185
Δ 1. Να βρείτε στο επίπεδο ενός τριγώνου ΑΒΓ σηµεία Μ και Ρ τέτοια ώστε να ισχύουν συγχρόνως : i. ΜΑ ΜΒ 3ΜΓ = Ο ii. 2 PA 2PB+ 3PΓ = Ο και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι το ΑΒΜΡ είναι παρ/µο. Δ 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία Δ, Ε και Ρ του επιπέδου του τέτοια 1 1 ώστε να είναι : ΑΔ = ΑΓ, ΑΕ = ΑΒ και ΒΡ = 2ΒΓ 2 3 α) Να εκφράσετε το ΑΡ ως γραµµικό συνδυασµό των ΑΒ, ΑΓ β) Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ρ, Δ, Ε είναι συνευθειακά γ) Να προσδιορίσετε σηµείο Μ του επιπέδου ώστε να ισχύει : ΜΑ 2ΜΒ+ 3 Μ Γ = Ο 3. Θεωρούµε τα τυχαία αλλά σταθερά σηµεία Α, Β, Γ και έστω Μ ένα άλλο οποιοδήποτε σηµείο. Να αποδείξετε ότι: a ) αν 4 ΜΑ -7 ΜΒ+ 3ΜΓ = Ο, τα σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά β) το διάνυσµα u = 4 MA 7 MB+ 3ΜΓ είναι σταθερό διάνυσµα 4. Αν τα διανύσµατα u και ν δεν είναι συγγραµικά, να αποδείξετε ότι: i) τα διανύσµατα δ = 3 u ν και ε = u 2 ν δεν είναι συγγραµικά ii) τα διανύσµατα α = 2 u 4 ν και β = u 8 ν είναι συγγραµικά. 186
5. Δίνονται τα διανύσµατα α = (x, 2) και β = (3, x 5) Να βρείτε το x, ώστε τα α και β να είναι αντίρροπα. 6. Δίνονται τα διανύσµατα α και β µε α = 2, β = 3 διάνυσµα δ = 3α + 2β. Λ και ( a,β) = 2π 3 και το Λ Λ Να υπολογίσετε τις γωνίες i) ( δ, α) και ii) ( δ,β) 3 7. Aν είναι α =, 4 είναι οµόρροπα. β = 1 4 και α + β 1, να αποδείξετε ότι τα α και β 8. Για τα διανύσµατα α και β ισχύουν οι σχέσεις : 2 α + 3 β = (4, 2) και a 3 β = ( 7,8) α) Να αποδείξετε ότι α = ( 1,2) και β = (2, 2) β) Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό κ, ώστε τα διανύσµατα κα + β και 2α + 3β να είναι κάθετα γ) Να αναλύσετε το διάνυσµα γ = (3, 1) σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η µια να είναι παράλληλη στο διάνυσµα α + όπου a καιβ Ο β) Δίνονται τα διανύσµατα a,β και γ τέτοια ώστε να ισχύουν: a γ 2a + β + γ = Ο και = β = = λ 2 3 i) Na αποδείξετε ότι a γ ii) Na υπολογίσετε το a β + β γ + γ a ως συνάρτηση του λ iii) Na υπολογίσετε το διάνυσµα προβα γ 9. α) Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα a β = a β 187
Δ 10. Σε τρίγωνο ΑΒΓ τα σηµεία Α 1 και Β 1 είναι τα µέσα των πλευρών του ΒΓ 2 και ΑΓ αντίστοιχα. Αν ισχύει ότι ΑΒ ΒΓ+ ΑΓ ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ΑΒ να αποδείξετε ότι οι διάµεσοι ΑΑ 1 και ΒΒ 1 τέµνονται κάθετα. 11. Δίνεται παρ/µο ΑΒΓΔ και ΓΕ ΑΒ,ΓΖ ΒΔ. Να αποδείξετε ότι : ΒΔ ΒΖ+ ΑΒ ΒΕ = ΒΓ 2 12. Δίνονται τα διανύσµατα ν 1, ν 2 και ν 3. Αν ισχύουν ν 1 = ν 2 = ν 3 = 1 ν1 ν 2 + ν 2 ν 3 = 2, να αποδείξετε ότι : i) τα διανύσµατα ν 1, ν 2, ν 3 είναι συγγραµικά ii) είναι ν 1 = ν3 και 13. Δίνονται τα διανύσµατα α,β, γ β = 5 α κα ιβ Λ π Λ µε α,β = και π γ, α =. Αν α = 3, 2 3 και γ = 8, να εκφράσετε το γ ως γραµµικό συνδυασµό των. 14. Μια περιοχή που πρόκειται να αναµορφωθεί αποτυπώνεται στο τοπογραφικό σχέδιο ενός εργολάβου, µε καρτεσιανό σύστηµα αξόνων Οxψ. Τα σηµεία Α(0, 7), Β(4, 3) και Γ(6, 1) παριστάνουν τρία χωριά. α) Να αποδείξετε ότι ο εργολάβος µπορεί να χαράξει ένα ευθύγραµµο δρόµο που να συνδέει τα τρία χωριά Α, Β, Γ β) Να βρείτε σε ποιο σηµείο του άξονα x x πρέπει να σχεδιάσει ένα πρατήριο βενζίνης Π, το οποίο να ισαπέχει από τα χωριά Α και Γ γ) Στο σηµείο Μ(2, λ) θέλει να τοποθετήσει ένα στύλο παροχής ηλεκτρικού ρεύµατος προς τα χωριά Β και Γ, ώστε το άθροισµα των µηκών των καλωδίων να είναι ελάχιστο. Να βρείτε το σηµείο Μ. 188
15. Σε µια περιοχή υπάρχουν τρεις πόλεις Α, Β και Γ. Οι πόλεις Α και Β απέχουν µεταξύ τους 4Κm. Aπό την πόλη Α αναχωρεί ένας ποδηλάτης, ο οποίος κινούµενος ευθύγραµµα φθάνει στην πόλη Β. Τη διαδροµή ΑΓ τη συµβολίζουµε µε το διάνυσµα ΑΓ και για την πόλη Γ ισχύει ότι ΑΓ ΑΒ = 16 α) Να αποδείξετε ότι η διαδροµή ΓΒ είναι κάθετη στη διαδροµή ΑΒ β) Ο ποδηλάτης φθάνοντας στην πόλη Β, αναχωρεί µε κατεύθυνση κάθετη στη διαδροµή ΑΓ και συναντά την ΑΓ στο σηµείο Δ. Αν είναι (ΑΔ)=2Κm, να υπολογίσετε την απόσταση των πόλεων Α και Γ. 16. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σηµείο τοµής των ευθειών ε 1 : 2x+3ψ-7=0 και ε 2 : 3x-2ψ-4=0 και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση d=2. 17. Na βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι κάθετες στην ευθεία µε εξίσωση 2x-ψ+3=O και σχηµατίζουν µε τους άξονες τρίγωνο εµβαδού 9 τετραγωνικών µονάδων. 18. Δίνεται η εξίσωση: (x-3ψ+6)+λ(2x-ψ+4)=ο, λ R (1). Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή του λ η (1) παριστάνει ευθεία γραµµή. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την (1) διέρχονται από το ίδιο σηµείο. Η ευθεία x+2ψ=2 ανήκει στην παραπάνω οικογένεια ευθειών ; 19. Na βρεθεί ο µ R ώστε οι ευθείες (ε 1 ) : µx+(µ-1)ψ-4=0 και ε 2 : (3µ+1)x-2µψ-7=0 να είναι κάθετες. 189
20. Μια ορθή γωνία κορυφής Α(2, 3) στρέφεται γύρω από το Α ώστε οι πλευρές της να τέµνουν τους άξονες στα σηµεία Β και Γ. Αν Μ είναι το µέσον του ΒΓ, να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. 21. Οι συντεταγµένες δύο δροµέων Δ 1 και Δ 2 είναι αντίστοιχα (1+2t, t+1) και (3t-1, 2t-1) για κάθε χρονική στιγµή t (t 0 ) α) Na βρείτε τις εξισώσεις των γραµµών πάνω στις οποίες κινούνται οι δύο δροµείς β) Να υπολογίσετε την απόσταση τους όταν t=4 γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιµή του χρόνου t που οι δροµείς θα συναντηθούν. 22. Σε χαρτί µε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Οxψ η θέση ενός φάρου προσδιορίζεται από το σηµείο Φ(4, 6) και η θέση ενός πλοίου από το σηµείο Π(λ+2, 2λ-1), λ R α) Να βρείτε για κάθε λ R την εξίσωση της γραµµής της πορείας του πλοίου β) Να εξετάσετε αν το πλοίο, έχοντας την ίδια πορεία, κατευθύνεται προς τον φάρο γ) Πόσο κοντά στο φάρο θα βρεθεί το πλοίο ; 23. Οι συντεταγµένες ενός πουλιού Π όταν αυτό πετά είναι (t+1, 2t-1) για κάθε χρονική στιγµή t ( t 0) α) υπολογίσετε τις συντεταγµένες του για t=0, t=1 και t=2 β) Na βρείτε τη γραµµή πάνω στην οποία κινείται το πουλί γ) Στο σηµείο Ο(0, 0) βρίσκεται η κάνη του όπλου ενός κυνηγού, η οποία σχηµατίζει γωνία 45 ο µε τον άξονα x x. Ο κυνηγός πυροβολεί το πουλί i) Nα γράψετε την εξίσωση της γραµµής πάνω στην οποία θα κινηθεί το βλήµα του όπλου (θεωρείται ευθεία) ii) Να εξετάσετε αν υπάρχει πιθανότητα ο κυνηγός να πετύχει το πουλί. 190
24. Ένα κινητό Α ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται στην ευθεία ε 1, η οποία είναι κάθετη στην ευθεία ε 2 της κίνησης ενός άλλου κινητού Β. Τα δύο κινητά συναντώνται στο σηµείο (3, 4). Στο ίδιο σηµείο φθάνει και τρίτο κινητό Γ, το οποίο κινείται πάνω στην ευθεία ε 3 : x+λψ+1=0 α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε 1, ε 2 και ε 3 β) Στην συνέχεια τα κινητά αναχωρούν και ακολουθώντας διαφορετικές διαδροµές από αυτές που είχαν µέχρι το σηµείο συνάντησής τους, σταµατάνε στα σηµεία Α(8συνφ, 9ηµφ), π Β(8ηµφ, -9συνφ) και Γ(8, 9) αντίστοιχα µε φ (0, ) 2 i) Na προσδιορίσετε τη γωνία φ, ώστε τα κινητά να βρίσκονται στην ίδια ευθεία ii) πόσο απέχει τότε κάθε κινητό από την ευθεία που κινούνταν αρχικά; 25. H θέση ενός λιµανιού σε ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων δίνεται από το σηµείο Λ(1, 2). Δύο πλοία Π 1 και Π 2 αναχωρούν µαζί από το λιµάνι και οι συντεταγµένες τους, συναρτήσει του χρόνου t (σε ώρες) είναι Π 1 (t 2 +1, t 2 +2) καιπ 2 (2t+1, t+2) i) Na αποδείξετε ότι τα δύο πλοία εκτελούν ευθύγραµµη κίνηση και να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες κινούνται ii) να βρείτε αν υπάρχει κίνδυνος σύγκρουσης των πλοίων κάποια χρονική στιγµή iii) τρεις ώρες µετά την αναχώρηση των δύο πλοίων, ένα τρίτο πλοίο που βρίσκεται στο σηµείο G(6, 6) εκπέµπει σήµα SOS. Να βρείτε ποιο από τα δύο πλοία πρέπει να σπεύσει για βοήθεια ή αν είναι προτιµότερο να ξεκινήσει ένα άλλο πλοίο από το λιµάνι (Θεωρούµε ότι όλα τα πλοία κινούνται µε την ίδια ταχύτητα) iv) Ποια χρονική στιγµή το εµβαδόν του τριγώνου ΛΠ 1 Π 2 είναι 4 τετραγωνικές µονάδες; 191
26. Το σηµείο απογείωσης των αεροπλάνων, σε ένα στρατιωτικό αεροδρόµιο θεωρείται αρχή ορθοκανονικού συστήµατος συντεταγµένων µε άξονα x x τον διάδροµο απογείωσης. Ένα αεροπλάνο απογειώνεται υπό γωνία 30 ο, κινούµενο σε ευθύγραµµη τροχιά. Ένα άλλο αεροπλάνο απογειώνεται 3 λεπτά αργότερα από το πρώτο αεροπλάνο υπό γωνία 45 ο κινούµενο σε ευθύγραµµη τροχιά και µε την ίδια ταχύτητα. Ο χρόνος t µετριέται από τη στιγµή της απογείωσης του πρώτου αεροπλάνου, πάνω στον άξονα x x, Έξι λεπτά µετά την απογείωση του πρώτου αεροπλάνου ζητούνται : i) οι εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες διαγράφεται η ευθύγραµµη τροχιά που ακολουθούν τα αεροπλάνα κατά την απογείωσή τους ii) η απόσταση µεταξύ των δύο αεροπλάνων iii) το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζουν τα σηµεία των δύο αεροπλάνων µε το σηµείο απογείωσης iv) η διαφορά των αποστάσεων των δύο αεροπλάνων από το σηµείο απογείωσης v) η απόσταση του δεύτερου αεροπλάνου από την τροχιά του πρώτου 27. Η πλατεία ενός χωριού βρίσκεται στο σηµείο διασταύρωσης δύο κάθετων κεντρικών δρόµων και θεωρούµε ότι είναι η αρχή ενός ορθοκανονικού συστήµατος συντεταγµένων µε άξονες τους δύο αυτούς κεντρικούς δρόµους. Οι υπόγειοι αγωγοί ύδρευσης και φυσικού αερίου που διασχίζουν το χωριό είναι ευθύγραµµοι µε αντίστοιχες εξισώσεις ευθειών x-2ψ+1=0 (1) και 3x-ψ-2=0 (2). Το σπίτι του προέδρου βρίσκεται σε σηµείο Π(2, 1), ενώ για το σπίτι του δασκάλου γνωρίζουµε ότι βρίσκεται σε σηµείο Δ(x o, ψ ο ) απ όπου περνάει ο αγωγός του φυσικού αερίου. Αν ο αγωγός ύδρευσης περνάει από το µέσο της νοητής ευθείας που ενώνει τα δύο σπίτια, να βρείτε: i) τις συντεταγµένες του σπιτιού του δασκάλου ii) από ποιόν αγωγό απέχει τη µικρότερη απόσταση η πλατεία του χωριού iii) το σηµείο στο οποίο πρέπει να βρίσκεται ένα σπίτι ώστε τα έξοδα µεταφοράς νερού και αερίου προς αυτό, τα οποία βαραίνουν τους ενοίκους του, να είναι ελάχιστα iv) πόσο απέχει το σπίτι του δασκάλου από το σπίτι του προέδρου 192
28. Θεωρούµε τον κύκλο C: x 2 +ψ 2 =9 και το σηµείο Α(3, 1) α) Να αποδείξετε ότι το Α βρίσκεται έξω από τον κύκλο C β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου που διέρχονται από το Α και την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία επαφής. 29. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C, ο οποίος εφάπτεται στον άξονα ψ ψ, το κέντρο του απέχει από τον άξονα x x απόσταση d=4 και βρίσκεται πάνω στην ευθεία µε εξίσωση ψ=-2x. 30. Na βρείτε την εξίσωση του κύκλου C ο οποίος έχει κέντρο το Κ(1, -2) και εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου C : x 2 +ψ 2-10x-2ψ+17=0 31. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ(x, ψ) του επιπέδου που σχηµατίζουν µε τα σηµεία Α(-2, 2) και Β(2, 4) ορθογώνιο τρίγωνο µε Λ AMB = 90 o 32. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε R * λ η εξίσωση x 2 +(ψ-2) 2 =2λ(x+ψ-2) παριστάνει στο επίπεδο κύκλο β) Να αποδείξετε ότι όλοι αυτοί οι κύκλοι περνούν από ένα σταθερό σηµείο γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε : x+ψ-2=0 είναι κοινή εφαπτοµένη των κύκλων. Ποιο είναι το σηµείο επαφής σε κάθε έναν από αυτούς τους κύκλους ; δ) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων βρίσκονται σε µία ευθεία που είναι κάθετη στην κοινή εφαπτοµένη των κύκλων. 193
33. Έστω ο κύκλος C: x 2 +ψ 2 =4, τα σηµεία Α(4, 0), Β(0, 3) και τυχαίο σηµείο Γ(α, β) του κύκλου C a) Na αποδείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου a + 4 β + 3 β) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο του σηµείου M, 3 3 34. Δύο παιδιά Π 1 και Π 2 κάνουν πατινάζ σε µία πίστα πάγου. Η τροχιά που διαγράφουν τα παιδιά ορίζεται από το γεγονός ότι κάθε σηµείο της Μ έχει συντεταγµένες ( 1 + 5συνφ,1 + 5ηµφ ),φ R α) Να γράψετε την εξίσωση της τροχιάς που διαγράφουν τα παιδιά β) Όταν τα παιδιά Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σηµεία Α(2, -1) και Β της τροχιάς αντίστοιχα, πέφτουν κάτω και γλυστρώντας ακολουθούν πορείες ευθύγραµµες και κάθετες. Αν η πορεία του Π 1 εφάπτεται της τροχιάς που διέγραφαν αρχικά και τα παιδιά θα συγκρουστούν στο σηµείο Γ(4, 0) τότε : i) να βρείτε την εξίσωση της πορείας των παιδιών Π 1 και Π 2 όταν αυτά γλυστρούν πεσµένα στον πάγο ii) να αποδείξετε ότη η πορεία του παιδιού Π 2 εφάπτεται στην τροχιά που διαγράφουν πριν πέσουν iii) να βρείτε το σηµείο στο οποίο έπεσε το παιδί Π 2 iv) να υπολογίσετε την απόσταση που διένυσε το κάθε παιδί από τη στιγµή της πτώσης τους µέχρι τη στιγµή της σύγκρουσής τους. 35. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής ψ 2 =16x που είναι κάθετη στο διάνυσµα u = (2,1) 36. Να βρεθεί η ευθεία (ε) που διέρχεται από το σηµείο Μ(6, 3/2), τέµνει την παραβολή y 2 =12x στα σηµεία Α,Β και το Μ είναι µέσον του ΑΒ(Δίνεται ότι η (ε) δεν είναι παράλληλη προς το y y) 37. Από την κορυφή Ο της παραβολής y 2 =2ρχ φέρνουµε τη χορδή ΟΒ που τέµνει την διευθετούσα στο Γ. Αν Ε(1,0) είναι η εστία της παραβολής, να δειχθεί ότι η εφαπτοµένη της παραβολής στο Β είναι παράλληλη προς την ΓΕ. 194
38. Δίνεται η παραβολή χ 2 =5y και ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο εγγεγραµµένο σε αυτήν ώστε η κορυφή της ορθής γωνίας να είναι η κορυφή της παραβολής. Να υπολογίσετε την υποτείνουσα του. 39. Δίνεται η παραβολή C 1 :y 2 =12x και ο κύκλος C 2 : (x-3) 2 +y 2 =36. Na αποδείξετε ότι: i) ο κύκλος και η παραβολή τέµνονται σε δύο σηµεία Α και Β. ii) οι εφαπτόµενες της παραβολής στα Α και Β τέµνονται πάνω στον κύκλο. 40. Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης µε µεγάλο άξονα πάνω στο x x όταν έχει εστίες τα σηµεία στα οποία ο κύκλος C:x 2 +(y-2) 2 =8 τέµνει τον x x και µικρό άξονα τη διάµετρο του κύκλου. 41. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της έλλειψης 4x 2 +9y 2 =36, η οποία είναι παράλληλη προς την εφαπτοµένη της παραβολής x 2 =4y στο σηµείο Α(-2,1) 42. Δίνεται η έλλειψη 16χ 2 +25y 2 =400 και ο κύκλος x 2 +ψ 2 =25. Αν Μ είναι σηµείο της έλλειψης και Ν σηµείο του κύκλου έτσι ώστε να έχουν την ίδια τετµηµένη και (ε) είναι η εφαπτοµένη του κύκλου στο Ν, να αποδείξετε ότι οι εστίες της έλλειψης ισαπέχουν από το Μ και την ευθεία ε. 195
2 2 x ψ 43. Δίνεται η έλλειψη + = 1 και η εφαπτοµένη της έλλειψης στο σηµείο 25 9 9 Μ 4,. Η κάθετη της εφαπτοµένης στο σηµείο Μ τέµνει τον άξονα ψ ψ 5 στο σηµείο Α. Να αποδείξετε ότι ο λόγος των αποστάσεων του Α από οποιαδήποτε εστία της έλλειψης και από το σηµείο επαφής ισούται µε την εκκεντρότητα της έλλειψης. 44. Να βρείτε σηµείο Μ της έλλειψης x 2 +9ψ 2 =9, ώστε η γωνία ορθή, όπου Ο το κέντρο της έλλειψης και Α η κορυφή της. Λ OMA να είναι 45. Δίνεται ο κύκλος x 2 +ψ 2 =16 και ένα µεταβλητό σηµείο του Μ. Αν Ν είναι η προβολή του Μ στον άξονα ψ ψ και Κ ένα σηµείο του ΜΝ ώστε ( NK) 1 =,να βρείτε το γεωµετρικό τόπο του σηµείου Κ. NM 2 ( ) 46. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής C : x α ψ = 1 όταν έχει τις ίδιες β 2 2 2 2 2 2 x ψ εστίες µε την έλλειψη + = 1 και µία κορυφή ίδια µε την εστία της 25 16 παραβολής ψ 2 =8x. 47. Na υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζεται από τις 2 2 x ψ ασύµπτωτες της υπερβολής C: = 1 και την ευθεία ε : ψ=-2 9 16 48. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων της υπερβολής C : x 2-4ψ 2 =1, οι οποίες απέχουν από την αρχή Ο των αξόνων απόσταση d= 1 4 196
2 2 x y 49. i) Δίνεται η έλλειψη + = 1. 25 9 Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες µε την έλλειψη και η εκκεντρότητα της είναι ίση µε 2. ii)στην υπερβολή του (i) ερωτήµατος θεωρούµε την εφαπτοµένη στο τυχαίο σηµείο της Μ και την κάθετη στην εφαπτοµένη στο σηµείο Μ. Αν η εφαπτοµένη τέµνει τον άξονα x x στο σηµείο Ρ και η κάθετη στο σηµείο Κ, να αποδείξετε ότι ΟΡ ΟΚ = 16 50. Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή µε εξίσωση x 2 -ψ 2 =16 και ο κύκλος µε εξίσωση χ 2 +y 2 =16. Σε τυχαίο σηµείο Α(χ 1,y 1 ) του κύκλου µε x 1 y 1 0 φέρνουµε την εφαπτοµένη του που τέµνει τον άξονα χ χ στο σηµείο Μ. Από το Μ θεωρούµε την παράλληλη ευθεία προς τον y y που τέµνει τον ένα κλάδο της υπερβολής στα σηµεία Β και Γ. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος µε διάµετρο τη ΒΓ περνάει από το Α. 2 2 x y 51. Αν Ε,Ε είναι οι εστίες της έλλειψης + = 1, δείξτε ότι: 25 9 α)τα σηµεία Μ(χ,y) του επιπέδου για τα οποία ισχύει (ΜΕ )-(ΜΕ)=5ε, όπου ε η εκκεντρότητα της έλλειψης, ανήκουν σε κλάδο υπερβολής της οποίας να βρεθούν οι ασύµπτωτες. Λ β) OKE =90 ο, όπου Ε η εστία της υπερβολής και Κ το σηµείο που η ευθεία x=1 τέµνει µια από τις ασύµπτωτες. 52. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόµενες του κύκλου 2 x 2 υπερβολής C2 : y = 1 4 2 2 16 C1 : x + y = και της 9 53. Να αποδειχθεί ότι 1+3+5+7+ +(2v-1)+(2ν+1)=(ν+1) 2 για κάθε ν N * 197
54. Να αποδείξετε ότι ν 2 +9>6ν για κάθε θετικό ακέραιο ν>3. 55. Να γραφεί η ισότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του α µε τον β, όταν: i) a=43 και β=10 ii) a=32 και β=-7 iii) a=-26 και β=4 iv) a=-19 και β=-5 v) a=0 και β=-3 2 κ + 1 56. Να βρεθούν οι τιµές του ακέραιου κ ώστε ο αριθµός Α= να είναι 3 ακέραιος. 57. Αν α είναι περιττός ακέραιος, να αποδειχθεί ότι ο αριθµός β= ακέραιος. α 2 1 8 είναι 58. Να βρεθεί ο ακέραιος α, αν είναι γνωστό ότι η διαίρεση του α µε το 45 δίνει πηλίκο ένα περιττό ακέραιο κ και υπόλοιπο κ 2 +11. 59. Αν α, β ακέραιοι, 7 (α+5) και 7 (19-β), να αποδείξετε ότι 7 (α+β) 60. Αν α,β,ε Ζ και 11 (5α+6β), να αποδειχθεί ότι 11 (6α+5β) 61. Αν α, β, δ ακέραιοι και δ ( 7 a + 5β ),δ ( 4α + 3β ) δείξτε ότι δ ( α + 2β) 198
62. Αν ν Z, δ (ν 3 +ν+1) και δ (ν 2 -ν+1),να αποδειχθεί ότι δ=1 ή δ=-1 63. Να προσδιορίσετε τον ακέραιο δ>1, ο οποίος διαιρεί τους ακεραίους 2α+3 και 3α-2, α Z. ν+ 2 2ν+ 1 64. Να αποδειχθεί ότι 7 ( 2 3 ) + για κάθε ν N * 65. Αν α=1+πολ 3, να αποδείξετε ότι: i) a 2 =1+πολ.3 ii) a 2 -a=πολ.3 66. Αν ο Α είναι ένας διψήφιος ακέραιος αριθµός και ο Β είναι ο ακέραιος ο οποίος προκύπτει από τον Α αν εναλλάξουµε τη σειρά των ψηφίων του, να αποδείξετε ότι 9 (Α-Β). 199