. Suy ra = 0 () Chứg mh hả tích trê ước Hàm ñơ gả, hôg âm = c χ vớ F =, = ( j ) = j,. Kh ñó, = = dµ c µ Do µ µ < + vớ =,2,..., ê c µ là hữu hạ hay hả tích trê ước 2 Hàm ño ñược, hôg âm. = lm vớ là hàm ñơ gả thỏa 0 < vàlm = + trê. Do bị chặ ê có K > 0 sao cho ( x ) K x. Kh ñó 0 K trê. Theo bổ ñề, ta có K K µ = < + vớ mọ Do ñó lm K µ ê dµ K µ < + hay hả tích trê ước 3 Hàm là ño ñược + 0, 0, bị chặ trê ê theo bước 2 thì ñó, hả tích trê. 2.2. Các tíh chất sơ cấp của tích phâ 2.2.. Tíh cộg tíh Cho, F, = và là hàm ño ñược trê + và. Kh ñó hả tích trê. Do dµ = dµ + d µ (mễ một trog ha vế có ghĩa) Tổg quát,,..., là ño ñược và rờ hau thì 2 Trag 36

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Chứg mh Gả sử vế trá có ghĩa = = dµ d µ = ước Hàm ñơ gả, hôg âm trê = c χ vớ = E E F, E E = ( j j ), = E. Kh ñó, ( ( )) c ( E ) ( E ) d µ = c µ E = c µ E = µ = c ( E ) ( E ) ( ) ( ) = µ + µ = c µ E + c µ E = dµ + d µ = ước 2 Hàm ño ñược, hôg âm trê = lm vớ là hàm ñơ gả thỏa 0 < vàlm = + trê. Do ñó = lm = lm + = lm + lm = + ước 3 Hàm ño ñược trê + = = + + = = + Hệ quả tồ tạ d µ và, thì ếu hả tích trê. Chứg mh = ( \ ) và ( \ ) = F thì tồ tạ d µ. Hơ ữa, ếu hả tích trê. Trag 37

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Do ñó ếu tồ tạ d µ thì tồ tạ d µ. Ta cũg có dµ = dµ + d µ ê ếu d µ < + thì d µ < + hay hả tích trê. Hệ quả 2 \ µ =0 thì dµ = d µ Chứg mh = thì dµ = dµ + dµ = d µ thì = ( \ ). Suy ra dµ = dµ + dµ = d µ (do 0 µ ( \ ) µ = 0 ) \ 2.2.2. Tíh bảo toà thứ tự Cho và g là ha hàm ño ñược trê. Kh ñó () và g là ha hàm tươg ñươg trê và tồ tạ d µ thì d µ = gd µ ðặc bệt, ếu =0 h. thì d µ = 0 () ðặc bệt, ếu Chứg mh () Do g trê và tồ tạ d µ, gd µ thì d µ gd µ 0 trê thì g trê ê tồ tạ d µ 0, µ =0 ñể = g trê \. Kh ñó dµ = dµ + dµ = 0 + gdµ = gdµ + gdµ = gd µ \ \ \ Trườg hợp =0 h. ghĩa là 0 trê ê dµ = d µ = 0 0 () ước Hàm và g là ha hàm ñơ gả hôg âm trê Trag 38

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Kh ñó, theo bổ ñề, ta có dµ gd µ ước 2 Hàm và g là ha hàm ño ñược hôg âm trê Kh ñó, tồ tạ ( ),( ) g là ha dãy hàm ñơ sao cho 0 <, 0 g < g + + và Do lm =, lmg = g. g trê ê có thể chọ ( ), ( ) g ñể g vớ mọ N Suy ra g vớ mọ N. Cho, ta ñược dµ gd µ ước 3 Hàm và g là ha hàm ño ñược trê Do g trê ê + + g và g trê. Theo bước 2, ta có + + g và g. Suy ra dµ = g g = gd µ Hệ quả hàm hả tích trê thì hữu hạ h. hắp Chứg mh { } { } ðặt = x : ( x ) = +, C x : ( x ) = = Trê ta có ( x ) = + ê ( x ) vớ mọ dµ dµ = µ N. Do ñó Suy ra µ dµ vớ mọ N. Mà d µ < + ê µ =0 Tươg tự, ta có µ =0 Hệ quả 2 C. Vậy ( C ) µ = 0 0 trê và d µ = 0 thì =0 h. Trag 39

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Chứg mh { } ( ) = x : x 0 = x : x =. Kh ñó = = ( ) Suy ra µ = 0 2.2.3. Tíh tuyế tíh 0 = = + = µ \ hay µ =0 vớ mọ N. Do ñó, µ =0 hay =0 h. Cho và g là ha hàm ño ñược trê, c là hằg số. Kh ñó () cdµ = c d µ () ( + ) µ = µ + µ g d d gd (mễ là vế phả có ghĩa) Tổg quát Vớ,,..., 2 là các hàm ño ñược trê, ta có d µ = d µ = Chứg mh () Chứg mh cdµ = c d µ ước Hàm là hàm ñơ gả hôg âm trê. Hể hê ta có cdµ = c d µ ước 2 Hàm là hàm ño ñược hôg âm trê = lm vớ là hàm ñơ gả thỏa 0 < vàlm = + trê. c 0 thì c cũg ñơ gả thỏa 0 c < c + vàlmc = c trê. Theo bước, ta có cd µ = c d µ. Qua gớ hạ ta ñược cdµ = cd µ. ước 3 Hàm là hàm ño ñược trê =. Kh ñó 0 c thì ( ) + c c + = và ( ) c c =. Kh ñó Trag 40

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu 0 cdµ c dµ c dµ c dµ dµ c dµ = ( ) ( ) = = c < thì ( ) + c c = và ( ) c c + =. Kh ñó cdµ c dµ c dµ c dµ dµ c dµ = ( ) ( ) = = () Chứg mh ( + ) µ = µ + µ 2.2.4. Tíh hả tích g d d gd (mễ là vế phả có ghĩa) Xem [] () tồ tạ d µ và d µ d µ () Hàm hả tích trê h và chỉ h hả tích trê () g h. và g hả tích trê thì hả tích trê (v) bị chặ trê và g hả tích trê thì g. hả tích trê Chứg mh () d d d d d ( ) µ = µ µ µ + µ = + dµ = d µ () ( ) Do hả tích trê ê, hả tích trê. Suy ra dµ = dµ + d µ < + hay hả tích trê ( ) + dµ d µ < + và dµ d µ < +. Suy ra, hả tích trê. Do ñó, hả tích trê. () Do g h. ê tồ tạ, µ = 0 sao cho g trê \ Suy ra = + g + 0 = g + g = g < + hay hả tích trê. \ \ \ Suy ra hả tích trê. (v) Do bị chặ trê ê tồ tạ M >0 ñể M. Suy ra Trag 4

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu g. = M g < + Suy ra g. hả tích trê và do ñó g. hả tích trê 2.3. Chuyể gớ hạ qua dấu tích phâ 2.3.. ðịh lí Lev ( ) là dãy hàm ño ñược hôg âm và ñơ ñệu tăg trê và Chứg mh lm d µ = d µ ước Dãy ( ) ñơ gả, hôg âm Theo ñịh ghĩa tích phâ, ta có lm d µ = d µ ước 2 Dãy ( ) ño ñược, hôg âm lm = thì Kh ñó, vớ mỗ tồ tạ dãy hàm ( ) g ñơ gả, hôg âm sao cho m ( ) lmg =. m m Vì ê có thể chọ + ( ) g ñể m g ( ) g ( + ) m m. Do ñó, vớ, ta có ( ) ( ) g g và ( ) ( ) g g Cho ta ñược ( ) lmg và ( ) lmg lm Cho ta ñược ( ) lmg và lm ( ) lmg lm Suy ra ( ) lmg = và do ñó lm = Trag 42

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Hệ quả ( ) u là dãy hàm ño ñược hôg âm trê thì u d µ = ud µ. Hơ ữa, ếu µ Chứg mh ud < + thì chỗ hàm u ( x ) hộ tụ h.. ðặt = u thì ( ) là dãy hàm ño ñược hôg âm và ñơ ñệu tăg trê và = lm u. Theo ñịh lí Lev, ta có lm dµ = ud µ Mặt hác = u = u ê udµ = lm dµ = lm udµ = ud µ = ud µ < + thì µ ud < + hay h. hay chỗ hàm ( ) = u x hộ tụ h.. u hả tích trê. Do ñó, u hữu hạ 2.3.2. ðịh lí về sự hộ tụ ñơ ñệu ( ) là dãy hàm ño ñược, ñơ ñệu trê, lm = và hả tích trê thì Chứg mh TH: ( ) ñơ ñệu tăg Kh ñó, ( ) lm d µ = d µ là dãy hàm ño ñược, hôg âm, ñơ ñệu tăg trê và lm = ( ) Theo ñịh lí Lev, ta có lm ( ) = ( ) dµ d µ. Do hả tích trê ê suy ra lm d µ = d µ Trag 43

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue TH2: ( ) ñơ ñệu gảm Kh ñó, ( ) ñơ ñệu tăg và lm ( ) Chú ý ( ) là dãy hàm ño ñược, ñơ ñệu tăg trê, thì ta vẫ có lm d µ = d µ 2.3.3. ổ ñề Fatou 0 vớ mọ Chứg mh N trê thì ðặt g = {,,...,,... + + }. ( ) tăg trê và Ta lạ có ê soạ: Nguyễ Trug Hếu =. Theo TH, suy ra lm d µ = d µ lm lm lmg = lm. Theo ñịh lí Le v, ta có g ê lm g vớ mọ lm = và hả tích trê g là dãy hàm ño ñược hôg âm và ñơ ñệu gdµ = lmd µ N. Suy ra lm g lm. Do ñó, lm g lm Vậy lm lm g lm Nhậ xét () g vớ mọ N và g hả tích trê thì ta vẫ có lm lm () () g vớ mọ N và g hả tích trê thì ta vẫ có lm lm 2.3.4. ðịh lí Lebesgue về sự hộ bị chặ g vớ mọ N, g hả tích trê và lm = (hầu hắp hoặc theo ñộ ño µ ) thì lm d µ = d µ. Trag 44

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Chứg mh TH lm = hầu hắp Do g ê g g vớ mọ g vớ mọ g vớ mọ N thì N thì N. lm lm lm lm Vậy lm lm lm lm Do lm = hầu hắp ê lm = lm = h.. Suy ra lm lm. Do ñó, lm d µ = d µ TH2 lm = theo ñộ ño µ Xét Do lm. Kh ñó tồ tạ dãy co ( ) ( ) µ trê ê sao cho lm = lm µ trê. Kh ñó, tồ tạ ( ) ( ) lm = h.. Theo TH, ta có µ = µ lm d d Mặt hác, lm dµ = lm = lm Do ñó, lm = d µ Tươg tự, ta có lm = d µ Vậy lm = lm = d µ và do ñó lm d µ = d µ 2.3.5. Tíh σ - cộg tíh và lê tục tuyệt ñố của tích phâ ñể Cho ( XF,, µ ) là một hôg ga ñộ ño và : X R là hàm ño ñược và có tích phâ trê X. Trag 45

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue Xét hàm tập :F λ R ñược xác ñịh hư sau λ ( ) = dµ vớ F ðịh lí (Tíh σ - cộg tíh của tích phâ) ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Hàm tập λ có tíh σ - cộg tíh, ghĩa là vớ bất ì ( ) F rờ hau ñô một và ếu có = dµ (chẳg hạ 0 ) thì ta có = = = dµ dµ. có các tích phâ dµ và dµ < + thì ta cũg có = = = = dµ dµ. Chứg mh Gả sử 0 ñ ñược. ðặt = và = = thì là dãy tăg và = = =. Do ñó, lm = (). Ta chứg mh lm = = χ + χ = χ (2) \ 0 χ χ vớ mọ N. Thật vậy, vớ x, ta có + x thì x + x. Do ñó ( χ )( x ) = ( x ) = ( χ )( x ) thì ( χ )( x ) ( x ).0 0 ( χ )( x ) Ta cũg có lm χ =. Thật vậy, vớ = =. + = x 0. Kh ñó, vớ thì ê x 0 Suy ralm χ = 0 + x = ê tồ tạ N sao cho 0. Do ñó ( x ) ( x ) χ =. Theo ñịh lí Lev ta có lm χ =. Theo (2) ta có lm = (3). Trag 46

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Từ () và (3) ta có = dµ dµ = Trườg hợp tổg quát là hàm ño ñược bất ì trê. = = = = = = = = Chú ý () là hàm hôg âm trê thì λ là một ñộ ño trê F () Hàm tập λ ñược gọ là tích phâ bất ñịh của hàm () λ là một ñộ ño trê F thì ó là một ñộ ño sh bở hàm Ví dụ Cho E = 0, +), ( ) x x e =. Tíh E dµ E = 0,),2 )..., + )... =, + ) vớ, + ) hau ñô một. Do 0 trê E ê = 0 e dµ = dµ = e dµ = e = = 0 ) = 0 ) = 0 e + + là các tập rờ E,, ðịh lí (Tíh lê tục tuyệt ñố của tích phâ) là hàm hả tích trê thì vớ mỗ ε > 0, tồ tạ δ > 0 µ E < δ thì E Chứg mh dµ < ε Do 0 ê ta chỉ cầ chứg mh cho trườg hợp 0 sao cho vớ mọ E, Kh ñó, tồ tạ dãy hàm ( ) hữg hàm ñơ gả, hôg âm, ñơ ñệu tăg và lm = trê. Khôg mất tíh tổg quát, ta có thể chọ ( ) sao cho vớ mọ N. lm d µ = d µ. Do ñó vớ mỗε > 0, tồ tạ 0 N ñể ( ) ε < 0 2 Trag 47

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Vớ E, ta có ( ) ( ) ε = + + < + µ E 2 0 0 0 0 0 E E E E Chọ δ = ε 2 0. Kh ñó ếu µ E < δ thì µ E < ε. Do ñó, 0 2 E ε ε < + = ε 2 2 2.3.6. So sáh tích phâ Rema và tích phâ Lebesgue ðịh lí Cho : R vớ R là hìh hộp chữ hật ñóg và bị chặ Kh ñó, hàm hả tích Rema h và chỉ h là hàm bị chặ và lê tục h. ðịh lí Cho là hả tích Rema hìh hộp chữ hật ñóg và bị chặ. Kh ñó, hả tích Lebesgue trê và ( R ) ( ) = ( ) ( ) Chứg mh x dx L x dx Xét =, = Cha ñoạ = thàh 2 ñoạ bằg hau bở các ñểm cha = 0,,..,2. ( ) b a x = a + vớ 2 Kh ñó, tổg Darboux trê và Darboux dướ của hàm ứg vớ phâ hoạch trê là 2 b a Ω = M và 2 = 2 b a = m 2 = trog ñó M = sup và m = trê x, x 2 2 hay Ω = M ( x x ) và = m ( x x ) = Kh ñó lm lm ( R ) ( ) Ω = = x dx = I ðặt ( x ) = M và ( x ) m b a = = ếu x, ) x x Trag 48

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Tạ x = b các hàm ày hậ gá trị β R tùy ý = Ω, =, + và + vớ mọ N Kh ñó, tồ tạ lm = và lm = trê Vì vớ mọ N ê h. Theo ñịh lí về sự hộ tụ ñơ ñệu, ta có lm = và lm = Cả ha gớ hạ trê tồ tạ và bằg I ê ( ) Do ñó = 0 h. Vậy = = = I = ( R ) ( ) Ví dụ Cho ( x) = = 0. Suy ra = = h.. b a x dx x + cos x eáu xlaøsoá voâ tæ =. 0 eáu xlaøsoá höõutæ Xét sự hả tích (L) và (R) của hàm ( ) tồ tạ ðặt ( ) x trê 0;. Tíh các tích phâ trog trườg hợp g x = x+ cosx, x 0; ta có g trê 0; Dog hả tích (R) ê hả tích (L). Suy ra hả tích (L) trê 0; L dx= L gdx= R gdx= x+ x dx= + s 2 ( ) ( ) ( ) ( cos ) 0; 0; 0; Hàm hôg hả tích (R) trê 0; vì tập các ñểm gá ñoạ của ó chứa tập các số vô tỉ thuộc 0;, tập ày có ñộ ño bằg 0 Trag 49

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu ÀI TẬP CHƯƠNG 2 { ε } 2. Cho là hàm hả tích trê, vớ mỗ ε > 0 ñặt x : ( x ε ) mh rằg µ ε < + =. Chứg 2.2 Cho g là hàm hả tích trê và hàm ño ñược trê thỏa ( ), Chứg mh rằg tồ tạ γ α, β sao cho E g = γ g 2.3 Cho là hàm ño ñược trê và = 0 vớ mọ E, E F = 0 h.. 2.4 Cho là hàm ño ñược trê và µ ( ) <+. Chứg mh rằg ếu x α β h... Chứg mh rằg 2 hả tích trê thì hả tích trê.tìm ví dụ chứg tỏ rằg ếu bỏ gả thết µ ( ) <+ thì hẳg ñịh trê hôg ñúg. 2.5 Cho E = ( 0,), ñặt ( x) hưg lm 0 E 2.6 Cho ( x) 2.7 Cho ( ) eáu 0 < x < = 0 eáu x < µ. Chứg mh rằg 0 eáu x µ =. Chứg mh rằg 0 hưg lm 0 0 eáu x > R, là dãy hữg hàm ño ñược trê, ( ) µ <+. Gả sử ( ) ñều về trê.chứg mh rằg hả tích trê và lm d µ = dµ 2.8 Cho ( ) ( ) hộ tụ là dãy hữg hàm hả tích, hữu hạ trê, hộ tụ ñều về trê và µ <+. Chứg mh rằg hả tích trê và lm d µ = dµ 2.9 Cho ( ) là dãy hữg hàm ño ñược trê, µ < +. Chứg mh rằg µ 0 trê vớ 2.0 Tíh các gớ hạ sau N h và chỉ h lm = 0 + (a) 2 lm + 0 2 x dx Trag 50

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu (b) lm 2 2 0 x+ xe + e x x dx { } 2.9 Cho là hàm hả tích trê, ñặt : ( ) lmµ = 0 2. Xét sự tồ tạ tích phâ và tíh các tích phâ (ếu có) = x x. Chứg mh rằg (a) ( x) s x eáu s x laø soá höõu tæ = cos x eáu cos xlaøsoá voâtæ. Tíh ( ) ( ) L x dx π 0; 2 (b) ( x) (c) ( x) x + eáu xlaøsoá voâ tæ = x + e eáuxlaøsoá höõutæ. Tíh ( ) ( ) L x dx 2 x eáu xlaøsoá voâ tæ > 3 3 = x eáuxlaøsoá voâ tæ < höõutæ. Tíh ( L) 3 ( x) dx 0, 0 eáuxlaøsoá höõutæ C sπ x eáu x 0, D 2 C x = cosπ x eáux, D trog ñó D là tập Cator. 2 0 eáux D (d) ( ) Tíh ( ) ( ) L x dx 0, 0, Trag 5

Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu TÀI LIỆU THM KHẢO [] Lươg Hà, Gáo trìh lý thuyết ñộ ño và tích phâ, NX ðà Nẵg, 2004 [2] Nguyễ ðịh, Nguyễ Hoàg, Hàm số bế số thực, NX Gáo dục, 999 [3] Nguyễ Vă Khuê, Lê Mậu Hả, Cơ sở lý thuyết hàm và Gả tích hàm, NX Gáo dục, 998, [4] Hoàg Tụy, Hàm thực và Gả tích hàm, NX ðhqg Hà Nộ, Vệ Toá [5] Nguyễ ðịh, Nguyễ Ngọc Hả, Các ñịh lí và bà tập hàm thực, NX Gáo dục, 999 [6] ù ðắc Tắc, Nguyễ Thah Hà, à tập hôg ga tôpô - ðộ ño - Tích phâ, NX ðhqg Hà Nộ, 999 Trag 52