ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής - Η παραγωγή είναι η δραστηριότητα μέσω της οποίας κάποια αγαθά και υπηρεσίες (εισροές) μετατρέπονται σε άλλα αγαθά και υπηρεσίες (εκροές ή προϊόντα). - Η επιχείρηση είναι ο οργανισμός που συντονίζει την παραγωγή αγαθών και υπηρεσιών. Θεωρούμε την επιχείρηση ως ένα μαύρο κουτί που μετατρέπει εισροές σε εκροές και παραβλέπουμε άλλα σημαντικά ζητήματα (ιδιοκτησία, διεύθυνση και οργάνωση επιχείρησης κ.λπ.). - Οι εισροές στην παραγωγή ονομάζονται παραγωγικοί συντελεστές. - Οι παραγωγικοί συντελεστές ταξινομούνται σε ευρείες κατηγορίες: γη, εργασία, κεφάλαιο, πρώτες ύλες και επιχειρηματικές υπηρεσίες. 1
- Υποθέτουμε ότι υπάρχουν δύο παραγωγικοί συντελεστές στην οικονομία: ηεργασία() και το κεφάλαιο (Κ). - Η επιχείρηση συνδυάζει τις χρησιμοποιούμενες ποσότητες εργασίας () και κεφαλαίου (K) για να παράγει κάποια ποσότητα προϊόντος (Α). Σύνολο Παραγωγής και Συνάρτηση Παραγωγής - Ορισμός. Κάθε διάνυσμα (K,,A) που περιγράφει την ποσότητα των εισροών (K,) και την ποσότητα του παραγόμενου προϊόντος (A) ονομάζεται διάνυσμα παραγωγής ή σχέδιο παραγωγής. - Η επιχείρηση δεν μπορεί να πραγματοποιήσει οποιοδήποτε σχέδιο παραγωγής, διότι αντιμετωπίζει ένα σύνολο περιορισμών. - Ο βασικός περιορισμός που αντιμετωπίζει η επιχείρηση είναι ο περιορισμός της τεχνολογίας. 2
- Η επιχείρηση πρέπει να επιλέξει μεταξύ εκείνων των σχεδίων παραγωγής που είναι τεχνολογικά εφικτά. - Ορισμός. Το (εφικτό) σύνολο παραγωγής Υ είναιτοσύνολοόλων των τεχνολογικά εφικτών σχεδίων παραγωγής της επιχείρησης. - Δηλαδή: Το διάνυσμα (K,,A) ανήκει στο (εφικτό) σύνολο παραγωγής αν είναι τεχνολογικά εφικτή η παραγωγή A μονάδων προϊόντος χρησιμοποιώντας ποσότητες εισροών K,. - Εστιάζουμε στη μέγιστη ποσότητα προϊόντος (A) που μπορεί να παραχθεί από δεδομένη ποσότητα εισροών (K,). - Ορισμός. Η συνάρτηση παραγωγής δείχνει τη μέγιστη ποσότητα προϊόντος (A) που μπορεί να παραχθεί από κάθε δεδομένο συνδυασμό εισροών (K,): A = f( K, ). - Με δεδομένη τη συνάρτηση παραγωγής f, το (εφικτό) σύνολο παραγωγής μπορεί να γραφτεί ως εξής: Y = {( K,, A) : A f( K, ) και K,, A 0} 3
- Αν η εργασία είναι ο μοναδικός παραγωγικός συντελεστής, τότε η συνάρτηση παραγωγής είναι Α = f() καιτοεφικτόσύνολο παραγωγής είναι: Y = {(, A) : A f( ) και, A 0} A A = f() Y = {(, A) : A f( ) και, A 0} 0 - Ορισμός. Το οριακό προϊόν της εργασίας (MP ) είναι το πρόσθετο προϊόν που μπορεί να παραχθεί αν η χρησιμοποιούμενη ποσότητα εργασίας αυξηθεί κατά μία μονάδα, ενώ η ποσότητα του κεφαλαίου παραμένει σταθερή: ΔA f( K, ) MP 4 = = = f Δ
- Ορισμός. Το οριακό προϊόν του κεφαλαίου (MP Κ ) είναι το πρόσθετο προϊόν που μπορεί να παραχθεί αν η χρησιμοποιούμενη ποσότητα κεφαλαίου αυξηθεί κατά μία μονάδα, ενώ η ποσότητα της εργασίας παραμένει σταθερή: MP K ΔA f( K, ) = = = ΔK K f K Υποθέσεις για την Οριακή Παραγωγικότητα (1) Θετικό Οριακό Προϊόν - Καθώς αυξάνεται η χρησιμοποιούμενη ποσότητα εργασίας ή κεφαλαίου, το συνολικό προϊόν αυξάνεται: f( K, ) f( K, ) MP = = f > 0, MPK = = fk > 0 K 5
(2) Φθίνον Οριακό Προϊόν (ΝόμοςτηςΦθίνουσαςΟριακής Παραγωγικότητας) - Καθώς αυξάνεται η χρησιμοποιούμενη ποσότητα εργασίας (κεφαλαίου), το οριακό προϊόν της εργασίας (του κεφαλαίου) μειώνεται: 2 2 MP f( K, ) MPK f( K, ) = = f 0, 0 2 < = = f 2 KK < K K - Δηλαδή: Καθώς αυξάνεται η χρησιμοποιούμενη ποσότητα εργασίας ή κεφαλαίου, το συνολικό προϊόν αυξάνεται με φθίνοντα ρυθμό. - Ορισμός. Το μέσο προϊόν της εργασίας (AP ) είναι το παραγόμενο προϊόν ανά χρησιμοποιούμενη μονάδα εργασίας: A f( K, ) AP = = - Ορισμός. Το μέσο προϊόν του κεφαλαίου (AP Κ ) είναι το παραγόμενο προϊόν ανά χρησιμοποιούμενη μονάδα κεφαλαίου: A f( K, ) APK = = 6 K K
- Πρόταση. Το μέσο προϊόν της εργασίας (του κεφαλαίου) μεγιστοποιείται σε εκείνο το επίπεδο απασχόλησης όπου το μέσο προϊόν είναι ίσο με το οριακό προϊόν της εργασίας (του κεφαλαίου). - Απόδειξη: Η FOC για μεγιστοποίηση του AP είναι: AP [ f / ] ( f / ) f f f = = = 0 =, δηλαδή: AP = MP 2 - Όμοια, η FOC για μεγιστοποίηση του AP Κ είναι: AP [ f / K] K( f / K) f f f = = = 0 =, δηλαδή: APK = MP K K K 2 K K K - Αν η εργασία είναι ο μοναδικός παραγωγικός συντελεστής, τότε η συνάρτηση παραγωγής είναι Α = f() και οι υποθέσεις για την οριακή παραγωγικότητα της εργασίας γράφονται ως εξής: MP = f ( ) > 0 (Θετικό Οριακό Προϊόν) dmp d = f ( ) < 0 (Φθίνον Οριακό Προϊόν) 7 K
- Στην περίπτωση αυτή, οι καμπύλες συνολικού, μέσου και οριακού προϊόντος της εργασίας έχουν την εξής μορφή: A A=f() Καμπύλη Συνολικού Προϊόντος AP, MP 0 max AP AP Καμπύλες Μέσου και Οριακού Προϊόντος MP 0 * 8
Καμπύλες Ίσου Προϊόντος και Οριακός Λόγος Τεχνικής Υποκατάστασης - Ορισμός. Μια καμπύλη ίσου προϊόντος (Isoquant curve ή IQ) παριστάνει όλους τους διαφορετικούς συνδυασμούς εισροών K και που μπορούν να παράγουν την ίδια ποσότητα προϊόντος. K K 0 Y A K + K 0 1 2 K 1 0 0 MRTS Y H + 0 1 2 Z 1 MRTS Z ΙQ(A 0 ) IQ(A 2 ) IQ(A 1 ) 9
- Παράδειγμα: Οι συνδυασμοί εισροών Y(, K ) και Z(, K ) παράγουν την ίδια ποσότητα προϊόντος A 0. 0 0 1 1 -H κλίση της καμπύλης ίσου προϊόντος είναι αρνητική. Αν η ποσότητα του κεφαλαίου μειωθεί (από K, τότε η 0 σε K1) ποσότητα της εργασίας πρέπει να αυξηθεί (από ώστε το 0 σε 1) παραγόμενο προϊόν να παραμείνει αμετάβλητο στο επίπεδο Α 0. - Καθώς κινούμαστε προς τη βορειοανατολική κατεύθυνση (δηλαδή προς τα πάνω και δεξιά), οι καμπύλες ίσου προϊόντος αντιπροσωπεύουν ολοένα υψηλότερα επίπεδα προϊόντος (A 2 >A 1 >A 0 ). - Ορισμός. Τοαντίθετοτηςκλίσηςμιαςκαμπύληςίσουπροϊόντοςσε κάποιο σημείο της ονομάζεται οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (MRTS) σε αυτό το σημείο: MRTS dk = d / A σταθερό 10
- Ο MRTS δείχνει πόσες μονάδες πρέπει να αυξηθεί η ποσότητα του κεφαλαίου όταν μειώνεται κατά μία μονάδα η ποσότητα της εργασίας (δηλαδή δείχνει το ρυθμό με τον οποίο η επιχείρηση πρέπει να υποκαταστήσει την εργασία με κεφάλαιο), ώστε το παραγόμενο προϊόν να παραμείνει αμετάβλητο. - Αρχή του φθίνοντος MRΤS: Καθώς αυξάνεται η ποσότητα της εργασίας (και μειώνεται η ποσότητα του κεφαλαίου), ο MRΤS μειώνεται (MRΤS Ζ < MRΤS Υ ). Εξήγηση: Καθώς μειώνεται η ποσότητα της εργασίας, χρειάζεται μια ολοένα μεγαλύτερη αύξηση του κεφαλαίου προκειμένου να διατηρηθεί αμετάβλητη η παραγόμενη ποσότητα προϊόντος. Κυρτότητα Καμπυλών Ίσου Προϊόντος - Η καμπύλη ίσου προϊόντος IQ(Α 0 ) είναι κυρτή αν κάθε γραμμικός συνδυασμός των σημείων Υ, Ζ (δηλ. κάθε συνδυασμός εισροών επί του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα Υ, Ζ) μπορεί να παράγει 11 μεγαλύτερη ποσότητα προϊόντος από τα σημεία Υ, Ζ.
+ K + K i 2 2 ποσότητα προϊόντος μεγαλύτερη από A. 0 1 0 1 Παράδειγμα: Ο συνδυασμός Η (, ) μπορεί να παράγει Η καμπύλη ίσου προϊόντος IQ(Α 0 ) είναι κυρτή. - Οικονομική ερμηνεία κυρτής καμπύλης ίσου προϊόντος: Οι ισορροπημένοι συνδυασμοί εισροών (όπως ο Η) είναι πιο παραγωγικοί από ακραίους συνδυασμούς που δίνουν μεγάλη βαρύτητα σε κάποια από τις δύο εισροές (όπως οι συνδυασμοί Υ και Ζ). - Οι ακόλουθες εκφράσεις είναι ισοδύναμες μεταξύ τους: (1) Ο MRTS είναι φθίνων. (2) Οι καμπύλες ίσου προϊόντος είναι κυρτές. (3) Η συνάρτηση παραγωγής είναι οιονεί κοίλη. 0 12
Μαθηματική Εξαγωγή του MRΤS - Έστω η συνάρτηση παραγωγής f( K, ). - Αν οι εισροές Κ, μεταβληθούν κατά dk, d, τότε η συνολική επίπτωση στο παραγόμενο προϊόν δίνεται από το ολικό διαφορικό: A f f da = dk + d (1) K - Αν dk = d = 0 και οι ποσότητες των εισροών Κ και μεταβάλλονται κατά τρόπο ώστε το παραγόμενο προϊόν να παραμένει σταθερό (da=0), τότε: f f dk f / MP (1) 0 = dk + d = MRTS = = K d f / K MP = / A σταθερό K - Άρα: O MRTS ισούται με το λόγο των οριακών προϊόντων των δύο εισροών. 13
Αποδόσεις Κλίμακας - Ορισμός. (i) H συνάρτηση παραγωγής A= f( K, ) έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας (CRS) αν: f ( tk, t) = t f ( K, ), t > 1 Η αναλογική αύξηση όλων των εισροών κατά ένα ποσοστό t αυξάνει την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος κατά την ίδια αναλογία. Η παράμετρος t ονομάζεται παράμετρος κλίμακας και δείχνει το ποσοστό κατά το οποίο αυξάνεται η ποσότητα των εισροών. Παράδειγμα. Έστω Α = f(k,) = K+. Τότε: f( tk, t) = tk + t= t( K + ) = t f( K, ) : Σταθερές Αποδόσεις Κλίμακας (ii) H συνάρτηση παραγωγής κλίμακας (DRS) αν: A = f( K, ) έχει φθίνουσες αποδόσεις f ( tk, t) < t f ( K, ), t > 1 Η αναλογική αύξηση όλων των εισροών κατά ένα ποσοστό t οδηγεί 14 σε μια αναλογικά μικρότερη αύξηση του παραγόμενου προϊόντος.
Παράδειγμα. Έστω A= f( K, ) = K +. Τότε: f ( tk, t) = tk + t = t ( K + ) = t f ( K, ) < t f ( K, ) t > 1 => Φθίνουσες Αποδόσεις Κλίμακας. (iii) H συνάρτηση παραγωγής κλίμακας (ΙRS) αν: f ( tk, t) > t f ( K, ), t > 1 A = f( K, ) έχει αύξουσες αποδόσεις Η αναλογική αύξηση όλων των εισροών κατά ένα ποσοστό t οδηγεί σε μια αναλογικά μεγαλύτερη αύξηση του παραγόμενου προϊόντος. Παράδειγμα. Έστω A= f K = K + 2 2 (, ). Τότε: f tk t = tk + t = t K + = t f K > t f K t > 2 2 2 2 2 2 (, ) ( ) ( ) ( ) (, ) (, ) 1 => Αύξουσες Αποδόσεις Κλίμακας. 15
Παρατήρηση: Αν μια επιχείρηση διαθέτει πολλά πανομοιότυπα εργοστάσια, τότε μπορεί να διπλασιάσει το παραγόμενο προϊόν διπλασιάζοντας το πλήθος των εργοστασίων που βρίσκονται σε λειτουργία. - Γενικά: Αν αυξηθεί αναλογικά η ποσότητα όλων των εισροών, τότε πρέπει να είναι πάντα δυνατή η αναλογική αύξηση του παραγόμενου προϊόντος (επαναλαμβάνοντας απλώς με πανομοιότυπο τρόπο την προηγούμενη παραγωγική δραστηριότητα). Το υπόδειγμα των σταθερών αποδόσεων κλίμακας μπορεί να θεωρηθεί ως το πλέον θεμελιώδες υπόδειγμα παραγωγής. Μπορούμε να εστιάσουμε στην εξέταση τεχνολογιών με σταθερές αποδόσεις κλίμακας χωρίς να αναιρείται η γενικότητα των συμπερασμάτων μας. Οι φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας αντανακλούν τη σπανιότητα κάποιας υποκείμενης εισροής που δεν εμφανίζεται ρητά στη συνάρτηση παραγωγής (π.χ. των επιχειρηματικών υπηρεσιών). 16
Ελαστικότητα Υποκατάστασης - Ορισμός. Έστω η συνάρτηση παραγωγής Α= f(κ,). H ελαστικότητα υποκατάστασης (σ) μεταξύ των εισροών K και είναι ο λόγος της ποσοστιαίας μεταβολής του μίγματος εισροών (K/) προς την ποσοστιαία μεταβολή του MRTS κατά μήκος μιας καμπύλης ίσου προϊόντος: Δ( K / ) ποσοστιαία μεταβολή ( K / ) K / ( K / ) MRTS σ = = = = ποσοστιαία μεταβολή MRTS Δ( MRTS) MRTS ( K / ) MRTS ( K / ) f / fk = ( f / f ) K / K (Π1) Αν η τιμή του σ είναι μεγάλη, ο MRTS δε μεταβάλλεται πολύ καθώς μεταβάλλεται το μίγμα εισροών (K/). => Οι καμπύλες ίσου προϊόντος είναι σχετικά επίπεδες και η υποκατάσταση μεταξύ των εισροών είναι σχετικά εύκολη. 17
(Π2) Αν η τιμή του σ είναι μικρή, ο MRTS μεταβάλλεται πολύ καθώς μεταβάλλεται το μίγμα εισροών (K/). => Οι καμπύλες ίσου προϊόντος έχουν μεγάλη κυρτότητα και η υποκατάσταση μεταξύ των εισροών είναι σχετικά δύσκολη. K MRTS Y Y (Π1) Μεγάλη Ελαστικότητα Υποκατάστασης ( K / ) Y ( K / ) Z Z A 0 MRTS Z σ = %Δ( K / ) %Δ( MRTS) K MRTS Y Y (Π2) Μικρή Ελαστικότητα Υποκατάστασης ( K / ) Y ( K / ) Z Z MRTSZ A 0 σ = %Δ( K / ) %Δ( MRTS) 18
Παραδείγματα Συναρτήσεων Παραγωγής - Για καθένα από τα παραδείγματα συναρτήσεων παραγωγής που ακολουθούν: (α) Εξετάζουμε τη μορφή μιας τυπικής καμπύλης ίσου προϊόντος. (β) Υπολογίζουμε τον MRTS και εξετάζουμε αν ισχύει η αρχή του φθίνοντος MRTS. (γ) Υπολογίζουμε την ελαστικότητα υποκατάστασης. (δ) Εξετάζουμε αν η συνάρτηση παραγωγής έχει σταθερές, φθίνουσες ή αύξουσες αποδόσεις κλίμακας. 19
(1) Τέλεια Υποκατάστατες Εισροές (Γραμμική Συνάρτηση Παραγωγής) A= f( K, ) = a+ β K, αβ, > 0 (α) Η εξίσωση της καμπύλης ίσου προϊόντος που αντιστοιχεί σε επίπεδο παραγωγής Α=10 είναι: 10 α A = 10 = a + β K K = ( IQ0 ) β β Κ 10/β 0 IQ 0 (A=10) 10/α (β) MRTS f / = = / f / K α β Ο MRTS είναι σταθερός. 20
(γ) % Δ( K / ) σ = = % Δ( MRTS) (άπειρη ελαστικότητα υποκατάστασης) - Παρατήρηση: Αν οι εισροές K, είναι τέλεια υποκατάστατες, η επιχείρηση θα χρησιμοποιεί μόνο εκείνη την εισροή που είναι σχετικά φτηνότερη. Η γραμμική συνάρτηση παραγωγής σπάνια συναντάται στην πράξη (π.χ. κάθε μηχάνημα χρειάζεται κάποιον εργάτη για να λειτουργήσει). (δ) Αποδόσεις Κλίμακας f ( tk, t) = a tk + β t = t f ( K, ) Η γραμμική συνάρτηση παραγωγής έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας. 21
(2) Τέλεια Συμπληρωματικές Εισροές (Συνάρτηση Παραγωγής Σταθερών Αναλογιών) A= f( K, ) = min{ a, β K}, αβ, > 0 (α) Οι καμπύλες ίσου προϊόντος έχουν σχήμα. K K α = β 10/β 0 10/α IQ 1 (A=10) -Hεπιχείρηση χρησιμοποιεί τις εισροές K και σε σταθερές αναλογίες: K / = α / β. - Δηλαδή, η επιχείρηση επιλέγει συνδυασμούς εισροών που αντιστοιχούν στις κορυφές των καμπυλών ίσου προϊόντος. 22
dk (β) MRTS = / A σταθερό = d, αν K/ > α / β δεν ορίζεται, αν K/ = α / β 0, αν K/ < α / β (γ) % Δ( K/ ) σ = = % Δ( MRTS) 0 (μηδενική ελαστικότητα υποκατάστασης) (δ) Αποδόσεις Κλίμακας f ( tk, t) = min{ a t, β tk} = t f ( K, ) => Η συνάρτηση παραγωγής σταθερών αναλογιών έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας. 23
(3) Συνάρτηση Παραγωγής Cobb-Douglas A= f( K, ) = γ α K β, α, β > 0, γ > 0. (α) Η εξίσωση της καμπύλης ίσου προϊόντος που αντιστοιχεί σε επίπεδο παραγωγής A=10 είναι: 1/ β α β (10 / γ ) A = 10 = γ K K= ( IQ / 2) α β K 0 IQ 2 (A=10) (β) MRTS f / α K = = f / K β Ο MRTS είναι φθίνων. 24
( K / ) MRTS (γ) σ = = 1 : Ενδιάμεσος βαθμός υποκατάστασης ( MRTS) K / μεταξύ των περιπτώσεων 1 (όπου σ = ) και 2 (όπου σ = 0). (δ) Αποδόσεις Κλίμακας α β f( tk, t) = γ ( t) ( tk) = = t f( K, ) α + β = 1, οπότε η f έχει CRS. α+ β = t f ( K, ) < t f( K, ) α + β < 1, οπότε η f έχει DRS. > t f( K, ) α + β > 1, οπότε η f έχει IRS. 25
(4) Συνάρτηση Παραγωγής Σταθερής Ελαστικότητας Υποκατάστασης (CES) A= f K = K + > δ δ γ/δ (, ) ( ), δ 1, δ 0, γ 0. (α) Η μορφή των καμπυλών ίσου προϊόντος εξαρτάται από τις τιμές των παραμέτρων δ και γ. (β) MRTS f / K = = f / K 1 δ Ο MRTS είναι φθίνων. (γ) ( K / ) MRTS σ = = ( MRTS) K / = δ = 1 (τέλεια υποκατάστατες εισροές) 1 = = 0 δ = (τέλεια συμπληρωματικές εισροές) 1 δ = 1 δ = 0 (Cobb-Douglas) 26
(δ) Αποδόσεις Κλίμακας δ δ γ / = + δ = f( tk, t) [( tk) ( t) ] = t f( K, ) γ = 1, οπότε η f έχει CRS. γ = t f ( K, ) < t f( K, ) γ < 1, οπότε η f έχει DRS. > t f( K, ) γ > 1, οπότε η f έχει IRS. 27