Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν, εκτός των άλλων, και για την αναπαράσταση υπολογιστικών προβλημάτων: μια συνάρτηση περιγράφει ένα υπολογιστικό πρόβλημα όπου σε κάθε έγκυρη είσοδο αντιστοιχεί ακριβώς μία έγκυρη έξοδος. Αν έχουμε περισσότερες έγκυρες εξόδους (για παράδειγμα στο πρόβλημα των 4 χρωμάτων, μπορεί να υπάρχουν περισσότεροι του ενός χρωματισμοί) τότε μπορούμε να περιγράψουμε το πρόβλημα με δυαδική σχέση. Τέλος, υπολογιστικά προβλήματα όπου η απάντηση είναι απλώς ναι ή όχι (προβλήματα απόφασης) μπορούν να περιγραφούν μέσω ενός συνόλου που αποτελείται από όλες τις έγκυρες εισόδους για τις οποίες η απάντηση είναι ναι. Στην ενότητα αυτή θα δώσουμε τους βασικούς ορισμούς που χρειαζόμαστε για να μπορούμε να συζητάμε για τις έννοιες αυτές. 2.1 Σύνολα Η έννοια του συνόλου είναι θεμελιώδης στα μαθηματικά, και είναι δύσκολο να οριστεί επακριβώς. Ορίζουμε άτυπα ως σύνολο μια συλλογή διακεκριμένων στοιχείων. Συμβολίζουμε τα σύνολα με κεφαλαία γράμματα π.χ. A, B, C κλπ. Στοιχεία ή μέλη ενός συνόλου ονομάζουμε τα αντικείμενα που το συνιστούν, τα οποία συμβολίζουμε με μικρά γράμματα. Όταν αντικείμενο a ανήκει σε ένα σύνολο A γράφουμε a A. Παράδειγμα 2.1. Το σύνολο των φυσικών αριθμών: N = {0, 1, 2, 3,... } π.χ. 1 N, 0 N, 1 2 / N. Το σύνολο των ακέραιων αριθμών: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... }. Τα στοιχεία ενός συνόλου καταγράφονται είτε με αναγραφή, δηλαδή παραθέτοντας όλα τα στοιχεία μεταξύ αγκυλών χωρισμένα με κόμματα, και στην περίπτωση συνόλων με άπειρα στοιχεία, συμβολίζοντας με τελείες μία σαφώς εννοούμενη συνέχεια όπως στο παραπάνω παράδειγμα, είτε με περιγραφή, ορίζοντας μία ιδιότητα P, και θεωρώντας το σύνολο των στοιχείων που ικανοποιούν αυτή την ιδιότητα: 13
14 Κεφάλαιο 2. Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Παράδειγμα 2.2. Έστω P (x) : x 2 2x + 1 = 0. Τότε γράφοντας: A = {x : x N P (x)}, 1 εννοούμε ότι το A αποτελείται από τους φυσικούς αριθμούς που είναι ρίζες της εξίσωσης x 2 2x + 1 = 0. Επομένως, A = {1}. Το σύμβολο είναι το λογικό και και το σύμβολο είναι το λογικό ή. Το σύνολο των ρητών αριθμών: Q = { m n : m Z n N n 1}. Ορισμοί Ένα σύνολο A είναι υποσύνολο ενός συνόλου B αν και μόνο αν κάθε στοιχείο του A ανήκει και στο B, δηλαδή συμβολικά A B : x (x A x B). Δύο σύνολα είναι ίσα αν και μόνο αν το ένα είναι υποσύνολο του άλλου. Συμβολικά: A = B A B B A. Πράξεις μεταξύ συνόλων: Ένωση (Union): A B = {x : x A x B} Τομή (Intersection): A B = {x : x A x B} Διαφορά (Difference): A \ B = {x : x A x / B} Δύο σύνολα με ιδιαίτερη σημασία είναι το κενό σύνολο, το οποίο δεν περιέχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται με, και το δυναμοσύνολο (powerset) ενός συνόλου A (συμβ. P ow(a) ή 2 A ), που είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του: P ow(a) = 2 A = {B : B A} Το συμπλήρωμα (complement) ενός συνόλου A ως προς ένα σύνολο-σύμπαν U, ορίζεται ως A c = A = {x U : x / A} Παράδειγμα 2.3. Έστω A = {1, 2, a, b}, B = {2, 1, c, d}. Τότε: A B = {1, 2, a, b, c, d}, A B = {1, 2}. A \ B = {a, b}, P ow(a B) = {, {1}, {2}, {1, 2}}. C = {x : x N x < 0} = Q = {x : x R x / Q} = R \ Q: σύνολο των άρρητων αριθμών. Ισχύουν τα παρακάτω: N Z Q R, και Q Q = R. Τα σύνολα A και B λέγονται ξένα ανν A B =. Θεώρημα 2.4. Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες για οποιαδήποτε σύνολα A, B: A A = A 1 Συχνά χρησιμοποιείται και ο συμβολισμός αντί για :, για παράδειγμα A = {x x N P (x)}.
2.1 Σύνολα 15 A A = A A = A A = A B A B = A A B A B = B A B B A (όπου τα συμπληρώματα ορίζονται ως προς το ίδιο σύμπαν U) A B A (B \ A) = B Ο αριθμός των στοιχείων ενός συνόλου ονομάζεται πληθικότητα (cardinality) του συνόλου και συμβολίζεται με A. Όταν το σύνολο έχει πεπερασμένο αριθμό στοιχείων τότε A N. Αν το σύνολο έχει άπειρα στοιχεία, τότε γράφουμε συμβολικά A =. Παράδειγμα 2.5. {a, b, c} = {2, 3, 4} = 3, N = Ισχύουν: A B A + B, A B A, A \ B A, A \ B A B, P ow(a) = 2 A. Στον ορισμό του συνόλου που δώσαμε, δεν υπάρχει διάταξη μεταξύ των στοιχείων του, αφού A = {a, b} = {b, a}. Για να ενσωματώσουμε την σειρά των στοιχείων στο σύνολο A, ορίζουμε το διατεταγμένο ζεύγος των a, b ως: (a, b) = {{a}, {a, b}} Παρατηρήστε ότι (a, b) (b, a), αφού {{a}, {a, b}} = {{b}, {a, b}}. Το καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων A, B ορίζεται ως A B = {(a, b) : a A b B} Παρατηρούμε ότι A B = A B. To καρτεσιανό γινόμενο του A με τον εαυτό του: A 2 = A A. Παράδειγμα 2.6. Έστω A = {1, 2} και B = {a, b, c, }. Τότε: A B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}. Βλέπουμε εύκολα ότι A B = 6 = A B. Το διατεταγμένο ζεύγος και το καρτεσιανό γινόμενο εύκολα γενικεύονται: A 1 A n = {(a 1,..., a n ) : a i A i, για κάθε 1 i n}, A n = A A }{{} n φορές
16 Κεφάλαιο 2. Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις 2.2 Σχέσεις Συχνά είναι απαραίτητο να συνδέσουμε τα στοιχεία κάποιων συνόλων, ή ακόμα και τα στοιχεία ενός συνόλου μεταξύ τους. Για παράδειγμα, μεταξύ του συνόλου των μαθητών μιας τάξης και του συνόλου των θρανίων της, σε κάθε μαθητή αντιστοιχεί μία (ή περισσότερες) θέσεις. Ορισμός 2.1. Δυαδική σχέση (binary relation) R από το σύνολο A στο σύνολο B είναι ένα υποσύνολο του A B. Αν (a, b) R, γράφουμε arb. Στον παραπάνω ορισμό, για A = B έχουμε μια σχέση μεταξύ των στοιχείων του συνόλου A: R A 2. Αν η R είναι σχέση, τότε ορίζουμε την αντίστροφή της R 1 ως εξής: Προφανώς xry yr 1 x. Μια σχέση R ονομάζεται: Ανακλαστική (reflexive), αν x A (xrx). R 1 = {(b, a) : (a, b) R} Συμμετρική (symmetric), αν x, y A (xry yrx). Αντισυμμετρική (antisymmetric), αν x, y A(xRy yrx x = y). Μεταβατική (transitive), αν x, y, z A (xry yrz xrz). Ορισμός 2.2. Κλείσιμο (closure) ή κλειστότητα μιας σχέσης R ως προς μια ιδιότητα P είναι η ελάχιστη σχέση R που περιέχει την R (R R ) και για την οποία ισχύει η ιδιότητα P. Με τον όρο ελάχιστη εννοούμε ότι η R περιέχεται σε οποιαδήποτε άλλη σχέση R R για την οποία ισχύει η P. Το ανακλαστικό κλείσιμο μιας σχέσης R A 2 είναι το κλείσιμο της R ως προς την ανακλαστική ιδιότητα. Αντίστοιχα ορίζονται το συμμετρικό και το μεταβατικό κλείσιμο. Παράδειγμα 2.7. Το ανακλαστικό κλείσιμο της R = {(a, b), (a, c), (c, a)} είναι το R r = {(a, b), (a, c), (c, a), (a, ενώ το συμμετρικό κλείσιμο είναι η R s = {(a, b), (a, c), (c, a), (b, a)}. Για κάθε δυαδική σχέση R, το συμμετρικό της κλείσιμο είναι R s = R R 1. Ορισμός 2.3. Μια σχέση R ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας (equivalence relation) αν είναι: 1. Ανακλαστική 2. Συμμετρική 3. Μεταβατική
2.2 Σχέσεις 17 Παράδειγμα 2.8. Εστω R η σχέση της ισότητας σε ένα σύνολο A, δηλαδή xry αν και μόνο αν x = y x, y A. Η ισότητα είναι σχέση ισοδυναμίας, αφού είναι: 1. Ανακλαστική: x A (x = x). 2. Συμμετρική: x, y A (x = y y = x). 3. Μεταβατική: x, y, z A (x = y y = z x = z). Έστω A το σύνολο των φοιτητών του ΕΜΠ, και η σχέση R στο A, που συνδέει δύο φοιτητές αν φοιτούν στην ίδια σχολή του ΕΜΠ. Εύκολα βλέπουμε ότι η R είναι σχέση ισοδυναμίας. Έστω a A. Μπορούμε να θεωρήσουμε το σύνολο όλων των φοιτητών που συνδέονται με τον a μέσω της R, δηλαδή όλων των φοιτητών που βρίσκονται στην ίδια σχολή με τον a. To σύνολο αυτό ονομάζεται κλάση ισοδυναμίας του a, και συμβολίζεται, για μια δεδομένη σχέση R, ως [a] = {b : b A arb}. Παρατηρούμε ότι η σχέση R χωρίζει το σύνολο των φοιτητών του ΕΜΠ σε υποσύνολα φοιτητών κάθε σχολής, τα οποία είναι ξένα μεταξύ τους, αφού δεν μπορεί ένας φοιτητής να ανήκει σε δύο σχολές. Το επόμενο θεώρημα μας δείχνει ότι μια σχέση ισοδυναμίας R διαμερίζει το A σε ξένες μεταξύ τους κλάσεις ισοδυναμίας: Θεώρημα 2.9. Έστω R σχέση ισοδυναμίας στο A. Τότε τα επόμενα είναι ισοδύναμα: 1. arb 2. [a] = [b] 3. a [b] 4. [a] [b] Σημείωση 2.1. Η ελάχιστη σχέση ισοδυναμίας που περιέχει μια σχέση R είναι το ανακλαστικό, συμμετρικό, και μεταβατικό κλείσιμο της R. Ορισμός 2.4. Μια σχέση R ονομάζεται μερική διάταξη (partial order) αν είναι: 1. Ανακλαστική 2. Αντισυμμετρική 3. Μεταβατική Παράδειγμα 2.10. Η σχέση στο N είναι μερική διάταξη, αφού είναι: 1. Ανακλαστική: x N (x x). 2. Αντισυμμετρική: x, y N (x y y x x = y). 3. Μεταβατική: x, y, z N (x y y z x z).
18 Κεφάλαιο 2. Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Σημείωση 2.2. Σε μια μερική διάταξη δεν είναι απαραίτητο κάθε δύο στοιχεία x, y να είναι συγκρίσιμα, δηλαδή να ισχύει x y y x. Αν συμβαίνει αυτό, δηλαδή όλα τα στοιχεία να είναι συγκρίσιμα ανά δύο, τότε μιλάμε για ολική διάταξη (total order). Παράδειγμα 2.11. Η σχέση στο Q είναι ολική διάταξη. Η σχέση στο P ow(a), για κάθε σύνολο είναι μερική διάταξη, αλλά όχι ολική. Η διαιρετότητα στο σύνολο των φυσικών αριθμών είναι μερική διάταξη, αλλά όχι ολική. 2.3 Συναρτήσεις Μία σχέση f A B ονομάζεται μερική συνάρτηση (partial function), αν για κάθε a A υπάρχει το πολύ ένα b B ώστε (a, b) f. Κάθε μερική συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού domain(f) = {a : (a, b) f για κάποιο b B} και πεδίο τιμών range(f) = {b : (a, b) f για κάποιο a A}. Γράφουμε f(a) = b συνήθως, αντί (a, b) f. Αν domain(f) = A, τότε η f ονομάζεται ολική (total), και αν range(f) = B, τότε η f ονομάζεται επί (surjection). Επίσης, μια συνάρτηση f ονομάζεται ένα-προς ένα (συμβ 1-1,injection) αν: a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ) (για κάθε b B υπάρχει το πολύ ένα a A ώστε f(a) = b). Αν η f είναι 1-1, τότε ορίζεται η αντίστροφή της f 1 : f 1 (b) = a ανν f(a) = b. Εύκολα βλέπουμε ότι η f 1 είναι μερική συνάρτηση. Τέλος, μία συνάρτηση f ονομάζεται αμφιμονοσήμαντη (bijection), αν είναι 1-1 και επί. 2.4 Διαδραστικό υλικό - Σύνδεσμοι 1. Στην ιστοσελίδα http://www.settheory.net/ θα βρείτε εφαρμογές της Θεωρίας Συνόλων στα Θεμέλια των Μαθηματικών. 2.5 Ασκήσεις 1. Καταγράψτε με αναγραφή τα παρακάτω σύνολα: (α) {x x ακέραιος τέτοιος ώστε x 2 = 2} (β) {x x άρτιος φυσικός μικρότερος του 10} (γ) {x x τετράγωνο ακεραίου και x < 100} 2. Τι μπορείτε να αποφανθείτε για τα σύνολα A και B αν: (α) A B = B; (β) A B = B; (γ) A B = A B;
2.5 Ασκήσεις 19 (δ) A \ B = B; 3. Δείξτε ότι για τα σύνολα A, B, C ισχύει (A \ B) \ C = A \ (B \ C) 4. Ποιά είναι η πληθικότητα των ακόλουθων συνόλων: (α) (β) {, { }} (γ) P ow({x, y, {x, y}}) 5. Δείξτε ότι αν για σύνολα A, B, C ισχύει ότι A B και B C, τότε και A C. 6. (Παράδοξο του Russell) Έστω X ένα σύνολο συνόλων, το οποίο περιέχει ένα σύνολο x αν το x δεν ανήκει στον εαυτό του, δηλαδή: X = {x x / x}. Δείξτε ότι αν X X ή αν X / X οδηγούμαστε σε άτοπο. (Παρατηρήστε ότι το σύνολο X δεν μπορεί να οριστεί με αυτό τον τρόπο. Το παράδοξο αυτό οδήγησε στην ανάπτυξη αξιωμάτων για την Συνολοθεωρία.) 7. Έστω A το σύνολο των ανθρώπων. Ορίζουμε μια διμελή σχέση R στο A: (a, b) R αν ο/η a είναι αδερφός/ή του b. Είναι η σχέση R σχέση ισοδυναμίας; Απαντήστε το ερώτημα και για την σχέση (a, b) R αν ο a είναι πατέρας του/της b. 8. Έστω A ένα μη-κενό σύνολο, και f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A. Έστω R η σχέση: (x, y) R αν f(x) = f(y). Δείξτε ότι η R είναι σχέση ισοδυναμίας, και βρείτε τις κλάσεις ισοδυναμίας της. 9. Έστω μια σχέση R A A. Ποιό είναι το ανακλαστικό κλείσιμο της R; Δώστε το με περιγραφικό τρόπο. 10. Βρείτε την μικρότερη σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο A = {0, 1, 2, 3, 4} που να περιέχει την σχέση {(0, 1), (0, 2), (3, 4)}.
.
Βιβλιογραφία [1] C.L. Liu. Στοιχεία Διακριτών Μαθηματικών (απόδοση στα Ελληνικά: Κ. Μπους και Δ. Γραμμένος). Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2003. [2] K.H. Rosen. Discrete Mathematics and its Applications (6th Edition). McGraw-Hill, 2007. 21
.