E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ.Παραδείγματα αναλυτικά.παραδείγματα αριθμητικά 3.Ελαστικότητα ζήτησης 4.Ελαστικότητα προσφοράς 5. Έσοδο 6.Κέρδος μονοπωλίου. Παραδείγματα αναλυτικά Παράδειγμα. Σε μια οικονομία το εθνικό εισόδημα Y αυξάνει με ετήσιο ρυθμό 6%, και ο πληθυσμός L με ετήσιο ρυθμό 3%. Να βρεθεί ο ετήσιος ρυθμός αύξησης του κατά κεφαλήν εισοδήματος y= Y / L και να εκτιμηθεί ο χρόνος διπλασιασμού του κατά κεφαλή εισοδήματος. Λύση. Ο ποσοστιαίος (σχετικός) ρυθμός μεταβολής του λόγου ισούται με τη διαφορά των δύο ρυθμών: Y %dy %dy %dl y= = = 6 3= 3% ετησίως L dt dt dt Y Επομένως αυξάνει με σχετικό ρυθμό r =.3. Εναλλακτικά: y= ry = ry rl =.6.3=.3 L Εφόσον μεταβάλλεται με σταθερό σχετικό ρυθμό θα μεταβάλλεται εκθετικά: rt.3t y(t) = y()e = y()e Θα διπλασιαστεί μετά από χρόνο τ που δίνεται από την σχέση:.3t.3τ ln.7 7 y() = y()e = e τ= = = 3.33 χρόνια.3.3 3 Παρατήρηση. Γενικά ο χρόνος διπλασιασμού ενός μεγέθους με σταθερό ρυθμό αύξησης %r δίνεται από τον τύπο: ln.7 7 τ= = r r %r Παράδειγμα. Το ετήσιο έσοδο από την πώληση ενός προϊόντος είναι E=, όπου είναι η μοναδιαία τιμή του και η ποσότητα ζήτησης. Δίνεται ότι η τιμή αυξάνει με ρυθμό.5% ετησίως, και ότι η ελαστικότητα ζήτησης είναι ε= 3. Να εκτιμηθούν ο ετήσιος ρυθμός μεταβολής του εσόδου, καθώς και το ύψος του ετήσιου εσόδου μετά την παρέλευση 4 ετών αν το τωρινό έσοδο είναι E. Λύση.. Ο ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής γινομένου ισούται με το άθροισμα των δύο, της ζήτησης και της τιμής: %de %d %d = + όπου: %d =.5% ετησίως dt dt dt dt. Ο ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής της ζήτησης ισούται με το γινόμενο της ελαστικότητας με τον ποσοστιαίο ρυθμό μεταβολής της τιμής: %d %d %d = = ( 3)(.5%) =.5% ετησίως dt %d dt 3 Αντικαθιστώντας στο, βρίσκουμε: %de =.5+.5= % dt Συμπεραίνουμε ότι το έσοδο πέφτει % ετησίως, δηλαδή μεταβάλλεται με σχετικό ρυθμό: r =.. Επομένως το έσοδο μετά από 4 έτη θα είναι: rt (.)4.4 E E e E e = = = E e E [ + (.4) + (.4) / ] = E.968 Στον τελευταίο υπολογισμό χρησιμοποιήσαμε την παραβολική προσέγγιση του εκθετικού.. Παραδείγματα αριθμητικά Υπάρχουν δύο βασικοί τρόποι εκτίμησης της ελαστικότητας και του σχετικού (ποσοστιαίου) ρυθμού, από αριθμητικά δεδομένα:. Χρησιμοποιώντας τους ορισμούς: Δy / y xδy Δy / y Δy y= y(x) Exy =, Rxy = Δx / x yδy Δx yδx. Χρησιμοποιώντας την (ημι)λογαριθμική παράσταση Δlny Δlny y= y(x) Exy, Rxy Δln x Δx

Παράδειγμα. Σε μια εθνική οικονομία, το εθνικό εισόδημα Y και ο πληθυσμός {t =, t = }, βρέθηκαν να έχουν αντίστοιχα τις τιμές: L κατά τα έτη {Y = 5, Y = 6} δισεκατομμύρια ευρώ, {L =, L = } εκατομμύρια α) Να εκτιμηθούν ο ετήσιος ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής του εθνικού εισοδήματος, του πληθυσμού, και του κατά κεφαλή εισοδήματος y= Y / L. β) Υποθέτοντας το τελευταίο σταθερό, να εκτιμηθεί το κατά κεφαλή εισόδημα κατά το έτος. Λύση. ΔY / Y (Y Y ) / Y / 5 α) ry = = = =. %ry = ry = % Δt t t 5 ΔL / L (L L ) / L / r = = = =. %r = r = % L L L Δt t t y= Y / L r = r r..=. %r = r = % y Y L y y Μεταβάλλονται με ρυθμό {%,%,%} ετησίως, αντίστοιχα. Παρατήρηση. Στον παρονομαστή της σχετικής μεταβολής αντί των αρχικών: {Y,L } χρησιμοποιούνται και τα ενδιάμεσα: Y ɶ = (Y+ Y ) /, L ɶ = (L+ L ) / β). Μεγέθη που μεταβάλλονται με σταθερό σχετικό ρυθμό εξελίσσονται εκθετικά, οπότε μετά από χρόνια το κατά κεφαλή εισόδημα θα είναι: ry 6 (.) 6. y() y()e = e = e 6 6 δισεκατομμύρια ευρώ χιλιάδες ευρώ ( + + ) =.5 = 6.3 εκατομμύριo πληθυσμό κάτοικο Παρατήρηση. Εναλλακτικά μπορούμε να εκτιμήσουμε και τον ετήσιο ποσοστιαίο ρυθμό μεταβολής του κατά κεφαλή εισοδήματος, όπως τα δύο πρώτα. Έχουμε: Y 5 Y 6 y= = = 5, y = = L L 6 5 / 5 Δy / y (y y ) / y (6 55) r y = = = = %ry.9 Δt ()()(5) Σαυτή την περίπτωση θα βρούμε: ry 6 (.9) 6.9 y() y()e = e = e 6 6 (+.9+.4) =.95 δισεκατομμύρια ευρώ εκατομμύρια πληθυσμό 58.9 χιλιάδες ευρώ κάτοικο Παρατήρηση. Για υπολογισμούς, στα παραπάνω χρησιμοποιήσαμε την παραβολική προσέγγιση του εκθετικού: x e + x+ x για μικρά x Παράδειγμα4. Το συνολικό εισόδημα X ενός πληθυσμού N ήταν {X =, X = 5} δισεκατομμύρια ευρώ κατά τα έτη {t=, t = }, αντίστοιχα. α). Να εκτιμηθεί ο ετήσιος ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής του εισοδήματος. β). Υποθέτοντας σταθερό ποσοστιαίο ρυθμό μεταβολής του εισοδήματος, να εκτιμηθεί το εισόδημα για το έτος. γ). Αν επιπλέον είναι γνωστό ότι ο πληθυσμός N ελαττώνεται με ρυθμό % ετησίως να εκτιμηθεί ο ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής του κατά κεφαλή εισοδήματος x= X / N. Λύση. α). Θα εκτιμήσουμε τον σχετικό ρυθμό μεταβολής r χρησιμοποιώντας την ημιλογαριθμική παράσταση: Δln X ln X ln X ln(x / X ) ln(.5) r = = = %r = r = ln.5 Δt t t t t

β). Με σταθερό σχετικό ρυθμό το εισόδημα αυξάνει εκθετικά. Αρχίζοντας με το έτος το εισόδημα για το έτος θα είναι: r( ) r ln.5 N() = 5e = 5e = 5e = 5(.5) = 3.5 γ). Θα ισούται με την διαφορά των δύο ρυθμών: ( ln.5 )%. 3. Ελαστικότητα ζήτησης Θεωρούμε την ζήτηση ως συνάρτηση της μοναδιαίας τιμής ενός αγαθού. Με τον άξονα οριζόντιο, η ελαστικότητα ζήτησης (demand elasticity) αφορά την ελαστικότητα της ποσότητας στον οριζόντιο άξονα ως προς την τιμή στον κατακόρυφο, και δίνεται από τους παρακάτω τύπους: %d / = () ε= ε = E = = = = %d Θα ασχοληθούμε μόνο με κανονικά αγαθά που έχουν φθίνουσες συναρτήσεις ζήτησης. Λέμε ότι η ζήτηση είναι: ελαστική αν ε > ε <, ανελαστική αν ε < ε >, ισοελαστική αν ε = ε = Δηλαδή: Η ζήτηση είναι ελαστική αν αύξηση της τιμής προκαλεί μεγαλύτερη ποσοστιαία μείωση στη ζητούμενη ποσότητα ή ισοδύναμα αν αύξηση της ποσότητας προκαλεί μικρότερη ποσοστιαία μείωση στην τιμή. < ε = E > < < > > μέτρο της ελαστικότητας ζήτησης: Παρατηρήσεις. Στα πρώτα δύο γραφήματα έχουμε την ίδια εξίσωση ζήτησης, στο πρώτο την συνάρτηση ζήτησης με τον άξονα οριζόντιο, και στο δεύτερο την αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης με τον άξονα οριζόντιο.. Συνήθως έχουμε ισοελαστικότητα σε κάποιο ενδιάμεσο σημείο, με: ανελαστικότητα στα μικρά και ελαστικότητα στα μεγάλα,όπως στο πρώτο γράφημα ελαστικότητα στα μικρά και ανελαστικότητα στα μεγάλα, όπως στο δεύτερο γράφημα 3. Μια συνάρτηση ζήτησης μπορεί να μην έχει σημείο ισοελαστικότητας οπότε θα είναι παντού ελαστική ή παντού ανελαστική. Ειδικά αυτό ισχύει αν έχει σταθερή ελαστικότητα διαφορετική της. Σταθερή ελαστικότητα ζήτησης έχουν οι αρνητικές δυνάμεις: β β = α = α / ε = β< 4. Επίσης, εφόσον η ελαστικότητα αφορά τον οριζόντιο άξονα ως προς τον κατακόρυφο άξονα, συμπεραίνουμε ότι:με τον άξονα οριζόντιο, σε κάθε {,C}η ελαστικότητα ζήτησης (το μέτρο) μεγαλώνει όσο μικραίνει η κλίση του γραφήματος. Ειδικά:. Το κατακόρυφο γράφημα του τρίτου σχήματος αντιστοιχεί σε μηδενική ελαστικότητα και λέμε ότι η ζήτηση είναι πλήρως ανελαστική (totally inelastic), με την έννοια ότι δεν επηρεάζεται από την τιμή. Το οριζόντιο γράφημα του τέταρτου σχήματος αντιστοιχεί σε άπειρη ελαστικότητα και λέμε ότι η ζήτηση είναι πλήρως ελαστική (totally elastic), με την έννοια ότι επηρεάζεται πολύ από την ελάχιστη μεταβολή στην τιμή, άπειρη ζήτηση για μικρότερη, μηδενική για μεγαλύτερη. Παράδειγμα5. = = είναι παντού ισοελαστική: ε /. = = είναι παντού ελαστική: ε= / 3. = = είναι παντού ανελαστική: ε= / 4. = 4 = / έχει ισοελαστικότητα όταν: ε 3

( ) = = (=, = ) 4 Είναι ελαστική στα μικρά <, ανελαστική στα μεγάλα >, όπως στο δεύτερο γράφημα παραπάνω. Παράδειγμα. Σε αντίθεση με την συνήθη συνάρτηση ζήτησης που έχει ελαστικότητα στα μικρά και ανελαστικότητα στα μεγάλα, θα ορίσουμε τώρα πλεγμένα μια φθίνουσα συνάρτηση ζήτησης που είναι ανελαστική στα μικρά και ελαστική στα μεγάλα: α α + = c με α> Παραγωγίζοντας πλεγμένα βρίσκουμε: α α α α α α α E α α = = = = = Έχουμε ελαστικότητα όταν >, ανελαστικότητα όταν <, και ισοελαστικότητα όταν =, όπως φαίνεται και στο δεύτερο γράφημα παρακάτω. = E > E < E < E > 4. Ελαστικότητα προσφοράς Με τον ίδιο τρόπο ορίζεται η ελαστικότητα για την προσφορά ως συνάρτησης της μοναδιαίας τιμής ενός αγαθού. Με τον άξονα οριζόντιο, η ελαστικότητα προσφοράς (supply elasticity) αφορά την ελαστικότητα της ποσότητας στον οριζόντιο άξονα ως προς την τιμή στον κατακόρυφο, και δίνεται από τους τύπους: %d = S() ε= εs = E = = = = %d / Είναι θετική αν η συνάρτηση προσφοράς είναι αύξουσα, ως συνήθως. Αν υπάρχει σημείο ισοελαστικότητας τότε συνήθως έχουμε ελαστικότητα στις μικρότερες ποσότητες και ανελαστικότητα στις μεγαλύτερες ποσότητες, όπως στο δεύτερο σχήμα παρακάτω. Μια συνάρτηση προσφοράς μπορεί να μην έχει σημείο ισοελαστικότητας οπότε συνήθως θα είναι παντού ελαστική όπως στο τελευταίο σχήμα παρακάτω. Ειδικά αυτό ισχύει αν έχει σταθερή ελαστικότητα διαφορετική της. Σταθερή ελαστικότητα προσφοράς έχουν οι θετικές δυνάμεις: β = α ε = β> S Όπως και στην ζήτηση, με τον άξονα οριζόντιο, σε κάθε σημείο η ελαστικότητα προσφοράς (το μέτρο) μεγαλώνει όσο μικραίνει η κλίση του γραφήματος S. Ειδικά:. Για το κατακόρυφο γράφημα του τρίτου γραφήματος με μηδενική ελαστικότητα λέμε ότι η προσφορά είναι πλήρως ανελαστική (totally inelastic). Για το οριζόντιο γράφημα του τέταρτου γραφήματος με άπειρη ελαστικότητα λέμε ότι η προσφορά είναι πλήρως ελαστική (totally elastic). < ε = E S < > > > μέτρο της ελαστικότητας προσφοράς: ε S 4

Τέλος θεωρούμε και την ισορροπία που προκύπτει ως τομή των συναρτήσεων ζήτησης και προσφοράς, και παρατηρούμε ότι: Στην ισορροπία προσφοράς και ζήτησης: {, }, μεγαλύτερο μέτρο ελαστικότητας, δηλαδή μεγαλύτερη ευαισθησία ως προς μεταβολές στην τιμή, θα έχει η καμπύλη με την μικρότερη (απόλυτη) κλίση, υποθέτοντας τον άξονα οριζόντιο: S ε S ε =, εs = = = ε S S 5. Εσοδο Αν μια παραγωγή ποσότητας διατεθεί με μοναδιαία τιμή, θα προκύψει έσοδο (Revenue): R= Όσον αφορά την εξάρτηση της τιμής από την ποσότητα, διακρίνουμε δύο βασικές περιπτώσεις, ως εξής:. Η μοναδιαία τιμή είναι σταθερή εξωγενώς καθορισμένη, οπότε λέμε ότι επικρατούν συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού (full competition). Έχουμε: () p R= p. H μοναδιαία τιμή είναι συνάρτηση της ποσότητας σύμφωνα με την εξίσωση ζήτησης του προϊόντος: = () R= (), όπου: () = () Θα λέμε ότι επικρατούν συνθήκες ελλιπούς ανταγωνισμού, ειδικότερα συνθήκες μονοπωλίου (monopoly). Σαυτή την περίπτωση θα υποθέτουμε ότι το αγαθό είναι κανονικό, με την έννοια ότι η ζήτηση είναι γνήσια φθίνουσα συνάρτηση της τιμής οπότε και η ελαστικότητα θα είναι γνήσια αρνητική: = () ε = = < Παρατήρηση. Από μαθηματικής σκοπιάς, η συνθήκη του πλήρους ανταγωνισμού μπορεί να θεωρηθεί ως οριακή περίπτωση της συνθήκης του ελλιπούς ανταγωνισμού στο όριο όταν η ζήτηση είναι πλήρως ελαστική: ε Το μέσο έσοδο (Average Revenue) και το οριακό έσοδο (Marginal Revenue) ορίζονται τώρα με τους τύπους: R AR= = = R = + = + = ε Σε αντίθεση με την περίπτωση της ανταγωνιστικής παραγωγής, το οριακό έσοδο είναι τώρα γνήσια μικρότερο από την μοναδιαία τιμή διότι <. Δηλαδή, η αύξηση του εσόδου λόγω αυξημένης ποσότητας μετριάζεται από την ταυτόχρονη πτώση της τιμής. Γεωμετρικά, το έσοδο που αντιστοιχεί σε κάθε εκφράζεται με το εμβαδό του παραλληλογράμμου που έχει βάση και ύψος = (), όπως φαίνεται στο πρώτο γράφημα παρακάτω. Διαπιστώνουμε ότι: Ως συνάρτηση της ποσότητας, το έσοδο αυξάνει όταν η ζήτηση είναι ελαστική: ε >, δηλαδή όταν αύξηση της ποσότητας αντιστοιχεί σε μικρότερη ποσοστιαία μείωση της μοναδιαίας τιμής του προϊόντος, και ελαττώνεται στην αντίθετη περίπτωση ε <. Σε εσωτερικό ακρότατο του εσόδου η ζήτηση είναι ισοελαστική. Παρατήρηση. Αν υποθέσουμε, ως συνήθως, ότι η συνάρτηση ζήτησης είναι ελαστική στις μικρότερες ποσότητες και ανελαστική στις μεγαλύτερες, τότε καθώς η ποσότητα αυξάνει, η συνάρτηση εσόδου θα είναι στην αρχή αύξουσα μέχρι ένα επίπεδο παραγωγής που δίνει μέγιστο έσοδο και στη συνέχεια θα γίνεται φθίνουσα, όπως φαίνεται στο δεύτερο γράφημα παρακάτω. Απόδειξη. Σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, η συνάρτηση R() είναι αύξουσα όταν: R = > ε > ε Παρατήρηση. Το ίδιο συμπέρασμα προκύπτει από την εξέταση του πρόσημου της ελαστικότητας του εσόδου ως προς την ποσότητα, η οποία υπολογίζεται εύκολα επειδή έχουμε γινόμενο συναρτήσεων. Για θετικά μεγέθη το πρόσημο της ελαστικότητας συμπίπτει με το πρόσημο της παραγώγου, οπότε καταλήγουμε στο ίδιο συμπέρασμα: 5

R= () E R= E + E = E + = + > ε > ε Παρατήρηση. Αντίθετα, ως συνάρτηση της τιμής, τότε καθώς η τιμή αυξάνει το έσοδο R= () αυξάνει όταν η ζήτηση είναι ανελαστική, διότι αύξηση της τιμής προκαλεί μικρότερη ποσοστιαία μείωση στη ζητούμενη ποσότητα, και ελαττώνεται όταν η ζήτηση είναι ελαστική. Αν, ως συνήθως, η ζήτηση είναι ανελαστική στις μικρές τιμές και ελαστική στις μεγάλες, συμπεραίνουμε και πάλι ότι καθώς η τιμή αυξάνει, στην αρχή το έσοδο αυξάνει και μετά για μεγάλες τιμές ελαττώνεται. Παράδειγμα. Για ζήτηση σταθερής ελαστικότητας: ε = β, βρίσκουμε: β β β /β β /β β = =, R= =, = = β β Παρατηρούμε ότι το οριακό έσοδο είναι ένα σταθερό ποσοστό της τιμής. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:. ε = β=. Η ζήτηση είναι ισοελαστική. Το έσοδο μένει σταθερό, διότι καθώς το αυξάνει το ελαττώνεται κατά το ίδιο ποσοστό.. ε = β>. Η ζήτηση είναι ελαστική. Καθώς η ποσότητα αυξάνει η τιμή πέφτει αλλά κατά μικρότερο ποσοστό, και το έσοδο αυξάνει. 3. ε = β<. Η ζήτηση είναι ανελαστική και καθώς η ποσότητα αυξάνει η τιμή πέφτει κατά μεγαλύτερο ποσοστό, και το έσοδο πέφτει. Παράδειγμα. Για τη γραμμική ζήτηση παραπλεύρως, βρίσκουμε: α = α β =, β β α α R=, = β β β β Τα παραπάνω ισχύουν μέχρι το = α, όπου η τιμή μηδενίζεται. R ε > ε < = = () 6. Κέρδος μονοπωλίου Στο κεφάλαιο Ε εξετάσαμε το κέρδος στην ειδική περίπτωση της ανταγωνιστικής παραγωγής όπου η τιμή του προιόντος είναι σταθερή καθορισμένη εξωγενώς. Η σχετική θεωρία γενικεύεται στη περίπτωση που η τιμή είναι συνάρτηση της ποσότητας σύμφωνα με κάποια εξίσωση ζήτησης, όπως συμβαίνει π.χ. στο μονοπώλιο: = (), όπου: () = () οπότε το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους θα έχει την μορφή: max{π() = R() C() = () C() } Όσον αφορά την βέλτιστη ποσότητα παραγωγής που μεγιστοποιεί το κέρδος, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:. =. Λέμε ότι η παραγωγή είναι μη συμφέρουσα. Θα ισχύει και η γνωστή συνθήκη για ακρότατο στο αριστερό σύνορο: Π () R () C () () C () όπου () = είναι η μέγιστη αποδεκτή τιμή που δέχεται η κατανάλωση.. >. Λέμε ότι η παραγωγή είναι συμφέρουσα. Θα ισχύουν και οι γνωστές συνθήκες για εσωτερικό ακρότατο, υποθέτοντας ότι η λύση είναι φραγμένη: Π () = R () = C () () = C () συνθήκη ης τάξης ε Π () R () C () ΜR () MC (), συνθήκη ης τάξης Παρατήρηση.. Από την συνθήκη ης τάξεως συμπεραίνουμε ότι στην βέλτιστη παραγωγή η ζήτηση είναι ελαστική. Πράγματι, το οριακό κόστος στο δεξιό μέρος είναι πάντοτε θετικό, οπότε θετικό θα είναι α R 6

και το οριακό έσοδο στο αριστερό μέρος. Δηλαδή το ίδιο το έσοδο θα είναι αύξων, οπότε σύμφωνα με προηγούμενο αποτέλεσμα η ζήτηση θα είναι ελαστική.. Από την συνθήκη ης τάξεως συμπεραίνουμε, ως συνήθως, ότι στην βέλτιστη παραγωγή η καμπύλη οριακού εσόδου κόβει την καμπύλη οριακού κόστους από πάνω προς τα κάτω. Αλλά σε αντίθεση με την ανταγωνιστική παραγωγή τώρα στην βέλτιστη παραγωγή το οριακό κόστος μπορεί να είναι και φθίνον σε ειδικές περιπτώσεις: C, αρκεί να είναι λιγότερο φθίνον από το οριακό έσοδο. Ειδικότερα, για γραμμική συνάρτηση ζήτησης η συνθήκη δεύτερης τάξης γράφεται: R () C () C (), όπου: <. Τέλος υπενθυμίζουμε ότι σύμφωνα με την γενική θεωρία, για κόστος: C() = FC+ VC(), η παραγωγή είναι: συμφέρουσα το λειτουργικό κέρδος είναι γνήσια θετικό για κάποιο : VΠ= R VC= [() AVC()] > max[() AVC()] > δηλαδή η τιμή περνάει πάνω από την συνάρτηση μέσου μεταβλητού κόστους κερδοφόρος το κέρδος είναι γνήσια θετικό για κάποιο : VΠ= R C= [() AC()] > max[() AC()] >. δηλαδή η τιμή περνάει πάνω από την συνάρτηση μέσου κόστους. Στο πρώτο γράφημα του παρακάτω σχήματος δείχνουμε μια αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης. Στο δεύτερο γράφημα δείχνουμε την αντίστοιχη συνάρτηση εσόδου καθώς και μια κυρτή συνάρτηση κόστους. Η παραγωγή είναι κερδοφόρα διότι η συνάρτηση εσόδου περνάει πάνω από τη συνάρτηση κόστους, επομένως και συμφέρουσα. Παρατηρούμε ότι η παραγωγή για μέγιστο κέρδος βρίσκεται στο ελαστικό μέρος της ζήτησης και είναι μικρότερη από την παραγωγή ɶ για μέγιστο έσοδο. ε > ε = = () C R= () C= C() ε < R ɶ ɶ βέλτιστη παραγωγή μονοπωλίου Παράδειγμα. Θα εξετάσουμε το πρόβλημα βέλτιστης παραγωγής για ένα μονοπώλιο με τις παρακάτω γραμμικές συναρτήσεις ζήτησης και κόστους: {= / = } {R= =, = R = 4} C= + MC=, AC= +, AVC= Π= R C= F Λύση. Η συνάρτηση κέρδους είναι γνήσια κοίλη: ( ) με στάσιμο: Π = ( ) 4= = ( ) > αν > < 4 ( ) / αν < με p = (+ ) / Επομένως η βέλτιστη παραγωγή είναι: = αν συμφέρουσα αν < Λύση. Θα βρούμε την ίδια λύση αν εξισώσουμε το οριακό έσοδο με το οριακό κόστος σύμφωνα με την παραπάνω θεωρία, οπότε βρίσκουμε:. Η παραγωγή είναι συμφέρουσα αν: () > C () >. Αν είναι συμφέρουσα, τότε η βέλτιστη παραγωγή δίνεται από την σχέση: R () = C () 4= = ( ) / 4 7

Γραφική λύση. Χρησιμοποιώντας μια γραμμική εξίσωση ζήτησης, στο παρακάτω σχήμα δίνουμε τη λύση γραφικά για δύο διαφορετικά σταθερά οριακά κόστη, όπου στο κάθε γράφημα η βέλτιστη παραγωγή βρίσκεται στην τομή του οριακού εσόδου με το σταθερό οριακό κόστος Ειδικότερα:. Στο πρώτο γράφημα η παραγωγή είναι συμφέρουσα: < (), εξάλλου η τιμή =() περνάει πάνω από το μέσο μεταβλητό κόστος, αλλά μη κερδοφόρος διότι βρίσκεται κάτω από το μέσο κόστος.. Στο δεύτερο γράφημα η παραγωγή είναι και κερδοφόρος διότι η τιμή =() περνάει πάνω και από το μέσο κόστος. p AC MC= AVC= p μεγιστοποίηση κέρδους μονοπωλίου με MC= AVC= MC= AVC= AC Παρατήρηση. Για το ίδιο πρόβλημα, στο παρακάτω σχήμα σκιαγραφούμε εμβαδά με βάση και διάφορα προσημασμένα ύψη, που παριστάνουν τα παρακάτω μεγέθη. Στο πρώτο γράφημα το σταθερό κόστος είναι μεγαλύτερο από το μεταβλητό κέρδος οπότε το κέρδος είναι αρνητικό. Ειδικότερα: Με ύψος p AVC= p >, βρίσκουμε το λειτουργικό κέρδος VΠ= (p ) > που στο πρώτο γράφημα αντιστοιχεί στο ελαφρά γραμμοσκιασμενο εμβαδόν. Με ύψος AC AVC= AC() > βρίσκουμε το σταθερό κόστος F> που στο πρώτο γράφημα αντιστοιχεί σε ολόκληρο το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν, οπότε είναι μεγαλύτερο από το παραπάνω λειτουργικό κέρδος. Αφαιρώντας τα δύο προηγούμενα βρίσκουμε στο πρώτο γράφημα το αρνητικό κέρδος Π< που δίνεται από το αρνητικό εμβαδόν με ύψος: p AC() <, και αντιστοιχεί στο σκούρα γραμμοσκιασμένο τμήμα. Π VΠ AC AVC= Π FC AVC= AC Αντίστοιχα μεγέθη βρίσκουμε στο δεύτερο γράφημα. Τώρα το μεταβλητό κέρδος δίνεται από ολόκληρο το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν και είναι μεγαλύτερο από το σταθερό κόστος που δίνεται από το ελαφρά γραμμοσκιασμένο εμβαδόν. Αφαιρώντας το βρίσκουμε το θετικό κέρδος που δίνεται από το σκούρα γραμμοσκιασμένο εμβαδόν. 8