Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα επιχειρείται μια ιστορική αναδρομή στη λογική και τον λογικό προγραμματισμό, ενώ στη δεύτερη παρουσιάζεται ο κανόνας modus ponens και γίνεται εφαρμογή του σε απλά παραδείγματα. Προαπαιτούμενη γνώση Για την κατανόηση του κεφαλαίου, ο αναγνώστης απαιτείται να έχει στοιχειώδεις γνώσεις μαθηματικής λογικής. 2.1 Ιστορική αναδρομή Ο λογικός προγραμματισμός είναι η πρώτη από τις δύο δηλωτικές προγραμματιστικές φιλοσοφίες που θα μελετήσουμε [1, 2]. Εμφανίστηκε στις αρχές της δεκαετίας του 1970, ως αποτέλεσμα μακροχρόνιας έρευνας στην αυτόματη απόδειξη θεωρημάτων κυρίως, καθώς και προσπαθειών στην επεξεργασία φυσικής γλώσσας και στην τεχνητή νοημοσύνη, γενικότερα. Βάση του λογικού προγραμματισμού είναι η λογική, της οποίας οι ρίζες εντοπίζονται στην εποχή του Αριστοτέλη (4ος αιώνας π.χ.). Ο Αριστοτέλης πρώτος μελέτησε συστηματικά και θεμελίωσε τη Λογική με τη μορφή που τη μελετάμε ακόμα και σήμερα. Παρ όλα αυτά, η αυστηρή μαθηματική θεμελίωσή της άρχισε να κτίζεται από το τελευταίο τέταρτο του 19ου αιώνα και συνεχίζεται μέχρι τις μέρες μας. Σύμφωνα με τον J.A. Robinson [3], ένα πρώτο σημαντικό βήμα στη θεμελίωση της σύγχρονης μορφής της λογικής, αυτό που ονομάζουμε «συμβολική» ή «μαθηματική» λογική, ήταν η εμφάνιση του κατηγορηματικού λογισμού. Ο κατηγορηματικός λογισμός ξεκινά από ιδέες που εμφανίστηκαν στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα από τον Gottlob Frege. Βασικό χαρακτηριστικό του είναι ο σαφής ορισμός της έννοιας της απόδειξης, ως μαθηματικής οντότητας η οποία πρέπει να αναλυθεί. Το ίδιο γίνεται για τις προτάσεις και τις άλλες τυπικές εκφράσεις της λογικής, ώστε να μην είναι απλώς εκφραστικά εργαλεία. Πολλοί ερευνητές, ανάμεσά τους ο Kurt Gödel και ο Jacques Herbrand, επεξεργάστηκαν τις ιδέες που εισήχθησαν από τον Frege. Σε αυτούς τους δύο ερευνητές οφείλεται η ανακάλυψη της λεγόμενης πληρότητας του κατηγορηματικού λογισμού, που συνδέει την έννοια της αποδειξιμότητας μιας γενικευμένης πρότασης με την έννοια του αληθούς μιας γενικευμένης πρότασης. Η πρώτη έννοια αποτελεί μια συντακτική ιδιότητα, ενώ η δεύτερη μια σημασιολογική. Σύμφωνα με τον Robinson, στο χώρο της σημασιολογίας του κατηγορηματικού λογισμού, σημαντικότατη είναι η συνεισφορά του Alfred Tarski. Αυτός όρισε με σαφή τρόπο τις έννοιες της ικανοποιησιμότητας, της αλήθειας δεδομένης μιας ερμηνείας, του λογικού επακόλουθου κτλ. Παρ όλα τα θετικά χαρακτηριστικά του κατηγορηματικού λογισμού, το 1936 ανακαλύφθηκε από τον Alonzo Church, καθώς και από τον Alan Turing, ανεξάρτητα, και ένα αρνητικό. Μολονότι υπάρχει διαδικασία απόδειξης όλων των περιπτώσεων στις οποίες η γενικευμένη πρόταση αποτελεί λογικό επακόλουθο ενός συνόλου γενικευμένων προτάσεων, δεν υπάρχει αντίστοιχη διαδικασία για όλες τις περιπτώσεις στις οποίες αυτό δεν ισχύει. Αρχικά, οι κανόνες απόδειξης που συνόδευαν τον κατηγορηματικό λογισμό ήταν προσανατολισμένοι σε απλά στοιχειώδη βήματα, εύκολα αντιληπτά από τον ανθρώπινο νου. Χαρακτηριστικό παράδειγμα τέτοιου κανόνα είναι ο modus ponens, σύμφωνα με τον οποίο, υποθέτοντας ότι ισχύει το «A» και το «αν A, τότε B», μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ισχύει το «B». Η προσέγγιση αυτή ανετράπη όταν ο Robinson εισήγαγε τη λεγόμενη αρχή της ανάλυσης. Η αρχή της ανάλυσης, μαζί με μια διαδικασία ενοποίησης (ταιριάσματος), μπορούσε να λειτουργήσει ως ένας μηχανισμός απόδειξης θεωρημάτων από αξιώματα διατυπωμένα στον κατηγορηματικό λογισμό. Η προσέγγιση αυτή οδηγεί σε μεθοδολογίες προσανατολισμένες περισσότερο για επεξεργασία από μηχανές παρά για κατανόηση από τον ανθρώπινο νου. Προς τη μεθοδολογία αυτή κατευθύνθηκε ο Robert Kowalski, μελετώντας μια μορφή γραμμικής ανάλυσης, την SL-ανάλυση [4]. Την εποχή εκείνη, είχε ξεσπάσει επιστημονική διαμάχη μεταξύ των οπαδών της λογικής και των οπαδών των διαδικαστικών μεθοδολογιών, ως προς την καταλληλότητά τους για την επίλυση προβλημάτων στην περιοχή της τεχνητής νοημοσύνης. Οι δεύτεροι ανήκαν κυρίως στην ομάδα του Αμερικανικού Πανεπιστημίου MIT. Η διαμάχη αυτή απομάκρυνε πολλούς ερευνητές από τη μελέτη μεθοδολογιών βασισμένων στη λογική. Την ίδια εποχή, - 17 -
στη Μασσαλία [5], ο Alain Colmerauer, στο πλαίσιο της μελέτης του για την κατανόηση της φυσικής γλώσσας, χρησιμοποιούσε τη λογική, για να αναπαραστήσει το νόημα των προτάσεων, και την αρχή της ανάλυσης, για να υπολογίσει απαντήσεις σε ερωτήσεις. Ενδιαφέρθηκε, λοιπόν, για την SL-ανάλυση και κάλεσε τον Kowalski στη Μασσαλία. Στο πλαίσιο της συνεργασίας τους, γεννήθηκε αυτό που κατανοούμε σήμερα ως λογικό προγραμματισμό και η εφαρμογή του στην πράξη από τον βασικότερο εκπρόσωπό του, τη γλώσσα προγραμματισμού Prolog. Σε τυπικό επίπεδο, διαπιστώθηκε από τον Kowalski [6] ότι συγκεκριμένες προτάσεις, οι προτάσεις Horn, μπορούν να ερμηνευθούν και διαδικαστικά. Αυτό που σήμερα ονομάζεται λογικός προγραμματισμός βασίζεται στη συγκεκριμένη διαπίστωση. Συγκεκριμένα, κάθε πρόταση θεωρείται μια διαδικασία και οι αρνήσεις στην πρόταση αυτή θεωρούνται κλήσεις διαδικασιών. Μάλιστα, ο Kowalski και η ομάδα του Εδιμβούργου ανέπτυξαν και μια ειδική μορφή ανάλυσης, την SLD-ανάλυση, που αναφέρεται στις προτάσεις Horn. Θεωρώντας αυτήν τη διαδικασία απόδειξης, ο Kowalski ισχυρίζεται [6] ότι ένα σύνολο από προτάσεις Horn αποτελεί γνώση οργανωμένη και δηλωτικά και διαδικαστικά. Η ονομασία των προτάσεων Horn αποδίδεται στον Alfred Horn, μελετητή της λογικής, που πρώτος εξέτασε κάποιες από τις μαθηματικές τους ιδιότητες [7]. Πρέπει, όμως, εδώ να σημειώσουμε ότι, προκειμένου να μπορέσει να υλοποιηθεί η ιδέα αυτή, ώστε να αποτελέσει μια γλώσσα προγραμματισμού, έπρεπε να παρθούν κάποιες αποφάσεις. Συγκεκριμένα, για να υπάρξει γραμμική εκτέλεση, αποφασίστηκε μια αυστηρά «από επάνω προς τα κάτω» και «από αριστερά προς τα δεξιά» επιλογή. Αυτή η αντιμετώπιση οδήγησε την Prolog να μη διαθέτει κάποιες από τις εξαιρετικές ιδιότητες του λογικού προγραμματισμού, συγκεκριμένα αυτήν της ισοδυναμίας της μοντελοθεωρητικής και της λειτουργικής σημασιολογίας, που είχε παρουσιαστεί από τους M.H. van Emden και R.A. Kowalski [8]. Κλείνοντας, πρέπει να αναφέρουμε ότι ο λογικός προγραμματισμός αποτέλεσε το υπόβαθρο για διάφορες επεκτάσεις και παραλλαγές. Χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι η εισαγωγή άρνησης στον λογικό προγραμματισμό, ο λογικός προγραμματισμός με περιορισμούς, ο απαγωγικός λογικός προγραμματισμός, ο διαζευκτικός λογικός προγραμματισμός κτλ. Επίσης, πρέπει να αναφέρουμε την υλοποίηση του λογικού προγραμματισμού σε παράλληλους υπολογιστές, αλλά και τη χρήση της λογικής και του λογικού προγραμματισμού στις βάσεις δεδομένων. 2.2 Λογική και κανόνας modus ponens Μην ανησυχείτε που δεν έχουμε δώσει ορισμούς για πολλές από τις έννοιες της προηγουμένης ενότητας, όπως της αρχής της ανάλυσης, της ενοποίησης κτλ. Θα το κάνουμε αρκετά αναλυτικά στο Κεφάλαιο 7. Στο παρόν κεφάλαιο, θα μελετήσουμε τις προτάσεις Horn, τον τρόπο με τον οποίο διατυπώνουμε αξιώματα μέσω αυτών, τον ορισμό του κανόνα modus ponens και την εξαγωγή συμπερασμάτων με τη βοήθειά του. Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 1, εκτός από τη μεθοδολογία του διαδικαστικού προγραμματισμού, υπάρχει και η μεθοδολογία του δηλωτικού προγραμματισμού. Σε αυτήν, όπως θα θυμάστε, ορίζουμε ένα σύνολο από αξιώματα, με τα οποία περιγράφουμε τι ισχύει στον κόσμο του προβλήματος που μας ενδιαφέρει. Σε ένα περιβάλλον λογικού προγραμματισμού, αυτά τα αξιώματα αποτελούν ένα λογικό πρόγραμμα και, όπως θα δούμε στη συνέχεια, δεν είναι τίποτε άλλο παρά προτάσεις Horn της λογικής πρώτης τάξης. Δηλαδή: Λογικό πρόγραμμα είναι ένα σύνολο από αξιώματα που ισχύουν σε κάποιον κόσμο, διατυπωμένα στη μορφή προτάσεων Horn της λογικής πρώτης τάξης. Ειδική μορφή λογικής είναι η προτασιακή λογική, στην οποία μπορούμε να διατυπώνουμε προτάσεις χρησιμοποιώντας προτασιακά σύμβολα, που παριστάνουν ισχυρισμούς στον περιβάλλοντα κόσμο, αληθείς ή ψευδείς. Οι προτάσεις, εκτός από προτασιακά σύμβολα, είναι δυνατόν να περιλαμβάνουν και λογικούς συνδέσμους, όπως σύζευξη, διάζευξη, συνεπαγωγή, ισοδυναμία και άρνηση, αλλά και σημεία στίξης, όπως τα «(», «)» και «,». Κάθε λογικός σύνδεσμος έχει την αναμενόμενη, με βάση την ονομασία του, σημασία. Για παράδειγμα, η συνεπαγωγή p q σημαίνει «αν p, τότε q». Ο modus ponens είναι ένας κανόνας εξαγωγής συμπερασμάτων στην προτασιακή λογική. Η απλούστερη διατύπωσή του είναι η εξής: modus ponens: Αν γνωρίζουμε ότι η πρόταση p είναι αληθής και ότι η συνεπαγωγή p q ισχύει (είναι αληθής), τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι και η πρόταση q είναι αληθής. - 18 -
Δηλαδή: p p q q Παράδειγμα 2.1 Αν γνωρίζουμε ότι «αν βρέχει, τότε έχει υγρασία» και ότι τώρα «βρέχει», μπορούμε να συμπεράνουμε, εφαρμόζοντας τον modus ponens, ότι τώρα «έχει υγρασία». Ή, συμβολικά: βρέχει υγρασία βρέχει υγρασία Μια γενικότερη διατύπωση του modus ponens είναι η εξής: p i p 1... p i... p n q p 1... p i 1 p i+1... p n q Ο κανόνας modus ponens αποτελεί ειδική περίπτωση της αρχής της ανάλυσης, όπως θα δούμε στην Ενότητα 7.3. Ωστόσο, πολλά προβλήματα δεν είναι δυνατόν να επιλυθούν με τη διατύπωση κατάλληλης γνώσης στην απλούστερη εκδοχή της λογικής, που είναι η προτασιακή λογική. Χρειάζεται ένα ισχυρότερο μέσο αναπαράστασης, το οποίο είναι η λογική πρώτης τάξης. Ένα παράδειγμα τέτοιου προβλήματος είναι το εξής: Παράδειγμα 2.2 Πώς μπορούμε να συμπεράνουμε ότι «ο Σωκράτης είναι θνητός», αν γνωρίζουμε ότι «όλοι οι άνθρωποι είναι θνητοί» και ότι «ο Σωκράτης είναι άνθρωπος»; Η εφαρμογή του modus ponens στη λογική πρώτης τάξης είναι μια επέκταση για την προτασιακή λογική. Στη λογική πρώτης τάξης θα γράφαμε για το παράδειγμα αυτό: man(socrates) ( x)(man(x) mortal(x)) mortal(socrates) Ενώ στην προτασιακή λογική έχουμε απλά προτασιακά σύμβολα (π.χ. p, q), στη λογική πρώτης τάξης έχουμε άτομα, όπως τα man(socrates) και mortal(x), τα οποία δομούνται από κατηγορήματα (π.χ. man, mortal), σταθερές (π.χ. Socrates), μεταβλητές (π.χ. x), καθώς και πιο πολύπλοκες δομές, που ονομάζονται σύνθετοι όροι ή δομές. Στα αξιώματα που διατυπώσαμε για να περιγράψουμε τη γνώση του Παραδείγματος 2.2 είχαμε ένα απλό άτομο, το man(socrates), και μια συνεπαγωγή με συμπέρασμα απλό άτομο, το mortal(x), και υπόθεση απλό άτομο, το man(x). Σε κάθε περίπτωση, αν ένα αξίωμα εμπλέκει και μεταβλητές, τότε έχουμε και καθολική ποσοτικοποίηση των μεταβλητών αυτών με τον ποσοδείκτη, όπως συμβαίνει στο παράδειγμά μας. Τα απλά άτομα, ως αξιώματα, είναι η μία από τις τρεις περιπτώσεις προτάσεων Horn στη λογική πρώτης τάξης, που ονομάζονται γεγονότα. Στις συνεπαγωγές επιτρέπουμε στην υπόθεση, εκτός από ένα απλό άτομο, να έχουμε και σύζευξη απλών ατόμων. Οπότε, έχουμε τη δεύτερη περίπτωση προτάσεων Horn, που είναι οι κανόνες. Το συμπέρασμα ενός κανόνα ονομάζεται κεφαλή, ενώ οι υποθέσεις του αποτελούν το σώμα του κανόνα. Ένα λογικό πρόγραμμα αποτελείται από γεγονότα και κανόνες. Η τρίτη περίπτωση προτάσεων Horn είναι η άρνηση μιας σύζευξης απλών ατόμων, η οποία αντιστοιχεί σε μια ερώτηση που υποβάλλεται σε ένα λογικό πρόγραμμα για απάντηση. Στη λογική, μια ερώτηση μπορεί να θεωρηθεί ένα προς απόδειξη θεώρημα, του οποίου η ισχύς - 19 -
μπορεί να προκύψει από τα τιθέντα αξιώματα, δηλαδή τα γεγονότα και τους κανόνες. Για παράδειγμα, η ερώτηση «υπάρχει κάποιος που να είναι θνητός;» αντιστοιχεί στην πρόταση Horn ( x)( mortal(x)). Έτσι, έχουμε: Μια πρόταση Horn μπορεί να είναι ένα γεγονός, ένας κανόνας ή μια ερώτηση. Τα αξιώματα λογικής πρώτης τάξης του Παραδείγματος 2.2 συνιστούν, ως προτάσεις Horn, ένα λογικό πρόγραμμα. Αυτό το λογικό πρόγραμμα, στο οποίο προτάσεις με μεταβλητές θεωρούνται ότι ισχύουν καθολικά, είναι το εξής: man(socrates) mortal(x) man(x) Αν ένα σύστημα λογικού προγραμματισμού εφοδιαστεί με τα προηγούμενα αξιώματα (προτάσεις Horn) και του υποβληθεί η ερώτηση (πρόταση Horn): mortal(x) οφείλει να απαντήσει ότι x = Socrates. Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι ο Σωκράτης είναι θνητός. Το συγκεκριμένο συμπέρασμα «υπολογίστηκε» όχι με κάποιον αριθμητικό υπολογισμό, αλλά με μια συμβολική επεξεργασία βασισμένη στη λογική. Αυτός είναι ο τρόπος υπολογισμού που υιοθετείται στον λογικό προγραμματισμό. Παρατηρήστε ότι στον κανόνα γράφουμε πρώτα την κεφαλή και μετά το σώμα, με αντεστραμμένο το σύμβολο της συνεπαγωγής. Επίσης, παρατηρήστε ότι ένα γεγονός είναι ουσιαστικά ένας κανόνας χωρίς σώμα, ενώ μια ερώτηση είναι ένας κανόνας χωρίς κεφαλή. Ασκήσεις Άσκηση 2.1 Έστω ότι γνωρίζουμε τα εξής: «Όταν βρέχει και κάνει ζέστη, έχει υγρασία. Το καλοκαίρι κάνει ζέστη. Είναι καλοκαίρι. Βρέχει.». Ορίζοντας τα προτασιακά σύμβολα p, q, r και s, που σημαίνουν: p: βρέχει q: κάνει ζέστη r: έχει υγρασία s: είναι καλοκαίρι επιλέξτε τις προτάσεις της προτασιακής λογικής που αναπαριστούν τη γνώση του κόσμου της άσκησης: p, q, r, s, p r, q s, s q, r q, q r p, s q r, p q r, r q p s. Άσκηση 2.2 Με ποιες διαδοχικές εφαρμογές του κανόνα εξαγωγής συμπερασμάτων modus ponens στη γνώση που περιγράφει τον κόσμο της Άσκησης 2.1 αποδεικνύεται ότι «έχει υγρασία»; - 20 -
Απαντήσεις ασκήσεων Απάντηση άσκησης 2.1 Οι απαιτούμενες προτάσεις που κωδικοποιούν τη γνώση του κόσμου της άσκησης είναι: p q r : s q : s : p : όταν βρέχει και κάνει ζέστη, έχει υγρασία το καλοκαίρι κάνει ζέστη είναι καλοκαίρι βρέχει Όταν διατυπώνουμε σε λογική μια γνώση που είναι εκφρασμένη σε φυσική γλώσσα, δεν θα πρέπει να μας προβληματίζουν κάποιες πιο ελεύθερες εκφράσεις της φυσικής γλώσσας, αλλά θα πρέπει να προσπαθούμε να βρούμε μια ισοδύναμη έκφραση διατυπωμένη περισσότερο μαθηματικά. Για παράδειγμα, η έκφραση «όταν βρέχει και κάνει ζέστη, έχει υγρασία» θα μπορούσε να διατυπωθεί και ως «αν βρέχει και κάνει ζέστη, τότε έχει υγρασία», και γι αυτό να παριστάνεται με τη συνεπαγωγή p q r. Επίσης, η έκφραση «το καλοκαίρι κάνει ζέστη» είναι ισοδύναμη με την έκφραση «αν είναι καλοκαίρι, τότε κάνει ζέστη» (s q). Ένα τελευταίο σχόλιο για την άσκηση είναι το εξής: Αν και οι εκφράσεις «κάνει ζέστη» και «έχει υγρασία» είναι δυνατόν να αποδειχθούν από τη γνώση μας, με εφαρμογή του modus ponens, όπως θα δούμε στην άσκηση που ακολουθεί, δεν θα πρέπει στη διατύπωση της δοθείσας γνώσης να συμπεριλάβουμε τα q και r, γιατί αυτά δεν είναι αξιώματα του κόσμου που περιγράφουμε, αλλά αποδείξιμα θεωρήματα. Απάντηση άσκησης 2.2 Μια σωστή απάντηση είναι ο εξής τρόπος απόδειξης: s s q q p q r p p r q p r r Άρα, ισχύει το r, δηλαδή «έχει υγρασία». Ο προηγούμενος τρόπος απόδειξης δεν είναι ο μοναδικός. Θα μπορούσαμε, για παράδειγμα, στο δεύτερο βήμα να χρησιμοποιήσουμε τα p και p q r, για να αποδείξουμε το q r, και μετά, στο τρίτο βήμα, να συνδυάσουμε το q r με το q, για να αποδείξουμε το r. Προβλήματα Πρόβλημα 2.1 Αποδείξτε, μέσω διαδοχικών εφαρμογών του κανόνα modus ponens, ότι η πρόταση: u w - 21 -
αποδεικνύεται από τις προτάσεις: p q r p q s q r s t p s t u w Πρόβλημα 2.2 Διερευνήστε αν οι προτάσεις p q r και p q r είναι ουσιαστικά ισοδύναμες. Αιτιολογήστε την απάντησή σας, αποδίδοντας σε καθένα από τα προτασιακά σύμβολα p, q και r κάποια φυσική σημασία από τον πραγματικό κόσμο, έτσι ώστε, μέσω αυτών, η ισοδυναμία των παραπάνω προτάσεων να είναι ζήτημα απλής κοινής λογικής. Πρόβλημα 2.3 Διατυπώστε σε λογική πρώτης τάξης τη γνώση «οι εφοπλιστές που δεν έχουν χρεοκοπήσει είναι πλούσιοι». Βιβλιογραφικές αναφορές [1] Γ. Μητακίδης, Απο τη Λογική στο Λογικό Προγραμματισμό και την Prolog, Καρδαμίτσας, 1992. [2] J. W. Lloyd, Foundations of Logic Programming, Springer-Verlag, 1993. [3] J. A. Robinson, Logic and Logic Programming, CACM, 35(3), 40-65, 1992. [4] R. Kowalski and D. Kuehnm, Linear Resolution with Selection Function, Artificial Intelligence, 2, 227-260, 1971. [5] R. Kowalski, A Short Story of My Life and Work, http://www.doc.ic.ac.uk/ rak/history.pdf, 2015. [6] R. Kowalski, Predicate Logic as Programming Language, Proceedings of IFIP 74, 569-574, 1974. [7] R. Kowalski, Logic Programming, in Computational Logic, Elsevier, 2014 [8] M. H. van Emden and R. A. Kowalski, The Semantics of Predicate Logic as a Programming Language, JACM, 23(4), 73-742, 1976. - 22 -