Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση συναντάμε την έλλειψη σε τροχιές πλανητών και κομητών. Η Γη λόγω της περιστροφής της γύρω από τον άξονά της δημιουργεί φυγόκεντρο δύναμη με αποτέλεσμα οι πόλοι της να συμπιέζονται προς τον πυρήνα (κατά 500 km περίπου εκατέρωθεν) και ο Ισημερινός να θέλει να «αποκολληθεί» προς το διάστημα. Λογω αυτού του φαινομένου σχηματίζεται ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής. Για να το κατανοήσετε καλύτερα, φανταστείτε ένα κέρμα σε μορφή έλλειψης και όχι κύκλου, το οποίο αν αρχίσετε να το περιστρέφετε θα παρατηρήσετε ότι σχηματίζεται ένα τρισδιάστατο σχήμα, το ελλειψοειδές εκ περιστροφής. Τα σημεία Ε και Ε τα ονομάζουμε εστίες της έλλειψης και η απόστασή τους (εστιακή) ισούται με. Πιο αναλυτικά: Όταν η έλλειψη έχει τις εστίες της πάνω στον άξονα xx έχουμε την μορφή της εξίσωσής της: Το κέντρο της έλλειψης είναι το (0,0) και οι κορυφές της έχουν συντεταγμένες, Οι εστίες της έχουν συντεταγμένες: Επίσης ισχύει: Όταν η έλλειψη έχει τις εστίες της πάνω στον άξονα yy έχουμε την μορφή της εξίσωσής της: Το κέντρο της έλλειψης είναι το (0,0) και οι κορυφές της έχουν συντεταγμένες, Οι εστίες της έχουν συντεταγμένες: 24
Επίσης ισχύει: Γενικά: το μήκος του μεγάλου άξονα της έλλειψης καθορίζεται από την απόσταση και το μήκος του μικρού άξονα από την απόσταση. Επίσης, είναι προφανές ότι εφόσον Επιπλέον, το άθροισμα των αποστάσεων του τυχαίου σημείου της έλλειψης από τις δύο εστίες ισούται με το μήκος του μεγάλου άξονα της έλλειψης. Δηλαδή, Τέλος, αν το τότε η έλλειψη γίνεται κύκλος με κέντρο Ε και ακτίνα α. Εφαπτομένη Έλλειψης Όταν η έλλειψη έχει τις εστίες της πάνω στον άξονα xx έχουμε την ακόλουθη μορφή της εξίσωσής της εφαπτομένης σε ένα σημείο της έλλειψης : Όταν η έλλειψη έχει τις εστίες της πάνω στον άξονα yy έχουμε την ακόλουθη μορφή της εξίσωσής της εφαπτομένης σε ένα σημείο της έλλειψης : Ιδιότητες Έλλειψης Οι πιο βασικές ιδιότητες της έλλειψης είναι οι ακόλουθες: 1. Κάθε έλλειψη (άξονας συμμετρίας xx ) εμπεριέχεται σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο το οποίο ορίζουν οι ακόλουθες ευθείες, 2. Αν το σημείο είναι σημείο της έλλειψης τότε και τα παρακάτω σημεία είναι και αυτά σημεία της έλλειψης, 25
3. Το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν δύο οποιαδήποτε συμμετρικά ως προς το Ο σημεία της έλλειψης λέγεται διάμετρος της έλλειψης και ισχύει ότι:. Εκκεντρότητα Έλλειψης Η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι ένα στοιχείο της το οποίο καθορίζει τη μορφή της και το κατά το πόσο η έλλειψη τείνει να μοιάζει με κύκλο ή με ευθύγραμμο τμήμα. Ουσιαστικά, είναι ο λόγος της εστιακής απόστασης προς το μήκος του μεγάλου άξονα. a. Αν το τείνει στο 1 η έλλειψη τείνει να γίνει ευθύγραμμο τμήμα. b. Αν το τείνει στο 0 η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος. Οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα λέγονται όμοιες. Περιπτώσεις ασκήσεων 1. Για να προσδιορίσουμε την εξίσωση μίας έλλειψης αρκεί να βρούμε τις τιμές των α, β. Για παράδειγμα, να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης στις παρακάτω περιπτώσεις: a. Έχει μεγάλο άξονα και εστίες Ε(2,0) και Ε (-2,0) Άρα, Συνεπώς, b. Έχει εκκεντρότητα 26
Οπότε, c. Όταν διέρχεται από τα σημεία, έχει κέντρο το (0,0) και οι εστίες της βρίσκονται πάνω στον xx. Άρα, d. Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης μίας έλλειψης σε σημείο της, προσδιορίζουμε από τα δεδομένα τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ και έπειτα αντικαθιστούμε τα στην εξίσωση της εφαπτομένης. Για παράδειγμα, να βρεθούν οι εφαπτομένες της έλλειψης που είναι κάθετες στην ευθεία Αρχικά μετασχηματίζουμε την εξίσωση της έλλειψης: Έπειτα παίρνουμε το τύπο της εφαπτομένης και τον λύνουμε ως προς y. Επειδή η εφαπτομένη με την ευθεία είναι μεταξύ τους κάθετες έχουμε, Επιστρέφουμε στην εξίσωση της έλλειψης και έχουμε: Άρα, 27
Οπότε οι εφαπτομένες είναι: 2. Να βρεθεί η εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο της. Τότε χρησιμοποιούμε το τύπο της εφαπτομένης της έλλειψης όπως μας τον παρουσιάζει η θεωρία. Για παράδειγμα,, έστω η έλλειψη: Και ένα σημείο της Μ(1,,1) Τότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 3. Όπως στην παραβολή έτσι και στην έλλειψη έχουμε μία ανάλογη ιδιότητα της ανακλαστικής ιδιότητας της παραβολής. Αποδεικνύεται ότι αν φέρουμε μία κάθετη προς την εφαπτομένη της έλλειψης πάνω στο σημείο επαφής, τότε αυτή η ευθεία έχει την ιδιότητα να διχοτομεί την γωνία που σχηματίζεται από το σημείο επαφής Μ και τις εστίες της έλλειψης Ε και Ε (σχολικό σελ.108). Για παράδειγμα,, έστω η έλλειψη: Και ένα σημείο της Μ(1,,1) Τότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: Τότε για να βρούμε την εξίσωση της διχοτόμου της γωνίας Ε ΜΕ, βρίσκουμε την κάθετη ευθεία (η) προς την (ε), η οποία διέρχεται από το Μ. Η οποία είναι η διχοτόμος της γωνίας. 28
29