3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΕΩΡΙΑ. Οµασία: Έα πλύγω µε κρυφές θα τ λέµε -γω µε εξαίρεση τ πλύγω µε τέσσερις κρυφές πυ θα τ λέµε τετράπλευρ. 2. Καικό πλύγω: Έα πλύγω λέγεται καικό ότα όλες ι πλευρές τυ είαι ίσες και όλες ι γωίες τυ ίσες. 3. Εγγεγραµµέ καικό πλύγω Από τις κρυφές πιυδήπτε καικύ πλυγώυ διέρχεται έας κύκλς. Ο κύκλς αυτός λέγεται περιγεγραµµές στ πλύγω, τ δε πλύγω λέγεται εγγεγραµµέ στ κύκλ. Τ κέτρ τυ κύκλυ λέγεται και κέτρ τυ πλυγώυ. 4. Κατασκευή καικύ -γώυ Η κατασκευή εός καικύ -γώυ αάγεται στη διαίρεση εός κύκλυ σε ίσα τόξα. Κατασκευάζτας διαδχικές επίκετρες γωίες, κάθε µία είαι ίση µε, ρίζυµε στ κύκλ ίσα διαδχικά τόξα. Φέρτας τις χρδές τω τόξω αυτώ κατασκευάζυµε τ καικό -γω. 5. Κετρική γωία καικύ -γώυ Είαι η επίκετρη γωία πυ έχει πλευρές δύ ακτίες τυ περιγεγραµµέυ στ πλύγω κύκλυ µε άκρα δύ διαδχικές κρυφές τυ πλυγώυ. Τη κετρική γωία τη συµβλίζυµε µε τ ω και είαι ίση µε ω = 6. Γωία καικύ -γώυ Είαι η γωία πυ σχηµατίζεται από δύ διαδχικές πλευρές τυ -γώυ και συµβλίζεται µε φ. 7. Σχέση κετρικής γωίας και γωίας εός καικύ -γώυ Ισχύει ω + φ = 80

2 ΣΧΟΛΙΑ. Χρήση τυ τύπυ ω = : Στ τύπ υπάρχυ τα στιχεία ω και. Επµέως ότα γωρίζω τ έα µπρώ α βρίσκω τ άλλ. 2. Πρτεραιότητα : Μεταξύ τω ω, φ πρώτα βρίσκω τη ω και στη συέχεια από τ τύπ φ + ω = 80 βρίσκω τη φ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω πρτάσεις µε Σ α είαι σωστές και µε Λ α είαι λαθασµέες Ο ρόµβς είαι καικό πλύγω Υπάρχει καικό πλύγω µε κετρική γωία αµβλεία γ) Η γωία φ εός καικύ -γώυ είαι ίση µε φ = 80 δ) Τ ρθγώι είαι καικό πλύγω ε) Τα καικά πετάγωα είαι ίσα Πρτειόµεη λύση Ο ρόµβς δε έχει ίσες γωίες, άρα η πρόταση είαι λάθς Λ Θα πρέπει α ισχύει > 90 άρα < = 4, πράγµα πυ σηµαίει ότι τ 90 ισόπλευρ τρίγω έχει κετρική γωία αµβλεία, πότε η πρόταση είαι σωστή Σ γ) Είαι φ + ω = 80 και ω = Άρα η πρόταση είαι σωστή Σ, συεπώς φ = 80 δ) Τ ρθγώι δε έχει ίσες πλευρές, άρα η πρόταση είαι λάθς Λ ε) Αυτό συµβαίει ότα είαι εγγεγραµµέα στ ίδι ή σε ίσυς κύκλυς. Άρα η πρόταση είαι λάθς Λ Θεωρία 2-5 Σχόλι 2

3 2. Σε έα καικό πλύγω η κετρική τυ γωία ω είαι ίση µε ω = 2 της ρθής. 5 Να βρείτε τ πλήθς τω πλευρώ τυ πλυγώυ και τη γωία τυ. Πρτειόµεη λύση ω = 2 5 90 = 36 Α είαι τ πλήθς τω πλευρώ τυ πλυγώυ, τότε 36 = άρα = 36 = 0 ηλαδή τ πλύγω είαι καικό δεκάγω. Ακόµα φ + ω = 80 άρα φ = 80 36 = 44 3. Να εξετάσετε α υπάρχει καικό πλύγω µε Κετρική γωία ω = 22 Γωία φ = 40 Πρτειόµεη λύση Α είαι τ πλήθς τω πλευρώ τυ πλυγώυ, τότε 22 = άρα = 22 6,3 πυ δε είαι φυσικός αριθµός. Άρα δε υπάρχει καικό πλύγω µε κετρική γωία 22 φ + ω = 80 πότε ω = 80 40 = 40 Και = 40 = 9 ηλαδή τ καικό ειάγω έχει γωία 40 4. Σε κάθε τιµή της γωίας φ καικύ πλυγώυ της ης γραµµής τυ παρακάτω πίακα, ατιστιχίστε τη τιµή της κετρικής τυ γωίας της 2 ης γραµµής. φ 20 60 90 44 62 ω 8 90 20 36 60 Πρτειόµεη λύση Με τη βήθεια τυ τύπυ φ + ω = 80 εύκλα βρίσκυµε ότι 20 60, 60 20, 90 90, 44 36, 62 8

4 5. Να συµπληρώστε τ παρακάτω πίακα Κετρική Πλήθς Γωία φ γωία ω πλευρώ 65 5 24 35 45 8 62 8 20 40 40 9 08 72 5 60 20 3 Πρτειόµεη λύση η γραµµή φ + ω = 80 πότε ω = 80 65 = 5 και = 5 = 24 2 η γραµµή φ + ω = 80 πότε φ = 80 45 = 35 και = 45 = 8 3 η γραµµή ω = 20 = 8 πότε φ + ω = 80 άρα φ = 80 8 = 62 Οµίως στη 4 η γραµµή βρίσκυµε ω = 40 και = 9 στη 5 η γραµµή βρίσκυµε φ = 08 και = 5 στη 6 η γραµµή βρίσκυµε ω = 20 και φ = 60 Συµπληρωµές πίακας φαίεται παραπάω 6. Να εξετάσετε α υπάρχει καικό πλύγω µε γωία ξεία Πρτειόµεη λύση Α είαι τ πλήθς τω πλευρώ τυ πλυγώυ τότε ω = Και φ + ω = 80 άρα φ = 80 Για α είαι η γωία ξεία πρέπει φ < 90 άρα 80 < 90 > 90 < = 4 90 Επµέως τ ισόπλευρ τρίγω έχει γωία ξεία

5 7. Να κατασκευάσετε καικό πετάγω ΑΒΓ Ε. Να υπλγίσετε τις γωίες Α ΒΓ, Α Ε και Α ɵ Γ Να απδείξετε ότι κάθε διαγώιός τυ είαι παράλληλη σε µία πλευρά τυ. Πρτειόµεη λύση Η κετρική γωία ω τυ καικύ πεταγώυ είαι ω = 5 Κατασκευάζυµε έα κύκλ κέτρυ Ο και στη συέχεια µε κρυφή τ Ο πέτε διαδχικές επίκετρες γωίες ίσες µε 72 η κάθε µία. Α Α, Β, Γ,, και Ε είαι τα σηµεία στα πία ι πλευρές τω γωιώ τέµυ τ κύκλ, τότε τ πλύγω ΑΒΓ Ε είαι τ ζητύµε καικό πετάγω. = 72 Η γωία Α ΒΓ είαι γωία τυ πλυγώυ, πότε Α ΒΓ + ω = 80 άρα Α Ε Α ΒΓ= 80 72 = = 08 Επειδή ΕΑ = Ε, τ τρίγω ΑΕ είαι ισσκελές µε ΑΕ ɵ = 08. 80 08 Άρα κάθε µία από τις πρσκείµεες στη βάση τυ γωίες είαι 2 Επµέως Α Ε = 36 Είαι φαερό ότι ΑΓ ɵ = ΒΓ ɵ Γ ɵ = 08 36 = 72 Α ɵ Γ + Ε Γ = 72 + 08 = 80 επµέως ΑΓ // Ε Τ ίδι για τις υπόλιπες διαγωίυς Β Ο Γ = 36 8. Η κετρική γωία εός καικύ πλυγώυ είαι ίση µε τα 2 3 της γωίας τυ. Να υπλγίσετε τ πλήθς τω πλευρώ τυ. Πρτειόµεη λύση Είαι ω = 2 3 φ πότε η σχέση ω + φ = 80 γίεται Τότε ω = 80 08 = 72 2 3 φ + φ = 80 3 2 φ + 3φ = 3 80 3 5φ = 540 συεπώς φ = 08 Και = 72 = 5 ηλαδή τ πλύγω είαι καικό πετάγω

6 9. Να εξετάσετε α υπάρχει καικό πλύγω στ πί η κετρική τυ γωία είαι ίση µε τη γωία τυ πλυγώυ. Πρτειόµεη λύση ω = φ και ω + φ = 80 άρα 2ω = 80 άρα ω = 90 επµέως = 90 = 4 Πράγµα πυ σηµαίει ότι στ τετράγω η γωία είαι ίση µε τη κετρική τυ γωία 0. Α ΑΒΓ Ε είαι καικό πετάγω και Ζ διχτόµς της γωίας Α Ε, δείξτε ότι Ζ Γ. Πρτειόµεη λύση Η κετρική γωία ω τυ καικύ πεταγώυ είαι ω = = 72, πότε η γωία φ είαι φ = 80 72 = 08 5 Επειδή ΕΑ = Ε, τ τρίγω ΑΕ είαι ισσκελές µε ΑΕ ɵ = 08 Άρα κάθε µία από τις πρσκείµεες στη βάση τυ γωίες είαι Επµέως Α Ε = 36. Αλλά Ζ διχτόµς, άρα κάθε µία από τις γωίες ω είαι 8. Οπότε Ζ Γ = Ε Γ ω = 08 8 = 90 άρα Ζ Γ Α Ζ Ε 2 ω ω 80 08 Β Ο = 36 Γ

7. Να κατασκευάσετε καικό εξάγω εγγεγραµµέ σε κύκλ ακτίας ρ = 4cm Να βρείτε τη περίµετρ και τ εµβαδό τυ καικύ εξαγώυ Πρτειόµεη λύση. Η κετρική γωία ω τυ καικύ εξαγώυ είαι ω = = 60 6 Ε Κατασκευάζυµε έα κύκλ κέτρυ Ο και ακτίας ρ = 4 cm, και στη συέχεια µε κρυφή τ Ο έξη διαδχικές επίκετρες γωίες 60 η κάθε µία. Ζ Έστω Α, Β, Γ,, Ε και Ζ είαι τα σηµεία στα πία ι Ο πλευρές τω γωιώ τέµυ τ κύκλ. Τότε τ πλύγω ΑΒΓ ΕΖ είαι τ ζητύµε καικό Α Θ εξάγω. Αφύ ΟΑ = ΟΒ, τ τρίγω ΟΑΒ είαι ισσκελές. Και επειδή Α ΟΒ = 60, η κάθε µία από τις πρσκείµεες στη βάση τυ γωίες θα είαι επίσης 60. Συεπώς τ τρίγω είαι ισόπλευρ, επµέως ΑΒ = ΟΑ = 4cm Η περίµετρς Π τυ καικύ εξαγώυ είαι Π = 6 4 = 24 cm Έστω ΟΘ τ ύψς διάµεσς τυ ισπλεύρυ τριγώυ ΑΟΒ, τότε ΘΒ = 2cm. Από τ Πυθαγόρει στ ΟΘΒ έχυµε ότι ΟΘ 2 = ΟΒ 2 ΘΒ 2 = = 4 2 2 2 = = 6 4 = 2 άρα ΟΘ = 2 cm ΑΒ ΟΘ 4 2 Τ εµβαδό τυ τριγώυ ΟΑΒ είαι (ΑΟΒ) = = = 2 2 cm 2 2 2 Επµέως τ εµβαδό Ε τυ καικύ εξαγώυ είαι Ε = 6 (ΑΟΒ) = 2 2 cm 2 Β Γ