ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 4: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (4/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται οι έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων. Αναλύεται ο ορισμός της οικονομετρίας και η διαδικασία κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου. Γίνεται εκτενής αναφορά στην γραμμική παλινδρόμηση και στην εξίσωση απλής γραμμικής παλινδρόμησης. 4
Περιεχόμενα ενότητας Ελεγχοι στατιστικών Υποθέσεων. Οικονομετρία. Διαδικασία κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου. Γραμμική παλινδρόμηση. Εξίσωση απλής γραμμικής παλινδρόμησης. 5
Έλεγχος Υποθέσεων Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στη διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης μιας στατιστικής υπόθεσης. Κατά την εκτέλεση ενός στατιστικού ελέγχου, ορίζονται δυο υποθέσεις: Η μηδενική υπόθεση Ηο και η εναλλακτική Η1. Η εκλογή της Η0 και της Η1 γίνεται σύμφωνα με τον παρακάτω ισχυρισμό: όταν κάνουμε μια έρευνα και προσπαθούμε να αποδείξουμε κάποιον ισχυρισμό στηριζόμενοι σε κάποιες παρατηρήσεις, τότε την άρνηση αυτού του ισχυρισμού λαμβάνουμε σαν Ηο και τον ίδιο ισχυρισμό σαν H1. 6
ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (1 από 7) Η πιο συνηθισμένη στατιστική υπόθεση είναι η λεγόμενη Υπόθεση Μηδέν H 0. Υποθέτουμε ότι η εμφανιζόμενη διαφορά μεταξύ μιας παραμέτρου ενός δείγματος και της αντίστοιχης του πληθυσμού είναι: Στατιστικά ασήμαντη. Οφείλεται στα τυχαία σφάλματα της δειγματοληψίας. Aν δεν υπήρχαν τα σφάλματα της δειγματοληψίας, οι δύο παράμετροι θα ήταν ίσες και η διαφορά τους θα ήταν μηδέν. Π.x. : Η 0 :μ = μ 0. 7
ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (2 από 7) Η άλλη υπόθεση ονομάζεται Εναλλακτική Υπόθεση και συμβολίζεται με το Η 1. Υποθέτουμε ότι η παράμετρος του πληθυσμού έχει διαφορετική τιμή από την υποθετική τιμή. Η εμφανιζόμενη διαφορά είναι στατιστικά σημαντική και δεν οφείλεται στα τυχαία σφάλματα της δειγματοληψίας. Π.χ. Η 1 :μ μ 0. 8
ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (3 από 7) Η αποδοχή ή η απόρριψη μιας στατιστικής υποθέσεως - και ειδικά της υποθέσεως Η 0 -γίνεται με μια ορισμένη πιθανότητα να διαπράξουμε σφάλμα. Κατά τον έλεγχο μιας στατιστικής υποθέσεως είναι ενδεχόμενο να διαπράξουμε δύο βασικά σφάλματα: 9
ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (4 από 7) α) Σφάλμα Τύπου Ι. Αν η ελεγχόμενη υπόθεση Η 0 είναι σωστή και το κριτήριο ελέγχου την απορρίψει σαν λανθασμένη. Η πιθανότητα διαπράξεως Σφάλματος Τύπου Ι. Ονομάζεται Επίπεδο Σημαντικότητας και συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα α. Δηλ. η πιθανότητα απορρίψεως μιας σωστής υποθέσεως Η 0. 10
ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (5 από 7) β) Σφάλμα Τύπου II. Αν η ελεγχόμενη υπόθεση Η 0 είναι λανθασμένη και το κριτήριο ελέγχου την δεχθεί σαν σωστή, τότε διαπράττουμε Σφάλμα Τύπου II. Η πιθανότητα διαπράξεως Σφάλματος Τύπου II συμβολίζεται με το β. Στην πράξη, τα εφαρμοζόμενα κριτήρια ελέγχου πρέπει να ελαχιστοποιούν τις πιθανότητες εμφανίσεως σφαλμάτων και των δύο τύπων. 11
ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (6 από 7) Συνήθως, προσπαθούμε να αποφύγουμε Σφάλμα Τύπου Ι, Δηλαδή να απορρίψουμε σωστή υπόθεση Ηο. Για να το επιτύχουμε: Προκαθορίζουμε την πιθανότητα να διαπράξουμε Σφάλμα Τύπου Ι σε ορισμένο Επίπεδο Σημαντικότητας α. Συνήθως είναι το α = 0,05 (5%) ή α =0,01 (1%). 12
ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (7 από 7) Αν π.χ. προκαθορίσουμε α =0,05 και απορρίψουμε την Η 0 με βεβαιότητα 95%. Τότε σε 100 όμοιες περιπτώσεις μόνο σε 5 είναι δυνατόν να κάνουμε λάθος. Δηλαδή να είναι σωστή η υπόθεση και εμείς να την απορρίψουμε. 13
Διαδικασία ελέγχου μιας Στατιστικής Υποθέσεως (1 από 8) Συνήθως σ έναν έλεγχο υπόθεσης σαν Ηο θέτουμε την ισότητα της παραμέτρου με κάποια γνωστή τιμή και σαν εναλλακτική. Την αύξηση της τιμής αν ισχυριζόμαστε ότι αυξάνει η τιμή της παραμέτρου. Τη μείωση της τιμής αν ισχυριζόμαστε ότι ελαττώνεται η τιμή της παραμέτρου ελαττώνεται. Απλώς την διαφοροποίηση της τιμής αν ισχυριζόμαστε ότι η τιμή της παραμέτρου άλλαξε. 14
Διαδικασία ελέγχου μιας Στατιστικής Υποθέσεως (2 από 8) Έστω ότι θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση ότι ο μέσος μ ενός πληθυσμού είναι ίσος με μ 0. Παίρνουμε τυχαίο δείγμα n μονάδων και υπολογίζουμε το μέσο ( ) του δείγματος. x Η διαδικασία για τον έλεγχο μιας στατιστικής υποθέσεως ακολουθεί τα εξής στάδια: 1) Θέτουμε τις υποθέσεις Η0 και Η 1 : Η 0 :μ = μ 0, Η 1 :μ μ 0 Καθορίζουμε το επίπεδο σημαντικότητας α = 0,01 ή α=0,05 ή α = 0,10. Δίπλευρο κριτήριο ελέγχου. 15
Διαδικασία ελέγχου μιας Στατιστικής Υποθέσεως (3 από 8) 2) Εφαρμόζουμε το κατάλληλο στατιστικό κριτήριο ελέγχου, από το οποίο προκύπτει μια συγκεκριμένη τιμή. Αν το δείγμα είναι πολυπληθές (n > 30), τότε χρησιμοποιούμε το εξής κριτήριο: Με βάση το επίπεδο σημαντικότητας βρίσκουμε τις κριτικές τιμές της τυποποιημένης μεταβλητής Ζ πάνω στην Τυποποιημένη Κανονική Καμπύλη. Καθορίζουμε τις περιοχές αποδοχής και απορρίψεως της υποθέσεως Η 0. 16
Διαδικασία ελέγχου μιας Στατιστικής Υποθέσεως (4 από 8) Συγκρίνουμε την τιμή της Ζ που βρέθηκε από το κριτήριο ελέγχου με τις κριτικές τιμές Ζ α/2. Αν η τιμή Ζ του κριτηρίου ικανοποιεί τις ανισότητες: Z< -Ζ α/2 ή Z> Ζ α/2. Τότε απορρίπτουμε την υπόθεση Η 0. Εικόνα 1: Έλεγχος Στατιστικής Υποθέσεως. Πηγή: Διδάσκων (2015). 17
Διαδικασία ελέγχου μιας Στατιστικής Υποθέσεως (5 από 8) Αν όμως η τιμή Ζ του κριτηρίου ικανοποιεί τη διπλή ανισότητα: -Ζ α/2 <Z< Ζ α/2. Τότε αποδεχόμαστε την υπόθεση Η 0. Εικόνα 2: Έλεγχος Στατιστικής Υποθέσεως. Πηγή: Διδάσκων (2015). 18
Διαδικασία ελέγχου μιας Στατιστικής Υποθέσεως (6 από 8) Στο δίπλευρο κριτήριο ελέγχου, το επίπεδο σημαντικότητας α ισοκατανέμεται. Μονόπλευρο test: Σε ορισμένες περιπτώσεις ενδιαφερόμαστε αν μια στατιστική παράμετρος (π.χ. ο μέσος) είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από μια συγκεκριμένη τιμή (έστω μ 0 ). Στις περιπτώσεις αυτές, οι ελεγχόμενες υποθέσεις είναι: Η ο : μ=μ 0. Η 1 : μ<μ 0 ή Η ο : μ=μ 0. Η 1 : μ>μ 0. Εικόνα 3: Έλεγχος Στατιστικής Υποθέσεως. Πηγή: Διδάσκων (2015). 19
Διαδικασία ελέγχου μιας Στατιστικής Υποθέσεως (7 από 8) Όταν n<30, η διακύμανση είναι άγνωστη και η κατανομή κανονική χρησιμοποιούμε την t κατανομή με n-1 βαθμούς ελευθερίας. Όσο περισσότερους βαθμούς ελευθερίας έχουμε τόσο περισσότερο προσεγγίζεται η κανονική κατανομή. Αν n<30, και η κατανομή άγνωστη τότε δεν μπορούμε να βγάλουμε ασφαλές συμπέρασμα αν δύναται μεγαλώνουμε το δείγμα. 20
Διαδικασία ελέγχου μιας Στατιστικής Υποθέσεως (8 από 8) Οι δειγματικοί μέσοι ακολουθούν την κανονική κατανομή. Ο μέσος τους είναι ο μέσος του πληθυσμού ζητούμενο. Η απόσταση των δειγματικών μέσων από το μέσο τους εξαρτάται από τυπική απόκλιση που έχουν δηλαδή. Άρα αν ο δειγματικός μέσος που έχουμε διαφέρει σημαντικά από αυτόν που υποθέτουμε ως πραγματικός μέσος του πληθυσμού τότε απορρίπτουμε την υπόθεση. Εικόνα 4: Έλεγχος Στατιστικής Υποθέσεως. Πηγή: Διδάσκων (2015). 21
ΑΣΚΗΣΗ (1 από 7) Από έναν πληθυσμό πήραμε ένα δείγμα n=50, το οποίο έσωσε μέσο όρο 28 και διακύμανση 34. Μπορούμε να υποστηρίζουμε ότι ο μέσος όρος του πληθυσμού απ όπου προήλθε το δείγμα είναι ίσος με 32 με α=0,05. Λύση. n=50>30. H 0 :μ=32. Η 1 :μ 32. 22
ΑΣΚΗΣΗ (2 από 7) Γνωρίζουμε ότι η μεταβλητή: Z X N(01, S Η διαφορά του δειγματικού μέσου από τον υποστηριζόμενο πληθυσμιακό μέσο είναι ικανή για να μας πείσει ότι τελικά ο πληθυσμιακός μέσος δεν είναι 32. α=0,05 είναι η πιθανότητα ο δειγματικός μέσος να βρεθεί στην περιοχή αυτή της τυποποιημένης κανονικής κατανομής ή αλλιώς: Είναι η πιθανότητα να απορρίψουμε την βασική υπόθεση ενώ αυτή είναι σωστή. X ) 23
ΑΣΚΗΣΗ (3 από 7) α=0,05 α/2=0,025 1-α/2=1-0,025=0,975. Ζ α/2 =1,96. Ζ * <-Ζ α/2 =-4,88<-1,96. Απορρίπτεται η βασική υπόθεση μ=32. Πίνακας 1: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 24
ΑΣΚΗΣΗ (4 από 7) Το όριο αντοχής ενός τύπου καλωδίου έχει μέση τιμή 1800 κιλά και τυπική απόκλιση 100 κιλά. Η εταιρία που φτιάχνει τα καλώδια ισχυρίζεται ότι μια βελτίωση στη μέθοδο κατασκευής αύξησε το όριο αντοχής. Για να επαληθεύσουμε, δοκιμάζουμε 50 νέα καλώδια. Εάν το μέσο όριο αντοχής τους βρέθηκε 1850 κιλά, είναι σωστός ο ισχυρισμός της εταιρίας σε επίπεδο σημαντικότητας 0,10; 25
ΑΣΚΗΣΗ (5 από 7) n=50>30. Μονόπλευρο test H 0 :μ=1800. Η 1 :μ>1800. α=0,05 1-0,05=0,95. Ζ α/2 =1,645 Ζ * >Ζ α =3,55>1,645. Απορρίπτεται η βασική υπόθεση μ=1800. Πίνακας 2: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 26
ΑΣΚΗΣΗ (6 από 7) Ένα τοπικό περιοδικό αποφάσισε να κάνει έρευνα για την ποιότητα του φαγητού των εστιατορίων της Κοζάνης. Η άριστη ποιότητα βαθμολογείται με 10 ενώ ποιοτικά θεωρούνται τα εστιατόρια με βαθμολογία πάνω από 7. Ένα δείγμα 12 φοιτητών επιλέχθηκε να ρωτηθεί για το εστιατόριο «ΑΑΑ» και έδωσαν τις εξής απαντήσεις. 7,8,10,8,6,9,6,7,7,8,9,8. Ο δειγματικός μέσος είναι 7,75 και η τυπική απόκλιση 1,215. Εάν υποθέσουμε ότι η κατανομή του πληθυσμού ακολουθεί προσεγγιστικά την κανονική κατανομή, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το εστιατόριο «ΑΑΑ» παρέχει ποιοτικό φαγητό. α=0,05. 27
ΑΣΚΗΣΗ (7 από 7) n=12<30 Κατανομή t εφόσον ο πληθυσμός ακολουθεί την κανονική κατανομή. Μονόπλευρο test: H 0 :μ<7. Η 1 :μ> 7. α=0,05 t n-1 =t 12-1 =t 11 t 0,05 =1,796 t * >t α =2,14>1,796 Απορρίπτεται η βασική υπόθεση μ=7. μ=1800. Πίνακας 3: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 28
Έλεγχ. Υποθ. για τους μέσους παρατηρήσεων κατά ζεύγη (1 από 3) Όταν εξετάζουμε την επίδραση μιας παρέμβασης σε έναν πληθυσμό μπορεί να έχουμε ένα δείγμα ατόμων με τιμές για μια μεταβλητή πριν και μετά την παρέμβαση. Δεν έχουμε δύο δείγματα ανεξάρτητα μεταξύ τους. Αλλά ένα δείγμα με τιμές για τα ίδια άτομα πριν και μετά. Την παρακολούθηση ενός προγράμματος. Την εφαρμογή μιας τεχνικής. Μιας θεραπείας, κλπ. 29
Έλεγχ. Υποθ. για τους μέσους παρατηρήσεων κατά ζεύγη (2 από 3) Mπορεί να μην έχουμε τα ίδια άτομα πριν και μετά μια παρέμβαση. Στη μία ομάδα (που λέγεται ομάδα συμμετοχής) εφαρμόζεται η παρέμβαση ή η θεραπεία. Στην άλλη ομάδα (που λέγεται ομάδα ελέγχου) δεν εφαρμόζεται η παρέμβαση ή η θεραπεία. Μετά την εφαρμογή της παρέμβασης συγκρίνουμε τους μέσους όρους των δύο ομάδων κάτω από κάποιες συγκεκριμένες στατιστικές προϋποθέσεις η διαφορά ανάμεσά τους αποδίδεται στην επίδραση της παρέμβασης ή της θεραπείας. 30
Έλεγχ. Υποθ. για τους μέσους παρατηρήσεων κατά ζεύγη (3 από 3) Θα πρέπει δηλαδή οι ομάδες συμμετοχής και ελέγχου να συγκροτούνται με τρόπο ώστε να μην υπάρχει μεροληπτική αντιμετώπιση ως προς κάποιο χαρακτηριστικό στη μία ή στην άλλη ομάδα. Oι παρατηρήσεις θεωρούνται ζευγαρωτές και ο έλεγχος για τη διαφορά στους μέσους όρους δεν γίνεται όπως ο αντίστοιχος σε ανεξάρτητα δείγματα αλλά ουσιαστικά γίνεται έλεγχος ως εάν να επρόκειτο για έναν πληθυσμό. 31
Παράδειγμα (1 από 3) Έστω ότι θέλουμε να διαπιστώσουμε την επίδραση ενός προγράμματος υγιεινής διατροφής στο βάρος ενός πληθυσμού. Σε δείγμα 10 ατόμων μετράμε το βάρος πριν την έναρξη του προγράμματος και μετά τη λήξη του προγράμματος και καταγράφουμε τις διαφορές. Να ελεγχθεί σε επίπεδο σημαντικότητας 5% η υπόθεση ότι το πρόγραμμα οδηγεί σε απώλεια βάρους τουλάχιστον 3 κιλών. 32
Παράδειγμα (2 από 3) Πίνακας 4: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 33
Παράδειγμα (3 από 3) Προσέξτε ότι έχουμε ένα ζεύγος παρατηρήσεων για κάθε άτομο και ουσιαστικά δεν μας ενδιαφέρουν οι τιμές καθαυτές αλλά η διαφορά τους. Το δείγμα μας στην πραγματικότητα είναι η διαφορά ανάμεσα στο πριν και στο μετά και θέλουμε να δούμε εάν αυτή είναι στατιστικά σημαντική. 34
Άσκηση (1 από 2) Μια νέα εκπαιδευτική μέθοδος εφαρμόστηκε σε φοιτητές ενός μεταπτυχιακού προγράμματος. Λήφθηκε στο μάθημα της στατιστικής δείγμα 8 αξιολογήσεων πριν και μετά την εφαρμογή της μεθόδου. Να εξεταστεί εάν η νέα εκπαιδευτική μέθοδος βελτίωσε την απόδοση των φοιτητών. α=0,10. Η 0 : μ 2 μ 1 0. Η 1 :μ 2 μ 1 > 0. 35
Άσκηση (2 από 2) Πίνακας 5: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 36
Άσκηση Αξιολόγησης (1 από 2) Ερευνητές ισχυρίστηκαν ότι ένα τοπικό τσάι βελτιώνει την αντοχή των αθλητών. Μελετήθηκαν οι επιδόσεις 12 αθλητών πριν και μετά από μια τρίμηνη δοκιμή του εν λόγω τσαγιού στο διαιτολόγιο των αθλητών. Να εξεταστεί εάν η νέα εκπαιδευτική μέθοδος βελτίωσε την απόδοση των αθλητών. Η 0 : μ 2 μ 1 0. Η 1 :μ 2 μ 1 > 0. 37
Άσκηση Αξιολόγησης (2 από 2) Πίνακας 6: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 38
Οικονομετρία (1 από 5) Οικονομετρία ποσοτικοποιεί τις σχέσεις μεταξύ μεταβλητών με βάση και αιτιολόγηση τη σχετική οικονομική θεωρία έχει στόχο: Όχι μόνο την επαλήθευση των εν λόγω σχέσεων. Αλλά και την πρόβλεψη. Καθώς επίσης και τη διατύπωση νέων σχέσεων. 39
Οικονομετρία (2 από 5) Οι οικονομετρικές μέθοδοι χρησιμοποιούνται σε όλους σχεδόν τους κλάδους των οικονομικών, όπως: Τα χρηματοοικονομικά. Η μικροοικονομική. Η μακροοικονομική. Η οικονομική της εργασίας. Η οικονομική της υγείας, κλπ. 40
Οικονομετρία (3 από 5) Απώτερος σκοπός της οικονομετρίας είναι η ανάπτυξη του συνόλου των ποσοτικών τεχνικών που τελικώς θα βοηθήσουν στη λήψη των: «Αποτελεσματικότερων οικονομικών αποφάσεων". Οι οικονομικές αποφάσεις δεν περιορίζονται μόνο σε εκείνες που αφορούν: Οικονομικές μεταβλητές. Αλλά επεκτείνονται σε όλες εκείνες που επηρεάζουν την κατανομή των εν ανεπάρκεια πόρων. 41
Οικονομετρία (4 από 5) Η οικονομετρία χωρίζεται σε δύο μεγάλους κλάδους. Τη θεωρητική οικονομετρία. Την εφαρμοσμένη οικονομετρία. Η θεωρητική οικονομετρία διερευνά: Νέες μεθόδους και διαδικασίες. Καθώς και τις ιδιότητες των υφιστάμενων, με σκοπό την αποτελεσματική εκτίμηση των παραμέτρων των υπό εξέταση υποδειγμάτων. Επίσης, επιδιώκεται η ανάπτυξη νέων στατιστικών διαδικασιών και μεθόδων που να ανταποκρίνονται στις ιδιαιτερότητες των πραγματικών οικονομικών δεδομένων. 42
Οικονομετρία (5 από 5) Η Θεωρητική Οικονομετρία στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό: Στα μαθηματικά. Στη στατιστική. Στις αριθμητικές μεθόδους. Για να αποδείξει ότι οι προσεγγίσεις της οδηγούν σε ορθά και αξιόπιστα συμπεράσματα. 43
Διαδικασία κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου (1 από 7) Η οικονομετρική ανάλυση στηρίζεται στην οικονομική θεωρία, βάσει της οποίας διατυπώνεται το οικονομετρικό πρόβλημα. Το υπό εξέταση οικονομικό φαινόμενο δύναται να περιγραφεί από ένα σύνολο σχέσεων μεταξύ μεταβλητών και παραμέτρων. Η διατύπωση των οποίων αποτελεί το πρώτο στάδιο στην έρευνα του οικονομετρικού προβλήματος. 44
Διαδικασία κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου (2 από 7) Με άλλα λόγια, στο στάδιο αυτό ο ερευνητής καλείται να επιλέξει: Εκείνες τις σχέσεις και μεταβλητές που θα βοηθήσουν στην αποτελεσματικότερη διατύπωση και στη συνέχεια επίλυση του οικονομετρικού προβλήματος. 45
Διαδικασία κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου (3 από 7) Το επόμενο στάδιο περιλαμβάνει τη συλλογή των απαιτούμενων δεδομένων. Τα οποία μπορεί είτε να είναι δημοσίως διαθέσιμα από πηγές όπως είναι: Οι στατιστικές υπηρεσίες χωρών. Διεθνών οργανισμών. Για τα χρηματοοικονομικά το Datastream από την Thomson Reuters, κλπ.. Είτε να προέρχονται από τη διενέργεια πρωτογενούς έρευνας. 46
Διαδικασία κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου (4 από 7) Το τρίτο στάδιο περιλαμβάνει την επιλογή της κατάλληλης μεθόδου ανάλυσης, δηλαδή: Την μοντελοποίηση. Την εξειδίκευση. Την εκτίμηση του υποδείγματος. 47
Διαδικασία κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου (5 από 7) Το επόμενο στάδιο αφορά στην αξιολόγηση του μοντέλου, η οποία περιλαμβάνει την υιοθέτηση των κατάλληλων υποθέσεων και το διαγνωστικό έλεγχο του μοντέλου για την ποιότητα των εκτιμήσεων. 48
Διαδικασία κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου (6 από 7) Στην περίπτωση που ο διαγνωστικός έλεγχος δείξει ότι το μοντέλο δεν περιγράφει ικανοποιητικά τα δεδομένα: Τότε ο ερευνητής καλείται να επανέλθει στα προηγούμενα στάδια. Δηλαδή είτε να επαναπροσδιορίσει το υπόδειγμα. Είτε να συγκεντρώσει περισσότερα δεδομένα. Είτε να επιλέξει μια διαφορετική μέθοδο εκτίμησης. 49
Διαδικασία κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου (7 από 7) Το τελευταίο στάδιο περιλαμβάνει: Την επιβεβαίωση της σχετικής οικονομικής θεωρίας. Την ερμηνεία της συμπεριφοράς των μεταβλητών. Την πρόβλεψη. Στην περίπτωση που το μέγεθος και το πρόσημο των εκτιμούμενων συντελεστών δεν συνάδουν με την οικονομική θεωρία: Η διαδικασία εκτίμησης επανέρχεται στο πρώτο στάδιο και το υπόδειγμα επαναπροσδιορίζεται και επανεκτιμάται. 50
Γραμμική παλινδρόμηση (1 από 9) Η γραμμική παλινδρόμηση αποτελεί μια από τις ευρέως χρησιμοποιούμενες μεθόδους στατιστικής ανάλυσης με σκοπό: Την εύρεση αιτιώδους σχέσης μεταξύ δύο ή περισσότερων μεταβλητών. Η σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών χωρίς τον παράγοντα της αιτιότητας, προσδιορίζεται με το συντελεστή συσχέτισης. 51
Γραμμική παλινδρόμηση (2 από 9) Ο δείκτης συσχέτισης εξετάζει τις δυο μεταβλητές και συμμετρικά, υπό την έννοια ότι καμία από τις δυο δεν παίζει το ρόλο της αιτίας ή του αποτελέσματος. Ο δείκτης αποφαίνεται μόνο για το είδος και το μέγεθος της γραμμικής σχέσης των δυο μεταβλητών. Η απλή γραμμική παλινδρόμηση αφορά δύο μόνο μεταβλητές 52
Γραμμική παλινδρόμηση (3 από 9) Η μεταβλητή Υ καλείται εξαρτημένη. Είναι τυχαία ή στοχαστική στο χαρακτήρα της. Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχεί μια κατανομή της μεταβλητής Υ, ή Αλλιώς μια υπό συνθήκη κατανομή. 53
Γραμμική παλινδρόμηση (4 από 9) Για παράδειγμα, εάν η μελέτη της παλινδρόμησης αφορά στην ετήσια κατανάλωση υποδημάτων στη χώρα μας: Εξαρτημένη μεταβλητή Υ. Θεωρήσουμε ότι ο μόνος προσδιοριστικός παράγοντας της κατανάλωσης είναι το μηνιαίο εισόδημα: Ανεξάρτητη μεταβλητή Χ. Τότε σε κάθε τιμή της μεταβλητής του εισοδήματος Χ, έστω 1.000 ευρώ αντιστοιχούν πολλές και διαφορετικές τιμές της Υ. 54
Γραμμική παλινδρόμηση (5 από 9) Στην πράξη, τις περισσότερες φορές καλούμαστε να διερευνήσουμε ένα πρόβλημα με δεδομένες τιμές και για τις δυο μεταβλητές: δεν έχουμε την ευχέρεια να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μεταβλητής Υ σε επαναλαμβανόμενες τιμές της μεταβλητής Χ. Για παράδειγμα, στη μελέτη της συμπεριφοράς του Δείκτη FTSE 20 του Χρηματιστηρίου Αθηνών (εξαρτημένη) σε σχέση με τον Δείκτη DJ του αμερικανικού χρηματιστηρίου (ανεξάρτητη). 55
Γραμμική παλινδρόμηση (6 από 9) Το πρώτο βήμα στην ανάλυση της παλινδρόμησης είναι η παράσταση των σημείων (xi yi) σε ένα σύστημα συντεταγμένων X και Y. Το σύνολο των σημείων θα δημιουργήσει ένα νέφος σημείων που ονομάζεται διάγραμμα διασποράς, το οποίο μπορεί να δώσει μια ένδειξη για το είδος της σχέσης μεταξύ των μεταβλητών X και Y. Πίνακας 7: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 56
Γραμμική παλινδρόμηση (7 από 9) Εικόνα 5: Γραμμική παλινδρόμηση. Πηγή: Διδάσκων (2015). 57
Γραμμική παλινδρόμηση (8 από 9) Να σημειωθεί ότι κατά τη μελέτη της παλινδρόμησης είναι απαραίτητη η διατύπωση της σχετικής θεωρίας: Που να εξηγεί τον χαρακτηρισμό της μεταβλητής ως αιτία και της μεταβλητής ως αποτέλεσμα. Δύο μεταβλητές δύναται να συσχετίζονται γραμμικά χωρίς κατ ανάγκη να σημαίνει ότι η μια εκ των δύο προκαλεί τη μεταβολή της άλλης. 58
Γραμμική παλινδρόμηση (9 από 9) Ενδέχεται ακόμη και η παρατηρηθείσα συσχέτιση των δυο μεταβλητών να είναι τυχαία ή να οφείλεται σε μια τρίτη μεταβλητή. Για παράδειγμα η μηνιαία αύξηση της κατανάλωσης οδοντικού νήματος σε ένα δεδομένο έτος μπορεί να εμφανίζει συσχέτιση με τη μηνιαία αύξηση της κατανάλωσης κινητών τηλεφώνων. Γεγονός που μπορεί να δικαιολογηθεί από τη γενικότερη αυξητική τάση της υγιεινούς διαβίωσης και της τεχνολογικής προόδου. 59
Εξίσωση απλής γραμμικής παλινδρόμησης (1 από 3) Για παράδειγμα, μπορεί να έχει παραληφθεί από το μοντέλο η αλληλεπίδραση δυο μεταβλητών. Είναι εργώδης ή και αδύνατη η λήψη αξιόπιστων μετρήσεων σε μεταβλητές που σχετίζονται με τα φυσικά φαινόμενα και την ανθρώπινη συμπεριφορά όπως είναι η ψυχική διάθεση. Όσο περισσότερες μεταβλητές χρησιμοποιούνται, τόσο μικρότερη είναι η αξιοπιστία των αποτελεσμάτων της παλινδρόμησης, καθώς μειώνονται οι βαθμοί ελευθερίας. 60
Εξίσωση απλής γραμμικής παλινδρόμησης (2 από 3) Έστω το στοχαστικό μοντέλο της απλή παλινδρόμησης: H μεταβλητή Y είναι στοχαστική, γεγονός που καθιστά στοχαστικό ή τυχαίο και το διαταρακτικό όρο. Καθώς το πρώτο μέρος της εξίσωσης εξαρτάται μόνο από τη μεταβλητή X, την οποία θεωρήσαμε καθορισμένη: Συστηματικό μέρος της εξίσωσης. Με άλλα λόγια, σε κάθε τιμή της μεταβλητής X, λόγω του τυχαίου όρου u, αντιστοιχεί πλήθος τιμών της μεταβλητής Y ή αλλιώς μια κατανομή της μεταβλητής Y. 61
Εξίσωση απλής γραμμικής παλινδρόμησης (3 από 3) Στόχος της παλινδρόμησης είναι η εύρεση της πληθυσμιακής γραμμής παλινδρόμησης με τη χρήση του διαθέσιμου στατιστικού τυχαίου δείγματος των n παρατηρήσεων. Η πληθυσμιακή γραμμή παλινδρόμησης είναι ευθεία που διαμορφώνεται από την υπό συνθήκη μέση τιμή της μεταβλητής Y σε κάθε επίπεδο της μεταβλητής X. Εικόνα 6: Γραμμική παλινδρόμηση. Πηγή: Διδάσκων (2015). 62
Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (1 από 3) Στη στατιστική προσπαθούμε να ελαχιστοποιήσουμε το άθροισμα των τετραγώνων όλων των σφαλμάτων. Ας θεωρήσουμε το ακόλουθο σχήμα στο οποίο δίνεται η ευθεία L με εξίσωση Υ = b 0 +b 1 X και ένα σημείο (Χ i,υ i ). Η απόσταση του σημείου αυτού από την L είναι το σφάλμα X. Εικόνα 7: Γραμμική παλινδρόμηση. Πηγή: Διδάσκων (2015). 63
Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (2 από 3) Από όλες τις δυνατές ευθείες στο επίπεδο ΧΥ η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων είναι εκείνη που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των n αποστάσεων όλων των σφαλμάτων δηλαδή αυτή για την οποία η συνάρτηση: S S(b n 2 2 0,b1) εi (Yi b0 b1xi ) i 1 Έχει ελάχιστο. Έστω b 0, b 1, δίνουν την ελάχιστη δυνατή τιμή για την S. Για να προσδιορίσουμε τις υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους της S ως προς b 0 και b 1 και εξισώνουμε με μηδέν. 64
Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (3 από 3) Η δεύτερη παράγωγος θα πρέπει να είναι θετική για να έχει ελάχιστο η συνάρτηση: Οι τιμές των προσδιορίζονται από τη λύση του συστήματος εξισώσεων: Η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων είναι η: 65
Εφαρμογές (1 από 8) Δίνονται τα παρακάτω δεδομένα. α. Να γίνει το διάγραμμα διασποράς. β.ποια είδους σχέση φαίνεται να συνδέει τις μεταβλητές Υ και Χ; γ. Να βρεθεί η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. Πίνακας 8: Δεδομένα Άσκησης. Πηγή: Διδάσκων (2015). 66
Εφαρμογές (2 από 8) Παρατηρούνται ότι μια ευθεία γραμμή μπορεί χονδρικά να παραστήσει τη σχέση που συνδέει τις Χ και Υ Εικόνα 8: Διάγραμμα διασποράς. Πηγή: Διδάσκων (2015). 67
Εφαρμογές (3 από 8) Πίνακας 9: Δεδομένα Άσκησης. Πηγή: Διδάσκων (2015). 68
Εφαρμογές (4 από 8) Να βρεθεί η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και να ερμηνευτούν οι σχετικοί συντελεστές. Πίνακας 10: Δεδομένα Άσκησης. Πηγή: Διδάσκων (2015). 69
Εφαρμογές (5 από 8) 70
Εφαρμογές (6 από 8) 71
Εφαρμογές (7 από 8) Εικόνα 9: Εφαρμογές. Πηγή: Διδάσκων (2015). 72
Εφαρμογές (8 από 8) Εικόνα 10: Εφαρμογές. Πηγή: Διδάσκων (2015). 73
Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Κοντέος Γεώργιος. «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL. 74
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 75
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 76
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες. Βιβλιογραφικές Πηγές. Σαριαννίδης Νικόλαος, Γεώργιος Κοντέος, Θεμιστοκλής Λαζαρίδης,. Στατιστική και Οικονομετρία, Κοζάνη 2013. ISBN: 978-960-93-5139-3 Gourieroux, Christian, Alain Monfort and Quang Vuong, 1995. Statistics and econometric models, Cambridge University Press, ISBN: 978-0521478373 Borak, Szymon, Wolfgang Härdle and Brenda López Cabrera, 2013. Statistics of Financial Markets, Sprigner, ISBN : 978-3642339288 Gujarati, Damovar, 2011. Econometrics by example, Palgrave Macmillan, ISBN : 978-023290396 77