Ανάλυση Κυκλωμάτων Κυκλώματα Δύο Ακροδεκτών Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών
Εισαγωγή Τα ηλεκτρικά κυκλώματα ταξινομούνται σε διάφορες κατηγορίες, ώστε να είναι δυνατή η συστηματική τους μελέτη. Πρώτο βήμα για την ταξινόμηση αποτελεί ο τρόπος περιγραφής του κυκλώματος. Γενικά, χρησιμοποιούνται δύο είδη περιγραφής: η εξωτερική περιγραφή και η εσωτερική περιγραφή. Στην εξωτερική περιγραφή δεν ενδιαφέρει η εσωτερική δομή του κυκλώματος, αλλά μόνον οι σχέσεις ανάμεσα στις εισόδους και στις εξόδους.
Εξωτερική Περιγραφή Βάση της περιγραφής είναι οι είσοδοι (διεγέρσεις) και οι έξοδοι (αποκρίσεις) του κυκλώματος. Σε κάθε κύκλωμα, για να εφαρμόσουμε μια είσοδο (μια ανεξάρτητη πηγή) ή για να πάρουμε μια έξοδο (να μετρήσουμε μια τάση ή ένα ρεύμα), απαιτείται να έχουμε στη διάθεσή μας δύο κόμβους. Οι κόμβοι αυτοί, που χρησιμοποιούνται για την εφαρμογή μιας εισόδου ή για την παρεμβολή του οργάνου μέτρησης μιας εξόδου, λέγονται εξωτερικοί κόμβοι ή ακροδέκτες (terminals) ή πόλοι του κυκλώματος. Ανά δύο οι ακροδέκτες αποτελούν τις θύρες (port) του κυκλώματος. Έτσι, με την εξωτερική περιγραφή τα κυκλώματα ταξινομούνται ανάλογα με τον αριθμό των ακροδεκτών τους ή των θυρών τους. Διακρίνουμε λοιπόν κυκλώματα δύο ακροδεκτών ή μονόθυρα (one-port) ή δίπολα, κυκλώματα τεσσάρων ακροδεκτών ή τετράπολα (two-ports) και κυκλώματα πολλών ακροδεκτών (multi-ports). Οι μεταβλητές αυτών των κυκλωμάτων είναι τα ρεύματα ακροδεκτών και οι τάσεις ακροδεκτών Για να αποτελούν δύο ακροδέκτες θύρα πρέπει κάθε χρονική στιγμή το ρεύμα που μπαίνει από τον έναν ακροδέκτη της θύρας να είναι ίσο με το ρεύμα που βγαίνει από τον άλλο ακροδέκτη. Η απαίτηση αυτή είναι απαραίτητη προϋπόθεση, ώστε να ισχύει ο γενικευμένος νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff.
Ισοδύναμα κυκλώματα δυο ακροδεκτών Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι βασικές μεταβλητές του κυκλώματος δύο ακροδεκτών είναι το ρεύμα και η τάση ακροδεκτών. Η σχέση τάσης - ρεύματος ακροδεκτών είναι αυτή που χαρακτηρίζει το κύκλωμα δύο ακροδεκτών. Δύο ή περισσότερα κυκλώματα δύο ακροδεκτών λέγονται ισοδύναμα, αν οι τάσεις και τα ρεύματα των ακροδεκτών τους είναι κάθε χρονική στιγμή ίσα μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, ισοδύναμα κυκλώματα λέγονται τα κυκλώματα με διαφορετική δομή που παρουσιάζουν την ίδια εξωτερική συμπεριφορά. Κατά συνέπεια τα ισοδύναμα κυκλώματα δεν μπορούν να διακριθούν εξωτερικά μεταξύ τους, δηλαδή με τη μέτρηση του ρεύματος και της τάσης ακροδεκτών. Κυκλώματα δύο ακροδεκτών που αποτελούνται από στοιχεία δύο ακροδεκτών της ίδιας φύσης (αντιστάτες, πυκνωτές, πηνία κ.ά.) έχουν ισοδύναμο κύκλωμα ένα στοιχείο δύο ακροδεκτών της ίδιας φύσης. Είναι προφανές ότι το στοιχείο δύο ακροδεκτών είναι ειδική περίπτωση κυκλώματος δύο ακροδεκτών. Τυπικά παραδείγματα τέτοιων κυκλωμάτων δύο ακροδεκτών είναι οι συνδυασμοί όμοιων ηλεκτρικών στοιχείων δύο ακροδεκτών εν σειρά και εν παραλλήλω.
Σύνδεση αντιστατών εν σειρά Oι αντιστάτες R 1 και R 2 που συνδέονται εν σειρά, διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα και η τάση ακροδεκτών τους είναι ίση με το άθροισμα των τάσεων κλάδων R eq k i 1 R i Στην περίπτωση των μη γραμμικών αντιστατών οι χαρακτηριστικές δίνονται, συνήθως, με τις γραφικές τους παραστάσεις. Έτσι, η εύρεση της χαρακτηριστικής του ισοδύναμου αντιστάτη γίνεται με γραφική μέθοδο.
Σύνδεση ιδανικών πηγών τάσης και ρεύματος εν σειρά s k si s si i 1 v ( t ) v ( t ) i (t ) i (t ), i 1,2,,k ΠΡΟΣΟΧΗ: H εν σειρά σύνδεση διαφορετικών ιδανικών πηγών ρεύματος είναι αδύνατη
Σύνδεση αντιστατών εν παραλλήλω. Η αγωγιμότητα του ισοδύναμου αντιστάτη είναι: G eq k i 1 G i ή eq k i 1 1 1 R R i Στην περίπτωση μη γραμμικών αντιστατών συνηθίζεται η γραφική μέθοδος. Η διαδικασία εύρεσης της ισοδύναμης χαρακτηριστικής παρουσιάζεται στο σχήμα
Σύνδεση ιδανικών πηγών εν παραλλήλω s k si s s1 s2 sk i 1 i ( t ) i ( t ) v (t ) v (t ) v (t ) v (t ) ΠΡΟΣΟΧΗ: H εν παραλλήλω σύνδεση διαφορετικών ιδανικών πηγών τάσης είναι αδύνατη.
Σύνδεση πυκνωτών εν σειρά Προκύπτει εύκολα το συμπέρασμα ότι η ισοδύναμη χωρη- τικότητα δίνεται από τη σχέση: C eq k 1 1 j 1 C j
Σύνδεση πυκνωτών εν παραλλήλω Η ισοδύναμη χωρητικότητα του παράλληλου συνδυασμού των πυκνωτών είναι: C eq k C j 1 j
Παράδειγμα Δύο πυκνωτές, με χωρητικότητες C1 και C2 και αρχικές τάσεις v C1(0) και v C2(0) αντίστοιχα, συνδέονται με διακόπτη S που κλείνει τη χρονική στιγμή t = 0. Ζητείται να βρεθεί η τάση των πυκνωτών μετά το κλείσιμο του διακόπτη. Ακόμη, να βρεθεί η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στους πυκνωτές πριν και μετά τη μετάβαση του διακόπτη.
Σύνδεση πηνίων εν σειρά Η ισοδύναμη αυτεπαγωγή του κυκλώματος δύο ακροδεκτών είναι: L eq k j 1 L j
Σύνδεση πηνίων εν παραλλήλω Η ισοδύναμη αυτεπαγωγή δίνεται από τη σχέση: L eq k 1 1 j 1 L j
Δυαδικότητα Παρατηρούμε ότι η αντικατάσταση της αυτεπαγωγής από χωρητικότητα και του όρου «σύνδεση εν παραλλήλω» από τον όρο «σύνδεση εν σειρά» μετατρέπει τη μια σχέση υπολογισμού ισοδύναμης αυτεπαγωγής / χωρητικότητας στην άλλη. Έτσι, η σημασία της δυαδικότητας αποτυπώνεται στην πρόταση: Όταν μια πρόταση ισχύει για ένα κύκλωμα Κ, τότε η ίδια πρόταση ισχύει και για το δυαδικό κύκλωμα, αρκεί να αντικατασταθούν σε αυτήν όλοι οι όροι και τα μεγέθη με τα δυαδικά τους.
Πραγματική πηγή τάσης Η κλίση της χαρακτηριστικής δηλώνει ότι η πραγματική πηγή τάσης είναι ο εν σειρά συνδυασμός μιας ιδανικής πηγής τάσης και μιας αντίστασης. Η αντίσταση αυτή λέγεται εσωτερική αντίσταση της πηγής (internal resistance). προκύπτει ότι: R L v( t ) v s( t ) Rs RL Για να είναι v(t) v s (t), πρέπει R s << R L. Γενικά οι πραγματικές πηγές τάσης χαρακτηρίζονται από πολύ μικρή εσωτερική αντίσταση, σε σχέση με την αντίσταση φορτίου.
Πραγματική πηγή ρεύματος Η κλίση της χαρακτηριστικής δηλώνει ότι η πραγματική πηγή ρεύματος είναι ο παράλληλος συνδυασμός μιας ιδανικής πηγής ρεύματος και μιας αντίστασης. Η αντίσταση αυτή αποτελεί την εσωτερική αντίσταση της πηγής. προκύπτει ότι: R s i( t ) i s( t ) Rs RL Για να είναι i(t) i s (t), πρέπει R s >>R L. Γενικά οι πραγματικές πηγές ρεύματος χαρακτηρίζονται από πολύ μεγάλη εσωτερική αντίσταση, σε σχέση με την αντίσταση φορτίου.
Ισοδυναμία πραγματικών πηγών τάσης και ρεύματος Αυτό σημαίνει ότι οι πραγματικές πηγές τάσης και ρεύματος δεν διαφέρουν εξωτερικά μεταξύ τους και κατά συνέπεια είναι ισοδύναμα στοιχεία δύο ακροδεκτών. Για να μετατραπεί μια πηγή τάσης (πηγή με μικρή εσωτερική αντίσταση) σε πηγή ρεύματος (πηγή με μεγάλη εσωτερική αντίσταση), αρκεί να συνδεθεί εν σειρά με την πηγή τάσης μια πολύ μεγάλη αντίσταση R G (R G >> R s ).
Μέγιστη μεταφορά ισχύος. Διαθέσιμη ισχύς της πραγματικής πηγής Η ισχύς που μεταφέρεται στο φορτίο είναι μέγιστη, όταν η αντίσταση φορτίου είναι ίση με την εσωτερική αντίσταση της πηγής. Η συνθήκη αυτή λέγεται συνθήκη προσαρμογής (matching condition) του φορτίου στην πηγή. Η παραπάνω ισχύς είναι η μέγιστη ισχύς που μπορεί να διατεθεί από μια πραγματική πηγή τάσης στο φορτίο της και λέγεται διαθέσιμη ισχύς (available power) της πηγής.
Παράλληλη σύνδεση πραγματικών πηγών τάσης. Θεώρημα του Millman Ο μετασχηματισμός του εν παραλλήλω συνδυασμού πραγματικών πηγών τάσης στην ισοδύναμη πραγματική πηγή τάσης, αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως θεώρημα των παράλληλων πηγών ή ως θεώρημα του Millman. Το θεώρημα του Millman μπορεί να επεκταθεί εύκολα και στην περίπτωση πραγματικών πηγών ρεύματος συνδεμένων εν σειρά, αρκεί να εφαρμοστεί η αρχή της δυαδικότητας.
Σύνδεση ιδανικής πηγής τάσης με στοιχεία δύο ακροδεκτών εν παραλλήλω Ο εν παραλλήλω συνδυασμός μιας ιδανικής πηγής τάσης και οποιουδήποτε στοιχείου ή κυκλώματος δύο ακροδεκτών ισοδυναμεί με την ιδανική πηγή τάσης.
Σύνδεση ιδανικής πηγής ρεύματος με στοιχεία δύο ακροδεκτών εν σειρά Ο εν σειρά συνδυασμός μιας ιδανικής πηγής ρεύματος και οποιουδήποτε στοιχείου ή κυκλώματος δύο ακροδεκτών ισοδυναμεί με την ιδανική πηγή ρεύματος.
Ερωτήσεις / Απορίες ;