Δυναμική θεωρία της υψομετρίας (Βαρύτητα & Υψόμετρα)

Δυναμική θεωρία της υψομετρίας (Βαρύτητα & Υψόμετρα) Συστήματα Υψομέτρων Ένα σύστημα υψομέτρων είναι ένα μονοδιάστατο σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιείται για να εκφράσει τη μετρική απόσταση (ύψος) ενός σημείου από κάποια κατάλληλη επιφάνεια αναφοράς Ένα υψομετρικό πλαίσιο αναφοράς (vertical datum) είναι η πρακτική υλοποίηση ενός συστήματος υψομέτρων Συστήματα Υψομέτρων 2 είδη εκείνα που συνδέουν τον ορισμό των υψομέτρων με τις ισοδυναμικές επιφάνειες του γήινου πεδίου βαρύτητας και την διεύθυνση της κατακορύφου στα διάφορα σημεία της γήινης επιφάνειας και συνεπώς χρησιμοποιούν κυρτές πορείες για τον καθορισμό της απόστασης του εκάστοτε σημείου από την επιφάνεια αναφοράς εκείνα που αγνοούν το πεδίο βαρύτητας της Γης και την επίδραση του στα καθορισμένα υψόμετρα και χρησιμοποιούν ευθείες γεωμετρικές πορείες για τον καθορισμό της απόστασης του εκάστοτε σημείου ενδιαφέροντος από την επιφάνεια αναφοράς Το γεωμετρικό μοντέλο Δυναμικές γραμμές Το δυναμικό μοντέλο Ισοδυναμικές επιφάνειες W=σταθερό Συστήματα Υψομέτρων που συνδέονται με τις ισοδυναμικές επιφάνειες του γήινου πεδίου βαρύτητας έχουν πρακτικότερη χρήση & φυσική υπόσταση οι διαφορές του ύψους συγκεκριμένων σημείων χρησιμοποιούνται για τις ανάγκες της εφαρμοσμένης μηχανικής και των τεχνικών έργων ροή των ρευστών, π.χ., ένα σύστημα απορροής όμβριων υδάτων Αυτό που πραγματικά επηρεάζει τη φυσική ροή των υδάτων είναι η δύναμη της βαρύτητας και όχι το ύψος του ενός ή του άλλου σημείου υψόμετρα που αγνοούν την επίδραση της βαρύτητας: ροή προς τα πάνω Ισχύει το ίδιο για υψόμετρα από το GPS? Συστήματα γεωμετρικών υψομέτρων (πάνω από το ελλειψοειδές, π.χ. από GPS), επίσης παραμελούν την επίδραση της βαρύτητας Προφανώς και αυτά είναι ακατάλληλα για οποιαδήποτε εφαρμογή που λαμβάνει υπόψη τη ροή ρευστών Μπορεί να ικανοποιούν σημαντικές εφαρμογές εντοπισμού (π.χ. ψηφιακές κάμερες, LIDAR, βαρυτημετρικά βαθμιδόμετρα,...), αλλά... Τυχόν ανεξέλεγκτη χρήση τους αυξάνει την πιθανότητα ασυμβατότητας με άλλα δεδομένα (άλλους τύπους υψομέτρων) Υψομετρία τι εννοούμε; Προσδιορισμός υψομέτρων σε μεμονωμένα σημεία καθώς και υψομετρικών διαφορών μεταξύ σημείων στον περιορισμένο χώρο ενός μικρού έργου, μέχρι και σε όλη τη Γη ανάλογα με τις εκάστοτε ανάγκες Ενώ ο καθορισμός του υψομέτρου ενός σημείου είναι φαινομενικά απλός, το ύψος ενός σημείου μπορεί να καθοριστεί με σημαντικά διαφορετικούς τρόπους διαφορετική συντεταγμένη ύψους για το ίδιο σημείο (... σύγχυση?) 1

Υψομετρία τι απαιτείται; Ποια ποσότητα εκφράζει το υψόμετρο σε κάθε σημείο; και σε ποιο σύστημα αναφοράς υψομέτρων; Πως υλοποιείται αυτό; Τοπικά Σε περιφερειακή κλίμακα Σε παγκόσμια κλίμακα Αναγκαίο να ορισθούν επακριβώς Η επιφάνεια αναφοράς Η διεύθυνση στην οποία μετράται το υψόμετρο Κύρια είδη υψομέτρων με επιφάνεια αναφοράς το γεωειδές μετρώνται κατά μήκος της καθέτου στο γεωειδές Γεωμετρικά υψόμετρα με επιφάνεια αναφοράς το γεωκεντρικό ελλειψοειδές μετρώνται κατά μήκος της καθέτου στο ελλειψοειδές Γενικά h H στο ίδιο σημείο, ή/και Δh ΔH μεταξύ του ίδιου ζεύγους σημείων Στο σύστημα ορθομετρικών υψομέτρων ηεπιφάνεια αναφοράς ορίζεται από την ακριβή θέση που έχει η μέση στάθμη της θάλασσας (ΜΣΘ), και η φυσική κατακόρυφη διεύθυνση, ορίζεται προς τη κατεύθυνση στην οποία προσανατολίζεται το διάνυσμα της βαρύτητας στο σημείο ενδιαφέροντος g Στο σύστημα ορθομετρικών υψομέτρων Τόσο η ΜΣΘ είναι φυσική επιφάνεια, όσο και η διεύθυνση της κατακορύφου ορίζεται από φυσικούς νόμους Απλές μαθηματικές σχέσεις δεν αρκούν για τον ορισμό τους απώλεια ακρίβειας Υλοποίηση της ΜΣΘ σε διακριτά σημεία κατά μήκος των ακτογραμμών (παλιρροιογράφοι) από πλοία σε σημεία κατά μήκος της πορείας τους, από δορυφόρους αλτιμετρίας σε σημεία κατά μήκος του επίγειου ίχνους της τροχιάς τους Δορυφορική αλτιμετρία Δορυφορική αλτιμετρία 2

Μέση στάθμη της θάλασσας Από το 1993, κυρίως από τους αλτιμετρικούς δορυφόρους TOPEX/Poseidon και JASON, επιτρέπουν εκτιμήσεις της παγκόσμιας ΜΣΘ. Οι μετρήσεις βαθμονομούνται συνεχώς έναντι μετρήσεων από εκτεταμένα δίκτυα παλιρροιογράφων ανά τον κόσμο. Όταν αφαιρούνται οι εποχιακές και άλλες παραλλαγές, εκτιμάται το συνολικό ποσοστό των μεταβολών της ΜΣΘ. Με νέα δεδομένα, μοντέλα και οι διορθώσεις οι εκτιμήσεις αυτές αναθεωρούνται (περίπου κάθε δύο μήνες) για να βελτιώσουν την ποιότητά τους. Δορυφορική αλτιμετρία Στο σύστημα γεωμετρικών υψομέτρων Ηεπιφάνεια αναφοράς, το γεωκεντρικό ελλειψοειδές, αποτελεί και την επιφάνεια αναφοράς των οριζοντιογραφικών συντεταγμένων, και η κάθετη διεύθυνση στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς είναι μαθηματικά ορισμένη Γεωμετρικά υψόμετρα h είναι ευκολότερο να υπολογιστούν (π.χ. από GPS) με υψηλή ακρίβεια και γρήγορα Απόλυτα υψόμετρα; Απόλυτα - αναφέρονται ως προς το υψομετρική επιφάνεια αναφοράς που είναι επίσημα καθιερωμένη από Εθνικούς ή Διεθνείς Οργανισμούς π.χ. ΜΣΘ όπως ορίζεται από παλιρροιογράφους + υψομετρικές αφετηρίες (benchmarks) h = H + N Βασική σχέση 3

Προβολή Pizetti ή προβολή Helmert? Στην προβολή Pizetti οι προβολές της καθέτου από το σημείο Ρ και της κατακορύφου που διέρχεται από αυτό επί του ελλειψοειδούς ΔΕΝ ΣΥΜΠΙΠΤΟΥΝ Στην προβολή Helmert, θεωρείται ότι θ 0 ισχύει η απλή γεωμετρική σχέση h=h+n Η διαφορά μεταξύ των δύο προσεγγίσεων δεν έχει ουσιαστική πρακτική επίδραση στις διάφορες υψομετρικές εφαρμογές θ απόκλιση της κατακορύφου Υψόμετρα γεωειδούς Ν από το συνδυασμό γεωδυναμικών μοντέλων σφαιρικών αρμονικών και μετρήσεις βαρύτητας Η γνωστά σε σημεία του τριγωνομετρικού δικτύου και σε χωροσταθμικές αφετηρίες Προσδιορίζονται ( μεταφέρονται ) σε άλλα σημεία με γεωμετρική ή τριγωνομετρική χωροστάθμηση Γ.Χ. ακριβέστερη της Τ.Χ. Γεωμετρικά υψόμετρα h υλοποιούνται απευθείας από μετρήσεις GPS Γεωειδές (ΜΣΘ) Φυσική επιφάνεια Ελλειψοειδές Υψόμετρα γεωειδούς από μοντέλα του γήινου δυναμικού σε σφαιρικές αρμονικές Υψόμετρα γεωειδούς από μοντέλα του γήινου δυναμικού σε σφαιρικές αρμονικές Υψόμετρα γεωειδούς από μοντέλα του γήινου δυναμικού σε σφαιρικές αρμονικές Σχετικά υψόμετρα Σχετικά - αναφέρονται σε ένα αυθαίρετο τοπικό σύστημα αναφοράς υψομέτρων το οποίο μπορεί και να ορισθεί προσωρινά συνήθως από γεωμετρική χωροστάθμηση (μέτρηση της υψομετρικής διαφοράς μεταξύ γειτονικών σημείων, όπου επιφάνεια αναφοράς είναι ο τοπικός ορίζοντας που καθορίζεται από την οριζοντίωση του χωροβάτη) δh = δη + δν 4

Επίδραση της μη-επαλληλίας των ισοδυναμικών επιφανειών Οι φυσικές παραλλαγές της βαρύτητας προκαλούν μια ομαλή, συνεχή, καμπυλότητα (κυρτότητα) στη διεύθυνση της κατακορύφου από σημείο σε σημείο Οι φυσικές ισοδυναμικές επιφάνειες που είναι κάθετες στη διεύθυνση της πραγματικής βαρύτητας δεν είναι γεωμετρικά παράλληλες μεταξύ τους. Στο πεδίο, τόσο οι σταδίες όσο και οι χωροβάτες που χρησιμοποιούνται ευθυγραμμίζονται με την κατεύθυνση της τοπικής κατακορύφου (δηλαδή, το διάνυσμα της βαρύτητας) σε κάθε σημείο μιας μέτρησης υψομέτρου g Δυναμικές γραμμές g Ισοδυναμικές επιφάνειες W=σταθερό Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα Ανάλογα με τις εφαρμογές Εάν σε κάποιο σημείο είναι γνωστά δύο από τα υψόμετρα h, H, N εύκολα προκύπτει το τρίτο, π.χ. Εάν έχουμε γεωμετρικά υψόμετρα από GPS σε σειρά σημείων + υψόμετρα παρόμοιας ακρίβειας από ένα μοντέλο του γεωειδούς μπορούμε να προσδιορίσουμε ορθομετρικά υψόμετρα στα ίδια σημεία, χωρίς την ανάγκη γεωμετρικής ή τριγωνομετρικής χωροστάθμησης Εάν έχουμε σε σειρά σημείων γεωμετρικά υψόμετρα από GPS και ορθομετρικά υψόμετρα στα ίδια σημεία από γεωμετρική χωροστάθμηση μπορούμε να προσδιορίσουμε υψόμετρα του γεωειδούς απευθείας από γεωμετρική πληροφορία και όχι από μετρήσεις βαρύτητας Με πολύ λιγότερο οικονομικό και υπολογιστικό κόστος Ακρίβεια προσδιορισμού υψομέτρων Τα σφάλματα των h και N (ή των h και Η) επιδρούν στα σφάλματα προσδιορισμού των Η (ή τωνν) σ Η2 = σ h2 + σ N2 ή σ Ν2 = σ h2 + σ Η 2 σ ΔΗ2 = σ Δh2 + σ ΔΝ2 ή σ ΔΝ2 = σ Δh2 + σ ΔΗ 2 Τυπικά: σ Δh =1-2 ppm από GPS για βάσεις μέχρι 100 km, και από γεωμετρική χωροστάθμηση σ ΔH =4-8 mm S για S από 1-2 km σ Δh =2-4 ppm για σημεία των δικτύων 1ης και 2ης τάξης (μέχρι 100 km) Αναμενόμενη ακρίβεια προσδιορισμού υψομέτρων Γεωμετρικά υψόμετρα από GPS < 2 cm (ανάλογα με το μήκος των βάσεων) Υψόμετρα γεωειδούς 2.5 cm συσχετισμένα σφάλματα (τυχαία περίπου στα 40 km) Σχετικές διαφορές με ακρίβεια < 1 cm στα 10 km 4.6 cm RMS από τη μέση τιμή από χωροστάθμηση Ακρίβεια <1 cm στα 10 km για χωροστάθμηση 3ης τάξης Οι μετρήσεις ορθομετρικών υψομέτρων εξαρτώνται από την πορεία της χωροστάθμησης δh AB = δh BC Ηπραγματική σχέση μεταξύ των χωροσταθμικών διαφορών δl και των αντιστοίχων υψομετρικών διαφορών δh μεταξύ δύο σημείων ΔΗ ΑΓ δh AB + δh BC Γ Γ δh τοπικές χωροσταθμικές υψομετρικές διαφορές από σημείο σε σημείο ΔΗ Σχετικές υψομετρικές διαφορές δh τοπικές χωροσταθμικές υψομετρικές διαφορές από σημείο σε σημείο ΔΗ Σχετικές υψομετρικές διαφορές 5

επειδή από κάθε σημείο στο χώρο διέρχεται μία και μόνο μια ισοδυναμική επιφάνεια, συνάγεται εύκολα ότι υπάρχει μια και μόνο μία τιμή του γήινου δυναμικού W που σχετίζεται με το εν λόγω σημείο. Ισοδυναμικές επιφάνειες και ορθομετρικά υψόμετρα Ισοδυναμικές επιφάνειες (=επιφάνειες ίσου δυναμικού W) P W P Γήινη επιφάνεια κατακόρυφος ΜΣΘ P O Γεωειδές W O Γ Ωκεανός Γεωδυναμικός αριθμός δh τοπικές χωροσταθμικές υψομετρικές διαφορές από σημείο σε σημείο ΔΗ Σχετικές υψομετρικές διαφορές H (Ορθομετρικό υψόμετρο) = Απόσταση κατά μήκος της κατακορύφου (από P O στο P) Το ποσοστό του έργου που απαιτείται για τη μετατόπιση μιας μοναδιαίας μάζας, κατά μήκος οποιασδήποτε πορείας στην επιφάνεια ή στο εσωτερικό της Γης Ισοδυναμικές επιφάνειες και γεωδυναμικοί αριθμοί Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται είτε κατά μήκος των τμημάτων dl στη γήινη επιφάνεια, είτε στα σημεία κατά μήκος της διεύθυνσης της κατακορύφου g πραγματική βαρύτητα στα σημεία στην επιφάνεια g (άγνωστη) πραγματική βαρύτητα στα σημεία στο εσωτερικό της Γης κατά μήκος της διεύθυνσης της κατακορύφου ήστην πράξη Ισοδυναμικές επιφάνειες και γεωδυναμικοί αριθμοί Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται είτε κατά μήκος των τμημάτων dl στη γήινη επιφάνεια, είτε στα σημεία κατά μήκος της διεύθυνσης της κατακορύφου g πραγματική βαρύτητα στα σημεία στην επιφάνεια g (άγνωστη) πραγματική βαρύτητα στα σημεία στο εσωτερικό της Γης κατά μήκος της διεύθυνσης της κατακορύφου ήστην πράξη Μέση βαρύτητα μεταξύ γειτονικών σημείων Ισοδυναμικές επιφάνειες και γεωδυναμικοί αριθμοί g πραγματική βαρύτητα στα σημεία στην επιφάνεια g (άγνωστη) πραγματική βαρύτητα στα σημεία στο εσωτερικό της Γης κατά μήκος της διεύθυνσης της κατακορύφου Ιδιότητες των γεωδυναμικών αριθμών Είναι μοναδικοί για κάθε συγκεκριμένο σημείο Για κάθε κλειστή γραμμή ισχύει δηλαδή οι γ.α. είναι ανεξάρτητοι από την ακολουθούμενη πορεία μεταξύ του γεωειδούς και του εκάστοτε σημείου ενδιαφέροντος στην γήινη επιφάνεια κάτι που δεν ισχύει για τις χωροσταθμικές Μονάδες: διαφορές dl μεταξύ των σημείων μιας geopotential units, units, κλειστής χωροσταθμικής όδευσης 1 gpu gpu = 1 kgal kgal m = Οι γ.α. λαμβάνουν 10 10 m 2 2 /s /s 2 2 θετικές τιμές για σημεία πάνω από το γεωειδές, C = g dh dh 0.98 0.98 H μηδενικές τιμές στο γεωειδές, αρνητικές κάτω από το γεωειδές και είναι σταθεροί από σημείο σε σημείο στην ίδια ισοδυναμική επιφάνεια του πεδίου βαρύτητας Οι διαφορές δc μπορούν να υπολογιστούν από μετρήσεις της βαρύτητας σε οποιοδήποτε σημεία της γήινης επιφάνειας 6

Υψόμετρα βασισμένα σε γεωδυναμικούς αριθμούς Δυναμικά υψόμετρα όπου g R =αντιπροσωπευτική τιμή της βαρύτητας στην περιοχή ενδιαφέροντος (π.χ. μια ολόκληρη χώρα ή μερικές γειτονικές χώρες) Ητιμήg R μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συντελεστής κλίμακας για τον μετασχηματισμό των γεωδυναμικών αριθμών στασημείατηςπεριοχής από μονάδες δυναμικού σε μονάδες μήκους. Τυπικά χρησιμοποιείται H dyn = C / γ 45 γ 45 = κανονική βαρύτητα σε φ=45 το δυναμικό υψόμετρο ενός σημείου δεν πρέπει να εκλαμβάνεται ως η γεωμετρική απόσταση μεταξύ του σημείου και του γεωειδούς σημεία στην ίδια ισοδυναμική επιφάνεια έχουν ίδια δυναμικά υψόμετρα στην πράξη, π.χ. σημεία στην επιφάνεια μιας λίμνης έχουν ίδια δ.υ. Δυναμικά υψόμετρα Σημαντικού μεγέθους H = C / g g = μέση πραγματική βαρύτητα κατά μήκος της κατακορύφου μπορούν να θεωρηθούν ως οι πραγματικές κατακόρυφες αποκλίσεις τηςγήινηςεπιφάνειαςαπό το γεωειδές Ανάλογα με την υπόθεση που χρησιμοποιείται όσον αφορά τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται η πυκνότητα ρ στο εσωτερικό της Γης διαφορετικά ορθομετρικά υψόμετρα κατακόρυφη βαθμίδα των Poincaré Pray Θεωρητικά, η τιμή g' δεν μπορεί να υπολογιστεί αφού κάτι τέτοιο προϋποθέτει γνώση της κατανομής των υπεδάφιων μαζών και την πυκνότητα της Γης σε κάθε σημείο στο εσωτερικό της Κατακόρυφη βαθμίδα ελεύθερου αέρα Ως μέση πυκνότητα της Γης, ρ = 2.67 gr/cm 3 κατά τον Helmert κατά τον Helmert g, σε mgal H, σε m Ως τιμή H Pi μπορεί να ληφθεί το μετρούμενο (από τη γεωμετρική χωροστάθμηση) ύψος του σημείου ενδιαφέροντος πάνω από τη μέση στάθμη της θάλασσας ητιμή 0.0424 mgal/m θεωρείται πολύ μικρή για να είναι αντιπροσωπευτική των μεταβολών της βαρύτητας για ολόκληρο το χώρο μεταξύ της γήινης επιφάνειας και του γεωειδούς Αν θεωρηθεί ότι η λιθόσφαιρα είναι σε υδροστατική ισορροπία ητιμή g' διαφέρει από σημείο σε σημείο στην γήινη επιφάνεια, συνάγεται εύκολα ότι τα ορθομετρικά υψόμετρα σημείων που βρίσκονται στην ίδια ισοδυναμική επιφάνεια θα διαφέρουν μεταξύ τους. 7

κατά τον Helmert Διαφορές ορθομετρικών υψομέτρων μεταξύ σημείων μπορεί να ερμηνευτεί ως μια δυναμική διόρθωση για την κλειστή πορεία μεταξύ των σημείων Ορθομετρική διόρθωση κατά τον Helmert Χαρακτηριστικές ιδιότητες Στον ορισμό τους αγνοούνται οι πλευρικές διακυμάνσεις της πυκνότητας στο εσωτερικό της Γης σφάλματα μέχρι και ±50 cm, ανάλογα με τις διακυμάνσεις της πραγματικής πυκνότητας από το γεωειδές μέχρι το σημείο ενδιαφέροντος το μεγαλύτερο μειονέκτημα των ορθομετρικών υψομέτρων είναι ότι δεν ορίζονται με μοναδικό τρόπο στην πραγματικότητα δεν αναφέρονται στο γεωειδές αλλά σε μια άλλη επιφάνεια αναφοράς, που απέχει λιγότερο ή περισσότερο από αυτό ανάλογα με τον τρόπο υπολογισμού της μέσης βαρύτητας που χρησιμοποιείται στον ορισμό τους τα διαφορετικά ορθομετρικά υψόμετρα (αδιάκριτα από τον τρόπο καθορισμό τους) συμπίπτουν για τα σημεία στην επιφάνεια της θάλασσας Κανονικά υψόμετρα και υψόμετρα βασισμένα στην κανονική βαρύτητα Το 1954, ο Molodensky προτείνει αφού τα ορθομετρικά υψόμετρα δεν είναι δυνατόν να υπολογιστούν με μοναδικό τρόπο να χρησιμοποιούνται κανονικά υψόμετρα, τα οποία δεν εκφράζουν την απόσταση των σημείων ενδιαφέροντος στην γήινη επιφάνεια από το γεωειδές, αλλά σχετίζονται με εναλλακτικές επιφάνειες αναφοράς Το τελλουροειδές (telluroid) Το σχεδόν-γεωειδές (quasi-geoid) μια καθαρά μαθηματική επιφάνεια (χωρίς φυσική σημασία) που απέχει από το γεωειδές το πολύ μερικά μέτρα και συμπίπτει με αυτό στη θαλάσσια επιφάνεια που δεν εξαρτώνται από οποιαδήποτε υπόθεση για τις μεταβολές της βαρύτητας στο εσωτερικό της Γης, και εξυπηρετούν καλύτερα τις μοντέρνες γεωδαιτικές θεωρήσεις Κανονικά υψόμετρα και υψόμετρα βασισμένα στην κανονική βαρύτητα QQ o = ΡΡ = Η* ή Η Ν κανονικό υψόμετρο PP o =Η Ρ ο Q o Ρ ο Q o =N ΡQ o ΡQ o =h ΡQ = Ρ Q o = ζ ανωμαλία ύψους (του γεωειδούς) Υψόμετρα βασισμένα σε γεωδυναμικούς αριθμούς Κανονικά υψόμετρα H* = C / γ γ = μέση τιμή της κανονικής βαρύτητας κατά μήκος της κατακορύφου Δυναμικά υψόμετρα H dyn = C / γ 45 γ 45 = κανονική βαρύτητα σε φ=45 H = C / g g = μέση πραγματική βαρύτητα κατά μήκος της κατακορύφου Υψόμετρα Helmert H = C / (g + 0.0424 H 0 ) g = μέτρηση πραγματική βαρύτητας στη γήινη επιφάνεια, Η ο = προσεγγιστικήτιμήτουη 8