Μ ά θ η μ α «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μ ά θ η μ α «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» (Ανάλυση Μονοφασικών Κυκλωμάτων) Γεώργιος Περαντζάκης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός ΕΜΠ 216

Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών Η διέγερση γραμμικών κυκλωμάτων από πηγές τάσης ΕΡ προκαλεί επίσης ρεύματα ΕΡ ημιτονοειδούς μορφής στους κλάδους του κυκλώματος. Το δίκτυο διανομής ηλεκτρικής ενέργειας (ΔΕΗ) παρέχει στους καταναλωτές τάση ΕΡ και οι καταναλωτές με γραμμικά φορτία απορροφούν από το δίκτυο εναλλασσόμενα ημιτονοειδή ρεύματα. Η ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων ΕΡ πραγματοποιείται είτε στο πεδίο του χρόνου είτε στο πεδίο της συχνότητας. Στο πεδίο του χρόνου, οι αποκρίσεις των κυκλωμάτων είναι ημιτονοειδείς ή εκθετικές συναρτήσεις του χρόνου και αντιπροσωπεύουν τα πραγματικά φυσικά μεγέθη του κυκλώματος. 2

Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών Στο πεδίο της συχνότητας, τα μεγέθη του κυκλώματος παριστάνονται, με κατάλληλο μετασχηματισμό, ως σταθερά διανύσματα και δίνονται σε πολική ή μιγαδική μορφή. Με το μετασχηματισμό από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας απλοποιείται η ανάλυση και η επίλυση κυκλωμάτων ΕΡ μόνο στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας. Τα κυκλώματα ΕΡ που εξετάζονται εδώ είναι γραμμικά, δηλαδή οι αντιστάτες, τα πηνία και οι πυκνωτές θεωρείται ότι έχουν σταθερή τιμή αντίστασης R, συντελεστή αυτεπαγωγής L και χωρητικότητας C αντίστοιχα. Υπό τις συνθήκες αυτές, όταν η τάση διέγερσης του κυκλώματος είναι εναλλασσόμενη ημιτονοειδή, τότε και τα ρεύματα και οι τάσεις στους κλάδους του κυκλώματος είναι εναλλασσόμενα ημιτονοειδή μεγέθη. Οι ηλεκτρικές μηχανές που θα εξεταστούν στη συνέχεια θεωρείται ότι αποτελούν γραμμικά φορτία για το δίκτυο της ΔΕΗ. 3

Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών Στην περίπτωση που ένα κύκλωμα (φορτίο) τροφοδοτείται (διεγείρεται) από εναλλασσόμενη ημιτονοειδή τάση σταθερής συχνότητας και τα ρεύματα στους κλάδους είναι μεν εναλλασσόμενα περιοδικά μεγέθη όχι όμως ημιτονοειδή, τότε το κύκλωμα αυτό έχει μη γραμμική συμπεριφορά ή το φορτίο είναι μη γραμμικό. Κυκλώματα με μη γραμμική συμπεριφορά έχουν ηλεκτρικά στοιχεία, των οποίων η τιμή των R, L και C δεν έχει σταθερή τιμή ή διαφορετικά η χαρακτηριστική τους δεν είναι ευθεία γραμμή. Διατάξεις ηλεκτρονικών ισχύος που χρησιμοποιούνται στον έλεγχο λειτουργίας των ηλεκτρικών μηχανών (ρύθμιση στροφών, ροπής κ.λπ. κινητήρων) απορροφούν από το δίκτυο της ΔΕΗ εναλλασσόμενο ρεύμα, περιοδικό όχι όμως ημιτονοειδές, δηλαδή συνιστούν για τη ΔΕΗ ένα μη γραμμικό φορτίο. Αυτό οφείλεται στον τρόπο λειτουργίας των διατάξεων αυτών και στο γεγονός ότι διαθέτουν ημιαγωγά στοιχεία με μη γραμμική χαρακτηριστική. 4

Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών στο Χρόνο Απόκριση κυκλώματος με ημιτονοειδή διέγερση στο πεδίο του χρόνου Κατά την επίλυση κυκλώματος ΕΡ στο πεδίο του χρόνου επιχειρείται η εύρεση των χρονικών συναρτήσεων των στιγμιαίων τιμών των ρευμάτων και των τάσεων των κλάδων του κυκλώματος. ( ) = sinω v t V t s o 5

Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών στο Χρόνο Με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff στο μοναδικό βρόχο του κυκλώματος προκύπτει ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) + ( ) ( ) v t v t v t v t v t v t s R L s R L di t V sinωt= Ri( t) + L dt Πρόκειται για γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Θεωρώντας αρχικές συνθήκες: για t = + το ρεύμα του πηνίου είναι i( + ) = (A), η λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνει: R V V t L it ( ) = iss ( t) + itr ( t) = sin ( ωt ϕ) + e sinϕ 2 2 2 2 R + L R + L ( ω L) ( ω ) R V t L it ( ) = sin ( ωt ϕ) + e sinϕ 2 2 R + ( ω ) 6

Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών στο Χρόνο Το ρεύμα του κυκλώματος περιέχει δύο όρους (συνιστώσες) ρεύματος Τη μόνιμη συνιστώσα (steady state) του ρεύματος, i ss (t), η οποία περιγράφει την τιμή του ρεύματος στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας του κυκλώματος, V i ( ) SS t t I t R + ( ω L) ( ω ϕ) sin ( ω ϕ) = sin = 2 2 Τη μεταβατική συνιστώσα (transient) του ρεύματος, i tr (t), η οποία εκφράζει το μεταβατικό φαινόμενο της απόκρισης, V R t ( ) L itr t = e sinϕ= I 2 sinϕ e 2 R + ω L ( ) R L t 7

Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών στο Χρόνο Η μόνιμη συνιστώσα του ρεύματος είναι μια ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου με αρχική φάση φ. Δηλαδή, η κυματομορφή του ρεύματος i ss (t) καθυστερεί ως προς την τάση της πηγής κατά γωνία φ και αυτό συμβαίνει σε κάθε κύκλωμα με γραμμικά στοιχεία R-L. Η γωνία φ ονομάζεται γωνία φορτίου, 1 ω L ϕ = tan R Η μεταβατική συνιστώσα του ρεύματος είναι μια εκθετικά φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου, η τιμή της οποίας θεωρητικά μηδενίζεται στο άπειρο, πρακτικά όμως μετά από χρόνο περίπου 4*(R/L) που αντιστοιχεί σε μερικές περιόδους ρεύματος. Η ποσότητα τ = L/R σε (s) ονομάζεται σταθερά χρόνου του κυκλώματος R-L και είναι ένα μέτρο του κατά πόσο γρήγορα ή αργά μηδενίζεται η μεταβατική συνιστώσα του ρεύματος μέσα στο κύκλωμα. 8

Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών στο Χρόνο Η χρονική απόκριση του ρεύματος κυκλώματος με ωμικό-επαγωγική συμπεριφορά, έχει ιδιαίτερη αξία στη μελέτη βιομηχανικών ηλεκτρικών εγκαταστάσεων, αφού τα ηλεκτρικά φορτία των εγκαταστάσεων αυτών έχουν συνήθως ωμικό-επαγωγική συμπεριφορά (π.χ. μετασχηματιστές, ηλεκτρικοί κινητήρες κλπ.). Με το κλείσιμο του διακόπτη S το ρεύμα αποκτά μια μέγιστη στιγμιαία τιμή, η οποία οφείλεται στη συμβολή της μεταβατικής και μόνιμης συνιστώσας του ρεύματος. Η στιγμιαία αυτή τιμή προκαλεί δυναμική και θερμική καταπόνηση στα ηλεκτρικά μέρη της εγκατάστασης (π.χ. ζυγοί ηλεκτρικών πινάκων, τυλίγματα μετασχηματιστών υψηλής τάσης, αυτόματοι διακόπτες ισχύος κλπ.), τα οποία μπορεί και να τα καταστρέψει. Επομένως, κατά τη διαστασιολόγηση βιομηχανικού ηλεκτρικού εξοπλισμού πρέπει να λαμβάνεται υπόψη η δυναμική και η θερμική καταπόνηση που υφίσταται ο εξοπλισμός αυτός κατά τη σύνδεση και αποσύνδεση του φορτίου από το δίκτυο, αλλά και σε συνθήκες σφάλματος. 9

Διανυσματική Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών Η ανάλυση σύνθετων κυκλωμάτων ΕΡ στο πεδίο του χρόνου απαιτεί την επίλυση συστήματος ολοκληροδιαφορικών εξισώσεων για την εύρεση των χρονικών αποκρίσεων των ρευμάτων στους κλάδους του κυκλώματος, διαδικασία επίπονη και χρονοβόρα. Στις περισσότερες περιπτώσεις, ενδιαφέρει μόνο η μόνιμη κατάσταση λειτουργίας του κυκλώματος, π.χ. των ηλεκτρικών μηχανών και ηλεκτρικών εγκαταστάσεων, όπου το φορτίο απορροφά τη μόνιμη συνιστώσα ρεύματος, i ss (t). Η εύρεση της απόκρισης της μόνιμης συνιστώσας ενός κυκλώματος ΕΡ με ημιτονοειδή διέγερση απλοποιείται κατά πολύ με τη βοήθεια του μετασχηματισμού από το πεδίο του χρόνου (time domain) στο πεδίο της συχνότητας (frequency domain). Με το μετασχηματισμό αυτό, οι ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις, που προκύπτουν με εφαρμογή των κανόνων του Kirchhoff, μετατρέπονται σε απλές αλγεβρικές εξισώσεις. 1

Διανυσματική Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών Μετασχηματισμός μεγεθών ΕΡ από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας Είναι γνωστό από τα μαθηματικά ότι ημιτονοειδή σήματα (π.χ. τάσης και ρεύματος) μπορούν να θεωρηθούν ως εκθετικά σήματα με μιγαδικό εκθέτη. Το εκθετικό σήμα που περιγράφει το ημιτονοειδές σήμα έχει τη μορφή: ( ) ± jωt =, = 1 xt Ae j Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο του Euler, το εκθετικό σήμα διατυπώνεται στο μιγαδικό επίπεδο ως, m ± jωt e = cosωt± jsinωt ( ) = cosω ± sin x t A t ja ωt του οποίου οι όροι είναι ημιτονοειδείς συναρτήσεις. m m 11

Διανυσματική Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών Αν και η μιγαδική μορφή ενός σήματος δεν έχει φυσική σημασία, εντούτοις οι όροι του μιγαδικού σήματος παριστάνουν φυσικές ποσότητες, δηλαδή πραγματικά μεγέθη τάσεις ή ρεύματα, ± jωt { xt ( )} = { Ae m } = Am ωt ( ) Re Re cos ± jωt { } { m } Im xt = Im Ae =± Asinωt Στη γενικότερη περίπτωση, το εκθετικό σήμα με φανταστικό εκθέτη έχει τη μιγαδική μορφή με μέτρο και όρισμα, ( ) ( ωt ϕ) ( ω ϕ) sin ( ω ϕ) ± j + m m m x t = A e = A cos t+ ± ja t+ ( ) ( ωt ϕ) ( ω ϕ) sin ( ω ϕ) ± j + cos 2 2 m m m xt = Ae = A t+ + t+ = A m { ( )} { xt ( )} xt ( ) ( ωt ϕ) Im ± sin + arg xt = tan = tan = tan ± tan t+ =± t+ 1 1 1 { ( ω ϕ) } ( ω ϕ) Re{ } cos( ωt + ϕ) 12

Διανυσματική Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών Κάθε εκθετικό σήμα μπορεί να παρασταθεί στο μιγαδικό επίπεδο ως ένα διάνυσμα με μέτρο A m και όρισμα ±(ωt + φ), Επειδή το όρισμα του διανύσματος αυξάνεται σταθερά με το χρόνο κατά την ποσότητα ωt, αυτό σημαίνει ότι πρόκειται για στρεφόμενο διάνυσμα με σταθερή γωνιακή συχνότητα ω(rad/s). Ως θετική φορά περιστροφής του διανύσματος λαμβάνεται η αντίθετη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού. Πολική μορφή του εκθετικού σήματος, X= xt xt = A ± t+ ( ) arg ( ) { } ( ω ϕ) m 13

Διανυσματική Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών Τα προηγούμενα συμπεράσματα δίνουν τη δυνατότητα της διατύπωσης ημιτονοειδών μεγεθών τάσης και ρεύματος ως εκθετικά σήματα, j( ω t+ ϕ ) j( ω t+ θ ) V= Ve, I= Ie το πραγματικό μέρος των οποίων εκφράζει τις ημιτονοειδείς κυματομορφές των μεγεθών στο πεδίο του χρόνου, Re Re Re cos sin cos j( ωt+ ϕv ) ( V) = Ve = { V ( ωt+ ϕv ) + j ( ωt+ ϕv ) } = V ( ωt+ ϕv ) = vt ( ) j( ωt+ ϕi ) ( I) = Ie = { I ( ωt+ ϕi) + j ( ωt+ ϕi) } = I ( ωt+ ϕi) = it ( ) Re Re Re cos sin cos Επομένως, τα ημιτονοειδή μεγέθη ΕΡ της τάσης και του ρεύματος μπορούν να παρασταθούν ως διανύσματα με μέτρο και όρισμα, τα οποία στρέφονται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, ω=2πf, και με σταθερή φασική διαφορά μεταξύ τους. 14

Διανυσματική Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών Όμως, επειδή τα δύο διανύσματα περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή συχνότητα ω, η μεταξύ τους σχετική θέση παραμένει αμετάβλητη. Αυτό σημαίνει ότι, ένας παρατηρητής που κινείται με την ίδια γωνιακή συχνότητα και με την ίδια φορά περιστροφής με αυτή των δύο διανυσμάτων βλέπει τα δύο διανύσματα ακίνητα και μετατοπισμένα το ένα ως προς το άλλο κατά τη γωνία φ θ. 15

Διανυσματική Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών Επομένως, η μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας απαλείφει το χρόνο και για την παράσταση στρεφόμενου διανύσματος στο πεδίο της συχνότητας απαιτούνται το μέτρο ή πλάτος, η συχνότητα και η αρχική φάση του σήματος. Παράδειγμα Ημιτονοειδές σήμα τάσης που παρέχει πηγή ΕΡ της μορφής: ( ) = 23cos( 1 + 5) vt t V με γωνιακή ταχύτητα και συχνότητα, ω= 1 rad / s, f = 1 / 2π Hz μπορεί να παρασταθεί με στρεφόμενο διάνυσμα σε πολική μορφή: V = 23 5 ( V) 16

Διανυσματική Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών και σε μιγαδική μορφή: V = 23 cos5 + j sin 5 = 147,84+ j176,19 ( V) ( ) Ο μετασχηματισμός στο πεδίο της συχνότητας (διανυσματική παράσταση) δεν έχει καμία φυσική σημασία, αφού δεν εκφράζει τη στιγμιαία τιμή του σήματος, πραγματοποιείται δε μόνο για την απλοποίηση της επίλυσης κυκλωμάτων ΕΡ στη μόνιμη κατάσταση. Για να βρεθεί η πραγματική λύση, δηλαδή η στιγμιαία τιμή του χρονικά μεταβαλλόμενου σήματος, πρέπει να πραγματοποιηθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου. 17

Διανυσματική Παράσταση Εναλλασσόμενων Μεγεθών Παράδειγμα Έστω το σταθερό διάνυσμα ρεύματος στο πεδίο της συχνότητας στην πολική μορφή: I = 45 3 ( A) με πλάτος ρεύματος (ή RMS τιμή) 45 (Α) και αρχική φάση -3. Εάν η συχνότητα του ρεύματος είναι f = 5(Hz) και η γωνιακή συχνότητα ω = 2 π f = 314 (rad/s), τότε το παραπάνω ρεύμα στο πεδίο της συχνότητας αντιστοιχεί στο ημιτονοειδές σήμα στο πεδίο του χρόνου: ( ) ( = ) it 45cos 314t 3 ( A) 18

Διαδικασία Επίλυσης Κυκλωμάτων ΕΡ Για την επίλυση ενός κυκλώματος ΕΡ στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας, μετασχηματίζουμε τις τάσεις, τα ρεύματα και τις αντιστάσεις των ηλεκτρικών στοιχείων του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας και επιλύουμε το κύκλωμα με απλές αλγεβρικές πράξεις (μιγαδικών αριθμών). Από την επίλυση του κυκλώματος, προκύπτουν τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος και οι τάσεις στα άκρα των στοιχείων στο πεδίο της συχνότητας. Στη συνέχεια, με εφαρμογή του αντίστροφου μετασχηματισμού, μετατρέπουμε τις ποσότητες αυτές στο πεδίο του χρόνου που εκφράζουν τις πραγματικές κυματομορφές των μεγεθών αυτών. 19

Μετασχηματισμός στο Πεδίο της Συχνότητας Μετασχηματισμός ωμικής αντίστασης (αντιστάτης) στο πεδίο της συχνότητας Κύκλωμα στο πεδίο του χρόνου ( ) = ( ω + ϕ) v sin ( ) R t V t V ( ) vr t V i ( ) R t = = sin ( ωt+ ϕ) ( A) R R Οι κυματομορφές τάσης και ρεύματος σε αντιστάτη είναι μεγέθη συμφασικά, δηλαδή το ρεύμα και η τάση αποκτούν την ίδια στιγμή τη μέγιστη θετική, ελάχιστη αρνητική και μηδενική τιμή τους. 2

Μετασχηματισμός στο Πεδίο της Συχνότητας Μετασχηματισμός ωμικής αντίστασης (αντιστάτης) στο πεδίο της συχνότητας Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας V IR = = I ( A) R ϕ ϕ V R = R I R Από το πολικό διάγραμμα, φαίνεται ότι τα διανύσματα της τάσης και του ρεύματος της αντίστασης στο πεδίο της συχνότητας είναι συμφασικά (έχουν την ίδια φάση), άρα συγγραμμικά. Η αντίσταση R δεν επηρεάζεται από το μετασχηματισμό στο πεδίο της συχνότητας. VR = V ϕ ( V) 21

Μετασχηματισμός στο Πεδίο της Συχνότητας Μετασχηματισμός αυτεπαγωγής στο πεδίο της συχνότητας Κύκλωμα στο πεδίο του χρόνου Τάση και ρεύμα πηνίου ( ) = ( ω + ϕ) v cos ( ) L t V t V 1 t L ( ) ( ) i t = v t dt L t 1 V V π il( t) = vl( t) dt = ( ωt + ϕ) = ωt ϕ A L Lω Lω + 2 Από τη σύγκριση των v L (t) και i L (t), προκύπτει ότι στο πηνίο η κυματομορφή του ρεύματος καθυστερεί της τάσης κατά -9 ο. sin cos ( ) 22

Μετασχηματισμός στο Πεδίο της Συχνότητας Το ρεύμα στο πηνίο στο πεδίο του χρόνου καθυστερεί της τάσης που εφαρμόζεται στα άκρα του κατά π/2 = -9 Ο. 23

Μετασχηματισμός στο Πεδίο της Συχνότητας Μετασχηματισμός αυτεπαγωγής στο πεδίο της συχνότητας Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας Τάση και ρεύμα πηνίου VL = V ϕ ( V) I L V π = ϕ ( A) Lω 2 Το διάνυσμα του ρεύματος πηνίου στο πεδίο της συχνότητας καθυστερεί ως προς το διάνυσμα της τάσης κατά γωνία π/2 = - 9 ο. 24

Μετασχηματισμός στο Πεδίο της Συχνότητας Ο λόγος της τάσης στα άκρα του πηνίου προς το ρεύμα που το διαρρέει δίνει την αντίσταση του πηνίου στο πεδίο της συχνότητας, X L VL X = L = L 2= L e = jl I L jπ 2 ω π ω ω Το μέγεθος ονομάζεται επαγωγική αντίδραση (inductive reactance) του πηνίου, έχει διαστάσεις (Ω) και είναι το ανάλογο της αυτεπαγωγής για το πεδίο της συχνότητας. Το μέτρο και το όρισμα της επαγωγικής αντίδρασης είναι: π X = Lω, X = Με εφαρμογή του νόμου του Ohm στο πεδίο της συχνότητας, η τάση στα άκρα του πηνίου είναι: V = X I = jlω I L L L L L L 2 25

Μετασχηματισμός στο Πεδίο της Συχνότητας Το αντίστροφο της επαγωγικής αντίδρασης I L 1 π 1 jπ 2 1 B = L = = e = j V Lω 2 Lω Lω L ονομάζεται επαγωγική επιδεκτικότητα (inductive susceptance), έχει διαστάσεις αγωγιμότητας, μετράται σε (S) και έχει μέτρο και όρισμα B L 1 π =, BL = Lω 2 Η επαγωγική αντίδραση και η επαγωγική επιδεκτικότητα έχουν νόημα μόνο στο πεδίο της συχνότητας, αφού δεν έχουν αντίστροφο μετασχηματισμό στο πεδίο του χρόνου (είναι λόγοι στρεφόμενων διανυσμάτων), και μάλιστα, ως μιγαδικά μεγέθη, δεν έχουν καμία φυσική σημασία. Φυσική σημασία έχουν μόνο τα μέτρα τους!. 26

Μετασχηματισμός στο Πεδίο της Συχνότητας Η επαγωγική αντίδραση του πηνίου είναι ανάλογη της συχνότητα, f, του ρεύματος που το διαρρέει. Στο ΣΡ η συχνότητα είναι f = και το πηνίο συμπεριφέρεται ως βραχυκύκλωμα. Αυτό συμβαίνει σε ιδανικό πηνίο, το οποίο έχει μηδενική ωμική αντίσταση. Στην πράξη, όμως, το πηνίο εμφανίζει μια μικρή ωμική αντίσταση, αφού οι σπείρες του πηνίου διαμορφώνονται από μεταλλικό (χάλκινο) αγωγό, με αποτέλεσμα να περιορίζεται κάπως η τιμή του ρεύματος. Εάν η συχνότητα του ρεύματος είναι πολύ μεγάλη, η επαγωγική αντίδραση αποκτά πολύ υψηλή τιμή, περιορίζοντας έτσι στο ελάχιστο την ένταση ΕΡ μέσα από αυτό. Σε αυτή την κατάσταση λειτουργίας, τα πηνία ονομάζονται αποπνικτικά ή στραγγαλιστικά, επειδή αποκόπτουν τις υψηλές συχνότητες. Στην ιδεατή περίπτωση που είναι f, το πηνίο συμπεριφέρεται ως ανοικτό κύκλωμα. 27

Μετασχηματισμός στο Πεδίο της Συχνότητας Μετασχηματισμός χωρητικότητας στο πεδίο της συχνότητας Κύκλωμα στο πεδίο του χρόνου Τάση και ρεύμα χωρητικότητας ( ) = ( ω + ϕ ) v cos ( ) C t V t V dvc ic ( t) = C dt ( t) ( t) dvc π ic ( t) = C = VCωsin ( ωt+ ϕ) = VC ωcos ωt+ ϕ + dt 2 Από τη σύγκριση των v C (t) και i C (t), προκύπτει ότι η κυματομορφή του ρεύματος στον πυκνωτή προπορεύεται της τάσης κατά 9 ο. 28

Μετασχηματισμός στο Πεδίο της Συχνότητας Το ρεύμα στον πυκνωτή προπορεύεται της τάσης που εφαρμόζεται στα άκρα του κατά π/2 = 9 Ο 29

Μετασχηματισμός στο Πεδίο της Συχνότητας Μετασχηματισμός χωρητικότητας στο πεδίο της συχνότητας Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας Τάση και ρεύμα πυκνωτή VC = V ϕ ( V) π IC = VC ω ϕ+ ( A) 2 Το διάνυσμα του ρεύματος πυκνωτή στο πεδίο της συχνότητας προπορεύεται ως προς το διάνυσμα της τάσης κατά γωνία π/2 = 9 ο. 3

Μετασχηματισμός στο Πεδίο της Συχνότητας Ο λόγος της τάσης στα άκρα του πυκνωτή προς το ρεύμα που το διαρρέει δίνει την αντίσταση του πυκνωτή στο πεδίο της συχνότητας, VC 1 1 jπ 2 1 X = C = ( π 2) = e = j I Cω Cω Cω X C C Το μέγεθος ονομάζεται χωρητική αντίδραση (capacitive reactance) του πυκνωτή, έχει διαστάσεις (Ω) και είναι αντιστρόφως ανάλογη της χωρητικότητας στο πεδίο της συχνότητας. Το μέτρο και το όρισμα της χωρητικής αντίδρασης είναι: Με εφαρμογή του νόμου του Ohm στο πεδίο της συχνότητας, η τάση στα άκρα του πηνίου είναι: 1 1 VC = XC IC = IC = j IC jcω Cω X C = 1 π, XC Cω = 2 31

Μετασχηματισμός στο Πεδίο της Συχνότητας Το αντίστροφο της χωρητικής αντίδρασης IC π jπ 2 B = C = Cω = Cω e = jcω V 2 C ονομάζεται χωρητική επιδεκτικότητα (capacitive susceptance), έχει διαστάσεις αγωγιμότητας, μετράται σε (S) και έχει μέτρο και όρισμα B = Cω, B = C Η χωρητική αντίδραση και η χωρητική επιδεκτικότητα έχουν νόημα μόνο στο πεδίο της συχνότητας, αφού δεν έχουν αντίστροφο μετασχηματισμό στο πεδίο του χρόνου (είναι λόγοι στρεφόμενων διανυσμάτων), και μάλιστα, ως μιγαδικά μεγέθη, δεν έχουν καμία φυσική σημασία. Φυσική σημασία έχουν μόνο τα μέτρα τους!. π 2 C 32

Μετασχηματισμός στο Πεδίο της Συχνότητας Η χωρητική αντίδραση του πυκνωτή είναι αντιστρόφως ανάλογη της συχνότητας, f, του ρεύματος που τον διαρρέει. Στο ΣΡ η συχνότητα είναι f =, η χωρητική αντίδραση είναι άπειρη και ο πυκνωτής συμπεριφέρεται ως ανοιχτό κύκλωμα. Στις υψηλές συχνότητες η χωρητική αντίδραση του πυκνωτή αποκτά πολύ μικρή τιμή και επομένως ο πυκνωτής συμπεριφέρεται ως βραχυκύκλωμα. 33

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ στο Πεδίο της Συχνότητας Για το μετασχηματισμό κυκλώματος ΕΡ στο πεδίο της συχνότητας, το οποίο βρίσκεται σε ημιτονοειδή μόνιμη κατάσταση ισορροπίας, ακολουθούνται τα εξής βήματα: Τα σήματα των ανεξάρτητων πηγών τάσης εκφράζονται με τον ίδιο τριγωνομετρικό αριθμό, π.χ. με ημίτονο ή συνημίτονο. Τα σήματα των ανεξάρτητων πηγών τάσης μετασχηματίζονται στο πεδίο της συχνότητας σε διανύσματα. Η τάση και το ρεύμα κάθε κλάδου αντικαθίσταται με διανύσματα στο πεδίο της συχνότητας. Οι αυτεπαγωγές L αντικαθίστανται με επαγωγικές αντιδράσεις jlω ή με επαγωγικές επιδεκτικότητες 1/ jlω. 34

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ στο Πεδίο της Συχνότητας Οι χωρητικότητες C αντικαθίστανται με χωρητικές αντιδράσεις 1/jCω ή χωρητικές επιδεκτικότητες jcω. Οι αντιστάσεις R και οι αγωγιμότητες 1/R μένουν αναλλοίωτες. Διατυπώνονται οι εξισώσεις των βρόχων και των κόμβων του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας (εξισώσεις Kirchhoff). Οι τάσεις και τα ρεύματα των κλάδων του κυκλώματος αντικαθίστανται με τις σχέσεις V I των στοιχείων του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας. Επιλύονται οι αλγεβρικές εξισώσεις και υπολογίζονται οι τάσεις και τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας (μιγαδικές ποσότητες). 35

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ στο Πεδίο της Συχνότητας Η τελική λύση που προκύπτει στο πεδίο της συχνότητας μετασχηματίζεται αντίστροφα στο πεδίο του χρόνου. Για την επίλυση συστήματος εξισώσεων κυκλώματος ΕΡ, χρησιμοποιούνται απλές αλγεβρικές πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς. Τα διανύσματα των τάσεων, των ρευμάτων και των αντιδράσεων των ηλεκτρικών στοιχείων του κυκλώματος εκφράζονται είτε σε πολική ή σε μιγαδική μορφή σε καρτεσιανό επίπεδο. Οι νόμοι του Ohm και του Kirchhoff ισχύουν και στο ΕΡ, με τη διαφορά ότι τα μεγέθη τάσης, ρεύματος και αντίστασης είναι εκφρασμένα στο πεδίο της συχνότητας (σε διανυσματική μορφή). 36

Παράσταση με Μιγαδικούς Αριθμούς Ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να διατυπωθεί με τέσσερις διαφορετικούς τρόπους, Τετραγωνική (αλγεβρική) μορφή: z= x+ jy Πολική μορφή: Εκθετική μορφή: z= r θ z= j re θ Τριγωνομετρική μορφή: ( cosθ sinθ) z= r + j 37

Πράξεις με Μιγαδικούς Αριθμούς Πρόσθεση και αφαίρεση μιγαδικών αριθμών z = x + jy, z = x + jy 1 1 1 2 2 2 + = ( + ) + ( + ) z z = ( x x ) + j( y y ) z z x x j y y 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 38

Πράξεις με Μιγαδικούς Αριθμούς Πολλαπλασιασμός μιγαδικών αριθμών z = x + jy, z = x + jy 1 1 1 2 2 2 Εκθετική μορφή: ( jθ )( ) 1 jθ 2 j( 1+ 2) zz = re re = rre θ θ 1 2 1 2 1 2 Πολική (ή Steinmetz) μορφή: ( θ )( θ ) ( θ θ ) z z = r r = rr + 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 Τετραγωνική μορφή: ( ) ( ) zz= xx yy + j xy+ yx 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 39

Πράξεις με Μιγαδικούς Αριθμούς Διαίρεση μιγαδικών αριθμών z = x + jy, z = x + jy 1 1 1 2 2 2 Εκθετική μορφή: jθ1 z1 re 1 r1 = = jθ 2 e z re r 2 2 2 j ( θ θ ) 1 2 Πολική (ή Steinmetz) μορφή: Τετραγωνική μορφή: z1 r1 θ1 r1 = = z r θ r 2 2 2 2 ( θ θ ) 1 2 ( xx+ yy) + j( yx yx) z = z x y 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 + 2 4

Πράξεις με Μιγαδικούς Αριθμούς Συζυγής μιγαδικού αριθμού Εκθετική μορφή: z= re Πολική (ή Steinmetz) μορφή: Τριγωνομετρική μορφή: z jθ = re 1 jθ 1 jθ z x jy re r = + = = θ ( cosθ sinθ) z = r + j z= r θ z = r θ ( cosθ sinθ) ( cosθ sinθ) z= r + j z = r j Τετραγωνική μορφή: z= x+ jy z = x jy 41

Παραδείγματα με Μιγαδικούς Αριθμούς Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: 1 o V = 5+ j2( V), I = 56 38 ( A), ZL= j5( Ω ), ZC = ( Ω ), ZR= 1+ j( Ω) j,5 και ζητούνται να υπολογιστούν οι ποσότητες: Λύση V ( ) 1 1 1 1 S= VI, Z=, Zts, = ZL+ ZC+ ZR, Ztp, = + + I Z Z Z L C R 2 2 1 2 V = 5+ j2= 5 + 2 tan 538,52 21,8 5 = o 56 38 56 cos( o 38 ) sin( o I = = j 38 ) + = 44,13 j34,5 o 1 ZL= j5= 5 9, ZC = = j2, ZR= 1+ j= 1 j,5 o o 42

Παραδείγματα με Μιγαδικούς Αριθμούς S= VI = = ( 538,52 56) ( o o 21,8 38 ) o S= VI = + = 3.157,12 59,8 S= VI = 3.157,12 cos59,8 + j sin 59,8 = 15.169,63+ j 26.64 ( o)( o 538,52 21,8 56 38 ) ( o 538,52 21,8 )( o 56 38 ) ( o o) Z Z o V 538,52 21,8 o = = = 9,62 21,8 38 I o 56 38 o = 9,62 59,8 = 4,84+ j8,3 ( o) Zts, = ZL+ ZC+ ZR= j + j + + j o Z = 1+ j3= 31,62 71,57 ts, ( 5) ( 2) ( 1 ) 43

Παραδείγματα με Μιγαδικούς Αριθμούς 1 1 1 1 1 t p = + + = o + + o Z L ZC ZR 5 9 1 1 o Z =,2 9 + j,5+,1= j,2+ j,5+,1=,1+ j,3 ( ) 1 Z, ( j,5) ( ) t, p Z t, p 1 1 = = = 9,58 16,7 = 9,18 j2,75.,1+ j,3,144 16,7 Οι ζητούμενοι μιγαδικοί αριθμοί έχουν εκφραστεί σε τετραγωνική και πολική μορφή. Για πρόσθεση και αφαίρεση μιγαδικών αριθμών προτιμάται η τετραγωνική μορφή και για πολλαπλασιασμό ή διαίρεση προτιμάται η πολική μορφή. 44

Παραδείγματα Επίλυσης Κυκλωμάτων ΕΡ στη Μόνιμη Κατάσταση Παράδειγμα 1 vs( t) = Vosin ( ω t), Vo= 325V Δεδομένα: f = 5 Hz, R = 1 Ω, L = 1mH Ζητείται: Το ρεύμα του κυκλώματος στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας στη μόνιμη κατάσταση. Λύση: Μετατροπή των στοιχείων του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας: VS = V = 325 ( V) XL = jlω= j2π f L 3 X = j2 π 5 1 1 = j31,4 ( Ω) L 45

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 1 Με εφαρμογή των νόμων των τάσεων και ρευμάτων του Kirchhoff: V V V = V = V + V I = I = I = I S R L S R L S R L Τάσεις του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας: VL= XL IL= jlωi= j31, 4 I ( V) V = RI = RI = 1 I ( V) R R Ρεύμα κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας: V = RI+ jlωi= I R+ jl I= S ( ω) V S ( R+ jlω) 46

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 1 VS V I = = ( R+ jlω) 2 2 1 Lω R + ( Lω) tan R 325 325 I = = = 9,86 72,33 2 2 1 31, 4 32,95 72,33 1 + 31, 4 tan 1 Η ποσότητα, Z R jl R L ( ω) 2 2 = + ω= + tan 1 ( ) ονομάζεται σύνθετη αντίσταση κυκλώματος με ωμικό-επαγωγική συμπεριφορά. Lω R 47

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 1 Αντίστροφος μετασχηματισμός του ρεύματος στο πεδίο του χρόνου: ( ) it ( ) 1 = sin ω tan 2 2 t R V + ( Lω) it= t A 9,86 sin (314 72,33 ) ( ). Lω R Στη διανυσματική απεικόνιση (στο πεδίο της συχνότητας), εάν ληφθεί το διάνυσμα της τάσης της πηγής ως διάνυσμα αναφοράς, τότε το διάνυσμα του ρεύματος καθυστερεί ως προς το διάνυσμα της τάσης κατά γωνία -72,33 (επαγωγική συμπεριφορά του κυκλώματος). 48

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 1 Τάση και ρεύμα στο πεδίο του χρόνου Τάση και ρεύμα στο πεδίο της συχνότητας 49

Παράδειγμα 2 Δεδομένα: π vs( t) = Vosin ω t+, Vo= 23V 6 f = 5 Hz, R = 8 Ω, C = 15µ F Ζητείται: Το ρεύμα του κυκλώματος στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας στη μόνιμη κατάσταση. Λύση: Μετατροπή των στοιχείων του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας: ( ) V 6 rad S = V π = 23 3 ( V) 5

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 2 1 1 XC = j = j = j = Ω Cω π 6 15 1 2 5 Τάσεις του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας: 1 VC = XC IC = j I = j2,12 I ( V) Cω V = RI = RI = 8 I ( V) R R 2,12 2,12 9 ( ) Με εφαρμογή των νόμων των τάσεων και ρευμάτων του Kirchhoff: V V V = V = V + V I = I = I = I S R C S R C S R C 51

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 2 Ρεύμα κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας: 1 1 VS VS = RI j I = I R j I = Cω Cω 1 R j C ( ) ω rad V S V ( π 6) I = = 1 2 R j 2 1 1 1 Cω R + tan Cω CRω 23 3 23 3 I = = 8, 28 14,86 2 2 1 1 8 + 2,12 tan 6 15 1 8 314 I = 27,78 3+ 14,86 = 27,78 44,86 ( A) 52

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 2 Η ποσότητα, 2 2 1 1 1 1 Z= R j = R + tan Cω Cω CRω ονομάζεται σύνθετη αντίσταση κυκλώματος με ωμικό-χωρητική συμπεριφορά. Αντίστροφος μετασχηματισμός του ρεύματος στο πεδίο του χρόνου: Το ρεύμα V 1 1 προπορεύεται της it ( ) = sin ω t+ tan 2 2 1 CRω τάσης κατά τη R + ω γωνία: 44,86 C 3 = 14,86 λόγω it ( ) = 27,78 sin (314t+ 44,86 ) ( A). της χωρητικής του συμπεριφοράς. 53

Παράδειγμα 3 Δεδομένα: ( ω ) v ( t) = V sin t, V = 325V s o o f = 5 Hz, R = 5 Ω, C = 8 µ F, L = 15mH Ζητείται: Το ρεύμα του κυκλώματος στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας στη μόνιμη κατάσταση. Λύση: Μετατροπή των στοιχείων του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας: 55

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 3 V = V = V S 325 ( ) 1 1 XC = j = j = j = Ω 6 Cω 8 1 2 π 5 X = jlω= j = j = Ω L 3,98 3,98 9 ( ) 3 15 1 314 47,1 47,1 9 ( ) 1 VC = XC IC = j I = j3,98 I ( V) Cω VL= XL IL= j47,1 I ( V) VR= RIR= RI = 5 I ( V) VS VR VC VL = VS = VR+ VC + VL I = I = I = I = I S R C L 56

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 3 Ρεύμα κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας: 1 1 VS = RI + jlωi j I= I R+ jlω j Cω Cω 1 VS VS = I R+ j Lω I = Cω R+ j Lω I = 7, 48 ( 83,94 ) = 7, 48 ( 83 ) 1 Cω VS V I = = 2 1 2 ω 2 1 1 ω 1 R + j L LC ω + ω tan C R L ω C CRω 325 325 I = = 3 6 2 2 2 43, 41 83,94 1 15 1 8 1 314 1 5 + ( 47,1 3,98) tan 6 8 1 5 314,94 ( A) 57

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 3 Η ποσότητα, 2 2 1 2 1 1 LCω 1 Z= R + j Lω = R + Lω tan Cω Cω CRω ονομάζεται σύνθετη αντίσταση κυκλώματος με στοιχεία R-L-C συνδεδεμένα σε σειρά. Εάν ισχύει: Lω > 1/ωC επικρατεί η επαγωγική συμπεριφορά, ενώ εάν είναι: Lω < 1/ωC επικρατεί η χωρητική συμπεριφορά στο κύκλωμα. 58

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 3 Αντίστροφος μετασχηματισμός του ρεύματος στο πεδίο του χρόνου: ( ) it ( ) sin ω = t+ 2 2 1 R V + Lω ω C 7,48 sin (314 83,94 ) ( ). it= t A tan 1 2 LCω 1 CRω Το ρεύμα καθυστερεί της τάσης κατά τη γωνία: -83,94 και επομένως το κύκλωμα εμφανίζει έντονη επαγωγική συμπεριφορά. 59

Παράδειγμα 4 61

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 4 Δεδομένα: π vs( t) = Vosin ω t +, Vo= 325 V, f = 5 Hz, 4 R= 1,2 Ω, R= 3 Ω, C= 1 µ FL, =,15H 1 2 Ζητούνται: (α) Τα ρεύματα στους κλάδους και οι τάσεις στα άκρα κάθε στοιχείου του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας και στο πεδίο του χρόνου στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας. (β) Η διαφορά φάσης μεταξύ των διανυσμάτων της τάσης και του ρεύματος της πηγής στο πεδίο της συχνότητας. Λύση: (α) Υπολογισμός των ρευμάτων και των τάσεων στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας: 62

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 4 Εξισώσεις κυκλώματος: Κόμβος Α: Βρόχος m 1 : Βρόχος m 2 : IC + IL= IS + = IS R1 XCIC VS X I X I I R = C C L L L 2 Μετασχηματισμός των στοιχείων στο πεδίο της συχνότητας: 1 1 XC = j = j = j3,1831 Ω, 6 Cω 1 1 2 π 5 XL = jlω= j,15 2 π 5= j47,1239 Ω, V = V = + j = + j V S ( ) 45 325 cos 45 sin 45 229,81 229,81. 63

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 4 Αναδιατύπωση των εξισώσεων στη μορφή: Z I = V IS IC IL= IS R1 + IC XC + IL = VS I + I X I X + R = S C C L L ( ) 2 1 1 1 I S 1 R1 j I C V S Cω = I L 1 j ( jlω+ R2 ) Cω 64

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 4 Όπου: 1 1 1 I S 1 Z R1 j, I IC, V V = S Cω = = I L 1 j ( jlω+ R2 ) Cω 65

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 4 Επίλυση του συστήματος κατά τα γνωστά με αναστροφή του πίνακα 1 των αντιστάσεων Z. Ο πίνακας των ρευμάτων είναι: 1 1 1 I S 1 IC R1 j V = S Cω I L 1 j ( jlω+ R2 ) Cω 1 I S 1 1 1 IC 1, 2 j3,1831 229,81 j229,81 = + I L j3,1831 ( j47,1239+ 3) I S 4,1 I 15+ j 92,9937 11, 2361 113, 28 = C 37,1392 j87, 289 + = 94,854 113,5 I L 2,8723+ j 5,7127 6,3941 116,69 1 I = Z V 66

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 4 Με εφαρμογή του νόμου του Ohm, οι πτώσεις τάσης στα στοιχεία των κλάδων του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας είναι: ( 11, 2361 113, 28 ) ( 1, 2) V R1 IS R 1 ( V 6,3941 116,69 ) ( 3) R2 IL R 2 = = ( ) ( V 94,854 113,5 3,1831 9 ) Xc IC X C VXL IL XL ( (6,3941 116,69 ) 47,1239 9 ) V R1 48,14+ j111,59 121, 4833 113, 28 V 8,6169 j17,1381 R2 19,1824 116,69 + = = V 277,82+ j118, 22 Xc 31,9296 23,5 V XL 269, 2 j135,35 31,3168 153,31 67

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 4 Τα ρεύματα στους κλάδους και οι τάσεις στα στοιχεία του κυκλώματος προκύπτουν με τον αντίστροφο μετασχηματισμό από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου. Είναι: ( ) ( ) I 11, 24sin 113, 28 S 11, 2361 113, 28 is t ω t + ( ) ( I 94,854 113,5 94,85sin 113,5 ) C ic t ω t = = + I 6,3941 116,69 ( ) ( 6,35sin 116,69 ) L il t ω t + ( t) ( t) ( t) ( t) ( ω t + ) ( ω t ) ( ω t ) ( ω t ) 121, 48sin 113, 28 V R1 121, 4833 113, 28 vr 1 19,18sin 116,69 R2 19,1824 116,69 v V + R2 = = V Xc 31,9296 23,5 v Xc 31,93sin + 23,5 VXL 31,3168 153,31 vxl 31,92sin 153,31 68

Επίλυση Κυκλώματος ΕΡ Παράδειγμα 4 (β) Η διαφορά φάσης μεταξύ των διανυσμάτων της τάσης και του ρεύματος της πηγής, είναι η διαφορά των αρχικών φάσεων των διανυσμάτων στο πεδίο της συχνότητας, V S I S ϕis Vs = ϕis ϕvs = 113, 28 45 = 68, 28 Επομένως, το ρεύμα που παρέχει στο κύκλωμα η πηγή προηγείται ως προς την τάση της πηγής, δηλαδή η συμπεριφορά του κυκλώματος είναι χωρητική. 69

Ισχύς σε Κυκλώματα ΕΡ με Ημιτονοειδή Διέγερση Ισχύς στο πεδίο του χρόνου Ημιτονοειδή σήματα τάσης και ρεύματος και στιγμιαία ισχύς: ( ) = cos( ω + ϕ ) = 2 cos( ω + ϕ ) vt V t V t V ( ) = cos( ω + ϕ ) = 2 cos( ω + ϕ ) it I t I t I pt () = vtit () () V I 71

Ισχύς στο Πεδίο του Χρόνου Λαμβάνοντας υπόψη τις συζευγμένες φορές αναφοράς, η p(t), που μεταφέρεται από το ένα κύκλωμα στο άλλο μπορεί να είναι θετική ( ) = vtit ( ) ( ) > pt που σημαίνει ότι η ισχύς ρέει από το κύκλωμα Κ 1 προς το κύκλωμα Κ 2 ή αρνητική pt= vtit< ( ) ( ) ( ) που σημαίνει ότι η ισχύς ρέει από το κύκλωμα Κ 2 προς το κύκλωμα Κ 1. Στιγμιαία ισχύς: pt= vtit= Vcos ωt+ φ Icos ωt+ φ ( ) ( ) ( ) ( V ) ( I) ( ) = cos( ω + φ ) cos( ω + φ ) pt VI t t V I και λαμβάνοντας υπόψη την τριγωνομετρική ταυτότητα, 1 cos Acos B = cos( ) cos( ) 2 A + B + A B 72

Ο πρώτος όρος, Ισχύς στο Πεδίο του Χρόνου ( ) = cos( ω + φ ) cos( ω + φ ) pt VI t t 1 1 p t V I V I t 2 2 p t VI VI t ( ) = cos( φ φ ) + cos( 2ω + φ + φ ) ( ) = cos( φ φ ) + cos( 2ω + φ + φ ) είναι μία σταθερά, ανεξάρτητη από το χρόνο και ονομάζεται μέση ισχύς (average power) ή πραγματική ισχύς (real power) ή ενεργός ή δρώσα ισχύς (active power) και ο δεύτερος όρος V V I V I V I V I ( ) VI cos φv φi είναι μια εναλλασσόμενη ημιτονοειδή ισχύς με διπλάσια συχνότητα από αυτή που επιβάλλεται από τις πηγές του κυκλώματος (Κ 1 ) και ονομάζεται άεργη ισχύς (reactive power). I ( ωt+ φ + φ ) VI cos 2 V I 73

Ισχύς στο Πεδίο του Χρόνου Το παθητικό κύκλωμα Κ 1 έχει επαγωγική συμπεριφορά (το ρεύμα καθυστερεί της τάσης ακροδεκτών). Η στιγμιαία ισχύς μηδενίζεται στα σημεία που μηδενίζεται η τάση ή το ρεύμα. 74

Ισχύς στο Πεδίο του Χρόνου Η μέση ισχύς που μεταφέρεται από το ένα κύκλωμα στο άλλο εντός μιας περιόδου Τ είναι η μέση τιμή της ποσότητας p(t), T 1 1 1 1 < p( t) >= p( t) dt V Icos( φv φi) V Icos( 2ωt φv φi) dt T = T + + + 2 2 T 1 1 < p( t) >= V Icos( φv φi) dt T 2 1 < p t >= P= V I = VI 2 T ( ) cos( φ φ ) cos( φ φ ) V I V I Η πραγματική ισχύς, Ρ, είναι πάντοτε θετική, αφού για ένα παθητικό κύκλωμα ισχύει: π π ( φ φ ) V I 2 2 ( ) Ο όρος cos φv φi ονομάζεται συντελεστής ισχύος (ΣΙ, power factor, PF) και παρουσιάζει ιδιαίτερο πρακτικό και οικονομικό ενδιαφέρον στη μεταφορά και διανομή ηλεκτρικής ενέργειας. 75

Ισχύς στο Πεδίο του Χρόνου Η εναλλασσόμενη ισχύς που μεταβάλλεται ημιτονοειδώς με διπλάσια συχνότητα γύρω από τη μέση ισχύ, δεν εκφράζει μια πραγματικά καταναλισκόμενη ισχύ, αφού η μέση τιμή της εντός μιας περιόδου είναι μηδενική, και για το λόγο αυτό ονομάζεται άεργη ισχύς. Η άεργη ισχύς αλλάζει πρόσημο και συνεπώς εκφράζει μια ανταλλαγή ισχύος μεταξύ των κυκλωμάτων Κ 1 και Κ 2. Κατά την αρνητική ημιπερίοδος είναι p(t) < και η ισχύς ρέει από το κύκλωμα Κ 2 προς το κύκλωμα Κ 1, ενώ κατά τη θετική ημιπερίοδο είναι p(t)> και η ισχύς ρέει από το κύκλωμα Κ 1 προς το κύκλωμα Κ 2. Στη θετική ημιπερίοδο προσφέρεται άεργη και πραγματική ισχύς από την πηγή προς το φορτίο και στην αρνητική ημιπερίοδο επιστρέφεται άεργη ισχύς από το φορτίο προς την πηγή. Κατά μέσο όρο, υπάρχει μια καθαρή ροή ισχύος (η πραγματική ισχύς) που ρέει σταθερά από το κύκλωμα Κ 1 προς το κύκλωμα Κ 2. 76

Ισχύς Αντιστάτη στο Πεδίο του Χρόνου Είναι: ( φ φ ) ( φ φ ) = cos = 1 V I V I και υπάρχει μόνο η μέση, πραγματική ισχύς (η άεργη ισχύς είναι μηδέν): 2 1 V PR = V I= VI= = RI 2 R 2 77

Ισχύς Πηνίου στο Πεδίο του Χρόνου Είναι ( φ φ ) ( φ φ ) = 9 cos = V I V I και υπάρχει μόνο άεργη ισχύς (η πραγματική, μέση ισχύς είναι μηδέν): P = L 78

Ισχύς Πυκνωτή στο Πεδίο του Χρόνου Είναι ( ) ( ) φ φ = 9 cos φ φ και = V I V I υπάρχει μόνο άεργη ισχύς (η πραγματική, μέση ισχύς είναι μηδέν): P = C 79

Ισχύς Παθητικών Στοιχείων στο Πεδίο του Χρόνου Η στιγμιαία ισχύς στα παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας είναι ημιτονοειδούς μορφής με συχνότητα διπλάσια της συχνότητας της πηγής και επομένως αντιπροσωπεύει μόνο άεργη ισχύ. Κατά τη θετική ημιπερίοδο της στιγμιαίας ισχύος, όπου η τάση και το ρεύμα παίρνουν θετικές τιμές, η ισχύς ρέει από την πηγή προς το στοιχείο για τη δημιουργία μαγνητικού ή ηλεκτρικού πεδίου στην περίπτωση πηνίου ή πυκνωτή αντίστοιχα. Κατά την αρνητική ημιπερίοδο της στιγμιαίας ισχύος, όπου η τάση και το ρεύμα έχουν αντίθετα πρόσημα, η ισχύς ρέει από το στοιχείο προς την πηγή. Δηλαδή, η άεργη ισχύς ανταλλάσσεται διαρκώς ανάμεσα στο στοιχείο και την πηγή. 8

Ισχύς Παθητικών Στοιχείων στο Πεδίο του Χρόνου Στα κυκλώματα ΕΡ, θεωρείται η σύμβαση ότι η άεργη ισχύς που αναφέρεται στις επαγωγές λαμβάνεται ως θετική, ενώ η άεργη ισχύς που αναφέρεται στις χωρητικότητες λαμβάνεται ως αρνητική. Οι επαγωγές (τα πηνία) θεωρούνται καταναλώσεις άεργης ισχύος, ενώ οι χωρητικότητες (πυκνωτές) θεωρούνται πηγές άεργης ισχύος. Οι ηλεκτρικοί κινητήρες είναι ισχυρά επαγωγικά φορτία, τα οποία απορροφούν από το δίκτυο ΕΡ μεγάλη άεργη ισχύ, υπό χαμηλό συντελεστή ισχύος (cosφ). Εντούτοις, η ΔΕΗ επιθυμεί να παρέχει στους καταναλωτές ηλεκτρική ενέργεια με το μεγαλύτερο δυνατό συντελεστή ισχύος, δηλαδή με την ελάχιστη δυνατή άεργη ισχύ. Βελτίωση του συντελεστή ισχύος επαγωγικού φορτίου επιτυγχάνεται με την τοποθέτηση πυκνωτών κοντά στο φορτίο, οι οποίοι παράγουν την άεργη ισχύ που χρειάζεται το φορτίο. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται αντιστάθμιση άεργης ισχύος. 81

Ισχύς στο Πεδίο της Συχνότητας Μιγαδική ισχύς στο ΕΡ I K V A V V = V = V ϕ ϕv 2 I = I = I ϕ ϕi 2 V I Η ποσότητα: 1 1 1 S= VI = V I = V I = VI 2 2 2 ( φ )( ϕ ) ( φ ϕ ) ( φ ϕ ) V I V I V I ονομάζεται μιγαδική ισχύς. Η μιγαδική ισχύς στο πεδίο της συχνότητας είναι ένα διάνυσμα με μέτρο και όρισμα: S V I VI S = ϕ ϕ 1 = = 2 V I 82

Ισχύς στο Πεδίο της Συχνότητας Το μέτρο της μιγαδικής ισχύος ονομάζεται φαινόμενη ισχύς (apparent power) και υπολογίζεται εύκολα από το γινόμενο των ενεργών τιμών της τάσης και του ρεύματος ακροδεκτών του κυκλώματος. Η ενεργός τιμή του ρεύματος και της τάσης ακροδεκτών λαμβάνεται εύκολα από τις ενδείξεις ενός αμπερομέτρου (Α), το οποίο συνδέεται σε σειρά με το φορτίο και ενός βολτομέτρου (V), το οποίο συνδέεται παράλληλα προς το φορτίο. Το πραγματικό μέρος της μιγαδικής ισχύος αντιπροσωπεύει την πραγματική ισχύ και το φανταστικό μέρος την άεργη (επαγωγική ή χωρητική) ισχύ. Η μιγαδική ισχύς ως διανυσματικό μέγεθος εκφράζεται συνήθως σε τετραγωνική ή πολική μορφή. 83

Ισχύς στο Πεδίο της Συχνότητας I I I I I Iˆ o max rms = = = = = = peak 2 2 2 2 I 1 1 S= VIcos φv ϕi + j VIsin φv ϕi 2 2 S= VIcos φ ϕ + jvisin φ ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) V I V I 84

Ισχύς στο Πεδίο της Συχνότητας Πραγματική ισχύς: Re 1 2 cos cos Άεργη ισχύς: Im 1 S = Q= V Isin 2 = VIsin ( S) = P= V I ( φv ϕi) = VI ( φv ϕi) ( ) ( φv ϕi) ( φv ϕi) S= P+ jq= S P Q Q P 2 2 1 = + tan 85

Συντελεστής ισχύος: Ισχύς στο Πεδίο της Συχνότητας P P ΣΙ = PF = cos ϕ = = S P + Q ( V ϕi) 2 2 Είναι το συνημίτονο της διαφοράς φάσης μεταξύ τάσης και ρεύματος ακροδεκτών. Ισχύει για γραμμικά φορτία και είναι αυτά που εξετάζονται εδώ. Στα μη γραμμικά φορτία, το ρεύμα φορτίου είναι μεν περιοδικό εναλλασσόμενο, όχι όμως ημιτονοειδές και αναλύεται κατά Fourier στο ρεύμα θεμελιώδους αρμονικής (fundamental frequency current) και στα ρεύματα ανώτερων αρμονικών (higher order current harmonics). Πραγματική ισχύς μεταφέρεται στο φορτίο μόνο από το ρεύμα θεμελιώδους αρμονικής!. Ο πραγματικός συντελεστής ισχύος υπολογίζεται από τη συμβολή όλων των αρμονικών ρεύματος. 86

Ισχύς στο Πεδίο της Συχνότητας Στο ΕΡ υπάρχουν τρεις ποσότητες ισχύος: η φαινόμενη ισχύς, η πραγματική ισχύς και η άεργη ισχύς. Και οι τρεις ποσότητες ισχύος πρέπει να εκφράζονται κανονικά με τη φυσική μονάδα μέτρησης της ισχύος, η οποία είναι το Watt (W). Εντούτοις, για να είναι δυνατή η διάκριση μεταξύ τους, χρησιμοποιούνται διαφορετικές μονάδες μέτρησης για κάθε μία από αυτές. Βέβαια, η διαφοροποίηση αυτή στις μονάδες μέτρησης είναι μόνο λεκτική, αφού και οι τρεις ποσότητες εκφράζουν πάντοτε ισχύ. Έτσι, η μονάδα μέτρησης της πραγματικής (μέσης, ενεργού) ισχύος είναι το Watt (W), η μονάδα μέτρησης της άεργης (φανταστικής) ισχύος είναι το Volt Ampere Reactive (VAr) και η μονάδα μέτρησης της φαινόμενης ισχύος είναι το Volt Ampere (VA). 87

Ισχύς στο Πεδίο της Συχνότητας Στη γενική περίπτωση λειτουργίας ενός στοιχείου στο ΕΡ, το οποίο απορροφά ενεργό ένταση Ι και εφαρμόζεται στα άκρα του ενεργός τάση V, παρουσιάζει μια σύνθετη (μιγαδική) αντίσταση, η οποία, σύμφωνα με το νόμο του Ohm, είναι: V V ϕ V V V Z j R jx Ωμική αντίσταση στοιχείου: ( ϕ ϕ ) cos( ϕ ϕ ) sin ( ϕ ϕ ) V = = = V I = V I + V I = + I I ϕi I I I V V ϕv V V V Z= = = ( ϕv ϕi) = cos( ϕv ϕi) + j sin ( ϕv ϕi) = R+ jx I I ϕ I I I I V V Re Z R cos cos I I ( ) = = ( ϕv ϕi) = ( ϕv ϕi) 88

Ισχύς στο Πεδίο της Συχνότητας Επαγωγική ή χωρητική αντίσταση στοιχείου: V V Im Z X sin sin I I ( ) = = ( ϕv ϕi) = ( ϕv ϕi) Λαμβάνοντας υπόψη τη σύνθετη αντίσταση στοιχείου, η μιγαδική ισχύς που προσφέρεται σε αυτό είναι: 1 1 S= P+ jq= RI + j X I = RI + j X I 2 2 2 2 2 2 Η ενεργός ισχύς που καταναλώνεται στο στοιχείο σχετίζεται αποκλειστικά και μόνο με τις ωμικές αντιστάσεις και η άεργη ισχύς σχετίζεται αποκλειστικά και μόνο με το φανταστικό μέρος της σύνθετης αντίστασης του στοιχείου, οφείλεται δε μόνο σε στοιχεία που αποθηκεύουν ενέργεια (πηνία ή πυκνωτές). 89

Ισχύς στο Πεδίο της Συχνότητας Μέτρο πραγματικής ισχύος: Μέτρο άεργης ισχύος: 1 P = RI = RI 2 2 2 1 Q= XI = XI 2 2 2 Εάν το στοιχείο έχει επαγωγική συμπεριφορά, ισχύει: 1 2 2 X= ω L, QL = XI = XI > 2 Κατανάλωση άεργης ισχύος Εάν το στοιχείο έχει χωρητική συμπεριφορά, ισχύει: 1 1 1 2 1 2 X =, QC I I ωc = 2 ωc = ωc < Παραγωγή άεργης ισχύος 9

Αντιστάθμιση Άεργης Ισχύος Βελτίωση του συντελεστή ισχύος: Με τη διαδικασία αυτή επιτυγχάνεται αύξηση της τιμής του ΣΙ, με στόχο ο ΣΙ να πλησιάζει τη μονάδα. Ο ΣΙ είναι ένα ιδιαίτερα σημαντικό μέγεθος από οικονομικής σκοπιάς και αφορά τόσο στον καταναλωτή (φορτίο) όσο και την εταιρία παραγωγής και διανομής ηλεκτρικής ενέργειας (ΔΕΗ). Διόρθωση του ΣΙ γίνεται σε (ισχυρά) επαγωγικά φορτία, όπως είναι, για παράδειγμα, οι κινητήρες ΕΡ. Το μέτρο της έντασης του ρεύματος που απορροφά μονοφασικό φορτίο από το δίκτυο είναι: P P I = I= = Vcos φ ϕ Vcosϕ ( ) V I 91

Αντιστάθμιση Άεργης Ισχύος Η ένταση του ρεύματος μειώνεται με την αύξηση του συντελεστή ισχύος και αυξάνεται με τη μείωσή του. Μείωση του συντελεστή ισχύος σημαίνει ότι η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης και της έντασης μεγαλώνει και επομένως ο καταναλωτής απορροφά περισσότερη άεργη ισχύ από το δίκτυο. Αντίθετα, αύξηση του συντελεστή ισχύος σημαίνει ότι η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης και της έντασης μειώνεται και επομένως ο καταναλωτής απορροφά λιγότερη άεργη ισχύ από το δίκτυο. Ο συντελεστής ισχύος είναι ένα μέτρο της άεργης ισχύος που ανταλλάσσεται μεταξύ καταναλωτή και δικτύου ηλεκτρικής ενέργειας. 92

Αντιστάθμιση Άεργης Ισχύος Αναγκαιότητα βελτίωσης του συντελεστή ισχύος φορτίου Φορτίο με χαμηλό συντελεστή ισχύος απορροφά μεγάλη ένταση ρεύματος από το δίκτυο, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται υψηλές απώλειες ισχύος (απώλειες Joule, RI 2 ) επάνω στη γραμμή μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας (υψηλό λειτουργικό κόστος). Χαμηλός συντελεστής ισχύος σημαίνει ότι ο καταναλωτής απορροφά μεγάλη άεργη ισχύ από το δίκτυο, την οποία βεβαίως πρέπει να παράγουν οι γεννήτριες (πηγές) του δικτύου και να μεταφέρουν οι γραμμές διανομής ηλεκτρικής ενέργειας (υψηλό λειτουργικό κόστος). Μείωση του συντελεστή ισχύος σημαίνει αύξηση του κόστους διάθεσης ηλεκτρικής ισχύος στο φορτίο που επιβαρύνει την εταιρία διανομής ηλεκτρικής ενέργειας (ΔΕΗ). Απαιτείται, επομένως, απορρόφηση πραγματικής ισχύος από τους καταναλωτές με υψηλό συντελεστή ισχύος. 93

Αντιστάθμιση Άεργης Ισχύος Βελτίωση του ΣΙ επαγωγικών φορτίων επιτυγχάνεται με την προσθήκη πυκνωτών συνδεδεμένων παράλληλα προς το φορτίο, η διαδικασία δε αυτή ονομάζεται αντιστάθμιση άεργης ισχύος. Με την τοποθέτηση των πυκνωτών αντιστάθμισης, οι οποίοι πυκνωτές είναι πηγές άεργης ισχύος, ένα μέρος ή ολόκληρο το ποσό της άεργης ισχύος που καταναλώνει το επαγωγικό φορτίο παράγεται τοπικά από τους πυκνωτές και προσφέρεται στο φορτίο, ενώ το υπόλοιπο ποσό άεργης ισχύος του φορτίου παρέχεται από το δίκτυο ηλεκτρικής ενέργειας. Το αποτέλεσμα είναι η αύξηση (βελτίωση) του συντελεστή ισχύος του επαγωγικού καταναλωτή, αφού τώρα το δίκτυο (πηγή) παρέχει στο φορτίο μόνο ένα τμήμα ή καθόλου από το συνολικό ποσό άεργης ισχύος που απαιτείται. 94

Υπολογισμός αναγκαίας χωρητικότητας πυκνωτών αντιστάθμισης Πριν την αντιστάθμιση Αντιστάθμιση Άεργης Ισχύος Το διάνυσμα της τάσης λαμβάνεται ως διάνυσμα αναφοράς. Η συνιστώσα του ρεύματος: I = I p cosϕ 1 ονομάζεται βαττική συνιστώσα και είναι υπεύθυνη για τη μεταφορά της πραγματικής ισχύος (W) στο φορτίο. L 95

Υπολογισμός αναγκαίας χωρητικότητα πυκνωτών αντιστάθμισης Η συνιστώσα του ρεύματος: I = I sinϕ ονομάζεται άεργη ή αβαττική συνιστώσα και είναι υπεύθυνη για τη μεταφορά της άεργης ισχύος (VAr) στο φορτίο. Πραγματική ισχύς που προσφέρεται στο φορτίο: Άεργη ισχύς που προσφέρεται στο φορτίο: Ρεύμα γραμμής: Αντιστάθμιση Άεργης Ισχύος q L 1 ( ) cos 1 P= VI cos φ ϕ = VI ϕ = VI L V I L p ( ) sin 1 Q = VI sin φ ϕ = VI ϕ = VI L L V I L q I = I + I 2 2 L p q 96

Αντιστάθμιση Άεργης Ισχύος Υπολογισμός αναγκαίας χωρητικότητας πυκνωτών αντιστάθμισης Βελτίωση του συντελεστή ισχύος από την τιμή cosφ 1 στην τιμή cosφ 2 (cosφ 2 > cosφ 1 ) Το ρεύμα του πυκνωτή προπορεύεται της τάσης κατά 9 και αφαιρείται από το άεργο ρεύμα του επαγωγικού φορτίου. 97

Αντιστάθμιση Άεργης Ισχύος Υπολογισμός αναγκαίας χωρητικότητας πυκνωτών αντιστάθμισης Χωρίς αντιστάθμιση το άεργο ρεύμα που απορροφά το φορτίο είναι I q, ενώ με την αντιστάθμιση το φορτίο απορροφά από το δίκτυο μικρότερο άεργο ρεύμα κατά το ρεύμα του πυκνωτή: I = I I ' q q C Μείωση όμως του άεργου ρεύματος σημαίνει και μείωση του ρεύματος που απορροφά το φορτίο από το δίκτυο για την ίδια πραγματική ισχύ. Με την αντιστάθμιση μειώνεται η άεργη ισχύς που απορροφά το φορτίο από το δίκτυο, κατά το ποσόν της άεργης ισχύος του πυκνωτή (Q L Q C ). Τελικώς, με τη μείωση της άεργης ισχύος, μειώνεται και η φαινόμενη ισχύς που απορροφά το φορτίο από το δίκτυο: S < S 2 1 98

Αντιστάθμιση Άεργης Ισχύος Το ζητούμενο σε διατάξεις αντιστάθμισης είναι να επιλεγεί ο κατάλληλος πυκνωτής, δηλαδή να προσδιοριστεί η αναγκαία χωρητικότητα του πυκνωτή ή των πυκνωτών, σε περίπτωση εγκατάστασης ομάδας πυκνωτών. Είναι: Q tanϕ 1 = L P tanϕ 2 Q Q = L C P QC ( tanϕ tanϕ ) = P 1 2 V Q X I CV 2 2 2 C = C C = =ω X C C P = tan tan 2 ωv ( ϕ ϕ ) 1 2 99

Παράδειγμα Αντιστάθμισης Άεργης Ισχύος Παράδειγμα βελτίωσης συντελεστή ισχύος Επαγωγικό φορτίο (π.χ. κινητήρας) συνδέεται μέσω διπολικού καλωδίου (γραμμή τροφοδότησης) με πηγή ΕΡ (δίκτυο ΔΕΗ). Επειδή το φορτίο έχει επαγωγική συμπεριφορά πρέπει να βελτιωθεί ο συντελεστής ισχύος της πηγής με τοπική αντιστάθμιση άεργης ισχύος. Δεδομένα: Σύνθετη αντίσταση φορτίου: Τάση πηγής ΕΡ: Σύνθετη αντίσταση γραμμής: S Z load = 15+ j3( Ω) ( ) = 23 2 sin( ω )( ) v t t V Z line = + Ω 1,5 j4 ( ) 1

Παράδειγμα Αντιστάθμισης Άεργης Ισχύος Ζητούνται: 1. Το ρεύμα και η τάση στο φορτίο. 2. Η πραγματική και η άεργη ισχύς που απορροφά το φορτίο. 3. Η πραγματική και η άεργη ισχύς που καταναλώνεται στο καλώδιο παροχής του φορτίου. 4. Η πραγματική και η άεργη ισχύς που παράγεται από την πηγή ΕΡ (γεννήτρια ή δίκτυο ΔΕΗ). 5. Οι συντελεστές ισχύος στο φορτίο και στην πηγή. 6. Η χωρητικότητα του πυκνωτή που πρέπει να συνδεθεί παράλληλα προς την πηγή, ώστε ο συντελεστής ισχύος της πηγής να γίνει ίσος με τη μονάδα. Να αποδειχθεί το ισοζύγιο ισχύων στο κύκλωμα. 11

Παράδειγμα Αντιστάθμισης Άεργης Ισχύος Λύση 1. Ρεύμα και τάση στο φορτίο L 2,66 5, 48 6,9 64,11 ( ) Με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο του κυκλώματος, προκύπτει το ρεύμα βρόχου: VS IL ( Rl + RL) + j( Xl + XL) = VS I = L ( R + R ) + j( X + X ) l L l L 23 23 23 I L = = = ( 1,5 + 15) + j( 4+ 3) 16,5+ j34 37,79 64,11 I = j = A 12

Παράδειγμα Αντιστάθμισης Άεργης Ισχύος Για τον υπολογισμό της έντασης του ρεύματος χρησιμοποιήθηκε η ενεργός τιμή της τάσης της πηγής (23 V) και όχι το πλάτος της τάσης. Επομένως, η ένταση του ρεύματος φορτίου που υπολογίστηκε, καθώς και η τάση φορτίου που θα υπολογιστεί στη συνέχεια θα αφορά στην ενεργό τιμή των μεγεθών αυτών. Η τάση στο φορτίο υπολογίζεται με εφαρμογή του νόμου του Ohm, V = I Z = I R + jx ( ) L L L L L L V ( ) L = 6,9 64,11 15 + 3 tan ( )( V 6,9 64,11 33,54 63, 43 ) L = V = j = V L 2 2 1 24,11 2, 42 24,13,68 ( ) 3 15 13

2. Μιγαδική ισχύς που απορροφά το φορτίο από το δίκτυο: και η φαινόμενη, η πραγματική και η άεργη ισχύς που απορροφά το φορτίο: Παράδειγμα Αντιστάθμισης Άεργης Ισχύος 1 1 S ( ) L= VL IL = Vo Io = VL IL φv φi 2 2 o 24,13 6,9,68 ( o S 64,11 ) L = o S = 1243,15 63, 43 = 556,5+ j1.111,86 VA. L S = S = 1243,15 VA P L Q L L L = 556,5( W) = 1.111,86 ( VAr) ( ) ( ) 14

Παράδειγμα Αντιστάθμισης Άεργης Ισχύος 3. Η μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στη γραμμή: 2 2 2 Sl = Pl + jql = Rl IL + j Xl IL = IL( Rl + jxl) 2 o S = 6,9 1,5 + j4 = 55,63+ j148,35 = 158, 44 69, 44 ( VA) l και η φαινόμενη, η πραγματική και η άεργη ισχύς που καταναλώνεται στη γραμμή: ( ) S = S = 158, 44 VA P l Q l l l = 55,63( W) = 148,35 ( VAr) ( ) 15

4. Λαμβάνοντας υπόψη τις συζευγμένες φορές αναφοράς, η μιγαδική ισχύς που παρέχει η πηγή στη γραμμή και το φορτίο είναι: και η φαινόμενη ισχύς, η πραγματική ισχύς και η άεργη ισχύς της πηγής: Παράδειγμα Αντιστάθμισης Άεργης Ισχύος 1 SS = VS IL = VS IL ( φv ϕi) 2 S = = = j VA S 23 6,9 64,11 1.4,7 64,11 611,61 1.26,12( ) S = S = 1.4,7 VA P S Q S S S = 611,61( W) = 1.26,12 ( VAr) ( ) 16

Παράδειγμα Αντιστάθμισης Άεργης Ισχύος Έλεγχος ισοζυγίου ισχύων: P + P + P = 611,61+ 55,63+ 556,5= S L l Q + Q + Q = 1.26,12+ 148,35+ 1.111,86= S L l 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 S L l L l S L l L l S = P + P + Q + Q S P + P Q + Q = ( 1.4,7) ( 556,5 55,63) ( 1.111,86 148,35) ( ) 2 2 2 + + = 2 2 2 = 1.4,7 611,61 126,12 = 17

Παράδειγμα Αντιστάθμισης Άεργης Ισχύος 5. Ο συντελεστής ισχύος της πηγής, (pf) S, είναι το συνημίτονο της διαφοράς φάσης μεταξύ των διανυσμάτων τάσης στα άκρα της πηγής (διάνυσμα αναφοράς) και της έντασης ρεύματος. Είναι: = V I = ( 64,11 ) = 64,11 ( pf ) ( ϕv ϕi) ( ) ϕ ϕ ϕ S = cos = cos 64,11 =, 4366 Αντίστοιχα, ο συντελεστής ισχύος στο φορτίο (pf) L είναι: ( ) ϕ= ϕ ϕ =,68 64,11 = 63, 43 V I ( ) ( ) ( pf ϕ ) V ϕi L = cos = cos 63, 43 =, 447 18

Παράδειγμα Αντιστάθμισης Άεργης Ισχύος 6. Υπολογισμός χωρητικότητας πυκνωτή Για να παρουσιάζει η πηγή συντελεστή ισχύος ίσο με τη μονάδα, πρέπει να προσφέρει μόνο πραγματική ισχύ ή διαφορετικά την άεργη ισχύ της πηγής να την προσφέρει τώρα εξολοκλήρου ο πυκνωτής!. Δηλαδή, ο πυκνωτής πρέπει να παράγει άεργη ισχύ: 1.26,12 (VAr). Η αναγκαία χωρητικότητα του πυκνωτή αντιστάθμισης είναι: Q Q 1.26,12 C= = = F = µ F ωv π π C C 2 2 2 S 2 fvs 2 5 23 6 75,82 1 ( ) 75,82( ) 19