Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις βασικές έννοιες του ολοκληρωτικού λογισμού. Ειδικότερα μελετάται το αόριστο και το ορισμένο ολοκλήρωμα. 4
Περιεχόμενα ενότητας Αόριστο ολοκλήρωμα. Κανόνες ολοκλήρωσης. Ολοκλήρωση αθροίσματος. Ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδόν. Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού. 5
Αόριστο ολοκλήρωμα (1) Στη συζήτηση περί παραγώγισης είχαμε μιλήσει για την έννοια του διαφορικού. Είναι σκόπιμο στο σημείο αυτό να επαναλάβουμε κάποια βασικά πράγματα. Οι συμβολισμοί που θα χρησιμοποιήσουμε είναι ελαφρώς διαφορετικοί από αυτούς που είδαμε μέχρι τώρα. Έτσι, την αρχική συνάρτηση θα τη συμβολίζουμε με F(x) και την παράγωγό της με f(x). Η αρχική συνάρτηση F(x) λέγεται παράγουσα συνάρτηση, γιατί από αυτήν παράγονται οι παράγωγοι. Εάν, λοιπόν, έχουμε μια συνάρτηση y = F(x) και μεταβληθεί το x κατά Δx, τότε θα προκύψει μια διαφορά στο y κατά Δy. Ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται το y ως προς το x μπορεί να δοθεί από το πηλίκο Δy Δx 6
Αόριστο ολοκλήρωμα (2) Όταν η μεταβολή του x είναι απειροελάχιστη, τότε, όπως είδαμε, το παραπάνω πηλίκο γράφεται dy dx και είναι ουσιαστικά η παράγωγος της συνάρτησης F(x), είναι δηλαδή η f(x) σύμφωνα με τους συμβολισμούς που μόλις καθιερώσαμε. Αφού η παράγωγος είναι εκ ταυτότητος ίση με τον εαυτό της dy dx dy dx μπορούμε να γράψουμε dy dy dx dx 7
Αόριστο ολοκλήρωμα (3) ή ή dy f(x)dx df x f x dx d dx F x = f(x) Εάν προσθέσουμε μια σταθερά στη συνάρτηση F(x) τότε έχουμε d dx F x + c = d dx F x + d dx c = f x + 0 = f x 8
Αόριστο ολοκλήρωμα (4) Βλέπουμε, λοιπόν, ότι όχι μόνο η συνάρτηση F(x) αλλά και η συνάρτηση F(x) + c μας δίνει παράγωγο f(x). Επομένως, υπάρχουν πολλές, συναρτήσεις οι οποίες μας δίνουν την ίδια παράγωγο και οι συναρτήσεις αυτές διαφέρουν μεταξύ τους κατά τη σταθερά c. Βεβαίως η σταθερά αυτή μπορεί να πάρει άπειρες τιμές και επομένως υπάρχουν ουσιαστικά άπειρες συναρτήσεις που δίνουν την ίδια παράγωγο. Εισάγουμε τώρα το σύμβολο της ολοκλήρωσης f x dx το οποίο διαβάζεται ως ολοκλήρωμα της εφ του χι ντε χι. Ο συμβολισμός προήλθε από την επιμήκυνση του S το οποίο είναι το αρχικό γράμμα της αγγλικής λέξης Sum που σημαίνει άθροισμα. Πράγματι, όπως θα δούμε παρακάτω, το ολοκλήρωμα είναι ουσιαστικά ένα άθροισμα. 9
Αόριστο ολοκλήρωμα (5) Η διαδικασία της ολοκλήρωσης (ή αλλιώς, αντιπαραγώγιση) είναι όπως είπαμε η αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης. Θέλουμε να βρούμε την αρχική συνάρτηση εάν έχουμε την παράγωγο. Επειδή όμως υπάρχουν πολλές συναρτήσεις που μπορεί να δίνουν την ίδια παράγωγο και διαφέρουν κατά c, γράφουμε f x dx = F x + c Η σταθερά c λέγεται σταθερά της ολοκλήρωσης και θα πρέπει πάντοτε να περιλαμβάνεται σε μια διαδικασία ολοκλήρωσης. Δηλαδή, είναι λάθος να γράψουμε f x dx = F x 10
Αόριστο ολοκλήρωμα (6) Όλα αυτά μπορεί να γίνουν πολύ περισσότερο κατανοητά με ένα απλό παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση Η παράγωγος είναι F x = x 3 f x = 3x 2 Προσέξτε όμως ότι η συνάρτηση G x = x 3 + 5 δίνει παράγωγο g x = 3x 2 Δηλαδή οι παράγωγοι των δύο συναρτήσεων είναι ίσες: f x = g(x) 11
Αόριστο ολοκλήρωμα (7) Έχοντας λοιπόν την παράγωγο δεν μπορούμε να ξέρουμε εάν προήλθε από τη συνάρτηση F(x) ή από τη συνάρτηση G(x) ή από κάποια άλλη παρόμοια συνάρτηση, π.χ. τη συνάρτηση Η x = x 3 + 8 η οποία δίνει επίσης παράγωγο, h x = 3x 2 Επομένως, η ολοκλήρωση θα δώσει αποτέλεσμα 3x 2 dx = x 3 + c 12
Αόριστο ολοκλήρωμα (8) Μια πρώτη παρατήρηση είναι ότι με την ολοκλήρωση μιας συνάρτησης της μεταβλητής x βρίσκουμε επίσης μια συνάρτηση της μεταβλητής x. Αυτό βεβαίως είναι φυσικό, αφού είπαμε ότι με την ολοκλήρωση βρίσκουμε την παράγουσα συνάρτηση, με άλλα λόγια βρίσκουμε την καταγωγή της συνάρτησης που έχουμε προς ολοκλήρωση, θα λέγαμε βρίσκουμε την μαμά συνάρτηση. Μόνο που δεν υπάρχει μία μαμά συνάρτηση, αλλά άπειρες, αφού η παράγωγος μπορεί να παραχθεί από άπειρες συναρτήσεις που προκύπτουν από την αρχική συν τη σταθερά της ολοκλήρωσης c. 13
Κανόνες Ολοκλήρωσης (1) Αφού η ολοκλήρωση είναι αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης είναι αναμενόμενο ότι οι κανόνες παραγώγισης θα έχουν σημαντική σχέση με τους κανόνες ολοκλήρωσης. Ας δούμε το ολοκλήρωμα ορισμένων βασικών συναρτήσεων. Έστω η συνάρτηση Αυτή γράφεται ως x 4 4 x 3+1 3 + 1 Από τους κανόνες παραγώγισης έχουμε την παράγωγο ως (3 + 1)x 3+1 1 = 4x3 3 + 1 4 = x3 14
Κανόνες Ολοκλήρωσης (2) Επομένως, εάν πάμε αντίστροφα, ψάχνουμε να βρούμε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης x 3, δηλαδή ποιά συνάρτηση μας έδωσε παράγωγο x 3 x 3 dx = x4 4 + c Γενικά, ο λεγόμενος κανόνας της δύναμης είναι x n dx = xn+1 n + 1 + c Θα πρέπει βεβαίως να ισχύει ότι n 1. Επαλήθευση: η παράγωγος της συνάρτησης x n+1 είναι n + 1 15
Κανόνες Ολοκλήρωσης (3) (n + 1)x n+1 1 n + 1 = x n Τονίζεται στο σημείο αυτό ότι η συνάρτηση της οποίας παίρνουμε το ολοκλήρωμα, δηλαδή στην προκειμένη περίπτωση η συνάρτηση x n, λέγεται η προς ολοκλήρωση συνάρτηση. Πρέπει επίσης να πούμε ότι εάν η προς ολοκλήρωση συνάρτηση πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, τότε ο αριθμός αυτός βγαίνει έξω από την ολοκλήρωση, δηλαδή για οποιονδήποτε αριθμό α ισχύει ότι αx n dx = α x n dx Προσέξτε ότι εάν το α είναι αρνητικός αριθμός έχουμε αx n dx = α x n dx 16
Παράδειγμα 1 4x 5 dx = 4 x6 6 = 2x6 3 + c 17
Παράδειγμα 2 6 x 2 dx = 6x 2 dx = 6 x 2+1 2 + 1 + c = = 6 x 1 1 + c = 6 x + c 18
Παράδειγμα 3 xdx = x1+1 1 + 1 + c = x2 2 + c Επομένως Και γενικά 5xdx = 5 x1+1 1 + 1 + c = 5 x2 2 + c αxdx = α x2 2 + c 19
Ολοκλήρωμα αθροίσματος Εάν η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι ένα άθροισμα ή μια διαφορά, τότε ο κανόνας είναι ότι το ολοκλήρωμα του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων. Έστω οι συναρτήσεις f(x) και g(x). Τότε, για το άθροισμα των συναρτήσεων έχουμε f c + g x dx = f x dx + g x dx και για τη διαφορά έχουμε f c g x dx = f x dx g x dx Με τους κανόνες αυτούς είναι δυνατό να κάνουμε την ολοκλήρωση αρκετά περίπλοκων σχέσεων, αρκεί να τις μετατρέψουμε σε άθροισμα και διαφορά συναρτήσεων. 20
Παράδειγμα 4 5x 2 + 3x dx = 5x 2 dx + 3xdx Με την εφαρμογή τώρα του κανόνα της δύναμης έχουμε το αποτέλεσμα ως 5 x3 3 + 3 x2 2 + c Μπορεί κάποιος να αναρωτηθεί γιατί δεν έχουμε 2c αφού έχουμε δύο ολοκληρώματα. Στην πραγματικότητα μπορούμε να πούμε ότι από κάθε ολοκλήρωμα έχουμε μια σταθερά, έστω c 1 και c 2. Αλλά επειδή καθένα από αυτά μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός μπορούμε να πούμε ότι c 1 + c 2 = c. 21
Παράδειγμα 5 3x 2 3 dx = x 2 3x 3 dx x 2 2 3 dx = x 2 = 3x x 2 3 dx 2 x 2 3 dx = = 3x 1 3 dx 2x 2 3 dx = 9 3 4 x4 6 3 x + c 22
Ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδόν (1) ένα αόριστο ολοκλήρωμα είναι ουσιαστικά μια συνάρτηση της μεταβλητής και δεν έχει συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές. Ας επιλέξουμε όμως δύο τιμές της μεταβλητής από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, έστω τις τιμές a και b με a < b. Τότε, γράφουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα ως a b f x dx και διαβάζουμε ορισμένο ολοκλήρωμα της f(x) από το a στο b. Πριν δούμε περισσότερα για το πώς υπολογίζονται τα ορισμένα ολοκληρώματα, είναι σκόπιμο να αναφερθούμε στο γιατί ένα ορισμένο ολοκλήρωμα μας δίνει το εμβαδόν κάτω από μία καμπύλη. 23
Ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδόν (2) 24
Ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδόν (3) και θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη ανάμεσα στα σημεία a και b. Μπορούμε να προσεγγίσουμε το εμβαδόν αυτό χρησιμοποιώντας μια σειρά από ορθογώνια παραλληλόγραμμα όχι αναγκαστικά ίδιου πλάτους. 25
Ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδόν (4) 26
Ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδόν (5) Στα ορθογώνια αυτά παρατηρούμε ότι το πλάτος τους είναι κάθε φορά μια μεταβολή του x, δηλαδή Δx i, ενώ το ύψος είναι η τιμή της συνάρτησης στην αρχική τιμή του κάθε x, δηλαδή f(x i ). Προφανώς το εμβαδόν του κάθε παραλληλόγραμμου υπολογίζεται ευκολότατα ως f x i Δx i και το άθροισμα των εμβαδών των τριών παραλληλογράμμων μπορούμε να πούμε ότι είναι μια προσέγγιση του εμβαδού της περιοχής κάτω από την καμπύλη f(x) και ανάμεσα στα σημεία a και b. Βέβαια, είναι μια αρκετά χονδροειδής προσέγγιση γιατί ξεπερνά το εμβαδόν που θέλουμε να βρούμε κατά τα μικρά τμήματα του κάθε παραλληλόγραμμου που βρίσκονται πάνω από την καμπύλη f(x). Εάν πάρουμε περισσότερα παραλληλόγραμμα τότε μπορούμε να έχουμε μια καλύτερη προσέγγιση: 27
Ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδόν (6) 28
Ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδόν (7) Στα παραλληλόγραμμα που έχουμε τώρα παρατηρούμε ότι η συνολική επιφάνεια που βρίσκεται πάνω από την καμπύλη είναι μικρότερη από ότι προηγουμένως. Επομένως, όσο περισσότερα παραλληλόγραμμα κάνουμε τόσο μεγαλύτερη προσέγγιση του εμβαδού έχουμε. Το άθροισμα των εμβαδών αυτών των παραλληλογράμμων είναι: n i=1 fx i Δx i Εάν το n τείνει στο άπειρο, τότε ο όρος Δx i στην παραπάνω σχέση γίνεται dx i, ενώ και ο δείκτης i μπορεί να φύγει γιατί όλες οι απειροελάχιστες μεταβολές μπορούν να παριστάνονται με dx. Η παράσταση λοιπόν επάνω γίνεται: 29
Ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδόν (8) lim n n i=1 fx i Δx i = f x dx Ίσως τώρα γίνεται πιο ξεκάθαρο αυτό που είπαμε στο προηγούμενο Κεφάλαιο, ότι το ολοκλήρωμα είναι ουσιαστικά ένα άθροισμα και ότι το σύμβολό του είναι ένα επιμηκυμένο γράμμα S, από την αγγλική λέξη Sum, που σημαίνει άθροισμα. a b 30
Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού (1) Έχουμε δει ότι το αόριστο ολοκλήρωμα είναι f x dx = F x + c Εάν σε ένα κλειστό διάστημα a, b η συνάρτηση F x είναι συνεχής, τότε και η f x θα είναι επίσης συνεχής. Αντικαθιστώντας για την τιμή του x τις τιμές b και a και παίρνοντας τη διαφορά έχουμε a b f x dx = F b + c F a + c = F b F(a) 31
Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού (2) Αυτό λέγεται θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού και χρησιμοποιώντας το μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος εάν γνωρίζουμε ποιό είναι το αόριστο ολοκλήρωμα. Τα a και b λέγονται όρια της ολοκλήρωσης, το a είναι το κατώτερο όριο και το b είναι το ανώτερο όριο και βέβαια η τιμή που βρίσκουμε είναι γεωμετρικά το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη και πάνω από τον άξονα των x και ανάμεσα στις τιμές του x a και b, όπως είδαμε και στα σχήματα παραπάνω. 32
Παράδειγμα 6 (1) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 1 3 xdx 33
Παράδειγμα 6 (2) Απάντηση: Ξέρουμε ότι το αόριστο ολοκλήρωμα xdx = x2 2 + c Επομένως, βάζουμε στο x τις τιμές 3 και 1, αφαιρούμε και έχουμε 1 3 xdx = x2 2 + c 3 1 = 3 2 2 + c 1 2 = 9 2 1 2 = 8 2 = 4 2 + c = Να σημειωθεί ότι ο συμβολισμός x 2 2 + c 3 1 34
Παράδειγμα 6 (3) σημαίνει να υπολογιστεί η συνάρτηση x2 2 + c για τις τιμές 3 και 1, κάτι που γίνεται στη συνέχεια. Μπορούμε να μην περιλάβουμε το βήμα αυτό, αλλά να βρούμε απευθείας τις τιμές της F(x) για τα όρια της ολοκλήρωσης. Μπορούμε να δούμε πώς αυτό φαίνεται γεωμετρικά. Η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι η f(x) = x. Κάτω από τη συνάρτηση και έως τον άξονα των x και ανάμεσα στο διάστημα τιμών του x 1 έως 3 δημιουργείται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ, το οποίο έχει μορφή τραπεζίου, όπως φαίνεται στο σκιασμένο τμήμα στο Σχήμα 35
Παράδειγμα 6 (4) 36
Παράδειγμα 6 (5) Το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ είναι ΔΑ + ΓΒ ΔΓ = 2 2 1 + 3 2 = 2 2 = 4 Όσο ακριβώς βρήκαμε και με τη διαδικασία του υπολογισμού του ορισμένου ολοκληρώματος 1 3 xdx 37
Βιβλιογραφία Κοντέος, Γ. & Σαριαννίδης, Ν. (2012). Μαθηματικά. ISBN 978-960-93-3978-0. 38