6.8 Συµβοή Κυµάτων Οταν δύο ή περισσότερα κύµατα διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο εαστικό µέσο έµε ότι συµβάουν. Εχει διαπιστωθεί ότι για την κίνηση των σωµατιδίων του µέσου τα κύµατα ακοουθούν την αρχή της επαηίας, η οποία διατυπώνεται ως εξής : Οταν σε ένα εαστικό µέσο διαδίδονται δυο ή περισσότερα κύµατα η αποµάκρυνση ενός σωµατιδίου του µέσου από την ϑέση ισορροπίας του, είναι ίση µε τη συνισταµένη των αποµακρύνσεων που οφείεται στα επιµέρους κύµατα. y = y 1 + y +... Ουσιαστικά η αρχή της επαηίας µας έει ότι : ˆ κάθε κύµα διαδίδεται ανεξάρτητα από τα υπόοιπα, διατηρώντας αναοίωτα τα χαρακτηριστικά του, δηαδή κάθε κύµα διαδίδεται σαν να µην υπάρχουν τα άα κύµατα, ˆ τα υικά σηµεία του µέσου τααντώνονυαι εξαιτίας του κάθε κύµατος µε χαρακτηριστικά ανεξάρτητα της ταυτόχρονης διάδοσης των άων κυµάτων Προσοχή όµως :Η αρχή της επαηίας παραβιάζεται όταν τα κύµατα είναι τόσο ισχυρά, ώστε να µεταβάουν τις ιδιότητες του µέσου στο οποίο διαδίδονται. Στο παρακάτω σχήµα ϕαινεται το αποτέεσµα της ταυτόχρονης διάδοσης δύο παµών κατα µήκος ενός σχοινιού, στο ίδιο επίπεδο µε αντίθετες κατευθύνσεις. όταν οι δύο παµοί συναντώνται, τα µόρια του σχοινιού έχουν αποµάκρυνση ίση µε το αγεβρικό άθροισµα των αποµακρύνσεων που ϑα είχαν αν οι δύο παµοί διαδιδόνταν ξεχωριστά. Το αποτέεσµα της ταυτόχρονης διάδοσης δύο ή περισσοτέρων κυµάτων στην ίδια περιοχή ενός εαστικού µέσου ονοµάζεται συµβοή. perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
Σύγχρονες και Σύµφωνες πηγές κυµάτων ύο πηγές κυµάτων ονοµάζονται σύµφωνες πηγές, όταν οι τααντώσεις τους έχουν στα- ϑερή διαφορά ϕάσης. ηαδή : φ = σταθ. Για να είναι η διαφορά ϕάσης δύο τααντώσεων σταθερή, πρέπει αυτές να έχουν την ίδια συχνότητα. Πράγµατι ας ϑεωρήσουµε δύο πηγές κυµάτων µε εξισώσεις : y 1 = Aηµ(ω 1 t), y = Aηµ(ω t + θ) Η διαφορά ϕάσης των τααντώσεων των δύο πηγών ϑα είναι : φ = (ω t + θ) ω 1 t = (ω ω 1 )t + θ Για να είναι οι δύο πηγές σύµφωνες, πρέπει η διαφορά ϕάσης να είναι σταθερή και ανεξάρτητη του χρονου, αυτό συµβαινει µόνο όταν ειναι : ω ω 1 = 0 ω = ω 1 f = f 1 Οταν η σταθερή διαφορά ϕάσης των δύο σύµφωνων πηγών είναι ίση µε µηδέν ( φ = 0), τότε οι δύο πηγές ονοµάζονται σύγχρονες πηγές. Οι σύγχρονες πηγές δηµιουργούν ταυτόχρονα µέγιστα και εάχιστα. Μόνον τα αρµονικά κύµατα που προέρχονται από δυο σύµφωνες ή σύγχρονες πηγές κυµάτων παρέχουν ϕαινόµενα συµβοής. Συµβοή δύο κυµάτων στην επιφάνεια υγρού Στην ήρεµη επιφάνεια ενός υγρού πηγές Π 1 και Π εκπέµπουν αρµονικά κύµατα πάτους Α, περιόδου Τ και µήκους κύµατος. Θεωρούµε ενα σηµείο Σ που απέχει αποστάσεις r 1 και r από τις πηγές Π 1 και Π αντίστοιχα. Η αποµάκρυνση του σηµείου Σ από την ϑέση ισορροπίας του, που οφείεται σε κάθε κύµα ξεχωριστά υποογίζεται αντίστοιχα για κάθε κύµα από τις εξισώσεις : y 1 = Aηµπ ( 1 t και y = Aηµπ perif ysikhs.wordpress.com 56 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
Σύµφωνα µε την αρχή της επαηίας που αναπτύξαµε παραπάνω, το σηµείο Σ σε κάθε χρονική στιγµή µετά την συµβοή των δύο κυµάτων ϑα έχει αποµάκρυνση από την ϑέση ισορροπίας ίση µε το αγεβρικό άθροισµα των επιµέρους αποµακρύνσεων y = y 1 + y. ηαδή : y = Aηµπ ( 1 t + Aηµπ µε την ϐοήθεια της τριγωνοµετρίας προκύπτει : ( y = Aσυν π r1 r ) ηµπ 1 + r (96) Από την µορφή της εξίσωσης (96) προκύπτει ότι η κίνηση του σηµείου Σ είναι µια απή αρµονική ταάντωση µε πάτος : A = A συν π r1 r (97) και ϕάση φ = π 1 + r Από την σχέση (97) προκύπτει ότιο το πάτος της ταάντωσης δεν είναι ίδιο για όα τα υικά σηµεία της επιφάνειας του νερού αά εξαρτάται από τη ϑέση του σηµείου σε σχέση µε τις δύο πηγές των κυµάτων. Κάθε υικό σηµείο του µέσου στο οποίο συµβάουν τα δυο κύµατα ϑα εκτεεί ταάντωση µε περίοδο ίδια µε των κυµατικών πηγών και µε πάτος Α που ϑα παίρνει τιµές απο 0 έως και Α. ιερεύνηση της σχέσης του πάτους (98) α. Το πάτος Α γίνεται µέγιστο, δηαδή Α =Α, όταν είναι : συν π r1 r = 1 συν π r1 r = ±1 π r 1 r = Nπ Αρα προκύπτει ότι για όα τα σηµεία της επιφάνειας του υγρού που η διαφορά των αποστράσεων τους από τις πηγές των κυµάτων είναι ακέραιο ποαπάσιο του µήκους κύµατος, εκτεεούν ταάντωση µε µέγιστο πάτος Α. Συνθήκη ενίσχυσης r 1 r = N, N = 0, 1,,... (99) ϐ Το πάτος Α γινεται µηδενικό, δηαδή Α =0 όταν ειναι : συν π r1 r = 0 π r 1 r = (N + 1) π perif ysikhs.wordpress.com 57 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
Αρα προκύπτει ότι για όα τα σηµείοα της επιφάνειας του υγρού που η διαφορά των αποστάσεων από τις δύο πηγές των κυµάτων είναι περιττό ποαπάσιο του µισού µήκους κύµατος παραµένουν συνεχώς ακίνητα.συνθήκη απόσβεσης r 1 r = (N + 1), N = 0, 1,,... (100) Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του υγρού για τα οποία ισχύει r 1 r =σταθ. είναι µια υπερβοή. Εποµένως τα σηµεία στα οποία έχουµε ενίσχυση και τα σηµεία στα οποία έχουµε απόσβεση ϐρίσκονται πάνω σε υπερβοές. Το συνοο των υπερβοών αυτών χαρακτηρίζεται µε το όνοµα κροσσοί συµβοής. Κάθε υπερβοή ενισχυτικής συµβοής (συνεχείς γραµµές) χαρακτηρίζεται από µια µοναδική τιµή Ν στην συνθήκη ενίσχυσης (99). Τα σωµατίδια που ϐρίσκονται πάνω σε αυτές τις υπερβοές τααντώνονται µε µέγιστο πάτος (Α =Α). Κάθε υπερβοή αποσβεστικής συµβοής (διακεκοµµένες γραµµές)χαρακτηρίζεται επίσης από µια τηµή του Ν. Τα υικά σηµεία που ϐρίσκονται πάνω σε αυτές τις υπερβοές παραµένουν συνεχώς ακίνητα (Α =0). Τα υικά σηµεία της επιφάνειας του υγρού που δεν ϐρίσκονται πάνω σε κάποια υπερ- ϐοή, έχουν πάτος ταάντωσης που παίρνει τιµές 0 < A < A 1η Παρατήρηση : Αν οι δύο πηγές Π 1 και Π, έχουν διαφορετικά πάτη ταάντωσης A 1 και A, τότε το πάτος Α της συνισταµένης ταάντωσης στο σηµείο Σ δεν µπορει να perif ysikhs.wordpress.com 58 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
υποογιστεί από την σχέση (63), αά από τη σχέση : A = A 1 + A + A 1 A συν φ (101) όπου φ = π r 1 r η διαφορά ϕάσης των τααντώσεων που προκαούνται στο σηµείο Μ από τα δύο κύµατα. η Παρατήρηση :Πρέπει να σηµειωθεί ότι η παραπάνω µεέτη της συµβοής αφορούσε δύο κύµατα οι πήγες των οποίων έχουν κάθε στιγµή ίδια ϕάση.συµβοή όµως συµβαίνει σε κάθε περίπτωση όπου δύο κύµατα διαδίδονται στο ίδιο µέσο, ανεξάρτητα αν προέρχονται από συµφασικές πηγές ή όχι. Πρόταση Μεέτης Λύσε απο τον Α τόµο των Γ. Μαθιουδάκη & Γ.Παναγιωτακόπουου τις ακόουθες ασκήσεις : 10.1-10.35, 10.46, 10.48, 10.49, 10.51, 10.55, 10.57, 10.58, 10.60, 10.61, 10.6, 10.65, 10.68-10.75, 10.77, 10.78, 10.80, 10.8, 10.83, 10.84 perif ysikhs.wordpress.com 59 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου