Άλυτες Aσκήσεις. Άσκηση 1 Για τα συστήματα του Σχ. 1-1 (στο τρίτο μας ενδιαφέρει η κατακόρυφη δυναμική): B M

Mέρος 2 Άλυτες Aσκήσεις 17/06/2012 7:39 μ.μ. Άσκηση 1 Για τα συστήματα του Σχ. 1-1 (στο τρίτο μας ενδιαφέρει η κατακόρυφη δυναμική): C 1 R C 1 R 1 v S (t) L C 2 v S (t) C 2 R 2 B M V K Σχήμα 1-1. Φυσικά μοντέλα συστημάτων. (α) Κατασκευάστε το γραμμικό γράφο. (β) Βρείτε το κανονικό δένδρο και αναγνωρίστε τις πρωτεύουσες και δευτερεύουσες μεταβλητές και την τάξη του συστήματος. (γ) Κατασκευάστε τις εξισώσεις κατάστασης και γράψτε τις στην κανονική μητρωική μορφή. (δ) Βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς που συνδέει τη είσοδο του κάθε συστήματος με έξοδο την v C2 για τα δύο πρώτα συστήματα και με την κατακόρυφη ταχύτητα της μάζας για το τρίτο. Άσκηση 2 Η διάταξη του Σχ. 2-1 μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ζυγός ταχείας απόκρισης μέσω συστήματος αυτομάτου ελέγχου. Αποτελείται από μία κινούμενη μαγνητική βάση μάζας m που ολισθαίνει κατακόρυφα και στηρίζεται σε ελατήριο σκληρότητας Κ. Περιμετρικά υπάρχει λίπανση που δημιουργεί τριβή με συντελεστή ιξώδους Β. Στο κάτω μέρος της βάσης υπάρχει ακίνητο πηνίο φωνής το οποίο έχει αντίσταση R και αυτεπαγωγή L. Το πηνίο εφαρμόζει δύναμη στην κινούμενη μάζα που εξαρτάται από το ρεύμα από το οποίο διαρρέεται. 1

m v m D R, L N S N B K + - V s Σχήμα 2-1. Ζυγός ταχείας απόκρισης. Η διάταξη του Σχ. 2-1 μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ζυγός ταχείας απόκρισης. Αποτελείται από μία κινούμενη μαγνητική βάση μάζας m που ολισθαίνει κατακόρυφα και στηρίζεται σε ελατήριο σκληρότητας Κ. Περιμετρικά υπάρχει λίπανση που δημιουργεί τριβή με συντελεστή ιξώδους Β. Στο κάτω μέρος της βάσης υπάρχει ακίνητο πηνίο φωνής το οποίο έχει αντίσταση R και αυτεπαγωγή L. Το πηνίο εφαρμόζει δύναμη στην κινούμενη μάζα που εξαρτάται από το ρεύμα από το οποίο διαρρέεται. (α) Αναπτύξτε το φυσικό μοντέλο συγκεντρωμένων στοιχείων του ζυγού και εξηγείστε όλες τις υποθέσεις που κάνατε. (β) Κατασκευάστε το γραμμικό γράφο που αντιστοιχεί στο φυσικό μοντέλο. (γ) Βρείτε το κανονικό δένδρο και αναγνωρίστε τις πρωτεύουσες και δευτερεύουσες μεταβλητές και την τάξη του συστήματος. (δ) Κατασκευάστε τις εξισώσεις κατάστασης και γράψτε τις στην κανονική μητρωική μορφή. Άσκηση 3 Ένας μηχανισμός κανόνα-πινιόν (βλέπε Σχ. 3-1) χρησιμοποιείται για να κινήσει το φορείο μιας εργαλειομηχανής. Power Amplifier Rigid rack bar DC Motor Carriage v c Compliant shaft Pinion Viscous damping Σχήμα 3-1. Οδήγηση φορείου. 2

Ο ενισχυτής ισχύος είναι ικανός να παρέχει οποιοδήποτε ρεύμα (i S ) στον DC κινητήρα με σταθερά ροπής K T, ανεξάρτητα της τάσης του κινητήρα. Ο δρομέας του κινητήρα έχει αδράνεια ( J m ) και υπόκειται σε ιξώδη τριβή ( B m ). Η άτρακτος είναι παραμορφώσιμη (K ). Η ακτίνα του πινιόν είναι r, και η ροπή αδράνειάς του J p. Ο κανόνας μπορεί να θεωρηθεί στερεό σώμα, αλλά υπόκειται σε ιξώδη τριβή B 1 λόγω της «γλύστρας». Η ισοδύναμη μάζα του κανόνα και του φορείου είναι m c. (α) Αναπτύξτε το φυσικό μοντέλο συγκεντρωμένων στοιχείων του συστήματος και εξηγείστε όλες τις υποθέσεις που κάνατε. (β) Κατασκευάστε το γραμμικό γράφο που αντιστοιχεί στο φυσικό μοντέλο. (γ) Βρείτε το κανονικό δένδρο και αναγνωρίστε τις πρωτεύουσες και δευτερεύουσες μεταβλητές και την τάξη του συστήματος. (δ) Κατασκευάστε τις εξισώσεις κατάστασης και γράψτε τις στην κανονική μητρωική μορφή. Επαληθεύστε ότι η τάξη του συστήματος είναι n=3. (ε) Βρείτε μία διαφορική εξίσωση εισόδου-εξόδου για την εξίσωση για την ταχύτητα v c του φορείου. (στ) Βρείτε τη χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος, και εκφράστε την ομογενή λύση της διαφορικής εξίσωσης, που έχετε βρει στο ερώτημα (ε). (ζ) Βρείτε την ειδική λύση όταν το ρεύμα που οδηγεί τον κινητήρα είναι i S = 5 A. (η) Υποθέτοντας αρχικές μηδενικές συνθήκες, και μία είσοδο βαθμίδας i S = 5 A, βρείτε την απόκριση της ταχύτητας, v c, και σχεδιάστε την. Είναι η απόκριση ικανοποιητική; Σημείωση: Τα βήματα (στ)-(η) μπορούν να ενοποιηθούν εάν χρησιμοποιηθεί η εύρεση της απόκρισης μέσω μετασχηματισμού Laplace και αντίστροφού του. (θ) Βρείτε την απόκριση μόνιμης κατάστασης και για τις τρεις μεταβλητές κατάστασης, όταν i S = 5 A. (ι) Χρησιμοποιώντας MATLAB, σχεδιάστε την βηματική απόκριση και για τις τρεις μεταβλητές κατάστασης ως συναρτήσεις του χρόνου. Συμφωνεί η απόκριση σταθερής κατάστασης, που έχετε βρει στο (θ) με την απόκριση που προέκυψε από το MATLAB? Συμφωνεί το αποτέλεσμα στο ερώτημα (η) με αυτό που έχετε βρει εδώ? Χρησιμοποιήστε τις παρακάτω παραμέτρους συστήματος στους υπολογισμούς σας: B m = 0,03Nms / rad, K = 8500 Nm / rad, J m = 0,0075 Nms 2 / rad, B 1 = 15 Ns / m, m c = 65 kg, r = 10cm, J p = 0,0025 Nms 2 / rad και K T = 1Nm / A. Άσκηση 4 Αναλάβατε τη μελέτη του συστήματος προσανατολισμού ενός νέου δορυφόρου. Στα άκρα των εύκαμπτων ηλιακών συλλεκτών τοποθετούνται ευαίσθητα όργανα, των οποίων η γωνιακή θέση πρέπει να ελεγχθεί με ακρίβεια. Παρατηρείστε ότι το σύστημα είναι τελείως συμμετρικό και τα δύο όργανα έχουν διαφορά στη γωνιακή τους θέση πάντοτε π rad. Επομένως, εάν η μία γωνία είναι θ(t), η άλλη είναι θ(t) + π. Προφανώς τα όργανα έχουν κοινή γωνιακή ταχύτητα, θ(t) = ω(t). Ο δορυφόρος διαθέτει προωθητήρες με τους οποίους μπορεί να περιστρέφεται, βλ. Σχ. 4-1. 3

(t) B r K r T (t) J 1 J 2 (t) Σχήμα 4-1. Δορυφόρος με εύκαμπτους ηλιακούς συλλέκτες. (α) Κατασκευάστε ένα απλό φυσικό μοντέλο του συστήματος με είσοδο την ροπή από τους προωθητήρες T (t) και έξοδο τη γωνιακή θέση θ(t). Τα όργανα έχουν ισοδύναμη ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα του δορυφόρου J 2, οι συλλέκτες έχουν ισοδύναμη απόσβεση B r και ισοδύναμη σταθερά στροφικού ελατηρίου K r και ο δορυφόρος ροπή αδρανείας J 1. (β) Κατασκευάστε το γραμμικό γράφο που αντιστοιχεί και βρείτε τις εξισώσεις κατάστασης. Θεωρείστε ως έξοδο την θ(t) = ω(t). (γ) Βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς μεταξύ T (s) και Ω(s) = sθ(s). (δ) Επαληθεύστε ότι η συνάρτηση μεταφοράς μεταξύ T (s) και Θ(s) έχει τη μορφή: Θ(s) T (s) = As + B s 2 (s 2 + Cs + D) (ε) Δίνοντας μία μοναδιαία βηματική είσοδο ροπής T (s) = 1/s με ενεργοποίηση των προωθητήρων, η γωνιακή θέση των οργάνων βρέθηκε να είναι η εξής: θ(t) = 3t 2 2 + 3e t e 3t Βρείτε τους συντελεστές A, B, C, και D. Μπορείτε να βρείτε τις παραμέτρους του συστήματος (ροπές αδράνειας, κ.λπ.); (στ) Υπολογίστε την απόκριση του συστήματος με έξοδο τη γωνιακή θέση θ(t) για εισόδους ροπής: T (t) = 5t T (t) = sint (ζ) Επαληθεύστε τα αποτελέσματά σας στο (στ) με χρήση Matlab/ Simulink. Για την απόκριση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση μεταφοράς ή τις εξισώσεις κατάστασης. Εάν χρησιμοποιήσετε τις τελευταίες, προσθέστε σε αυτές τη γραμμή d θ(t) = ω(t) dt ώστε να έχετε ως έξοδο τη γωνιακή θέση θ(t) και όχι τη γωνιακή ταχύτητα θ(t) = ω(t). Τι παρατηρείτε; 4

Άσκηση 5 Σας προσέλαβαν ως σύμβουλο δυναμικής και ελέγχου σε ναυπηγείο ιστιοπλοϊκών σκαφών με στόχο να μελετήσετε το πρόβλημα ελέγχου της γωνίας διατοίχισης (roll angle, μπότζι) ενός νέου ιστιοπλοϊκού, βλ. Σχ. 5-1. Προκειμένου να γίνει μια προκαταρκτική μελέτη του προβλήματος της δυναμικής και του ελέγχου, αποφασίζετε να αναπτύξετε ένα πολύ απλό μοντέλο συγκεντρωμένων παραμέτρων που να περιγράφει τη συμπεριφορά διατοίχισης του ιστιοπλοϊκού σε πλευρικούς ανέμους. v w (t) Σχήμα 5-1. Ιστιοπλοϊκό σε πλευρικούς ανέμους. Όταν το ιστιοπλοϊκό βρεθεί σε περιοχή με πλευρικούς ανέμους, η αντίσταση των πανιών το αναγκάζει να στραφεί γύρω από το διαμήκη του άξονα. Η ροπή αυτή αντισταθμίζεται από το βάρος της βαριάς καρίνας (περιέχει μόλυβδο) και της άνωσης. Κάνετε τις εξής παρατηρήσεις: (α) Η καρίνα παρουσιάζει μεγάλη πλευρική επιφάνεια και επομένως κατά την κίνησή της μέσα στο νερό πρέπει να παρουσιάζει μεγάλη αντίσταση στην κίνηση διατοίχισης. (β) Το αυτό συμβαίνει και για τα πανιά. Στη συνέχεια, κάνετε το εξής πείραμα. Με το ιστιοπλοϊκό δεμένο στη προκυμαία, τραβάτε το κατάρτι με ένα σκοινί δεμένο σε γερανό ύψους 30 μ. Μετράτε την τάση του σκοινιού ως συνάρτηση της γωνίας θ και βρίσκετε ότι για μικρές γωνίες (έως 0,4 rad) η τάση του σκοινιού είναι ανάλογη της γωνίας. Όταν η γωνία του σκάφους είναι 0,4 rad, αφήνετε απότομα το σκοινί και το σκάφος ταλαντώνεται μέχρι να ισορροπήσει ξανά. Η ταλάντωση καταγράφεται από ένα κλισιόμετρο και παρουσιάζεται στο Σχ. 5-2 (β). (α) Βασιζόμενοι στα πειράματα και τις παρατηρήσεις που προηγήθηκαν, εξηγείστε γιατί η δυναμική διατοίχισης του σκάφους μπορεί να περιγραφεί από ένα σύστημα δεύτερης τάξης. (β) Βασιζόμενοι στα πειράματα και τις παρατηρήσεις που προηγήθηκαν, βρείτε τη φυσική συχνότητα του σκάφους σε κίνηση διατοίχισης ω n, το λόγο απόσβεσης ζ και την ποσοστιαία υποακόντιση M P %. 5

T Σχήμα 5-2. Πείραμα ανοικτού βρόχου. Ο στόχος είναι να διατηρείται η γωνία διατοίχισης ίση με μία επιθυμητή γωνία παρά τους πλευρικούς ανέμους. Για να επιτευχθεί αυτό, χρησιμοποιείτε αδρανειακό αισθητήρα που μετρά τη γωνία θ(t) η/και τη ταχύτητα θ(t) και ένα σύστημα από υδροπτέρυγες στην καρίνα του σκάφους που παράγουν ροπή αντίθετη από αυτή του ανέμου. Τέλος, σχεδιάζετε ένα σύστημα ελέγχου κλειστού βρόχου που παρουσιάζεται στο Σχ. 5.3. Σε αυτό, d είναι η διαταραχή ροπής που οφείλεται στους πλευρικούς ανέμους, τ C η ροπή ελέγχου που οφείλεται στις υδροπτέρυγες και G C (s), H (s) οι συναρτήσεις μεταφοράς του κατευθυντή και της ανάδρασης που θα επιλέξετε, αντίστοιχα. d e G C (s) C d 2 n s 2 2 n 2 s n H(s) Σχήμα 5-3. Σύστημα ελέγχου διατοίχισης σκάφους. Αναλογικός Έλεγχος (P) Ο αισθητήρας που διαθέτετε μετράει μόνο τη γωνία θ(t). Αποφασίζετε λοιπόν να χρησιμοποιήσετε έλεγχο αναλογικού τύπου: τ C = K P e (γ) Συμπληρώστε το Σχ. 5-3 με κατάλληλες συναρτήσεις G C (s), H (s) έτσι ώστε να υλοποιηθεί αυτός ο νόμος ελέγχου. Στη συνέχεια, θέτοντας θ d = 0 (σκάφος χωρίς κλίση), βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου θ(s)/d(s). (δ) Εάν d(s) = 1/s, δηλαδή ο πλευρικός άνεμος είναι σταθερός, βρείτε τη γωνία μόνιμης κατάστασης θ( ) = θ ss. Μπορείτε να μεταβάλετε το σφάλμα μόνιμης κατάστασης e ss, μεταβάλλοντας το αναλογικό κέρδος ελέγχου K P ; 6

Αναλογικός και Διαφορικός Έλεγχος (P-V) Πέρα από τον αισθητήρα που μετράει τη γωνία θ(t), διαθέτετε πλέον και γυροσκόπιο που μετράει το ρυθμό μεταβολής της θ(t) δηλαδή την θ(t). Αποφασίζετε λοιπόν να χρησιμοποιήσετε τον εξής νόμο ελέγχου: τ C = K P e K V θ (ε) Συμπληρώστε το Σχ. 5-3 με κατάλληλες συναρτήσεις G C (s), H (s) έτσι ώστε να υλοποιηθεί αυτός ο νόμος ελέγχου. Στη συνέχεια, θέτοντας θ d = 0 (σκάφος χωρίς κλίση), βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου θ(s)/d(s). (στ) Επιλέξτε τα κέρδη K P, K V έτσι ώστε να επιτύχετε τις εξής προδιαγραφές: Χρόνος αποκατάστασης 1% = 1,3 Μέγιστη υπερ(υπό)ακόντιση 1,22% (ζ) Με θ d = 0 και d(s) = 1/s, βρείτε τη γωνία μόνιμης κατάστασης θ( ) = θ ss και το σφάλμα e ss. Μπορείτε να μηδενίσετε το e ss με αυτόν τον κατευθυντή; (η) Έστω ότι είχατε δοκιμάσει τον κλασικό έλεγχο P-D: τ C = K P e + K D e με θ d = 0 και d(s) = 1/s. Χρησιμοποιήστε τα ίδια κέρδη που βρήκατε στο (στ), με K D = K V. Χρησιμοποιήστε το Matlab/ Simulink ή ανάλογο πρόγραμμα και βρείτε την απόκριση που αντιστοιχεί σε κάθε ένα από τους δύο κατευθυντές. Σχολιάστε τις διαφορές που παρατηρείτε. Αναλογικός, Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Έλεγχος (P-I-D) Η διατήρηση της βέλτιστης γωνίας του σκάφους είναι σημαντική για την ασφάλεια του σκάφους. Αποφασίζετε λοιπόν να χρησιμοποιήσετε τον εξής νόμο ελέγχου: τ C = K P e + K D e + K I (θ) Συμπληρώστε το Σχ. 5-3 με κατάλληλες συναρτήσεις G C (s), H (s) έτσι ώστε να υλοποιηθεί αυτός ο νόμος ελέγχου. Στη συνέχεια, θέτοντας θ d = 0 (σκάφος χωρίς κλίση), βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου θ(s)/d(s). Ποιο είναι το σφάλμα μόνιμης κατάστασης όταν d = 2Nm ; t 0 edt (ι) Βρείτε τη χαρακτηριστική εξίσωση της συνάρτησης κλειστού βρόχου. Υπολογίστε τα κέρδη ελέγχου K P, K D, K I έτσι ώστε όλοι οι πόλοι κλειστού βρόχου να είναι στο -4 rad/s. Χρησιμοποιήστε το Matlab/ Simulink ή ανάλογο πρόγραμμα και βρείτε την απόκριση που αντιστοιχεί σε διαταραχή d = 2Nm. Σχολιάστε την απόκριση. Άσκηση 6 Η Ελλάδα έχει μεγάλο αριθμό ιχθυοτροφείων με μεγάλες εξαγωγές (12% των εξαγωγών της Ελλάδος). Αυτές εξαρτώνται από την ποιότητα των ψαριών και αυτή με τη σειρά της προϋποθέτει γρήγορο πακετάρισμα των κατεψυγμένων ψαριών και συσκευασία τους σε κιβώτια όπου σε κάθε κιβώτιο, το κάθε ψάρι έχει πολύ μικρή απόκλιση σε βάρος από τα άλλα. Έτσι, απαιτείται ζύγισμα των ψαριών όταν κινούνται με μεγάλη ταχύτητα προς τη συσκευασία τους. 7

Οι κοινοί ζυγοί είναι που βασίζονται σε ελατήρια ή ηλεκτρομηκυνσιόμετρα είναι αργοί και επομένως τα σφάλματα στη μέτρηση του βάρους είναι μεγάλα. Μας ενδιαφέρει λοιπόν να εξετάσουμε μία άλλη μέθοδο ζύγισης. Βασιζόμαστε στη διάταξη της Άσκησης 2 με σκοπό να προχωρήσουμε στο σχεδιασμό ενός ζυγού ταχείας απόκρισης. Όπως αναφέρθηκε ήδη, ο ζυγός πρόκειται να χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση του βάρους κατεψυγμένων ψαριών που κινούνται σε ιμάντες με μεγάλη ταχύτητα με σκοπό την γρήγορη ταξινόμησή τους στο κατάλληλο κιβώτιο. Σε κάποιο σημείο, οι ιμάντες διακόπτονται και παρεμβάλλεται ο ζυγός. Το κάθε ψάρι παραμένει στο ζυγό για πολύ λίγο χρόνο, της τάξης του 1s. Σε αυτό το χρόνο, το ψάρι πρέπει να ζυγισθεί, δηλαδή η μέτρηση του βάρους του να έχει σταθεροποιηθεί στο 2% της πραγματικής του τιμής. Η αρχή λειτουργίας του ζυγού είναι ως εξής: Όταν ο ζυγός είναι κενός, τότε x = 0, βλ. Σχ. 6-1. (Το βάρος της κινούμενης πλάκας με μάζα Μ αντισταθμίζεται από αρχική παραμόρφωση του ελατηρίου). Όταν ένα ψάρι προωθηθεί στο ζυγό, τότε λόγω του βάρους του, τείνει να εμφανισθεί μία μετατόπιση x της πλάκας του ζυγού. Η μετατόπιση μετράται με αισθητήρα LVDT. Ορίζοντας στο σύστημα ελέγχου ως επιθυμητή μετατόπιση την x d = 0, βλ. Σχ. 6-2, ο κατευθυντής εφαρμόζει στο πηνίο φωνής κατάλληλη τάση έτσι ώστε αυτό να επιβάλλει τη δύναμη που απαιτείται για να εξουδετερωθεί η μετατόπιση αυτή. Τότε, το βάρος του ψαριού είναι ίσο με τη δύναμη που επιβάλλει το πηνίο φωνής στη μόνιμη κατάσταση και που βρίσκεται από μέτρηση του ρεύματος του πηνίου ( f (t) = k F i(t) ). m M k F x N B k S N R, L i v Σχήμα 6-1. Ζυγός ταχείας απόκρισης με είσοδο τάσης. d mg x d 0 e G C (s) v f e f x Σχήμα 6-2. Δομικό διάγραμμα ελέγχου ζυγού. Οι παράμετροι του ζυγού βρέθηκαν από πειράματα και τη φυσική του πηνίου φωνής και είναι οι εξής: R = 4Ω, L = 1mH, k F = 8N / A, M = 0,5kg, k = 10 4 N / m, B = 5Ns / m. Τα ψάρια που μας ενδιαφέρουν εδώ έχουν μάζα m = 0,5kg. Καταρχάς θεωρούμε ότι ο κατευθυντής ορίζει την τάση v του ζυγού. Το ψάρι εμφανίζεται ως διαταραχή δύναμης d = mg στο ζυγό. 8

(α) Χρησιμοποιώντας ως βάση την Άσκηση 2, (και αμελώντας προς το παρόν τη διαταραχή που οφείλετε στο ψάρι), βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς G p (s) = x(s)/v(s) που συνδέει την είσοδο τάσης με τη μετατόπιση του κινητού μέρους του ζυγού. (β) Βρείτε τους πόλους της συνάρτησης ανοικτού βρόχου. Σε ποια δυναμική οφείλεται ο κάθε ένας από αυτούς; Υπάρχουν κυρίαρχοι πόλοι; Εάν ναι, απλοποιήστε τη δυναμική του συστήματος σε σύστημα δεύτερης τάξης κρατώντας μόνο τους κυρίαρχους πόλους. Προσέξτε ώστε το κέρδος της G p (s) για s = 0 (δηλαδή το κέρδος σε DC είσοδο) να μην μεταβληθεί. Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε την απλοποιημένη συνάρτηση μεταφοράς που βρήκατε στο (β). Θεωρείστε ότι ο ιμάντας τροφοδοσίας προωθεί ένα ψάρι στο ζυγό. Το ψάρι είναι μια βηματική διαταραχή δύναμης d(s) = mg / s, αυξάνει όμως και τη συνολική μάζα που επιταχύνεται. Η εντολή προς το σύστημα ελέγχου είναι x d = 0, βλ. Σχ. 6-2. (γ) Τι τύπου είναι η εγκατάσταση ανοικτού βρόχου; Επιλέξτε ένα κατευθυντή με συνάρτηση μεταφοράς G C (s) = v(s)/e(s) έτσι ώστε το σφάλμα στη μέτρηση του βάρους να μηδενίζεται για κάθε ψάρι, δηλ. e f,ss = f ( ) mg = 0 όπου f (t) = k F i(t) το μετρούμενο βάρος. (δ) Σχεδιάστε το δομικό διάγραμμα του συστήματος κλειστού βρόχου και βρείτε τις συναρτήσεις μεταφοράς: G x (s) = x(s)/d(s) G v (s) = v(s)/d(s) G i (s) = i(s)/d(s) G f (s) = e f (s)/d(s) (ε) Επιλέξτε τις παραμέτρους του κατευθυντή έτσι ώστε το σφάλμα στη μέτρηση του βάρους του ψαριού e f (t) να είναι μικρότερο από 2% του βάρους του ψαριού σε χρόνο το πολύ ίσο με 1s και M P = 1, 4%. Εάν αυτό δεν είναι επιτεύξιμο, χαλαρώστε την απαίτηση για την υπερακόντιση. (στ) Υποθέτοντας ένα ψάρι 0,5kg, χρησιμοποιήστε το Matlab/ Simulink ή ανάλογο πρόγραμμα και βρείτε την απόκριση της τάσης στα άκρα του πηνίου και του ρεύματος που το διαρρέει. Επίσης, δώστε την απόκριση της μετατόπισης (βύθισης) του ζυγού και του σφάλματος βάρους του ψαριού. Πληροί η απόκριση αυτή τις προδιαγραφές που τέθηκαν; (ζ) Επαναλάβετε τα ερωτήματα (γ-στ) υποθέτοντας ότι ο κατευθυντής έχει έξοδο το ρεύμα του πηνίου και όχι την τάση, δηλ. ο κατευθυντής πλέον καθορίζει το ρεύμα του πηνίου με συνάρτηση μεταφοράς G C (s) = i(s)/e(s) Αυτό μπορεί να γίνει εάν ο κατευθυντής περιλαμβάνει ενισχυτή που εργάζεται ως πηγή ρεύματος και όχι τάσης. Υπόδειξη: Μελετήστε ξανά το φυσικό μοντέλο του συστήματος με είσοδο πηγή ρεύματος και όχι τάσης. 9

Άσκηση 7 Ένα σύστημα με μοναδιαία ανάδραση έχει συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου την εξής: G(s) = K(s + 3) s 2 2s +10 (α) Σχεδιάστε τους πόλους και μηδενιστές ανοικτού βρόχου και εξετάστε εάν το σύστημα ανοικτού βρόχου είναι ευσταθές. (β) Σχεδιάστε τον τόπο των ριζών για K από 0 έως άπειρο. (γ) Υπάρχει περιοχή του Κ για την οποία το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές; (δ) Εάν υπάρχει Κ για το οποίο το σύστημα κλειστού βρόχου είναι οριακά ευσταθές, βρείτε τη συχνότητα ω n στην οποία θα ταλαντώνεται. (ε) Βρείτε την τιμή του Κ για την οποία ο λόγος απόσβεσης ζ είναι ίσος με 0,707. Άσκηση 8 Ένα σερβοϋδραυλικό σύστημα με έλεγχο τύπου P (αναλογικό έλεγχο) και με μοναδιαία ανάδραση έχει συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου την εξής: G(s) = K s(s 2 + 6s +1) (α) Σχεδιάστε τον τόπο των ριζών για K από 0 έως άπειρο. (β) Βρείτε την τιμή του Κ για την οποία ο λόγος απόσβεσης ζ που αντιστοιχεί στους κυρίαρχους πόλους είναι ίσος με 0,707. (γ) Για την τιμή του Κ που υπολογίσατε στο (β), βρείτε τη θέση του τρίτου πόλου. Άσκηση 9 Ένας κατευθυντής PID ελέγχει τη γωνιακή θέση ενός στροφικού μηχανικού συστήματος που εδράζεται σε ηλεκτρομαγνητικά έδρανα (μηδέν δυναμική τριβή). Η ροπή αδράνειας των στρεφόμενων μερών είναι J = 1kgm 2. d e 10 1 ks s T 1 Js 2 Σχήμα 9-1. Δομικό διάγραμμα ελέγχου στροφικού μηχανικού συστήματος. (α) Σχεδιάστε τον τόπο των ριζών για k από 0 έως άπειρο. (β) Εξετάστε την ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου ως συνάρτηση του k. (γ) Εξετάστε την απόκριση της γωνιακής θέσης θ ως συνάρτηση του k. 10

Άσκηση 10 Ένα σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου την εξής: G(s) = K(s +100) (s + 5) 2 (s 2 + 2s + 5) (α) Χρησιμοποιείστε το Matlab και τη συνάρτηση rlocus για να βρείτε τον τόπο των ριζών. (β) Υπάρχει περιοχή του Κ για την οποία το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές; (γ) Εάν υπάρχει Κ για το οποίο το σύστημα κλειστού βρόχου είναι οριακά ευσταθές, βρείτε τη συχνότητα ω n στην οποία θα ταλαντώνεται. (δ) Εάν επαναλαμβάνατε την ίδιες ερωτήσεις αναλυτικά-γραφικά, τι θα ήταν πιο εύκολο; Τι πιο δύσκολο; Άσκηση 11 Ο έλεγχος της κλίσης ενός πυραύλου κατά την απογείωσή του γίνεται με ρύθμιση της γωνίας των προωθητήρων στη βάση του μέσω σερβοϋδραυλικών επενεργητών (εμβόλων). Υποθέτοντας ότι η δυναμική των επενεργητών που κινούν τους προωθητήρες μπορεί να παραληφθεί ως πολύ γρήγορη σε σχέση με τη δυναμική της κλίσης του, η συνάρτηση μεταφοράς που συνδέει την κλίση θ του πυραύλου ως προς την κατακόρυφο με τη δύναμη F από τους προωθητήρες είναι η εξής: Θ(s) F(s) = 1 s 2 4 Ο στόχος του ελέγχου είναι η γωνία θ να είναι μηδέν. Για το λόγο αυτό, σχεδιάζουμε ένα σύστημα ελέγχου κλειστού βρόχου χρησιμοποιώντας ανάδραση της γωνίας θ που παρέχεται π.χ. από ένα κλινόμετρο. Παρατηρείστε ότι η συνάρτηση μεταφοράς αυτή περιγράφει και το ανάστροφο εκκρεμές του Σχ. 11-1β. Για το λόγο αυτό θα επικεντρώσουμε την ανάλυσή μας στο ανάστροφο εκκρεμές. F Σχήμα 11-1. (α) Έλεγχος κλίσης πυραύλου. (β) Ανάστροφο εκκρεμές. Το δομικό διάγραμμα του συστήματος κλειστού βρόχου απεικονίζεται στο Σχ. 11-2. Θα δοκιμάσουμε διάφορους κατευθυντές και θα εξετάσουμε την αποτελεσματικότητά τους. 11

d e G C (s) F 1 s 2 4 Σχήμα 11-2. Δομικό διάγραμμα συστήματος ελέγχου κλίσης πυραύλου/ ανάστροφου εκκρεμούς. (α) Έστω G C (s) = K. (1) Σχεδιάστε τον τόπο των ριζών του συστήματος κλειστού βρόχου. (2) Μπορείτε να κρατήσετε το εκκρεμές κατακόρυφο εάν υπάρξουν μικρές διαταραχές; (β) Έστω G C (s) = K(s + 0,75). (1) Σχεδιάστε τον τόπο των ριζών του συστήματος κλειστού βρόχου. (2) Μπορείτε να κάνετε το σύστημα ευσταθές; Εάν ναι, για ποιες τιμές του Κ είναι αυτό δυνατόν; (3) Μπορείτε να ρυθμίσετε το σύστημα ελέγχου έτσι ώστε να κάνετε το χρόνο αποκατάστασης (2%) μικρότερο από 2s; Εξηγείστε με βάση τον τόπο των ριζών. (γ) Έστω G C (s) = K(s + 4). Επαναλάβετε τις ερωτήσεις στο (β). (δ) Έστω G C (s) = K(s + 0,75) (s + 4) Επαναλάβετε τις ερωτήσεις στο (β).. Ορισμένα πειράματα με προωθητήρες πυραύλων οδηγούν στο συμπέρασμα ότι οι προωθητήρες δεν μπορούν να κινηθούν αρκετά γρήγορα ώστε να μπορεί η δυναμική τους να αγνοηθεί. Τα πειράματα έδειξαν ότι το δομικό διάγραμμα θα πρέπει να βελτιωθεί έτσι ώστε να περιλάβει και αυτή τη δυναμική, βλ. Σχ. 11-3. d e G C (s) s 5 s 6 F 1 s 2 4 Σχήμα 11-3. Δομικό διάγραμμα συστήματος ελέγχου κλίσης πυραύλου με δυναμική προωθητήρων. (ε) Εξηγείστε συνοπτικά γιατί η δυναμική κίνησης των προωθητήρων δεν θα μπορούσε να αγνοηθεί (μη μοντελοποιημένη δυναμική). (στ) Έστω G C (s) = K(s + 4). (1) Σχεδιάστε τον τόπο των ριζών του συστήματος κλειστού βρόχου. 12

(2) Κατάλληλη διέγερση έδειξε ότι ο πύραυλος παρουσιάζει μηχανικές ταλαντώσεις με κυκλική συχνότητα γύρω στα 80 rad/s. Εξηγείστε πως θα επιλέξετε το κέρδος K έτσι ώστε ο κατευθυντής να είναι αποτελεσματικός (ευσταθής, καλή απόκριση). Άσκηση 12 (α) Για το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου: G(s) = G C (s)g P (s)h (s) = 10 s(1 + 0,2s)(1+ 0,02s) βρείτε το περιθώριο κέρδους και φάσης. Χρησιμοποιείστε το διάγραμμα Nyquist. (β) Για το σύστημα με μοναδιαία ανάδραση και με συνάρτηση μεταφοράς πρόσω βρόχου: G(s) = G C (s)g P (s) = K(1 + 0,2s)(1+ 0,1s) s 2 (1 + s)(1+ 0,01s) 2 βρείτε την περιοχή κερδών Κ για την οποία το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές. Χρησιμοποιείστε διαγράμματα Bode. (γ) Σχεδιάστε τα διαγράμματα Nyquist (πολικά διαγράμματα) για τις εξής συναρτήσεις μεταφοράς ανοικτού βρόχου: G(s) = G C (s)g P (s)h (s) = K s(s 2 + s + 4), G(s) = G K(s +1) C (s)g P (s)h (s) = s 2 (s + 2) Εάν τα συστήματα αυτά είναι ευσταθή (όταν κλείσει ο βρόχος), βρείτε το μέγιστο κέρδος Κ που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διατηρώντας την ευστάθεια. Επιβεβαιώστε το αποτέλεσμα με χρήση του κριτηρίου Routh-Hurwitz. Άσκηση 13 Το δομικό διάγραμμα ενός συστήματος ελέγχου στροφών βενζινομηχανής δίνεται στο Σχ. 13-1: n d 1 1 f s 1 K e s 1 n 1 s s 1 Σχήμα 13-1. Δομικό διάγραμμα συστήματος ελέγχου στροφών βενζινομηχανής. Λόγω περιορισμών στην εισαγωγή του καρμπυρατέρ και την ύπαρξη χωρητικότητας (fluid capacitance) στην εισαγωγή, μεταξύ εντολής για παροχή καυσίμου και ανάπτυξης ροπής υπάρχει μία καθυστέρηση με χρονική σταθερά τ f ίση προς 1 s. Η μηχανή έχει μηχανική σταθερά χρόνου τ e = 4s. Το αισθητήριο που μετρά την ταχύτητα έχει δυναμική με χρονική σταθερά τ s = 0,5s. (α) Βρείτε το κέρδος Κ που είναι αναγκαίο για να κρατήσετε το σφάλμα μόνιμης κατάστασης στο 7% της εντολής ταχύτητας, όταν αυτή είναι βηματική. 13

(β) Με το Κ που βρήκατε στο (α), και χρήση του κριτηρίου Nyquist, εξετάστε την ευστάθεια του συστήματος. (γ) Βρείτε τα περιθώρια κέρδους και φάσης του συστήματος. Άσκηση 14 Έχετε ως στόχο το σχεδιασμό ενός αυτόματου πιλότου για τη δυναμική ανόδου ενός lear jet, βλ. Σχ. 14-1. Η δυναμική του αεροπλάνου που παίζει το μεγαλύτερο ρόλο είναι αυτή με τη μεγάλη περίοδο, δηλαδή η φυγοειδής (phugoid motion). L mg Σχήμα 14-1. Αεροπλάνο κατά την άνοδο. Η δυναμική αυτή μπορεί να περιγραφεί από την εξής απλοποιημένη εξίσωση κίνησης: α + 0,01 α + 0,002α = 0,5 β + 0,005β h = 30α όπου α είναι η γωνία προσβολής, β η γωνία ελέγχου ύψους-βάθους και h το ύψος του κέντρου μάζας του αεροπλάνου. (α) Βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς που συνδέει το ύψος h με τη γωνία ελέγχου β. G P (s) = h(s) β(s) Για τον αυτόματο πιλότο αποφασίζετε να χρησιμοποιήσετε το δομικό διάγραμμα του Σχ. 14-2. Σε αυτό ορίζετε το υψομετρικό σφάλμα e(s) = h d (s) h(s) και επιλέγετε να σχεδιάσετε ένα κατευθυντή/ αντισταθμιστή G C (s) που να έχει ως είσοδο το υψομετρικό σφάλμα και ως έξοδο τη γωνία ελέγχου ύψους-βάθους. h d e G C (s) G P (s) h Σχήμα 14-2. Δομικό διάγραμμα αυτόματου πιλότου. (β) Σχεδιάστε τα διαγράμματα Bode για την G P (s). (γ) Καταρχάς, χρησιμοποιείτε ένα κατευθυντή τύπου P ( G C (s) = K ). Βρείτε το κέρδος K έτσι ώστε η συχνότητα αποκοπής να είναι ω CG = 0,15rad / s. Για αυτό το κέρδος, είναι το σύστημα κλειστού βρόχου ευσταθές; Αν ναι, ποια είναι το περιθώρια κέρδους και φάσης; 14

(δ) Για τον κατευθυντή του ερωτήματος (γ) και εάν το επιθυμητό ύψος είναι μια συνάρτηση αναρρίχησης h d (t) = 2t m, όπου t ο χρόνος, ποιο είναι το σφάλμα μόνιμης κατάστασης; (ε) Εξετάζετε το ενδεχόμενο να χρησιμοποιήσετε έναν αντισταθμιστή προπορευόμενης φάσης (lead compensator). H συχνότητα αποκοπής επιλέγεται εκ νέου ως ω CG = 0,15rad / s ενώ το περιθώριο κέρδους πρέπει να είναι ϕ M = 50, έτσι ώστε να περιορισθούν οι ανεπιθύμητες ταλαντώσεις. Συγκρίνετε τα διαγράμματα Bode που αντιστοιχούν στην KG P (s) (έλεγχος τύπου P) με αυτά της G C (s)g P (s) (αντισταθμιστής). Τι παρατηρείτε; (στ) Για τον αντισταθμιστή του ερωτήματος (ε) και εάν το επιθυμητό ύψος είναι μια συνάρτηση αναρρίχησης h d (t) = 2t m, ποιο είναι το σφάλμα μόνιμης κατάστασης; (ζ) Μπορείτε να σχεδιάσετε έναν αντισταθμιστή που θα μείωνε το σφάλμα στη συνάρτηση αναρρίχησης h d (t) = 2t m στο μισό από ότι στο (στ); Άσκηση 15 Αναλάβατε να σχεδιάσετε ένα σύστημα ελέγχου υδραυλικού σερβομηχανισμού. Η εγκατάσταση αποτελείται από μία σερβοβαλβίδα, ένα υδραυλικό έμβολο και το μηχανικό του φορτίο. Η είσοδος στο σύστημα αυτό είναι το ρεύμα που ελέγχει τη σερβοβαλβίδα και η έξοδος είναι η θέση του μηχανικού φορτίου. Το σύστημα σας φάνηκε πολύ πολύπλοκο για να το μοντελοποιήσετε με υποσυστήματα συγκεντρωμένων στοιχείων στο χρόνο που διαθέτετε. Αποφασίζετε λοιπόν να διεγείρετε την εγκατάσταση ανοικτού βρόχου με ρεύμα μεταβλητής κυκλικής συχνότητας στην περιοχή 10 3 10 2 rad / s και να μετρήσετε το κέρδος και τη γωνία του συστήματος ανοικτού βρόχου. Τα αποτελέσματα του πειράματος σας εμφανίζονται στο Σχ. 15-1. (α) Βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου που αντιστοιχεί στα διαγράμματα Bode του Σχ. 15-1. (β) Βρείτε το περιθώριο κέρδους και γωνίας, καθώς και τις συχνότητες αποκοπής που αντιστοιχούν. (γ) Σχεδιάστε το διάγραμμα Nyquist που αντιστοιχεί και επαληθεύστε και από αυτό τα περιθώρια κέρδους και γωνίας. (δ) Έχοντας υπόψη τα αποτελέσματα του (β) ερωτήματος, εάν χρησιμοποιήσουμε έναν κατευθυντή P και μοναδιαία ανάδραση, ποιο είναι το μέγιστο κέρδος για το οποίο το σύστημα είναι ευσταθές; Επαληθεύστε το αποτέλεσμά σας με χρήση του κριτήριου Routh-Hurwitz. (ε) Οι αναλογικές σερβοβαλβίδες έχουν κάποια μικρή χρονική καθυστέρηση. Ποια είναι η μέγιστη καθυστέρηση σε ms που μπορούμε να δεχτούμε πριν το σύστημα κλειστού βρόχου γίνει ασταθές όταν κλείσουμε το βρόχο (χωρίς να αλλάξουμε το κέρδος); (στ) Έχοντας τη συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου από το (α), σχεδιάστε τον τόπο των ριζών ως προς το κέρδος K P του κατευθυντή P. Τι είδους απόκριση αναμένουμε για διάφορα κέρδη K P ; 15

Σχήμα 15-1. Απόκριση συχνότητας σερβοϋδραυλικού συστήματος. (ζ) Θέλουμε η απόκριση του συστήματος σε βηματική συνάρτηση να έχει χρόνο αποκατάστασης 2 s και ει δυνατόν να μην παρουσιάζει ταλαντώσεις. Για το σκοπό αυτό αποφασίζουμε να απαλείψουμε τους ενοχλητικούς πόλους και μηδενιστές ανοικτού βρόχου με τους εξής όρους: τ Z s +1 τ P s +1 s 2 2 + 2ζ Z ω nz s + ω nz s 2 2 + 2ζ P ω np s + ω np Τότε ο κατευθυντής θα έχει τη μορφή: για όρους α τάξης για όρους β τάξης τ G C (s) = K Z s +1 P τ P s +1... s2 2 + 2ζ Z ω nz s + ω nz s 2 + 2ζ P ω np s + ω... 2 np Βρείτε τις παραμέτρους του κατευθυντή και τη χρονική απόκριση του συστήματος για βηματική είσοδο. (η) Για τον κατευθυντή που βρήκατε, υπολογίστε το σφάλμα μόνιμης κατάστασης για (i) μοναδιαία βηματική είσοδο και (ii) για μοναδιαία είσοδο αναρρίχησης. (θ) Ένας συνάδελφός σας πρότεινε να επεκτείνετε τα πειράματά σας σε συχνότητες πέρα από τα 100 rad/s. Το αποτέλεσμα παρουσιάζεται στο Σχ. 15-2. Τι παρατηρείτε; Πρέπει να ανησυχείτε για την επάρκεια του κατευθυντή που σχεδιάσατε; 16

Σχήμα 15-2. Απόκριση συχνότητας σερβοϋδραυλικού συστήματος σε μεγάλος εύρος συχνοτήτων. 17