ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΗ 1- ΙΑΣΤΑΣΗ.1 Συντηρητικές δυνάµεις Έστω σώµα (µε την έννια τυ σωµατιδίυ) κινύµεν επί ευθείας γραµµής την πία ταυτίζυµε µε τν άξνα x, υπό την επίδραση της δύναµης F(x). Τότε η εξίσωση κίνησης τυ σώµατς είναι, m & x = F(x). (1) Πλλαπλασιάζντας και τα δύ µέλη επί x& και λκληρώνντας ως πρς t φθάνυµε στη σχέση dv x& = F(x)xdt & = F(x)dx = dx = V(x) cnst. () dx 1 m + όπυ έχυµε χρησιµπιήσει τν ρισµό της δυναµικής ενέργειας τυ σώµατς, x V (x) V(x ) = F(x)dx (3) x και x είναι µια σταθερά λκλήρωσης. Τ πρώτ µέρς της () είναι η κινητική ενέργεια τυ σώµατς, T = &, (4) 1 mx πότε φθάνυµε από την () στ νόµ διατήρησης της ενέργειας, Ε = Τ + V = σταθερά. (5) Η δύναµη λιπόν η πία εξαρτάται µόν από τ x λέγεται συντηρητική, και τ κινό χαρακτηριστικό των δυνάµεων αυτών είναι η διατήρηση της ενέργειας (τυ σώµατς). Από τν νόµ διατήρησης (5) µπρύµε να πάρυµε χρήσιµες πληρφρίες σχετικά µε την κίνηση τυ σώµατς, χωρίς να χρειαστεί να λκληρώσυµε την εξίσωση κίνησής τυ. Πράγµατι, η εξίσωση (5) γράφεται, x& = E V(x) (6) 1 m και επειδή τ πρώτ µέρς της (6) είναι θετικό, θα πρέπει να ισχύει: E V(x). Έστω ότι η συνάρτηση V(x) έχει την µρφή τυ Σχήµατς 1, πυ συνεπάγεται ότι η κίνηση τυ σώµατς περι- Σχήµα 1 Συνάρτηση δυναµικύ ρίζεται στa διαστήµατα x 1 x x και x x 3 όπυ Τ>0. Η ταχύτητα µηδενίζεται στα σηµεία x 1, x και x 3 (πυ λέγνται και σηµεία καµπής), όπυ V(x)=E. Έτσι, αν τ σωµατίδι ξεκινήσει από την Chap. 4
ηρεµία στ σηµεί x 1, θα κινηθεί πρς τα δεξιά αρχικά µε αυξανόµενη ταχύτητα και στη συνέχεια µε ελαττύµενη ταχύτητα µέχρι να φθάσει στ σηµεί x, όπυ ηρεµεί πρς στιγµήν και µετά αντιστρέφεται η κίνησή τυ, δηλ. τ σώµα εκτελεί ταλάντωση µεταξύ των σηµείων (x 1, x ). Αν όµως αρχικά τ σώµα ξεκινά από τ σηµεί x 3, τότε θα κινηθεί πρς τ + µε αυξανόµενη ταχύτητα, µέχρι ότυ διαφύγει έξω από τ πεδί δυναµικύ, όπυ V(x)=0. Ας θεωρήσυµε ένα πι συγκεκριµέν δυναµικό όπως τ πηγάδι δυναµικύ τυ Σχήµατς. Σχήµα Πηγάδι δυναµικύ Αν η λική ενέργεια Ε=Ε 1 <0, τότε τ σωµατίδι (όπως και στη πρηγύµενη συζήτηση) περιρίζεται µέσα σε µια πεπερασµένη περιχή τυ χώρυ και ταλαντύται µεταξύ των σηµείων όπυ V(x)=E. Αν όµως η ενέργεια τυ σωµατιδίυ είναι Ε=Ε >0, τότε αν αρχικά τ σωµατίδι βρίσκεται έξω από τ πεδί έλξης (όπυ V(x)=0) τ σωµατίδι εισέρχεται στη περιχή τυ πεδίυ επιταχυνόµεν µέχρι τυ σηµείυ x=0 (τ κέντρ τυ πεδίυ έλξης), στη συνέχεια επιβραδύνεται και εξέρχεται από τ πεδί µε ταχύτητα τελικά ίση µε την αρχική. Η κίνηση αυτή είναι απεριδική. Τ αντίθετ συµβαίνει στ φράγµα δυναµικύ τυ Σχήµατς 3. Τ δυναµικύ αυτό Σχήµα 3 Φράγµα δυναµικύ αντιστιχεί σε απωστική δύναµη. Εδώ είναι δυνατά δύ είδη κίνησης. Αν αρχικά τ σωµατίδι ξεκινήσει από τα αριστερά µε ενέργεια Ε=Ε 1, τότε επιβραδύνεται µέχρι τυ σηµείυ x 1, όπυ E=V(x). Στ σηµεί x 1 αντιστρέφεται η κίνησή τυ και ξεφεύγει τελικά στ -. Τ ίδι συµβαίνει και από την δεξιά πλευρά τυ φράγµατς. Αν όµως Ε=Ε, τότε τ σωµατίδι επιβραδύνεται µέχρι να φθάσει στ κέντρ τυ πεδίυ άπωσης (σηµεί x=0) και στη συνέχεια (χωρίς να σταµατήσει) επιταχύνεται και ξεφεύγει στ + µε τελική ταχύτητα ίση µε την αρχική, ως να µην είχε συναντήσει τ πεδί δυναµικύ. Chap. 5
. Κίνηση κντά στη θέση ισρρπίας Για να ισρρπεί ένα σώµα θα πρέπει η δύναµη πυ ασκείται σ αυτό να ισύται µε µηδέν ή dv F = = 0, πυ σηµαίνει ότι η εφαπτόµενη της δυναµικής ενέργειας στη θέση ισρρπίας να dx είναι ριζόντια. Χωρίς να χάνεται η γενικότητα, διαλέγυµε στ σηµεί ισρρπίας ως x=0. Για µικρές απµακρύνσεις από τη θέση ισρρπίας µπρύµε να αναπτύξυµε τη δυναµική ενέργεια σε σειρά Taylr γύρω από τ σηµεί ισρρπίας x=0, 1 V(x) = V(0) + xv' (0) + x V' '(0) +... (7) Θέτυµε V(0)=0 (στάθµη αναφράς) και εφόσν στ σηµεί ισρρπίας F=-V (0)=0, καταλήγυµε από την (7) στη πρσέγγιση, V (x) = 1 kx (8) όπυ k= V (0). (Η πρσέγγιση (8) έχει την ίδια µρφή µε την δυναµική ενέργεια τυ αρµνικύ ταλαντωτή, π.χ. µια µάζα m πρσδεδεµένη στ άκρ ενός ελατηρίυ). Οπότε από την (8) υπλγίζυµε τη δύναµη F = - kx, (9) και επµένως, η εξίσωση κίνησης τυ σώµατς ( ς νόµς τυ Νεύτωνα) γράφεται, m & x + kx = 0. (10) Η εξίσωση αυτή είναι γραµµική διαφρική εξίσωση και ι λύσεις της ακλυθύν την αρχή της επαλληλίας, δηλ. αν x 1 (t) και x (t) είναι λύσεις της (10), τότε και γραµµικός συνδυασµός x(t) = α x 1 (t) + β x (t) (11) (όπυ α και β σταθερές) είναι λύση της (10). Πράγµατι, αντικαθιστώντας την (11) στην (10) παίρνυµε & x + kx = α(mx && + kx ) + β(mx & + kx ) 0. m 1 1 = Αν ι λύσεις x 1 (t) και x (t) είναι γραµµικά ανεξάρτητες, τότε η λύση (11) είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης (10). Ας βρύµε λιπόν τις δύ γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της (10). (i) Αν k<0, τότε V(x)=max στ σηµεί ισρρπίας x=0. Η εξίσωση κίνησης (10) έχει τη µρφή, & x p x = 0, (1) Chap. 6
όπυ p =-k/m και p R. Οι λύσεις της (1) είναι x=e pt και e -pt, άρα η γενική λύση είναι x(t) = A e pt + B e -pt. (13) όπυ Α,Β αυθαίρετες σταθερές. Η λύση (13) είναι ασταθής. Πράγµατι, για t, πρώτς όρς στ µέρς της (13) απκλίνει, πυ σηµαίνει ότι µια µικρή απµάκρυνση από τη θέση ισρρπίας, δηγεί τ σώµα να απµακρύνεται εκθετικά µε τ χρόν από τ αρχικό σηµεί ισρρπίας (σηµεί ασταθύς ισρρπίας) και κατά συνέπεια η πρσέγγιση (7) παύει να ισχύει. (ii) Αν k>0, τότε V(x)=min στ σηµεί ισρρπίας x=0. Η εξίσωση (10) παίρνει τη µρφή, & x + ω x = 0, (14) όπυ ω =k/m και ω R. Οι λύσεις της (14) είναι πρφανώς ι τριγωνµετρικές συναρτήσεις x=csωt και sinωt, άρα η γενική λύση έχει τη µρφή, x(t) = A csωt + B sinωt (15) όπυ Α,Β αυθαίρετες σταθερές, ι πίες µπρύν να πρσδιριστύν από τις αρχικές συνθήκες για x, v. H λύση (15) µπρεί να τεθεί και υπό τη µρφή, x(t) = A cs(ωt+φ) (16) όπυ τώρα (Α, φ) είναι ι νέες αυθαίρετες σταθερές. Η λύση (16) παριστάνει αρµνική ταλάντωση. Η σταθερά Α καλείται πλάτς της ταλάντωσης, η σταθερά φ αρχική φάση, και η σταθερά ω συνήθως αναφέρεται ως γωνιακή συχνότης ταλάντωσης. Να υπενθυµήσω ότι ως κυκλική (ή απλά) συχνότης ν ρίζεται από τη σχέση: ρίζεται ως: Τ=1/ν. ν = ω π, ενώ η περίδς ταλάντωσης Τ.4 Απσβενυµένη ταλάντωση Είδαµε ότι ένα σώµα πυ υφίσταται την επίδραση συντηρητικής δύναµης, µπρεί για µικρές µετατπίσεις από τη θέση ισρρπίας τυ να θεωρηθεί πρσεγγιστικά σαν ένας αρµνικός ταλαντωτής. Όµως σε όλα τα φυσικά συστήµατα επενεργεί και κάπια δύναµη τριβής (λέγνται και δυνάµεις ασωτείας) πυ δηγεί σε απώλεια της ενέργειας. Σαν καλή πρσέγγιση στις περισσότερες περιπτώσεις µπρύµε να υπθέσυµε ότι η δύναµη τριβής είναι ανάλγη της ταχύτητας x&, εφόσν µάλιστα αυτή είναι και η µόνη περίπτωση τριβών για την πίαν µπρύµε να επιλύσυµε την εξίσωση κίνησης αναλυτικά. Συνεπώς, η εξίσωση (10) γράφεται τώρα, Chap. 7
m & x = kx bx&. (17) όπυ b είναι µια σταθερά (υπθέτυµε b>0). Η εξίσωση (17) περιγράφει τν απσβυνόµεν αρµνικό ταλαντωτή. Για την επίλυσή της (ως µγενής) δκιµάζυµε εκθετικές λύσεις της µρφής x(t) =A e pt, πότε x& =Ap e pt, και & x& = Ap e pt. Αντικαθιστώντας στην (17) έχυµε, ή A (mp + bp + k) e pt = 0, mp + bp + k = 0. (18) Οι ρίζες τυ τριωνύµυ είναι p b b k = + ( ) και m m m 1 p b b k = ( ) (19) m m m ή θέτντας (19) γράφνται, ω = k και m p1 γ = b m = γ + γ ω και (ω λέγεται ιδισυχνότητα τυ αρµνικύ ταλαντωτή), ι ρίζες p = γ γ ω (0) (a) για µεγάλη απόσβεση γ > ω έχυµε p1,p R, ενώ η τετραγωνική ρίζα στις (0) γράφεται: γ ω = γ ω 1 γ ω γ(1 γ ω ) = γ γ, πότε ω p1 = και γ ω p = γ +. (1) γ Συνεπώς, η γενική λύση της (17) είναι ω t γ ω γt+ t γ x(t) = Ae + Be () Για t, και ι δύ όρι στην () τείνυν εκθετικά πρς τ µηδέν. (b) για µικρή απόσβεση γ < ω, ι ρίζες (0) p1,p είναι µιγαδικές, δηλ. p 1 = γ + iω και p = γ iω (3) Chap. 8
όπυ ω = ω γ. Οπότε η γενική λύση της (17) είναι, x(t) = A e -γt+iωt + B e -γt-iωt = α e γt cs(ωt+φ) (4) Η λύση (4) παριστάνει ταλάντωση µε συχνότητα ω = ω γ και µε πλάτς ταλάντωσης αe -γt τ πί µειώνεται εκθετικά µε τ χρόν (Σχήµα 4). O χρόνς τ=1/γ λέγεται χρόνς εφησυχασµύ και παριστάνει τν χρόν πυ απαιτείται για να µειωθεί τ πλάτς στην 1/e της αρχικής τυ τιµής. Μέσα σε µια περίδ τ πλάτς ταλάντωσης µειώνεται κατά: Q καλείται συντελεστής πιότητς. ω = γ e γτ = e γ x/ω e π / Q. Η πσότης Σχήµα 4 Αρµνική ταλάντωση µε µικρή απόσβεση H λική ενέργεια τυ ταλαντωτή στη περίπτωση της µικρής απόσβεσης είναι (παίρνυµε ω ω ), 1 Ε = m x& + kx 1 γt γt 1 mα [ γe cs( ω t + φ) ω e sin( ω t + φ)] + k[ αe cs( ω t + φ )] 1 γt 1 γt 1 γt t m e sin ( t ) k e cs ( t ) k e E e γ α ω ω + φ + α ω + φ α = (5) 1 γt δηλ. η λική ενέργεια µειώνεται εκθετικά στ διπλάσι ρυθµό απ ότι τ πλάτς ταλάντωσης, όπυ E 1 = kα (στη τελευταία ισότητα στην (5) χρησιµπιήσαµε τη σχέση: mω = k ). Σχήµα 5 Αρµνική ταλάντωση (α) µε µεγάλη απόσβεση, (b) µε µικρή απόσβεση, και (c) µε κρίσιµη απόσβεση. Chap. 9
(c) για την ριακή τιµή γ=ω (κρίσιµη απόσβεση), ι ρίζες (0) είναι ίσες, δηλ. p 1 =p = γ, πότε η γενική λύση της (17) θα έχει τη µρφή, x(t) = A e -γt + B t e -γt = (A+Bt) e -γt (6) η πία και πάλι τείνει εκθετικά πρς τ µηδέν για t, αλλά σε πι γρήγρ ρυθµό απ ότι της περίπτωσης (a). Στ Σχήµα 5 φαίνεται παραστατικά η επιστρφή στην ηρεµία ενός αρµνικύ ταλαντωτή στις τρεις περιπτώσεις απόσβεσης πυ έχυµε µελετήσει παραπάνω..5 Εξαναγκασµένη ταλάντωση Συχνά ενδιαφέρει να διερευνήσυµε την ανταπόκριση ενός ταλαντύµενυ συστήµατς σε µια χρν-εξαρτώµενη εξωτερική δύναµη (ή διεγέρτης) F(t). Η εξίσωση κίνησης γράφεται τώρα, m & x + bx& + kx = F(t). (7) Όπως γνωρίζυµε, αν x i (t) είναι µια λύση της µη-µγενύς διαφρικής εξίσωσης (7) και x h (t) είναι λύση της αντίστιχης µγενύς, τότε και τ άθρισµά τυς x i (t)+x h (t) θα είναι επίσης λύση της µη-µγενύς (7). Επµένως χρειάζεται να βρύµε µια ειδική (ή µερική) λύση της (7) x i (t), πότε ως γενική λύση θα πάρυµε τ άθρισµα x i (t)+x h (t) (αφύ η λύση x h (t) έχει ήδη βρεθεί στ πρηγύµεν εδάφι). Σε πλλές ενδιαφέρυσες περιπτώσεις, η εξωτερική δύναµη είναι περιδική συνάρτηση τυ χρόνυ. Αν η δύναµη ταλαντύται συν/ηµιτνειδώς µε συχνότητα ω, F(t)=F csωt, τότε η εξίσωση κίνησης είναι, m& x + bx& + kx = F csωt. (8) Από Φυσικής σκπιάς, ι λύσεις πυ µας ενδιαφέρυν πρέπει να είναι ταλαντώσεις µε συχνότητα ω, ίδια µε της εφαρµζόµενης δύναµης, δηλ. της µρφής x(t)=a cs(ωt+φ). (9) Οι σταθερές (Α, φ) υπλγίζνται, αντικαθιστώντας τη λύση (9) στην (8). Πράγµατι, ( mω + k)a cs( ωt + φ) bωasin( ωt + φ) = F csωt. Αναπτύσσυµε τ όρισµα των τριγωνµετρικών συναρτήσεων, cs( ), sin( ): ( mω + k)a(csωt csφ sin ωt sin φ) bωa(sin ωt csφ + csωt sin φ) = F csωt Chap. 10
και µαδπιώντας τυς όρυς σε παράγντες των csωt, sinωt έχυµε, [( mω + k)a csφ bωasin φ F ]csωt [( mω + k)a sin φ + bωacsφ]sin ωt = 0 Οι συναρτήσεις csωt, sinωt είναι γραµµικώς ανεξάρτητες, άρα ι συντελεστές τυς µηδενίζνται, συνεπώς πρκύπτυν ι εξισώσεις, ( mω ( mω + k)a cs φ bωa sin φ F + k)a sin φ + bωa cs φ = 0 = 0 (30) ή θέτντας γ = b και m ω = k m, η (30) γράφεται, ( ω ( ω + ω )A cs φ γωa sin φ = F + ω ) sin φ + γωcs φ = 0 / m απ όπυ υπλγίζεται τ πλάτς Α και η φάση φ, F A = / m, tan φ = Z ω γω ω (31) όπυ Z = ( ω ω ) + 4γ ω. Η πσότης Ζ καλείται εµπέδηση. Στ Σχήµα 6 απεικνίζεται τ πλάτς Α σαν συνάρτηση της συχνότητας της εξωτερικής δύναµης µε ή χωρίς τριβές. Σχήµα 6 Τ πλάτς ταλάντωσης σαν συνάρτηση της συχνότητας ω της εξωτερικής δύναµης Παρατηρύµε ότι καθώς η απόσβεση µειώνεται (b 0), τ πλάτς αυξάνεται. Η µεγάλη αύξηση τυ πλάτυς όταν ω ω νµάζεται συντνισµός και η ω συχνότητα συντνισµύ. Τ φαινόµεν τυ συντνισµύ µπρεί να συµβεί σε πιδήπτε ταλαντύµεν σύστηµα πυ διεγείρεται από εξωτερική δύναµη και έχει µεγάλη πρακτική σηµασία, καθόσν αρκετά µικρές δυνάµεις µπρύν Chap. 11
να πρκαλέσυν µεγάλες ταλαντώσεις όταν η ι συχνότητές τυς (των δυνάµεων) πλησιάζυν την ιδισυχνότητα τυ συστήµατς ω. Η γενική λύση λιπόν της (8) θα είναι, F / m γt x(t) = cs( ωt + φ) + αe cs( ω1t + θ) Z (3) 1 γ όπυ ω = ω για γ<ω και α,θ αυθαίρετες σταθερές. Ο δεύτερς όρς στην (3) απσβένει εκθετικά και µέσα σε χρόν t 5τ (όπυ τ=1/γ είναι χρόνς απόσβασης) γίνεται αµελητές, γι αυτό και νµάζεται παρδικός (ή µεταβατικός) όρς. Έτσι µετά από ένα µικρό µεταβατικό διάστηµα (t 5τ), η ευσταθής κατάσταση πυ απµένει δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες και η µετατόπιση παρίσταται µόν από τν πρώτ όρ της (3), δηλ. η ταλάντωση δηγείται απκλειστικά από την εξωτερική δύναµη. Στην ευσταθή κατάσταση, ρυθµός πρσφράς έργυ (δηλ. η παρεχόµενη ισχύς) πρς τν ταλαντωτή από την εφαρµζόµενη δύναµη (πυ ισύται µε την απρρφύµενη ισχύ από τν ταλαντωτή) είναι ωf P(t) = υ F(t) = sin( ωt + φ) csωt mz ( υ x& είναι η ταχύτητα). Οπότε, η µέση τιµή της ισχύς µέσα σε µια περίδ Τ είναι, P av = 1 T 0 T ωf P(t) dt = mz 1 T 0 T ωf sin φ F γω sin( ωt + φ) cs ωt dt = = mz m ( ω ω ) + 4γ ω Η απρρφύµενη ισχύς δαπανάται από τις τριβές (όντως, αν γ=0 Ρ av =0). Στ Σχήµα 7 έχει σχεδιαστεί η ισχύς Ρ av σαν συνάρτηση της συχνότητας τυ διεγέρτη ω, για δύ τιµές τυ γ. Η µεγίστη τιµή της µέσης ισχύς Ρ av λαµβάνεται όταν ω=ω, δηλ. όταν συντνίζεται τ ταλαντύµεν σύστηµα µε τν εξωτερικό διεγέρτη. (33) Σχήµα 7 από τν ταλαντωτή Η µέση απρρφύµενη ισχύς Chap. 1
.4 Φασικός χώρς Θεωρύµε ένα σύστηµα µε 1 βαθµό ελευθερίας τ πί περιγράφεται από τη εξίσωση κίνησης, & x = f (x), x R (34) Η συνάρτηση f(x) δεν εξαρτάται ρητά από τν χρόν, πότε λέµε ότι τ σύστηµα είναι αυτόνµ. Η διαφρική εξίσωση (34) είναι ισδύναµη µε τ σύστηµα των εξισώσεων, x& = y y& = f (x) (35) r r Αν εισάγµε τα διανύσµατα x = (x, y) και F = (y, f ), τότε η (35) γράφεται ισδύναµα υπό διανυσµατική µρφή, r dx r r = F(x) (36) dt Τ επίπεδ (x,y) καλείται φασικό επίπεδ της εξίσωσης (34). Σηµεία πάνω στ φασικό επίπεδ x καλύνται φασικά σηµεία, µε αντίστιχη φασική ταχύτητα ( x, & y& ). Τ διάνυσµα στ f (x) δεύτερ µέρς της (35) καλείται διανυσµατικό πεδί της φασικής ταχύτητας. Μια λύση της (35) παριστάνει κίνηση (ή απεικόνιση) ενός φασικύ σηµείυ πάνω στ φασικό επίπεδ, ϕ r : R R, τέτια ώστε η ταχύτης τυ κινυµένυ σηµείυ για κάθε χρνική στιγµή t να ισύται µε τη φασική ταχύτητα στ εν λόγω σηµεί τυ φασικύ επιπέδυ. Τ πεδίν τιµών της απεικόνισης ϕ r καλείται φασική καµπύλη ή τρχιά πάνω στ φασικό επίπεδ. Συνεπώς η φασική καµπύλη δίδεται από τις ακόλυθες παραµετρικές εξισώσεις, x = ϕ(t) y = ϕ& (t) (37) Η φασική καµπύλη µπρεί να απτελείται από ένα µόν σηµεί. Τέτι σηµεί καλείται σηµεί ισρρπίας. Η φασική ταχύτης σε ένα τέτι σηµεί είναι µηδέν. Αν η ενέργεια διατηρείται, τότε κάθε φασική καµπύλη περιγράφεται από την εξίσωση Ε(x,y)=c (όπυ c=cnst.). Παράδειγµα 1: Θεωρύµε την εξίσωση κίνησης ενός αρµνικύ ταλαντωτή (σε κατάλληλες µνάδες), x& = y x& y & x = x, ή, ή y& = x = y& x απ όπυ λαµβάνυµε, Chap. 13
x x E = & + ή x y E = +. Οι ενεργειακές στάθµες είναι µόκεντρι περιφέρειες και καθεµιά από αυτές απτελεί και µια φασική καµπύλη, όπως φαίνεται στ Σχήµα 8. Τ διάνυσµα της φασικής ταχύτητας στ σηµεί r r (x,y) έχει συνιστώσες υ = (y, x), είναι κάθετ πρς τ διάνυσµα θέσης = (x, y) και είναι ίσυ µέτρυ µε αυτό. Η κίνηση ενός φασικύ σηµείυ πάνω στ επίπεδ των φάσεων είναι µιόµρφς γύρω από τ σηµεί 0, δηλ. x = r cs (φ -t) και y = r sin (φ -t) και φ αρχική φάση. Σχήµα 8 Ενεργειακές στάθµες ενός αρµνικύ ταλαντωτή πάνω στ φασικό επίπεδ Παράδειγµα : Υπθέτυµε ότι η δυναµική ενέργεια δίδεται από την παρακάτω γραφική παράσταση τυ Σχήµατς 9. Θα χαράξυµε τις ικγένειες των ενεργειακών επιπέδων: 1 + V(x) = E. y Σχήµα 9 (a) Τυχύσα δυναµική ενέργεια και (b) µερικές χαρακτηριστικές ενεργειακές στάθµες στ φασικό επίπεδ Κατ αρχήν, θα πρέπει να σηµειώσυµε τα εξής: 1. Τα σηµεία x 1 και x είναι ακρότατα της συνάρτησης V(x).. Τ σηµεί (x 1,0) είναι σηµεί ισρρπίας. (V =0) 3. Κάθε ενεργειακό επίπεδ Ε i είναι µια µαλή καµπύλη στη γειτνική περιχή κάθε σηµείυ πυ δεν είναι σηµεί ισρρπίας. Chap. 14
Για να δύµε καλύτερα τ πρόβληµα, ας φανταστύµε ένα µπαλάκι τ πί κυλίεται µέσα στ δυναµικό τυ Σχήµατς 8(a). Η κίνηση πυ θα εκτελεί τ σώµα εξαρτάται από τη ενέργειά τυ, Ε. Αν για παράδειγµα Ε 1 <Ε<Ε 4, τότε τ σώµα αφεθεί µέσα στη περιχή τυ πηγαδιύ (κντά στ σηµεί x 1 ), τότε τ σώµα θα εκτελεί αρµνική ταλάντωση, αν όµως αφεθεί δεξιά τυ φράγµατς (δηλ. πέραν τυ x ), τ σώµα εν γένει θα ανακρυστεί επί τυ φράγµατς και στη συνέχεια θα διαφύγει στ άπειρ. Έχµε ήδη εξετάσει πιτικά τη κίνηση σώµατς µέσα σε τέτι δυναµικό. Γυρνάµε πάλι πίσω στη µαθηµατική θεώρηση τυ πρβλήµατς. Έστω ένα σηµεί Μ στ φασικό επίπεδ τ πί παριστάνει τις αρχικές συνθήκες τυ συστήµατς (35). Υπθέτυµε ότι κάθε λύση µπρεί να εξελιχθεί χρνικά για πρκύπτν σηµεί στ φασικό επίπεδ, πότε t. Η λύση σε t εξαρτάται από τ Μ. Έστω M(t) τ Μ(t) = g t Μ, (38) όπυ g t είναι µια απεικόνιση τυ φασικύ επιπέδυ στν εαυτό τυ, g t : R R. Η απεικόνιση g t είναι αµφιδιαφρίσιµη (diffemrphism, ένα-πρς-ένα διαφρίσιµη απεικόνιση µε την αντίστρφη απεικόνιση επίσης διαφρίσιµη). Επίσης η απεικόνιση g t, t R απτελεί µια µάδα. Η µάδα αυτή επίσης καλείται ρή φάσης πυ δίδεται από τ σύστηµα (35). x& = y Παράδειγµα 1: Έστω η εξίσωση: & x = x, πότε πρκύπτει τ σύστηµα:. Έστω ι αρχικές y& = x συνθήκες: t=0, x=0, y =. Μπρύµε να βρύµε την τρχιά της, Απαλείφµε τ t, άρα, x = φ(t,t ) = e t e -t y = ϕ& (t,t ) = e t + e -t e t = y + x, e -t = y x + 4 = y x y = ± x 4 Στ παρακάτω Σχήµα 10, απεικνίζεται η τρχιά τυ σηµείυ στ φασικό επίπεδ. Σχήµα 10 Η τρχιά πάνω στ φασικό επίπεδ Chap. 15
Παράδειγµα : Θεωρύµε την εξίσωση τυ απλύ µαθηµατικύ εκκρεµύς, Θέτντας x=θ πρκύπτει τ σύστηµα, x& = y y& = & g θ + sin θ = 0 L (1) g sin x L g. () x L Σηµεί ισρρπίας είναι: x=y=0. Ζητύνται ι τρχιές της (). Πράγµατι, άρα, dy dx y g L x g = ydy = xdx y L x + = c, (3) ω όπυ ω =L/g. Η (3) είναι η εξίσωση των τρχιών τυ συστήµατς (). Μερικές τρχιές απεικνίζνται παραστατικά στ Σχήµα 11. Σχήµα 11 Ελλειπτικές τρχιές τυ µαθηµατικύ εκκρεµύς πάνω στ φασικό επίπεδ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ: ΣΕΙΡΑ 1 1. Να µελετηθεί η κίνηση σώµατς µάζας m τ πί βρίσκεται µέσα σε δυναµικό πεδί µε δυναµική ενέργεια: 1 1 4 x x 4 V (x) = +.. Απλό εκκρεµές αφήνεται από την ηρεµία σε µικρή γωνία φ ως πρς την ανερχόµενη κατακόρυφ. είξετε ότι χρόνς πυ απαιτείται για να δεκαπλασιαστεί η γωνιακή µετατόπιση είναι περίπυ ω ln0, όπυ όπυ g. Υπλγίσετε τν χρόν αυτό για εκκρεµές µε περίδ Τ=sec και βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα τυ εκκρεµύς όταν φθάσει τη κατακόρυφ πρς τα κάτω. = L / ω 3. Σώµα µάζας m πέφτει κατακόρυφα υπό την επίδραση της βαρύτητς. Να γράψετε την εξίσωση κίνηση τυ σώµατς, λαµβάνντας υπόψιν και την αντίσταση τυ αέρς, -bυ. Να λκληρώσετε την πρκύπτυσα εξίσωση και να δειχθεί ότι η µεγίστη ταχύτης, αν τ σώµα αφήνεται εκ της ηρεµίας, είναι υ=mg/b. Chap. 16