Το μουσικό διάστημα κατά το Αιστόξεο Χαάλαμπος Χ. Σπυίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληοφοικής Εγαστήιο Μουσικής Ακουστικής Τεχολογίας Τμήμα Μουσικώ Σπουδώ Παεπιστήμιο Αθηώ ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στη χοδή εός εγχόδου ογάου διακίοται τία χαακτηιστικά σημεία: Το έα πακτωμέο άκο της Α στο χοδοκάτη, το άλλο πακτωμέο άκο της Β στο κλειδί και το σημείο Γ του δεσμού (τάστου) επί του οποίου πατάει το δάκτυλο του μουσικού. Κατά τη Πυθαγόειο άποψη, τη λογαιθμική, δηλαδή τω αιθμητικώ λόγω, (6 ος αι. π.χ.) το μουσικό διάστημα ατιμετωπίζεται βάσει του δοουμέου τμήματος ΑΓ της χοδής. Κατά τη Αιστοξέειο άποψη, τη γαμμική, (4 ος αι. π.χ.) το μουσικό διάστημα ατιμετωπίζεται βάσει του ακιήτου τμήματος ΒΓ της χοδής. Η Άλγεβα, βάσει της οποίας διαχειιζόμεθα τα μουσικά διαστήματα κατά τη Πυθαγόειο άποψη μας είαι γωστή από του αχαίους Έλληες αμοικούς. Στη παούσα εγασία για πώτη φοά παουσιάζεται η Άλγεβα για τη διαχείιση τω μουσικώ διαστημάτω κατά τη Αιστοξέειο άποψη. Haralambos C. Spyridis, Professor in Musical Acoustics, Informatics, Lab. of Musical Acustics & Technology, Department of Music Studies, University of Athens. Τhe musical intervals by the Aristoxenean view ABSTRACT: On the string of a string instrument three characteristic points are defined. Point A is fastened on the bridge, B is fastened on the key, and point Γ on the fret, point on which the musician presses the string. According to the Pythagorean views, the logarithmic i.e. of the ratios, (6 B.C.) the musical interval is faced based on the vibrating part AΓ of the string. According to the Aristoxenean views, the linear, (4 B. C.) the musical interval is faced based on the static part BΓ of the string. The Algebra, on which we handle the musical intervals according to the Pythagorean views, is known to us from the ancient Greek Kanonikoi. In the present paper for the first time is presented the Algebra for the handling of the musical intervals by the Aristoxenean view. Σελίδα
Ο δυϊσμός του μουσικού διαστήματος Στο Τμήμα Μουσικώ Σπουδώ του Παεπιστημίου Αθηώ στα πλαίσια μαθήματος ελεύθεης επιλογής διδάσκω τη Ευκλείδειο «Κατατομή Καόος». Πόκειται για μια πυθαγόεια παγματεία, η οποία παγματεύεται τη σχέση που συδέει μαθηματικές και ακουστικές αλήθειες, αποτελώτας, έτσι, τη βάση για τη ακουστική επιστήμη του Δυτικού κόσμου. Με τη έοια Καώ υποοείται το μοόχοδο. Είαι το όγαο πειαματισμού και έευας τω «καοικώ», δηλαδή αυτώ που στις μελέτες και τις έευές τους χησιμοποιούσα το καόα. Κατατομή σημαίει τη υποδιαίεση με μουσικομαθηματικές διαδικασίες του μήκους του καόος και τη τοποθέτηση δεσμώ, δηλαδή τάστω, επ αυτού, ποκειμέου α αποδίδοται κατά το ημοσμέο τα σύμφωα μουσικά διαστήματα της τότε μουσικής θεωίας. Εικόα : Το σύγγαμμα του καθηγητού Χ. Χ. Σπυίδη που παγματεύεται το δυϊσμό του μουσικού διαστήματος. Ετυφώτας κι εμβαθύοτας στη παγματεία «Κατατομή Καόος», διεπίστωσα ότι ο Ευκλείδης ατιμετωπίζει τη έοια «μουσικό διάστημα» από δύο ετελώς διαφοετικές οπτικές και για τη κάθε μια οπτική, μάλιστα, χησιμοποιεί με μεγάλη αυστηότητα μια ετελώς διαφοετική οολογία. Αυτή τη Ευκλείδειο ατιμετώπιση του μουσικού διαστήματος οόμασα «δυϊσμό του μουσικού διαστήματος» και παγματεύομαι στο ομώυμο σύγγαμμά μου (Εικόα ). Δυϊσμός είαι επιστημοικός και φιλοσοφικός όος που δηλώει σε γεική έοια κάθε διδασκαλία, η οποία σε κάποιο τμήμα του επιστητού ή σε κάποιο θέμα οποιοδήποτε και α είαι αυτό- πααδέχεται τη ύπαξη δύο αχώ κατ ουσία διαφοετικώ, που δε μποεί α ααχθεί απ ευθείας η μία στη άλλη, παά μόο με κάποιο μετασχηματισμό. Με δυϊσμό λ.χ. ατιμετωπίζεται ο χαακτήας του φωτός στη Οπτική. Κυματικός χαακτήας κατά τη θεωία Huygens (7ος αιώας) και τη Ηλεκτομαγητική Θεωία του Maxwell (μέσο 9ου αιώα), σωματιδιακός χαακτήας κατά τη Σελίδα
θεωία του Newton (7 ος αιώας) και τη θεωία τω φωτοίω του Planck (0 ος αιώας). Συγκεκιμέα, στη παγματεία «Κατατομή Καόος» ο Ευκλείδης ασχολείται διεξοδικώτατα με το δυϊσμό του μουσικού διαστήματος, ατιμετωπίζοτας το μουσικό διάστημα αφεός με ως μία σχέση δύο αιθμώ πος αλλήλους, αφετέου δε ως μία απόσταση μεταξύ δύο σημείω επί του καόος. Δικαιολογείται η εέγειά του αυτή από δύο σχόλια του Ποφυίου στη πεί της αμοίας διδασκαλία του Πτολεμαίου, τα οποία ααφέου «καὶ τῶ καοικῶ δὲ καὶ πυθαγοείω οἱ πλείους τὰ διαστήματα ἀτὶ τῶ λόγω λέγουσι» και «τὸ λόγο καὶ τὴ σχέσι τῶ πὸς ἀλλήλους ὅω τὸ διάστημα καλοῦσι». Αυτά μας οδηγού στο συμπέασμα ότι στη Πυθαγόειο μουσική θεωία οι έοιες «διάστημα» και «λόγος (αιθμητική σχέση ή ααλογία)» είαι ταυτόσημες. Πέπει α διευκιισθεί ότι η σχέση τω δύο αιθμώ πος αλλήλους εκφάζει το λόγο τω μηκώ δύο δοουμέω τμημάτω χοδής επί του καόος, τα οποία ακουστικά υλοποιού το μουσικό διάστημα. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείω επί του καόος εκφάζει το μήκος του σιγούτος (μη ηχούτος) τμήματος χοδής μεταξύ τω δύο δεσμώ (τάστω) επί του καόος δια τω οποίω υλοποιείται ακουστικά το μουσικό διάστημα. Η πώτη ατιμετώπιση του μουσικού διαστήματος είαι η Πυθαγόειος και παγματοποιείται με λόγους αιθμητικούς. Η δεύτεη ατιμετώπιση του μουσικού διαστήματος είαι η Αιστοξέειος και θεάται το μουσικό διάστημα ως έα ευθύγαμμο ακίητο τμήμα μιας τετωμέης χοδής. Αμφότεες εμπειέχου στη φύση τους τη λογαιθμηκότητα κατά τη σημειή Άλγεβα. Η με τους αιθμητικούς λόγους ατιμετώπιση τω μουσικώ διαστημάτω είαι πεισσότεο «εύπλαστη» κατά τη μαθηματική της επεξεγασία και ποτιμητέα από τους γωίζοτες Μαθηματικά. Η με τις αποστάσεις μεταξύ δύο σημείω ατιμετώπιση τω μουσικώ διαστημάτω είαι πεισσότεο «καταοητή» από τους μουσικούς εκτελεστές, που δε κατέχου μαθηματικές γώσεις. Για τη καταόηση του πααπάω δυϊσμού, θεώησα καλό α πααθέσω έα δείγμα εκ τω δυϊκώ εκφάσεω για το μουσικό διάστημα από τη Ευκλείδειο παγματεία «Κατατομή Καόος». 'E n põ ¹miol ou diast»matoj p triton di sthma faireqí, tõ loipõn katale petai pògdoon. (Πόταση η, -) n dὲ põ toà di pšnte tõ di tess rwn faireqí, tõ loipõn tonia Òn sti di sthma tõ ra tonia on di sthm stin pògdoon. (Πόταση, 5-7) Σελίδα
Στη Ευκλείδειο παγματεία «Κατατομή Καόος» από τη χησιμοποιούμεη διαφοετική οολογία για τη οομασία τω μουσικώ διαστημάτω (Πίακας ) ατιλαμβαόμεθα τη οπτική με τη οποία ατιμετωπίζοται από το Ευκλείδη αυτά. Πίακας : Οομασία τω μουσικώ διαστημάτω με βάση τη Πυθαγόειο ή τη Αιστοξέειο οπτική ατιμετωπίσεώς τους. Μουσικό Πυθαγόειος οπτική Αιστοξέειος οπτική Διάστημα 4 τεταπλάσιο δὶς διὰ πασῶ διπλάσιο διὰ πασῶ + ἡμιόλιο διὰ πέτε 4 + ἐπίτιτο διὰ τεσσάω 9 + 8 8 ἐπόγδοο τοιαῖο Οι πάξεις μεταξύ τω μουσικώ διαστημάτω στη Πυθαγόειο ατιμετώπιση του μουσικού διαστήματος διέποται από μια ιδιάζουσα Άλγεβα, λογαιθμικού χαακτήα, ακαταόητη από το ου του τότε μη μαθηματικού μουσικού εκτελεστή. Κατ αυτή η πόσθεση μουσικώ διαστημάτω παγματοποιείται με πολλαπλασιασμό τω αιθμητικώ τους λόγω, εώ η αφαίεση μουσικώ διαστημάτω παγματοποιείται με διαίεση του αιθμητικού λόγου του μειωτέου δια του αιθμητικού λόγου του αφαιετέου. Ο απλός μουσικός ογαοπαίχτης έχει μάθει ότι τα μεγέθη αθοίζοται με πόσθεση και όχι με πολλαπλασιασμό και η διαφοά τους ποκύπτει με αφαίεση και όχι με διαίεση. Με αυτή τη φιλοσοφία παγματοποιούται οι πάξεις τω διαστημάτω κατά τη Αιστοξέειο ατιμετώπιση τω μουσικώ διαστημάτω, ο βασικότεος λόγος που επεκάτησε αάμεσα στους μουσικούς εκτελεστές εκείου του καιού. Ο Αιστόξεος το 4 ο αιώα π.χ. επιβάλλει τη γαμμικότητα τω μουσικώ διαστημάτω. Καταγεί τις όποιες Πυθαγόειες αισότητες μεταξύ τω συωύμω διαστημάτω, εισηγούμεος για πώτη φοά στη ιστοία της Μουσικής το ίσο συγκεασμό. Κατά το Αιστόξεο το διάστημα της διαπασώ (οκτάβας) διαιείται σε έξι ίσους μεταξύ τους τόους και ο τόος διαιείται σε δύο ίσα μεταξύ τους ημιτόια, σε τία ίσα μεταξύ τους τίτα και σε τέσσεα ίσα μεταξύ τους τέτατα. Σήμεα θα λέγαμε ότι ο Αιστόξεος εισηγήθηκε τους συγκεασμούς στα 6, στα, στα 8 και στα 4, δηλαδή το χωισμό της οκτάβας σε 6 (κλίμακα ολόκληω Σελίδα 4
τόω), σε (κλίμακα ίσω ημιτοίω, όπως τα ισχύοτα ευωπαϊκά ημιτόια), σε 8 και σε 4 ίσα μεταξύ τους μουσικά διαστήματα. Η γαμμικότητα σε όλο της το μεγαλείο! Κακώς διδάσκεται ότι εισηγητής του ίσου συγκεασμού είαι ο J. S. Bach το έτος 7. Ο Αιστόξεος οομάζει μουσικό διάστημα τη απόσταση αάμεσα σε δύο φθόγγους διαφοετικού μουσικού ύψους. Πέπει α σημειωθεί ότι η έοια φθόγγος είαι συώυμη και της θέσεως του δεσμού που πατάει στο μάικο μουσικού ογάου το δάκτυλο του μουσικού εκτελεστού, ποκειμέου α πααχθεί έας ήχος συγκεκιμέου μουσικού ύψους. Κατά το Κλεοίδη, το Βακχείο και το Αώυμο του Bellermann μουσικό διάστημα είαι η απόσταση που πειλαμβάεται αάμεσα σε δύο φθόγγους, δηλαδή δεσμούς, διαφοετικούς στο ύψος και στο βάθος. Ο Νικόμαχος γάφει «διάστημα δ ἐστὶ δυοῖ φθόγγω μεταξύτης», δηλαδή διάστημα είαι ό,τι μεσολαβεί αάμεσα σε δύο πατήματα επί του μάικου. Σε αυτούς τους οισμούς, θεωώτας τη έοια φθόγγος με τη σημασία «θέση πατήματος επί του μάικου του μουσικού ογάου», το διάστημα αποκτά τη σημασία εός ακιήτου ευθυγάμμου τμήματος κατά μήκος της χοδής του μοοχόδου μουσικού ογάου. Κίω σκόπιμο στο σημείο αυτό α πααθέσω μια εξαιετικά εύστοχη παατήηση του Νεοπυθαγοείου και Νεοπλατωικού φιλοσόφου Θέωος του Σμυαίου ( ος - ος μ.χ. αι.) ότι δηλαδή η ταυτοφωία δε αποτελεί μουσικό διάστημα, αφού δε υφίσταται μήκος μη ηχούτος τμήματος της χοδής του καόος ή, με άλλα λόγια, το μήκος του μη ηχούτος τμήματος της χοδής του καόος είαι μηδεικό («Τω κατά το μαθηματικό χησίμω εις τη Πλάτωος αάγωσι», λ, -4). Πυθαγόειο πείαμα Ακουστικής κατά Γαυδέτιο. Η εασχόληση του Πυθαγόα με τη μουσική το κατέστησε ευτυχή, διότι με τη εφαμογή τω Μαθηματικώ στο χώο της Μουσικής και με τη παγματοποίηση «ψυχοακουστικώ» πειαμάτω οδηγήθηκε στη σπουδαία και πολύ γόιμη αακάλυψη ότι το μουσικό ύψος τω φθόγγω εξατάται από το δοούμεο μήκος τω χοδώ. Η αακάλυψη αυτή ποέκυψε από πειάματα, που παγματοποίησε ο Πυθαγόας επάω στο «καόα» ή «μοόχοδο» (Εικόα ). Με τη βοήθεια κιητού καβαλάη (υπαγωγέως ή μαγαδίου) ήτα δυατό α υποδιαιεθεί η χοδή σε δύο τμήματα, έα δοούμεο (ηχού) κι έα ακίητο (σιγού). Η δόηση τω ηχούτω τμημάτω χοδής παήγαγε ήχους διαφοετικώ μουσικώ υψώ. Σελίδα 5
Εικόα : Το μοόχοδο για τη μελέτη τω όμω τω χοδώ. Στη εικόα φαίεται κατά το Γαυδέτιο ο τόπος, που πιθαώς πειαματίσθηκε ο Πυθαγόας επάω στο καόα κι αεκάλυψε τις αιθμητικές σχέσεις τω συμφωιώ. Διήεσε τη χοδή του μοοχόδου σε δύο ίσα τμήματα με τη βοήθεια εός κιητού καβαλάη, του υπαγωγέα. Έθεσε σε ταλάτωση ολόκληο το μήκος της χοδής και στη συέχεια το μισό μήκος αυτής. Διεπίστωσε ότι από τους πααχθέτες δύο ήχους σχηματίσθηκε το διπλάσιο διάστημα. Το διάστημα αυτό κατά τη Αιστοξέειο ατιμετώπιση παιστάεται από το μήκος του ακιήτου τμήματος της χοδής του καόος (Εικόα - ο μοόχοδο) και οομάζεται διάστημα διαπασώ. Κατόπι διήεσε κι αίθμησε ολόκληο το μήκος της χοδής του καόος σε τία ίσα τμήματα. Έθεσε σε ταλάτωση ολόκληο το μήκος της χοδής και στη συέχεια τα του μήκους αυτής. Διεπίστωσε ότι από τους πααχθέτες δύο ήχους σχηματίσθηκε το ημιόλιο διάστημα. Το διάστημα αυτό κατά τη Αιστοξέειο ατιμετώπιση παιστάεται από το μήκος του ακιήτου τμήματος της χοδής του καόος (Εικόα - ο μοόχοδο) και οομάζεται διάστημα διαπέτε. Τέλος, διήεσε κι αίθμησε ολόκληο το μήκος της χοδής του καόος σε τέσσεα ίσα τμήματα. Έθεσε σε ταλάτωση ολόκληο το μήκος της χοδής και στη συέχεια τα 4 του μήκους αυτής. Διεπίστωσε ότι από τους πααχθέτες δύο 4 ήχους σχηματίσθηκε το επίτιτο διάστημα. Το διάστημα αυτό κατά τη Αιστοξέειο ατιμετώπιση παιστάεται από το μήκος του ακιήτου τμήματος της χοδής του καόος (Εικόα -4 ο μοόχοδο) και οομάζεται διάστημα διατεσσάω. Γαυδέτιος ο φιλόσοφος, θεωητικός της μουσικής. Τοποθετείται από άλλους με στο ο με ο αιώα μ.χ. από άλλους δε στο 5 ο μ.χ. αιώα. Συέγαψε το βιβλίο «Αμοική Εισαγωγή», το οποίο ααφέεται στους ήχους, τα διαστήματα, τα συστήματα, τα γέη κ.λπ. ακολουθώτας άλλοτε τις πυθαγόειες και άλλοτε τις αιστοξέειες ατιλήψεις. Σελίδα 6
Εικόα : Ποσδιοισμός τω αιθμητικώ σχέσεω τω μουσικώ συμφωιώ στο μοόχοδο. Να σημειωθεί ότι οι πααπάω οομασίες τω συμφώω διαστημάτω κατά τη Αιστοξέειο ατιμετώπισή τους ποκύπτου αβίαστα, διότι το μήκος του μη ηχούτος τμήματος της χοδής καθοίζεται στη πείπτωση της δια τεσσάω συμφωίας με τους αιθμούς και 9 (αάμεσα σε 4 τάστα) και στη πείπτωση της δια πέτε συμφωίας με τους αιθμούς και 8 (αάμεσα σε 5 τάστα) (Εικόα ). Η ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΟΥΣΙΚΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΑ ΜΗ ΗΧΟΥΝΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΧΟΡΔΗΣ Πόσθεση Μουσικώ Διαστημάτω Σε καόα, που φέει χοδή μήκους ΑΒ διηημέη σε μ ίσα τμήματα, λαμβάοται δύο συημμέα διαστήματα, τω οποίω τα μη ηχούτα τμήματα της χοδής είαι τα ΑΓ (, ) και ΓΔ (, ) ( > > ). Το μήκος του μη ηχούτος τμήματος της χοδής του διαστήματος του αθοίσματός τω ισούται με το άθοισμα τω μηκώ τω μη ηχούτω τμημάτω χοδής τω δύο δοθέτω διαστημάτω (σχήμα ) Σελίδα 7
Σχήμα : Πόσθεση Μουσικώ Διαστημάτω ( ) ( ) Α ΑΓ + Γ + + Στη πείπτωση κατά τη οποία τα δύο συημμέα μουσικά διαστήματα είαι ίσα μεταξύ τω, τότε τα ατίστοιχα μήκη τω μη ηχούτω τμημάτω της χοδής ΔΕΝ είαι ίσα μεταξύ τω, δηλαδή (, ) (, ). Πάγματι, οι λόγοι τω ηχούτω τμημάτω της χοδής τω δύο διαστημάτω είαι ίσοι μεταξύ τω. 0 0 0 0 Η μη γαμμική σχέση αυτή μας δίει τη υποδιαίεση της χοδής του καόος εις τη οποία καταλήγει το μήκος του μη ηχούτος τμήματος του δευτέου (εκ τω ίσω) διαστήματος. Στη γεική πείπτωση της ποσθέσεως k το πλήθος συημμέω διαστημάτω επί της χοδής καόος, η οποία φέει μ ίσες υποδιαιέσεις, το συολικό μήκος του μη ηχούτος τμήματος της χοδής του διαστήματος του ολικού τους αθοίσματος ισούται με το άθοισμα τω μηκώ τω μη ηχούτω τμημάτω χοδής όλω τω ποσθετέω διαστημάτω (σχήμα ). Σχήμα : Πείπτωση ποσθέσεως k το πλήθος συημμέω διαστημάτω επί της χοδής καόος ΑΑ ΑΑ +ΑΑ +ΑΑ +... +Α Α k k k ( ) ( ) ( )... ( ) + + + + k + + +... + k k k k Σελίδα 8
Αφαίεση Μουσικώ Διαστημάτω Σε καόα που φέει χοδή μήκους ΑΒ διηημέη σε μ ίσα τμήματα (σχήμα ), λαμβάοται δύο διαστήματα κοιής αχής, τω οποίω τα μη ηχούτα τμήματα,, > >. της χοδής είαι ΑΓ ( ) και ΑΔ ( ) ( ) Σχήμα : Αφαίεση δύο Μουσικώ Διαστημάτω κοιής αχής. Το μήκος του μη ηχούτος τμήματος της χοδής του διαστήματος της διαφοάς τω ισούται με τη διαφοά τω μηκώ τω μη ηχούτω τμημάτω χοδής του μειωτέου και του αφαιετέου. Δηλαδή: ( ) ( ) Γ ΑΓ Α + Ακέαιο ε δυάμει «πολλαπλάσιο» διαστήματος Γεικεύομε τη έοια του αθοίσματος για το πλήθος συημμέα μουσικά διαστήματα (σχήμα 4), τα οποία είαι ίσα μεταξύ τους. Σχήμα 4: Άθοισμα το πλήθος συημμέω μουσικώ διαστημάτω, τα οποία είαι ίσα μεταξύ τους. Κατά τα γωστά, για τα ίσα αυτά μουσικά διαστήματα τα ατίστοιχα μήκη τω μη ηχούτω τμημάτω χοδής δε είαι ίσα μεταξύ τω. Το μήκος του μη ηχούτος τμήματος χοδής για το άθοισμα δε ποκύπτει ακέαιο πολλαπλάσιο του μήκους του μη ηχούτος τμήματος χοδής του πολλαπλασιαστέου. Γιαυτό δε μιλούμε για πολλαπλάσιο, αλλά για ε δυάμει πολλαπλάσιο. Σελίδα 9
Για το άθοισμα τω επί μέους μη ηχούτω τμημάτω χοδής ισχύει η σχέση: ΑΑ ΑΑ +ΑΑ +ΑΑ +... +Α Α ( ) ( ) ( )... ( ) + + + + + + +... + (σχ. ) Λόγω τω ίσω λόγω τω δοουμέω τμημάτω χοδής γι αυτά τα ίσα μουσικά διαστήματα, ισχύει η σχέση:... λ, λ R (σχ. ) Από τη σχέση ποκύπτου: λ σχ. ( ) (.4) (.5) λ λ λ λ σχ λ λ λ λ σχ...... (.6) λ λ σχ Από τις σχέσεις (6) και () ποκύπτει η γεική σχέση: σχ.7 ( ) από τη οποία για,, 4,... ποκύπτου οι υποδιαιέσεις της χοδής επί του καόος, οι οποίες ποσδιοίζου τα μήκη τω μη ηχούτω τμημάτω χοδής για τα συημμέα το πλήθος ίσα μουσικά διαστήματα 4 4 4 κ. λπ. Ακέαιο ε δυάμει «υποπολλαπλάσιο» διαστήματος Σελίδα 0
Σελίδα Σε καόα, που φέει χοδή μήκους ΑΒ διηημέη σε μ το πλήθος ίσα τμήματα, δίδεται διάστημα ΑΓ ( ),. Ζητείται α υποδιαιεθεί το μήκος του μη ηχούτος τμήματος ( ), έτσι, ώστε α ποκύψου το πλήθος ίσα διαστήματα. Έστω επί του καόος σημείο Α τέτοιο, ώστε αφεός με α οίζει διάστημα με μήκος μη ηχούτος τμήματος χοδής ΑΑ ( ),, αφετέου δε, λαμβαόμεο το πλήθος φοές, α πληοί το διάστημα με μήκος μη ηχούτος τμήματος χοδής ΑΓ ( ),. Τούτο, βάσει τω ποηγουμέω πεί ε δυάμει «πολλαπλασίου» διαστήματος, σημαίει: ( ) ( ) + Με γωστό το από τη σχέση 7 πεί του ε δυάμει «πολλαπλασίου» διαστήματος, βίσκοται τα,,......... k k Μετατοπή Αιστοξεείου εκφάσεως του μουσικού διαστήματος σε Πυθαγόειο
Δίδεται λ.χ. η ακολουθία τω ακεαίω αιθμώ 84 555 7496, η οποία εκφάζει τεις δεσμούς επί υποθετικού καόος μεταξύ τω οποίω καθοίζοται δύο συημμέα μουσικά διαστήματα (Αιστοξέειος ατιμετώπιση τω μουσικώ διαστημάτω). Ζητείται α εκφασθού τα ε λόγω διαστήματα υπό μοφή επιμοίω σχέσεω δύο αιθμώ (Πυθαγόειος ατιμετώπιση τω μουσικώ διαστημάτω). Το μουσικό διάστημα μεταξύ τω αιθμώ 84 555 κατά τη Πυθαγόειο ατιμετώπιση τω μουσικώ διαστημάτω εκφάζεται από το λόγο 555 λ 555 84 λ 84 84 84 8 λ λ 84 8 9 λ 8 78 84 8λ 8 λ 9 8λ Άα 555 9 λ (διάστημα επογδόου τόου) 84 8 Το μουσικό διάστημα μεταξύ τω αιθμώ 555 7496 κατά τη Πυθαγόειο ατιμετώπιση τω μουσικώ διαστημάτω εκφάζεται από το λόγο 7496 λ 7496 555 λ 944 λ 555 555 555 555 8 λ λ 555 8 8λ 8 9 8λ 9 λ 8 7496 9 Άα λ (διάστημα επογδόου τόου) 555 8 Σελίδα