Ε5. ΣΥΝΕΧΗΣ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ-ΠΑΡΟΥΣΕΣ ΑΞΙΕΣ.Ανατοισμός.Ονομαστιό επιτόιο 3.Παγματιό επιτόιο 4.Χόνος διπλασιασμού 5.Συνεχής ανατοισμός 6.Παούσα αξία οής 7.Εξέλιξη δημόσιου χέους 8.Νεολασσιό υπόδειγμα ανάπτυξης ατά Solow. Ανατοισμός Θεωούμε την ίνηση ενός ταπεζιού λογαιασμού σε διαιτά χονιά διαστήματα, τα οποία θα αλούμε πειόδους. =,,,.. Η πώτη πείοδος αχίζει στο = αι τελειώνει στο =, λπ. Αν o συντελεστής επιτοίου μιας πειόδου είναι, τότε άθε πείοδος θα αποφέει τόο. Έτσι, αν στην αχή μιας πειόδου το εφάλαιο είναι, τότε στην αχή της επόμενης πειόδου θα είναι: + = (+ ). Έτσι, θα έχουμε μεταβολή του εφαλαίου ατά Δ =, δηλαδή ο συντελεστής επιτοίου ταυτίζεται με τη σχετιή μεταβολή: Δ = Παατήηση. Συνήθως αντί του συντελεστή επιτοίου δίνεται το ποσοστιαίο επιτόιο % = που αντιστοιχεί στην ποσοστιαία μεταβολή. Π.χ. συντελεστής επιτοίου =.5 αντιστοιχεί σε ποσοστιαίο επιτόιο %=.5= 5%, αι αντιστόφως. Για ευολία θα αλούμε αι τα δύο μεγέθη επιτόια. Θεωούμε τώα την ίνηση ενός λογαιασμού σε διαδοχιές πειόδους, αι παιστάνουμε με το εφάλαιο στη αχή της τής πειόδου. Αν ο τόος της άθε πειόδου ποστίθεται στο εφάλαιο τότε λέμε ότι έχουμε ανατοισμό (compoud ieres). Σ αυτή την πείπτωση η χονιή εξέλιξη ενός αχιού εφαλαίου θα αθοίζεται από την πααάτω σχέση σταθεής σχετιής μεταβολής: + = + = (+ ) Ως λύση βίσουμε μια γεωμετιή αολουθία με σταθεό πολλαπλασιαστιό συντελεστή λ= + : = (+ ) Έτσι με αχιό εφάλαιο = αι επιτόιο {4%, 8%} αντίστοιχα, μετά από πειόδους, θα έχουμε εφάλαιο (με στογγυλοποίηση στο δεύτεο δεαδιό): \ 3 4 5 6 7 8 9 4%..4.8..7..7.3.37.4.48 8%..8.7.6.36.47.57.7.86..6. Ονομαστιό επιτόιο Θεωούμε μια ταπεζιή ατάθεση, αχιού ποσού: () = η οποία: ανατοίζεται φοές ετησίως με επιτόιο. Αυτό σημαίνει ότι το έτος μοιάζεται σε ίσες πειόδους αι το επιτόιο μιας πειόδου είναι /. Έτσι μετά από έτος, δηλαδή μετά από πειόδους, η ατάθεση θα έχει ονομαστιή αξία: () = + ενώ μετά από έτη η ονομαστιή αξία της θα είναι: () = + Λέμε ότι έχουμε ανατοισμό φοές ετησίως με ετήσιο ονομαστιό επιτόιο (omial ieres rae). Ο ίδιος τύπος μποεί να χησιμοποιηθεί αι για μη αέαιους χόνους. Στο όιο +, λέμε ότι
έχουμε συνεχή ανατοισμό (coiuous compoudig), με ετήσιο ονομαστιό επιτόιο. Χησιμοποιώντας το γνωστό όιο: + e διαπιστώνουμε τα εξής: Με συνεχή ανατοισμό αι με ετήσιο ονομαστιό επιτόιο, μια αχιή ατάθεση θα έχει μετά από έτη ονομαστιή αξία: () = e δηλαδή, η ονομαστιή αξία της ατάθεσης αυξάνει εθετιά στο χόνο με σχετιό υθμό ίσο με το ονομαστιό επιτόιο: () = e ɺ / = ɺ =, όπου με ɺ παιστάνουμε την παάγωγο ως πος τον χόνο. 3. Παγματιό επιτόιο Σε αντίθεση με το ονομαστιό επιτόιο που οίσαμε πααπάνω, το ετήσιο παγματιό επιτόιο (real ieres rae) οίζεται με τον γενιό τύπο: () () () Για τοισμό μια φοά ετησίως το παγματιό επιτόιο συμπίπτει με το ονομαστιό. Στη γενιή πείπτωση το ετήσιο παγματιό επιτόιο δίνεται από την παάσταση: = +, για ανατοισμό φοές ετησίως, με ετήσιο ονομαστιό επιτόιο = e, για συνεχή ανατοισμό, με ετήσιο ονομαστιό επιτόιο Για μιά, μποούμε να συγίνουμε τα πααπάνω παγματιά επιτόια σε σχέση με το ονομαστιό, χησιμοποιώντας τους ποσεγγιστιούς τύπους που δίνει η πααβολιή ποσέγγιση στο = : =, 4 = +,, 4 Χόνος διπλασιασμού +, + αλείται ο χόνος τ που απαιτείται για να διπλασιαστεί το αχιό εφάλαιο. Δίνεται από τη σχέση: (τ) = Από τα πααπάνω βίσουμε ότι ο χόνος διπλασιασμού εξατάται από τον τύπο του ανατοισμού, αι δίνεται από τις σχέσεις: τ l (+ ) = τ=, για τοισμό μια φοά ετησίως l(+ ) τ l ( + ) = τ=, για ανατοισμό φοές ετησίως l(+ /) τ l.7 7 e = τ = = %, για συνεχή ανατοισμό Π.χ. με επιτόιο 3% αι με συνεχή ανατοισμό, ένα εφάλαιο θα διπλασιαστεί σε 7 / 3 3.3 χόνια. 5 Ποσότητες-Ροες Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε μόνο με συνεχή χόνο αι συνεχή ανατοισμό. Γενιά διαίνουμε δύο είδη μεγεθών που εξελίσσονται σε συνεχή χόνο.. Ποσότητες (socks) ονομάζονται τα συσσωεμένα μεγέθη που οίζονται σε άθε χονιή στιγμή, όπως είναι το ποσό ατάθεσης σε ταπεζιό λογαιασμό, η ποσότητα εγασίας ή το εφάλαιο σε μια οιονομία, η αξία ενός αγαθού V, λπ.. Ροές (flows) ονομάζονται τα μεγέθη που οίζονται σε μονάδα χονιού διαστήματος. Μποούν να πούψουν διαιώντας ποσότητα με χονιή διάεια, όπως είναι οι υθμοί μεταβολής των πααπάνω ποσοτήτων, οι υθμοί επενδύσεων, αναλήψεων ή αταθέσεων, τα όστη αποθήευσης, λπ.
Στις μαθηματιές σχέσεις ποσθέτουμε αι εξισώνουμε ποσότητες μεταξύ τους αι οές μεταξύ τους. Σε συνεχή χόνο οι οές μποεί να πούψουν ως παάγωγοι των ποσοτήτων, αι αντίστοφα οι ποσότητες μποεί να πούψουν ως ολοληώματα των οών. 6 Παούσα αι μελλοντιή αξία οής Διαπιστώσαμε ότι με συνεχή ανατοισμό μια αχιή ατάθεση P θα έχει μετά από χόνο, ονομαστιή αξία: C= Pe Λέγεται αι μελλοντιή αξία (fuure value, FV). Αντιστέφοντας την πααπάνω σχέση, λέμε ότι μια μελλοντιή αξία C η οποία θα αποτηθεί ατά τον χόνο, έχει παούσα αξία (prese value, PV): P= Ce όπου : ποεξοφλητιό επιτόιο (discou rae) Παατήηση. Η ίδια σχέση χησιμοποιείται για να εφάσει την συνεχή απόσβεση (coiuous depreciaio) εφαλαιουχιών αγαθών. Έτσι αν η αχιή αξία είναι P = C, τότε μετά από χόνο η λογιστιή αξία του για συνεχή απόσβεση με ετήσιο ονομαστιό υθμό, θα είναι: P() = Ce. Θα γίνει η μισή της αχιής μετά από χονιή διάεια: l 7 τ = %, χόνος μισής ζωής Το πααπάνω αφοά παούσα αξία ποσοτήτων. Αν έχουμε συνεχή χηματιή οή με υθμό A(), εισοδηματιή ή επενδυτιή, τότε σε μιό χονιό διάστημα Δ θα έχουμε ποσότητα Α()Δ, οπότε στο χονιό διάστημα [,] η συνολιή αξία είναι η ποσότητα που δίνεται από το ολολήωμα. A( i)δi A()d Το πααπάνω αφοά συνεχές άθοισμα ονομαστιών αξιών που αποτώνται σε διαφοετιούς χόνους. Αν όμως έχουμε ποεξοφλητιό επιτόιο τότε πέπει να ποσθέσουμε αξίες ατά την ίδια χονιή στιγμή. Βίσουμε έτσι ότι η παούσα αξία της συνολιής οής A() στο χονιό διάστημα [,], είναι: i e A( i i )Δi e A()d Ειδιότεα, βίσουμε ότι: Η συνολιή παούσα αξία μιας σταθεής οής A() Aστο χονιό διάστημα[,τ], είναι: Α P= e Ad= A e d ( e ) = Μάλιστα παίνοντας το όιο όταν +, βίσουμε ότι: Η παούσα αξία μιας διηνεούς παοχής (perpeual auiy) με σταθεό υθμό Α ετησίως αι με σταθεό ποεξοφλητιό επιτόιο, είναι: A P=, όπου είναι ο συντελεστής επιτοίου Στη συνέχεια όλοι οι υπολογισμοί θα αφοούν ποεξοφλημένες αξίες με συνεχή ανατοισμό. 7. Καταθέσεις-Αναλήψεις Θεωούμε μια ατάθεση με συνεχή ανατοισμό, όπου ετός από την αχιή ατάθεση έχουμε αι μια συνεχή οή αναλήψεων/αταθέσεων (wihdrawals/deposis), με ετήσιο υθμό: A= A() Συμβατιά θα θεωούμε το μέγεθος θετιό αν έχουμε ανάληψη, ανητιό αν έχουμε ατάθεση. Παατήηση. Συνεχής οή αναλήψεων, στην πάξη σημαίνει σταθεά μιά ποσά σε οντινά χονιά διαστήματα, π.χ. ημεήσια, εβδομαδιαία, μηνιαία. Έτσι, ετήσιος υθμός A σημαίνει ημεήσιο υθμό A / 365 ή εβδομαδιαίο A / 54, ή μηνιαίο A /. Χωίς αναλήψεις/αταθέσεις, το εφάλαιο εξελίσσεται λόγω συνεχούς ανατοισμού εθετιά. Στη γενιότεη πείπτωση μποούμε να υπολογίσουμε τώα την χονιή εξέλιξη του εφαλαίου ()στο 3
διάστημα [,] χησιμοποιώντας παούσες αξίες ατά την χονιή στιγμή. Σύμφωνα με τα πααπάνω, η παούσα αξία της εοής δίνεται από το ολολήωμα: τ Α(τ)e dτ Αφαιώντας από το αχιό εφάλαιο βίσουμε για την παούσα αξία: τ PV : Α(τ)e dτ Για την μελλοντιή (τέχουσα) αξία ατά την χονιή στιγμή, βίσουμε: τ FV = e PV () = e [ Α(τ)e dτ] Αν ο υθμός εοών είναι σταθεός: Α() A, υπολογίζουμε το ολολήωμα όπως ποηγουμένως, αι βίσουμε: A A A () = e [ ( e )] = + e Οίζουμε το μέγεθος: A A= =, εφάλαιο ισοοπίας Είναι το εφάλαιο που θα έδινε τόο ίσο με την ανάληψη. Αναεφαλαιώνοντας, συμπεαίνουμε τα εξής: Υποθέτοντας, συνεχή ανατοισμό με ονομαστιό επιτόιο, αχιό εφάλαιο Κ, αι συνεχή οή αναλήψεων με σταθεό υθμό A ετησίως, τότε η αξία της ατάθεσης μετά από χόνο, θα είναι: A A () = + ( )e = + ( )e > Παατηούμε ότι η ατάθεση:. Θα αυξάνει απειόιστα αν > = A<. Θα πααμένει σταθεή αν = < A= 3. Θα ελαττώνεται αν < A> Παατήηση. Στην πείπτωση 3, υποθέτοντας αναλήψεις: {A>, > } >, το εφάλαιο θα μηδενιστεί μετά από χόνο, που δίνεται από τη σχέση: A () = + ( )e = = l = l A Γενιότεα, σαυτή την πείπτωση, η πααπάνω σχέση: A A + ( )e = + e = συνδέει τα 4 μεγέθη: {,,A,}, οπότε τα τία από αυτά αθοίζουν το τέτατο. Παάδειγμα. Ένα άτομο θέλει να ανοίξει ένα λογαιασμό αταθέτοντας ένα ποσό εφάπαξ, που να του εξασφαλίζει ένα έσοδο ύψους 6 μονάδων μηνιαίως, για έτη. Να βεθεί η ελάχιστη αχιή ατάθεση, υποθέτοντας συνεχή ανατοισμό με ονομαστιό ετήσιο επιτόιο 5%, αι σταθεό υθμό ανάληψης. Λύση. Ο ετήσιος υθμός ανάληψης είναι: A= 6 = 7, δηλαδή 7. χιλιάδες Με υθμό επιτοίου = 5 /=.5, η χονιή εξέλιξη του λογαιασμού θα έχει τιμή ισοοπίας: + A = A /= 7. /.5= 44 χιλιάδες Αυτό το αχιό ποσό ατάθεσης θα του εξασφάλιζε την πααπάνω ανάληψη εσαεί. Η ελάχιστη αχιή ατάθεση είναι αυτή για την οποία ο λογαιασμός θα μηδενιστεί σε = έτη. Βίσουμε: = 44 + (Κ 44)e = Κ = 44( e ).5.5 Παατήηση. Αν για το εθετιό χησιμοποιήσουμε την {γαμμιή, πααβολιή, υβιή} ποσέγγιση: x 3 e = + x+ x / + x / 6 +... βίσουμε ότι η ελάχιστη αχιή ατάθεση είναι πείπου: / 44( e ) 44 + +... = {7, 54, 57,...} 8 48 4
Παατηούμε ότι 7 χιλιάδες είναι το ονομαστιό σύνολο των αναλήψεων στη διάεια των ετών, ενώ η μείωση αντιστοιχεί στην ελάφυνση λόγω του ανατοισμού. Η παγματιή τιμή είναι: 56.66 Τα πααπάνω ισχύουν αι για οή αταθέσεων αντί αναλήψεων, οπότε θα πέπει να θεωήσουμε ανητιό A<, ή εναλλατιά να αντιαταστήσουμε το A A, όπου A> είναι τώα η οή αταθέσεων Παατήηση. Ο πααπάνω τύπος πειγάφει αι την εξέλιξη δανείου αχιού ποσού, με συνεχή ανατοισμό επιτοίου, με ετήσιο σταθεό υθμό δόσης A. Σύμφωνα με τα πααπάνω, το εφάλαιο του δανείου θα μειώνεται εφόσον έχουμε: A>, αι θα μηδενιστεί μετά από χόνο (amorizaio ime), ο οποίος αθοίζεται από την σχέση: A A = + e A( e ) = Ο πααπάνω τύπος τοοχεωλυτιής εξόφλησης δανείου συνδέει τα τέσσεα μεγέθη: {,,A,} Παάδειγμα. Υποθέτουμε ότι η ονομαστιή αξία άποιου αγαθού μεταβάλλεται στο χόνο σύμφωνα με τη συνάτηση V(). Θα υπολογίσουμε τον ατάλληλο χόνο πώλησης, υποθέτοντας ότι:. Το ετήσιο όστος αποθήευσης είναι σταθεό s.. Το όστος απότησης είναι C αι μποεί να διαφέει από την αξία άμεσης επαναπώλησης V(). 3. Ο υθμός του επιτοίου ποεξόφλησης με συνεχή ανατοισμό είναι. Λύση. Αν η πώληση γίνει ατά την χονιή στιγμή, τότε το έδος θα είναι : N()= {έσοδο από την πώληση} {όστος απότησης αι αποθήευσης} Υπολογίζοντας τα πααπάνω μεγέθη σε παούσες αξίες, βίσουμε: s N() = [e V()] e sd+ C = e V() ( e ) C ( V() s /) e ( C s /) = + + Στο μέγιστο του έδους θα έχουμε: N() ɺ = Vɺ V s e = ( ) Vɺ = V+ s Η πααπάνω εξίσωση εφάζει σε υθμούς τη σχέση: {υθμός αύξησης της αξίας}= {τόος} + {ετήσιο όστος αποθήευσης} Δηλαδή: η ατάλληλη χονιή στιγμή για την πώληση είναι όταν η επιπλέον αξία που πούπτει από την αθυστέηση αντισταθμίζεται από την απώλεια του τόου αι από το όστος αποθήευσης. Έτσι, συμφέει να ατάμε το αγαθό μόνο εφόσον ο υθμός αύξησης της ονομαστιής του αξίας υπεαλύπτει την απώλεια τόου αι το όστος αποθήευσης. Καλείται όστος χαμένων ευαιιών (los opporuiies cos). Παατήηση. Η πααπάνω διαφοιή εξίσωση έχει αι εναλλατιή εμηνεία. Μια συνάτηση V() η οποία ιανοποιεί την εξίσωση αθοίζει μια ελάχιστη ονομαστιή αξία ατά την χονιή στιγμή που αλύπτει τo όστος απότησης αι αποθήευσης σε τέχουσες αξίες. Αντιστοιχεί στην τελιή αξία που θα είχε ένας ταπεζιός λογαιασμός με αχιό ποσό V = C αι συνεχή εισοή αταθέσεων με υθμό s. Δηλαδή είναι η τέχουσα αξία που θα ποέυπτε αν τα όστη αγοάς αι αποθήευσης τα αταθέταμε σε ταπεζιό λογαιασμό. Εφάζει το όστος χαμένων ευαιιών. Σύμφωνα με τα πααπάνω, η τέχουσα αυτή αξία του θα ήταν: s s V= + C+ e Πάγματι η συνάτηση αυτή ιανοποιεί την εξίσωση. 5