ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική συνάρτηση πολλών µεταβλητών και αποτελείται από: (α το πεδίο ορισµού της Ε που είναι υποσύνολο του ευκλείδιου χώρου, (β έναν κανόνα έτσι ώστε σε κάθε σηµείο P= ( x, x,, x E να αντιστοιχεί έναν µοναδικό σηµείο F ( P = ( f ( P,, f ( P του όπου f:ε i, ( i =,, είναι βαθµωτά πεδία Με άλλα λόγια F : Ε Α : F ( P = f ( P,, f ( P Κάθε διανυσµατική συνάρτηση ορίζεται και ως F: E A : F=F r, όπου r = OP είναι το διάνυσµα θέσης σηµείου P E ως προς τη συνήθη βάση του και Fr είναι διάνυσµα θέσης ως προς την κανονική βάση του Ορισµός 6 Έστω Ε είναι ανοικτό σύνολο, F: Ε είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P είναι ένα σηµείο συσσώρευσης του Ε Θα λέµε ότι το διάνυσµα λ είναι όριο της διανυσµατικής συνάρτησης F στο P αν ισχύει ε > δ > : P E: < PP < δ F P - λ < ε 49
Θεώρηµα 6 Έστω Ε, : E : F P = f,, P f P είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P είναι σηµείο συσσώρευσης λ = λ,, λ τότε ισχύει του Ε Αν F li F P = λ li f P = λ i=,, P P P P Ορισµός 6 Έστω Ε είναι ανοικτό σύνολο, F: Ε είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P είναι σηµείο του Ε Θα λέµε ότι η F είναι συνεχής στο r εάν ισχύει i i ε > δ > : P E: PP < δ F P F P < ε Θεώρηµα 6 Έστω Ε είναι ανοικτό σύνολο, F : E : F ( P = ( f,, P f P είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P είναι σηµείο του Ε Τότε F συνεχής στο P fi : E συνεχείς στο P i=,, H παραπάνω είναι ισοδύναµη µε την li F P = F P li f P = f P i=,, i i P P P P Τα Θεωρήµατα 6 και 6 είναι σηµαντικά διότι ανάγουν την ύπαρξη ορίου και τη µελέτη συνέχειας µιας διανυσµατικής συνάρτησης σε κάποιο σηµείο P στην ύπαρξη ορίου και στη µελέτη συνέχειας των αντιστοίχων συνιστωσών συναρτήσεων f i στο σηµείο P οι οποίες είναι συναρτήσεις πολλών µεταβλητών και η ύπαρξη ορίου και η συνέχεια αυτών σε σηµείο έχει ήδη µελετηθεί αναλυτικά στο Κεφάλαιο Οι δε αποδείξεις των Θεωρηµάτων 6 και 6 είναι παρόµοιες αυτών του Κεφαλαίου που αναφέρονται στο όριο και συνέχεια διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 64 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο, F: E : F( P = ( f( P,, f( P είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P E Εστω ότι υπάρχουν όλες οι µερικές παράγωγοι 5
fi P, i =,,, j σηµείο P εάν ισχύει F j =,, Θα λέµε ότι η F είναι διαφορίσιµη στο F ( P f P P P P i j x li =, P P PP και ο πίνακας f( P f( P fi ( P = j x f( P f( P x x καλείται παράγωγος της F στο F P ή Ιακωβιανός πίνακας της F στο P, συµβολικά JF ( P Στην περίπτωση όπου = (δηλαδή ο Ιακωβιανός πίνακας είναι τετραγωνικός ορίζεται η ορίζουσα του πίνακα JF ( P, η οποία καλείται Ιακωβιανή ορίζουσα και συµβολίζεται ως P, συµβολικά J F ( P, ή D ( f,, f( P D( x,,x Ορισµός 65 Καλούµε διαφορικό µιας διανυσµατικής συνάρτησης F στο σηµείο P, συµβολικά df ( P, τον πίνακα Αν F ( P = f ( P f ( P P P df P = F P P P = F P dp (,, όπου, τότε είναι εύκολο να δούµε ότι (,,, = df P df P df P, P P,P df, P P,, df,p P είναι τα γνωστά διαφορικά συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 5
Σηµείωση Γεωµετρικά το διαφορικό d ( P F P µιας διανυσµατικής συνάρτησης στο P είναι ένα µέτρο της γραµµικότητας της διανυσµατικής συνάρτησης σε µια περιοχή του σηµείου P Θεώρηµα 6 Εάν µια διανυσµατική συνάρτηση F είναι διαφορίσιµη σε σηµείο P τότε η F είναι συνεχής στο P Αποδεικνύεται ότι: Θεώρηµα 64 Έστω Ε είναι ανοικτό σύνολο, F : E : F ( P = ( f,, P f P είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P είναι σηµείο του Ε Τότε F διαφορίσιµη στο P fi : E διαφορίσιµες στο P i=,, Το Θεώρηµα αυτό ανάγει τη διαφορισιµότητα των διανυσµατικών συναρτήσεων στη διαφορισιµότητα κάθε συνιστώσας συνάρτησης η οποία είναι συνάρτηση πολλών µεταβλητών Ετσι προκύπτει άµεσα το ακόλουθο πολύ χρήσιµο Θεώρηµα 64 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο, F: E : F( P = ( f( P,, f( P είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και P E Αν υπάρχουν όλες οι µερικές παράγωγοι fi ( P, i =,,, j =,, και είναι συνεχείς σε µια περιοχή του j σηµείου P τότε η F είναι διαφορίσιµη στο P Παρατηρήσεις (α Ο κανόνας αλυσίδας για διαφορίσιµες διανυσµατικές συναρτήσεις έχει ήδη αναφερθεί στο Θεώρηµα 6 του Κεφαλαίου (β Εστω F: E : F( P = ( f ( P,, f ( P είναι µια διαφορίσιµη διανυσµατική συνάρτηση σε ανοικτό σύνολο Ε Τότε ο πίνακας γραµµή ( P f ( P f ( P f ( P F = i i i i 5
καλείται µερική παράγωγος της F ως προς τη µεταβλητή x i F P Είναι εύκολο να (i=,, στο P και συµβολίζεται και ως x i δούµε ότι η µερική παράγωγος x ( P i του Ιακωβιανού πίνακα J ( P F F ταυτίζεται µε την i στήλη (γ Η παράγωγος µιας διανυσµατικής συνάρτησης F: E : F( P = ( f( P,, f( P ως προς κατεύθυνση a (a µοναδιαίο διάνυσµα ορίζεται ως το διάνυσµα F F = = a ( ( P ( P f ( P f ( P a a a Αν η F είναι διαφορίσιµη στο P τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι F a ( P J ( P = a F (δ Αν µια διανυσµατική συνάρτηση F είναι διαφορίσιµη τότε για να υπάρχει το όριο του κλάσµατος (βλέπε τον ορισµό 64 θα πρέπει αναγκαστικά το όριο του αριθµητή να είναι µηδέν δηλαδή, ( P f li F P F P P P = P P i j x Αρα σε µια περιοχή του P µπορούµε να γράψουµε µε κάποιο σφάλµα που µπορεί να ελεγχθεί ( P ( P + J ( P ( P P F F F x Το γράφηµα της ( P = ( P + J ( P ( P P G F F καλείται εφαπτοµενικός χώρος του γραφήµατος της διανυσµατικής P, F P ( συνάρτησης F σε µια περιοχή του σηµείου 5
ιανυσµατικά Πεδία Εστω > Κάθε διανυσµατική συνάρτηση πολλών µεταβλητών ( F: Ε Α : F P = f P,, f P καλείται διανυσµατικό πεδίο ηλαδή το διανυσµατικό πεδίο είναι ειδική περίπτωση µιας διανυσµατικής συνάρτησης F : Ε Α για = Παράδειγµα ιανυσµατικό πεδίο κλίσεων Έστω f: είναι µια διαφορίσιµη συνάρτηση στο P= ( x, x,, x Τότε η κλίση και f P f P f ( P =,, το οποίο καλείται διανυσµατικό πεδίο κλίσεων της f Προφανώς κάθε διαφορίσιµη συνάρτηση f: ορίζει πάντοτε ένα διανυσµατικό πεδίο κλίσεων αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα (βλέπε Κεφ ορίζει ένα διανυσµατικό πεδίο : F : F( P = f ( P Παράδειγµα ίνεται το διανυσµατικό πεδίο F: : F r = x i+y j Ενας τρόπος παράστασης του πεδίου αυτού είναι να αντιστοιχίσουµε σε κάθε σηµείο M = ( xy, του επιπέδου την τιµή του πεδίου Fr που στην προκειµένη περίπτωση είναι το διάνυσµα θέσης του σηµείου Μ M =, ζωγραφίζουµε το διάνυσµα Για παράδειγµα στο σηµείο MB = OM =F (, = (,, όπου M = (, και B = (,4 Πρακτικά εφαρµόζουµε τη διαδικασία αυτή για ένα πεπερασµένο σύνολο σηµείων και προκύπτει το ακόλουθο σχήµα: 54
- - - - Το παραπάνω είναι ένα παράδειγµα γραµµικού πεδίου Γενικότερα ένα διανυσµατικό πεδίο F : είναι γραµµικό αν ορίζεται από τη σχέση Fr = A r, r = ( x,, x όπου A είναι ένας πίνακας Η σηµασία των γραµµικών πεδίων έγκειται στην απλότητα αναπαράστασής τους λόγω της οποίας ένα «πολύπλοκο» πεδίο προσεγγίζεται καταλλήλως από ένα γραµµικό πεδίο στην περιοχή κάποιου σηµείου του Ετσι το πεδίο µπορεί να µελετηθεί πιο εύκολα τουλάχιστον «τοπικά» Παράδειγµα ίνεται το διανυσµατικό πεδίο F: : F r = y i+x j Εφαρµόζοντας τη διαδικασία όπως παραπάνω προκύπτει το ακόλουθο σχήµα: - - - - ιαισθητικά βλέπουµε ότι το πεδίο περιστρέφεται γύρω από το σηµείο (, Παράδειγµα 4 ίνεται το διανυσµατικό πεδίο 55
F { } F( r = r r : (,, : Εφαρµόζοντας τη διαδικασία όπως παραπάνω προκύπτει το ακόλουθο σχήµα: Το παραπάνω είναι τυπικό παράδειγµα ενός κεντρικού πεδίου που χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι οι τιµές του πεδίου Fr έχουν φορέα ο οποίος ταυτίζεται µε το φορέα του αντιστοίχου διανύσµατος θέσης r και ορίζεται µέσω της σχέσης όπου : + { } f ( r Fr = r r, f είναι µια συνήθης πραγµατική συνάρτηση Τα πεδία αυτά έχουν ευρύτατες εφαρµογές όπως για παράδειγµα το ηλεκτροστατικό πεδίο Coulob K q Q = r r r Fr (Κ=σταθερά που ασκείται σε φορτίο q που απέχει απόσταση r = r από ακίνητο σηµειακό θετικό φορτίο Q στην αρχή των αξόνων ή η βαρυτική δύναµη έλξης µεταξύ δύο υλικών σηµείων µε µάζες M, και απόσταση r M r r = G Fr 56
Σχεδίαση πεδίου µέσω διανυσµατικών γραµµών Μια απ τις πολλές φυσικές ερµηνείες που µπορεί να δώσει κάποιος σ ένα διανυσµατικό πεδίο είναι ότι η τιµή του Fr παριστάνει την ταχύτητα στο σηµείο r κατά την κίνηση πχ ενός ρευστού στο χώρο Στην περίπτωση αυτή µας ενδιαφέρει να βρούµε τις τροχιές κίνησης των σωµατιδίων του ρευστού, δηλαδή καµπύλες στο χώρο τέτοιες ώστε η ταχύτητα σε κάθε σηµείο αυτών να ταυτίζεται µε τις τιµές Fr Με άλλα λόγια ορίζουµε dr v ( t = =F( r ( t dt Κάθε τροχιά (δηλ καµπύλη που ικανοποιεί το παραπάνω σύστηµα διαφορικών εξισώσεων καλείται διανυσµατική γραµµή του πεδίου Λύνοντας το σύστηµα και σχεδιάζοντας τις τροχιές παίρνουµε µια εποπτική παράσταση του πεδίου µέσω των διανυσµατικών γραµµών του Παράδειγµα 5 Ας θεωρήσουµε ότι η ταχύτητα ενός ρευστού σε κάθε σηµείο του επιπέδου τη χρονική στιγµή t περιγράφεται από το διανυσµατικό πεδίο του παραδείγµατος, δηλαδή v: : v r = y i+x j Τότε από τη σχέση ( t ( t διαφορικών εξισώσεων ιαιρώντας κατά µέλη παίρνουµε dr v = =F( r προκύπτει το σύστηµα dt x = y y = x dy dx x y = ydy = xdx y + x = c Στο ακόλουθο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση των τροχιών y + x = c για κάποιες τιµές της παραµέτρου c Η φορά των τροχιών καθορίζεται από τη φορά των διανυσµάτων Fr που εφάπτονται των τροχιών 57
- - - - Kλίση-Απόκλιση-Περιστροφή Στην παράγραφο αυτή ασχολούµαστε µε διαφορίσιµα διανυσµατικά πεδία F: E : F( P = f ( P,, f ( P Εστω V f : E και E είναι ο χώρος όλων των αριθµητικών/βαθµωτών πεδίων V, είναι ο χώρος όλων των διαφορίσιµων διανυσµατικών συναρτήσεων F : E Αν = θα E E V E γράφουµε V (αντί V και θα µιλάµε για το χώρο, των διαφορίσιµων διανυσµατικών πεδίων Ορίζουµε το γραµµικό τελεστή κλίσης =,, x που δρα πάνω είτε σε βαθµωτά είτε σε διανυσµατικά πεδία ως εξής: ή :V ( E V ( E: F( P = f P = f P,, f P, x x : V ( E V ( E : F P = F P,, F P x x, Στο εξής για απλότητα εργαζόµαστε στο χώρο Ορισµός 65 Εστω F: E : F( xyz,, = ( Pxyz (,,, Qxyz (,,, Rxyz (,, είναι ένα διαφορίσιµο πεδίο Ορίζουµε ως απόκλιση του πεδίου F στο σηµείο P x, y, z divf P να είναι ο αριθµός =, συµβολικά 58
(,, (,, (,, P x y z Q x y z R x y z divf ( x, y, z = + + y z Παρατηρήσεις: (α Χρησιµοποιώντας τον τελεστή κλίσης η απόκλιση ορίζεται φορµαλιστικά ως εξής: P Q R F =,, ( PQR,, x y z = + + y z Συνεπώς η απόκλιση µπορεί να θεωρηθεί και ως ένας γραµµικός διαφορικός τελεστής που απεικονίζει διανυσµατικά πεδία σε βαθµωτά/αριθµητικά πεδία ηλαδή: Ισχύει δε : V E V E : f = F ( a b a b, ( a, b F+ G = F+ G Επίσης αν f : E είναι ένα διαφορίσιµο βαθµωτό πεδίο αποδεικνύεται ο χρήσιµος τύπος ( f f f F = F+ F (Α (β Η απόκλιση ενός πεδίου F: A : F= ( PQ, ( x, y ορίζεται ως P( x, y Q( x, y ( xy, = + στο σηµείο (γ Αν f : E είναι ένα βαθµωτό πεδίο µε µερικές παραγώγους ης τάξης είναι εύκολο να δούµε ότι y f f f = + + = = y z f f f ηλαδή η Λαπλασιανή της f είναι η απόκλιση του διανύσµατος κλίσης της f 59
(δ Η απόκλιση διανυσµατικού πεδίου F ισούται µε το ίχνος του Ιακωβιανού πίνακα J F Μία φυσική ερµηνεία της απόκλισης αντλούµε από τη ροή ρευστού (ή φορτίου ως εξής: Εστω v είναι το πεδίο ταχυτήτων ενός ρευστού (ή φορτίου µε πυκνότητα µάζας (φορτίου ρ : E και P = ( x, y, z είναι κάποιο τυχαίο σηµείο µέσα στο πεδίο ορισµού του πεδίου v Τότε το πεδίο ( x, yz, ρ ( xyz,, ( xyz,, P( xyz,,, Q( xyz,,, R( xyz,, F = v = ορίζεται ως η πυκνότητα ροής του ρευστού (φορτίου κατά τη κατεύθυνση της ταχύτητας σε κάθε σηµείο Θεωρούµε ένα στοιχειώδες ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο µε πλευρές x, y, z ώστε µια ακµή του παραλληλεπιπέδου να διέρχεται από το σηµείο P και υποθέτουµε ότι διαµέσου του παραλληλεπιπέδου ρέει ρευστό µε πυκνότητα ροής F Εστω { i,, j k } είναι η κανονική βάση του Τότε τη χρονική στιγµή t ο αριθµός ( F i = (,, P y z P x y z y z δηλώνει τη συνολική µάζα (φορτίο που εισρέει στο παραλληλεπίπεδο στο σηµείο P (αν F( P i >, ή εκρέει απ το παραλληλεπίπεδο (αν F( P i< κατά την κατεύθυνση i (στη µονάδα του χρόνου, ενώ η ποσότητα ( F(,, i = (,, x + xy z y z Px+ xy z y z δηλώνει τη συνολική µάζα (φορτίο που εκρέει απ το παραλληλεπίπεδο την ίδια χρονική στιγµή t στο σηµείο x xy,, z F x + x, y, z i >, ή εισρέει στο ( + (αν ( παραλληλεπίπεδο στο σηµείο ( x xy,, z ( x + x, y, z + (αν F i< κατά την κατεύθυνση i Αρα η διαφορά ( (,, (,, P x + x y z P x y z y z 6
ισούται µε τη συνολική µεταβολή της µάζας (φορτίου, αλλιώς ροή που διέρχεται από το στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο τη χρονική στιγµή t κατά την κατεύθυνση i Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για τις δύο άλλες κατευθύνσεις j και k προκύπτει ότι η συνολική µεταβολή µάζας (φορτίου που ρέει διαµέσου του στοιχειώδους παραλληλεπιπέδου ανά µονάδα όγκου και χρόνου είναι ( (,, (,, P x + x y z P x y z y z x y z + ( (,, (,, Q x y + y z Q x y z x z + + x y z + ( (,, (,, R x y z + z R x y z x y x y z Αφήνοντας x, y, z παίρνουµε ότι η συνολική στιγµιαία µεταβολή µάζας (φορτίου ανά µονάδα όγκου και χρόνου στο σηµείο P, ή αλλιώς η συνολική στιγµιαία ροή ανά µονάδα όγκου και χρόνου στο σηµείο P, είναι li x ( +,, (,, P x x y z P x y z x (, +, (,, + li + + y y Q x y y z Q x y z (,, + (,, z R x li y z z R x y z z (,, (,, (,, P x y z Q x y z R x y z = + + = y z Αν λοιπόν + ( x, y, z F F P > τότε λέµε ότι το σηµείο P είναι µια πηγή µάζας (φορτίου και το πεδίο τείνει να «απλωθεί» στο χώρο Αν F ( P < τότε λέµε ότι το σηµείο P είναι µια απαγωγή µάζας (φορτίου ιαισθητικά, αν ρίξουµε λίγο πριονίδι σ ένα σηµείο πάνω στην επιφάνεια µιας ήρεµης λίµνης και δούµε ότι αυτό αρχίζει 6
να απλώνεται προς τα «έξω» τότε η απόκλιση στο σηµείο αυτό είναι θετική, αλλιώς είναι αρνητική Στο τελευταίο Κεφάλαιο θα δώσουµε µια πιο κοµψή ερµηνεία της απόκλισης µέσω επιφανειακού ολοκληρώµατος Ορισµός 66 Ένα διανυσµατικό πεδίο F καλείται ασυµπίεστο ή σωληνοειδές αν και µόνον αν η απόκλισή του είναι µηδέν σε κάθε σηµείο του Ορισµός 67 Εστω F: E : F( P = ( P, Q, R είναι ένα διαφορίσιµο διανυσµατικό πεδίο Τότε καλούµε περιστροφή ή x, yz, το διάνυσµα στροβιλισµό του πεδίου στο σηµείο i j k rot F( x, y,z = curl F ( x, y,z = y z P x,y,z Q x,y,z R x,y,z Παρατηρήσεις: (α Χρησιµοποιώντας τον τελεστή κλίσης η περιστροφή ορίζεται φορµαλιστικά µε χρήση του εξωτερικού γινοµένου rot F= F Συνεπώς η περιστροφή µπορεί να θεωρηθεί και ως ένας (γραµµικός τελεστής που απεικονίζει διανυσµατικά πεδία σε διανυσµατικά πεδία Ετσι ισχύει και : V E V E : f = F ( a b a b, ( a, b F+ G = F+ G Επίσης αν f : E είναι ένα διαφορίσιµο βαθµωτό πεδίο αποδεικνύεται ο χρήσιµος τύπος ( f ( f f F = F+ F (Β (β Μπορούµε να ορίσουµε περιστροφή και για ένα πεδίο F: : F( x, y = ( P, Q επεκτείνοντας το πεδίο F στο χώρο µέσω της σχέσης 6
G ( P Q : : G( P =,, Τότε ισχύει Q P G = y k Σ αυτή την περίπτωση ορίζουµε Q P F = y, δηλαδή στην περίπτωση αυτή η περιστροφή είναι αριθµός και όχι διάνυσµα Για να δώσουµε µια φυσική ερµηνεία της περιστροφής θα χρησιµοποιήσουµε για ευκολία το προηγούµενο παράδειγµα ως ένα τυπικό παράδειγµα πεδίου δυνάµεων στον της µορφής F ( P Q : : F( x, y =, Εστω ( x, y είναι τυχαίο σηµείο µε ( x, y = ( P( x, y, Q( x, y F Θεωρούµε ένα στοιχειώδες ορθογώνιο µε πλευρές x, y µια κορυφή του οποίου ταυτίζεται µε το σηµείο ( x, y και ορίζουµε Fx = ( P, i F =, Q j να είναι να είναι η οριζόντια συνιστώσα της δύναµης F και y P( x, y η κάθετη συνιστώσα της δύναµης F Aν > τότε θα ισχύει y P( x, y + y > P( x, y «κοντά» στο P και εποµένως αν φανταστούµε την πλευρά y= y του ορθογωνίου τότε οι κάθετες στην πλευρά αυτή συνιστώσες στα άκρα τείνουν να στρέψουν το ορθογώνιο Q( x, y δεξιόστροφα Με την ίδια λογική αν > τότε Q( x + x, y > Q( x, y «κοντά» στο P κι έτσι αν φανταστούµε την πλευρά x = x του ορθογωνίου τότε οι κάθετες στην πλευρά αυτή συνιστώσες Fx = ( f ( P, i στα άκρα της πλευράς αυτής τείνουν να στρέψουν το ορθογώνιο αριστερόστροφα Εποµένως η συνολική Q( x, y P( x, y διαφορά F ( x, y = y µας δίνει τη στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα περιστροφής στο σηµείο Ρ µε το πρόσηµο να δηλώνει F x, y >, ή δεξιόστροφη κίνηση αριστερόστροφη κίνηση (αν ( (αν F ( x, y < Αν ( x y = F, σηµαίνει ότι οι δυνάµεις που προκαλούν δεξιόστροφη και αριστερόστροφη κίνηση εξισορροπούνται 6
και συνεπώς δεν έχουµε καθόλου περιστροφή Στην περίπτωση που µελετήσαµε (δηλαδή πεδίο στον προφανώς ο άξονας περιστροφής είναι το κανονικό διάνυσµα του επιπέδου και είναι ο ίδιος για κάθε σηµείο Γι αυτό το λόγο η περιστροφή όπως την ορίσαµε για πεδία στο είναι αριθµός Τα παραπάνω γενικεύονται και σε πεδία στον µε την επισήµανση ότι σ αυτή την περίπτωση η περιστροφή είναι διάνυσµα το οποίο είναι ένα µέτρο της στιγµιαίας τάσης περιστροφής του πεδίου σ ένα σηµείο P γύρω από κάποιον άξονα (που φυσικά µπορεί να µην είναι κοινός για κάθε σηµείο του χώρου Ετσι η κατεύθυνση του άξονα περιστροφής καθορίζεται F ενώ το µέτρο από την κατεύθυνση του διανύσµατος ( P F ( P µετρά τη στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του πεδίου στο σηµείο P ιαισθητικά αν ρίξουµε µια σαµπρέλα µε κέντρο ένα σηµείο P πάνω στην επιφάνεια µιας ήρεµης λίµνης και δούµε ότι η σαµπρέλα αρχίζει να περιστρέφεται τότε η περιστροφή του πεδίου στο P είναι µη µηδενική Ορισµός 68 Ένα διαφορίσιµο διανυσµατικό πεδίο F καλείται αστρόβιλο αν και µόνον αν η περιστροφή του είναι το µηδενικό διάνυσµα σε κάθε σηµείο του Χρήσιµα παραδείγµατα αστρόβιλων πεδίων (α Πεδία κλίσεων F = f (όπου η f : E έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης είναι αστρόβιλα ηλαδή αν F = f τότε Πράγµατι ( f = i j k F= ( f = = y z f f f x y z Η ιδιότητα αυτή είναι χρήσιµη για να δείξουµε ότι ένα πεδίο δεν είναι πεδίο κλίσεων r (β Τα κεντρικά πεδία δυνάµεων Fr = f ( r, r = r είναι r,, Πράγµατι: { } αστρόβιλα πεδία στον 64
f ( r r f r F= f ( r = r+ r r r r Αλλά είναι εύκολο να δούµε ότι και Αρα r= f r f r r f( r r= r r= r r F= (γ ιανυσµατικά πεδία µε συµµετρικό Ιακωβιανό πίνακα είναι αστρόβιλα Αποδεικνύεται εύκολα ότι: Θεώρηµα 65 Η απόκλιση της περιστροφής ενός διανυσµατικού πεδίου F= ( PQR,, του οποίου οι συνιστώσες συναρτήσεις έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης είναι µηδενική Με άλλα λόγια ισχύει Επίσης αποδεικνύεται ότι ( F = Θεώρηµα 66 Αν F είναι ένα ασυµπίεστο πεδίο µε συνεχείς µερικές παραγώγους επί κυρτού τόπου E του, τότε υπάρχει ένα επίσης διανυσµατικό πεδίο G µε συνεχείς µερικές παραγώγους επί του E τέτοιο ώστε F= G Το πεδίο G καλείται διανυσµατικό δυναµικό του πεδίου F Αποδεικνύεται ότι το πεδίο G = r t F t r dt είναι διανυσµατικό δυναµικό του F, δεν είναι όµως o τύπος αυτός ο µοναδικός Πράγµατι αν f : E είναι µια βαθµωτή συνάρτηση επί κυρτού τόπου E µε συνεχείς µερικές παραγώγους ης 65
τάξης τότε και το πεδίο του πεδίου F διότι G+ f είναι επίσης διανυσµατικό δυναµικό ( f G+ = G+ f = G+= G=F Ισχύει και το αντίστροφο Πράγµατι αν G είναι ένα άλλο διανυσµατικό δυναµικό του πεδίου F, τότε F= G F= G G G = και επειδή το Ε είναι κυρτό το πεδίο G G είναι πεδίο κλίσεων, δηλαδή ισχύει G G = f για κάποιο βαθµωτό πεδίο (βλέπε Κεφ Θεώρηµα 67 Αν F είναι ένα διανυσµατικό πεδίο µε συνεχείς µερικές παραγώγους επί κυρτού τόπου E του, τότε υπάρχει ένα διαυσµατικό πεδίο G µε συνεχείς µερικές παραγώγους επί του E και µια βαθµωτή συνάρτηση f : E µε συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης στο E έτσι ώστε F= G+ f Με άλλα λόγια κάθε συνεχώς διαφορίσιµο πεδίο επί κυρτού τόπου αναλύεται σε άθροισµα ενός ασυµπίεστου πεδίου (του G και ενός αστρόβιλου πεδίου (του f ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ίνεται το πεδίο F: : F ( P = ( x, y, Ποια η γεωµετρική ερµηνεία του; είξτε ότι είναι διαφορίσιµο πεδίο και υπολογίστε την παράγωγο σε κάθε σηµείο του Υπολογίστε την παράγωγο του a=,, πεδίου κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος Λύση Για κάθε σηµείο P= ( x, y, z η τιµή ( P ( x, y, F = είναι η ορθογώνια προβολή του Ρ στο επίπεδο Oxy Επειδή οι συνιστώσες συναρτήσεις του πεδίου 66
(,, (,, ( x y z f xyz = x f xyz = y f,, = έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους σε µια περιοχή κάθε σηµείου P το πεδίο είναι διαφορίσιµο λόγω Θεωρήµατος 64 Επιπρόσθετα, η παράγωγος του πεδίου στο P είναι ο Ιακωβιανός πίνακας J F ( P f P f P f P f( P f( P f( P = = y y y f( P f( P f( P z z z δηλαδή η παράγωγος είναι σταθερή σε κάθε σηµείο Τέλος εφόσον το πεδίο είναι διαφορίσιµο ισχύει / 4 / 4 F( P = = / 4= / 4 a a / 4 a J ( P F ίνεται το πεδίο F: : F ( P = ( z + xy, x y z, x + zy είξτε ότι το πεδίο είναι διαφορίσιµο Στη συνέχεια υπολογίστε τη F µερική παράγωγο σε κάθε σηµείο του πεδίου Βρείτε τη y βέλτιστη γραµµική προσέγγιση του πεδίου σε µια περιοχή του σηµείου P = (,, Λύση Επειδή οι συνιστώσες συναρτήσεις του πεδίου (,, (,, (,, f xyz = z + xy f xyz = x + zy f xyz = xy z 67
έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους σε µια περιοχή κάθε σηµείου P το πεδίο είναι διαφορίσιµο λόγω Θεωρήµατος 64 Τότε F f f f = = xy x yz y y y y Εφόσον το πεδίο είναι διαφορίσιµο υπάρχει βέλτιστη γραµµική προσέγγιση του πεδίου στο σηµείο P = (,, και είναι ( P = ( P ( P ( P P G F +F f P f P f P y z f( P x x f( P f( P f( P = f( P y y + x y z f( P z z f( P f( P f( P y z x+ z = + 8 y = 8y z 4 4 z 4x 4 Αρα το πεδίο ( P = ( z, 8 y z, 4x 4 προσέγγιση Εστω G είναι η βέλτιστη P f f F P = D είναι τόπος και F: : F = (,, είναι µια διαφορίσιµη διανυσµατική συνάρτηση έτσι ώστε για κάθε P είξτε ότι F( P = σταθερό διάνυσµα του b όπου b είναι τυχαίο (αλλά fi Λύση Από την υπόθεση έχουµε = i =,,, j =,, Αρα j ισχύει dfi = i =,,, όπου df i είναι το διαφορικό των βαθµωτών συναρτήσεων fi : Εφόσον το πεδίο ορισµού είναι τόπος (δηλαδή ανοικτό και συνεκτικό σύνολο έχουµε (βλέπε άσκηση 9 Κεφ 68
df = f = b =σταθερα i i i Αρα ( P = ( f,, f = ( b,, b F 4 Εστω D είναι τόπος και F : D είναι διαφορίσιµη διανυσµατική συνάρτηση έτσι ώστε F ( P = Αν (, = (,, F βρείτε την F ( Λύση Εστω F ( P = f ( x, y, f ( x, y, f ( x, y Τότε Συνεπώς f P f P y f( P f( P F ( P = = y f( P f( P f ( P = f xy, = x+ g y για κάποια παραγωγίσιµη πραγµατική συνάρτηση g Αλλά: f ( P x+ g( y y = = g y = g y = y+ c y Aρα f xy, = x y+ c και εφόσον (, = (,, = f(,, f(,, f(, ισχύει, F θα πρέπει να f, = = + c c = 69
Τελικά f ( xy, x y υπόλοιπες συνιστώσες συναρτήσεις f ( xy, και f (, f ( xy = x+ y και f ( x y = x+, = + Eργαζόµαστε αναλόγως για τις, xy και έχουµε 5 ίνεται το πεδίο Fr = x i+ y j Υπολογίστε τις διανυσµατικές γραµµές του πεδίου και σχεδιάστε τις γραµµές αυτές d Λύση Από τη σχέση r =F ( r ( t προκύπτει το σύστηµα διαφορικών dt εξισώσεων x = x y = y Από την επίλυση αυτού του συστήµατος προκύπτει Αρα: x= ce y c y= c e t x = c = y = c t y c c x = cy Στο ακόλουθο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση των τροχιών για διάφορες (θετικές ή αρνητικές τιµές της παραµέτρου c Η φορά των τροχιών καθορίζεται από τη φορά των διανυσµάτων Fr που εφάπτονται των τροχιών (δηλαδή όλες αποµακρύνονται απ το σηµείο (, που είναι το µοναδικό σηµείο ισορροπίας 6 Εστω πεδίο = F a r, όπου a είναι σταθερό διάνυσµα Υπολογίστε την απόκλιση και περιστροφή του πεδίου F 7
i j k a r= = i+ j + k x y z Λύση a a a ( a z a y ( a x a z ( a y a x Αρα ( az ay ( ax az ( ay ax a r y z = + + = i j k ( a r = = ( a i+ ( a j+ ( a k y z az ay ax az ay ax = a 7 Aν = r Fr r όπου r= x i+ y j+ z k, r = r να υπολογισθεί η απόκλιση και η περιστροφή του πεδίου F Λύση Εχουµε r r r r = r+ r (βλέπε σχέση (Α του ΚεφαλαίουΑρα r ( r r = r r+ r = 4( r r + = r + = 4 r r r r r r Απ την άλλη µεριά έχουµε r r r = r r+ r r= r r= r r= r r 4 (βλέπε σχέση (Β του Κεφαλαίου 8 Αν F= ( f, f, f και ( g, g, g διανυσµατικά πεδία στον πεδίο στον δείξτε ότι (α ( F h= F h G= είναι δυο διαφορίσιµα και h είναι ένα διαφορίσιµο βαθµωτό 7
(β ( ( f, f, f G F= G G G Λύση (α Εχουµε h h h F f = f + f + f h f f f h x y z = + + = F y z (β Επίσης: y z y z ( G F= g + g + g F= g + g + g ( f, f, f = f f f f f f g g g + + g + g + g y z y z i+ j f f f + g + g + g ( f, f, f y z k = G G G 9 Εστω ( x, y, z ( x,xyz x y, xz F = είναι πεδίο στον είξτε ότι προέρχεται από διανυσµατικό δυναµικό G και στη συνέχεια υπολογίστε το δυναµικό G Είναι το G µοναδικό; Λύση Θα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα 66 Το πεδίο F είναι διαφορίσιµο επί κυρτού τόπου (του άρα για να προέρχεται από διανυσµατικό δυναµικό G αρκεί να δείξουµε ότι είναι ασυµπίεστο Πράγµατι ( x ( xyz x y ( xz F= + + = y z Ενας τύπος για το διανυσµατικό δυναµικό έχει δοθεί στο Θεώρηµα 66 Συγκεκριµένα G = r t F t r dt (,, (,, (,, 4 4 = r tf tx ty tz dt = r t F x y z dt = r F x y z t dt 7
= ( r F = ( F r = ( xyz x yz, x z zx, 4 x y x yz 5 5 5 Ο τύπος του πεδίου G δεν είναι µοναδικός Όπως είδαµε παραπάνω το πεδίο G+ f είναι επίσης διανυσµατικό δυναµικό του πεδίου F για κάθε διαφορίσιµη βαθµωτή συνάρτηση f : Εστω F είναι ένα ασυµπίεστο πεδίο επί κυρτού τόπου E µε συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης είξτε ότι υπάρχει µια συνάρτηση f : E η Λαπλασιανή της οποίας είναι µηδέν σε κάθε σηµείο του E Λύση Θα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα 67 Το πεδίο F µπορεί να γραφεί ως F= G+ f για κάποιο πεδίο G επί του E και για κάποια βαθµωτή συνάρτηση f : E Επειδή divf= έχουµε = F= G+ f = G+ f = + f ΑΛΥΤΕΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ίνεται το πεδίο F: : F ( P = (, y, z Ποια η γεωµετρική ερµηνεία του; είξτε ότι είναι διαφορίσιµο πεδίο και υπολογίστε την παράγωγο σε κάθε σηµείο του Υπολογίστε την παράγωγο του a=,, πεδίου κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος Απάντ Είναι η ορθογώνια προβολή σηµείου P ( x, y, z επίπεδο Oyz ( P ίνεται το πεδίο F = F,, =,, a ( P ηµ ( x y συν ( y z ch( x z = στο F: : F = +, +, + 7
είξτε ότι το πεδίο είναι διαφορίσιµο Βρείτε τη βέλτιστη γραµµική π προσέγγιση του πεδίου σε µια περιοχή του σηµείου P =,, 4 Ποια είναι η απόκλιση και ποια η περιστροφή του F ; Εστω Απάντ ( P 4x+ 4y+ 4 π 4z 4y+ π + G =,, 4 4 ( + ( + + ( + divf= συν x y ηµ y z sh x z ( ηµ ( +, ( +, συν ( + rotf= y z sh x z x y D είναι τόπος και έστω, : FG F P = G είναι δυο διαφορίσιµες διανυσµατικές συναρτήσεις έτσι ώστε ( P για κάθε P Αν F( P = G ( P για κάποιο σηµείο P δείξτε ότι F( P = G ( P για κάθε P : : (,, είξτε ότι το πεδίο είναι διαφορίσιµο Εξετάσετε για ποια σηµεία (x,y υπάρχει η - αντίστροφη συνάρτηση F και υπολογίστε την παράγωγό της 4 ίνεται το πεδίο F F x y = xy ( x y Απάντ Για κάθε σηµείο (, (, 5 Aν ( x, yz, = ( x z, y+ z, x+ az y x F = x + y x y - xy ( xy, F υπολογίστε τη σταθερά a ώστε div F = Απάντ a = 6 Aν r είναι το διάνυσµα θέσης σηµείου P και αν r = r δείξτε ότι (α f ( r f ( r = r, (β div( r r r r = 6r, (γ rot = r 7 Αν f, g είναι δύο βαθµωτά πεδία µε συνεχείς µερικές παραγώγους στον δείξτε ότι ( f g = 74
8 Να βρεθούν όλες οι πραγµατικές συναρτήσεις f ( r, r = r για τις c = r οποίες ισχύει f ( r r = Απάντ f ( r 9 Εστω u: : u= u( x, y, z έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης Αν f : είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση δείξτε ότι ( u (α f ( u = ( = (β div a f u u όπου a είναι σταθερό διάνυσµα (γ div u f ( u = Εστω FG, είναι δυο αστρόβιλα διανυσµατικά πεδία είξτε ότι το εξωτερικό τους γινόµενο είναι ασυµπίεστο πεδίο x 4 z Αν F ( xyz,, = + y, x ay+ z, x+ y+ (a είναι σταθερά βρείτε την επιφάνεια πάνω στην οποία το πεδίο είναι ασυµπίεστο Απάντ x + z = a Αν r r = 4 = + +, δείξτε ότι f ( r f ( r r x y z r f r = + και r 75