77 Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 4.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια υπολογίσαμε τάσεις και παραμορφώσεις που αναπτύσσονται σε ένα σημείο (σε μια πολύ μικρή περιοχή ) ενός δομικού στοιχείου βάσει επιπέδων ενός συγκεκριμένου συστήματος αναφοράς x y z (Σχ. 4.1), το οποίο μπορεί να επιλεγεί αυθαιρέτως. Επειδή τα αποτελέσματα για τις τάσεις και τις παραμορφώσεις εξαρτώνται σημαντικά από την επιλογή του συστήματος αυτού, στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε πώς οι τάσεις και οι παραμορφώσεις που αναφέρονται σε ένα σύστημα συντεταγμένων αλλάζουν ( μετασχηματίζονται ) όταν το σύστημα αυτό αλλάξει. 4. Μετασχηματισμοί τάσεων στην επίπεδη εντατική κατάσταση Παρόλο που η εντατική κατάσταση σε ένα στοιχειώδες τμήμα ενός φορτιζόμενου φορέα μπορεί να είναι γενικά τρισδιάστατη (Σχ. 4.1α), αρχικά περιοριζόμαστε σε τάσεις πάνω σε ένα επίπεδο, έστω αυτό που ορίζουν οι άξονες x y του Σχ. 4.1β. Η επίπεδη εντατική κατάσταση απεικονίζεται παραστατικά στο Σχ. 4.1γ. (α) (β) (γ) Σχ. 4.1 Τάσεις για (α) γενική τρισδιάστατη εντατική κατάσταση, (β) επίπεδη εντατική κατάσταση και (γ) συμβολισμός στο επίπεδο.
78 Στο Σχ. 4.α φαίνεται ένα επίπεδο στοιχειώδες τμήμα μοναδιαίου πάχους, με τις ορθές και διατμητικές τάσεις σε επίπεδα κάθετα στο σύστημα αξόνων x y. Οι ορθές τάσεις σ x και σ y είναι θετικές (εφελκυστικές) όταν έχουν τη θετική φορά των αξόνων, ενώ οι διατμητικές τάσεις τ είναι θετικές όταν έχουν τη θετική φορά του άξονα y και του άξονα x στις πλευρές (επίπεδα) του στοιχειώδους τμήματος προς τα δεξιά (DE) και προς τα πάνω (CD). Ακολούθως θεωρούμε ένα τυχαίο επίπεδο BC, το οποίο σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη διεύθυνση (ΑC ή άξονας y ). Η προς τα έξω κάθετη στο ' ' ' επίπεδο αυτό συμπίπτει με τον άξονα x ενός συστήματος x y, το οποίο σχηματίζει επίσης γωνία θ με το αρχικό σύστημα αξόνων x y. Το ζητούμενο είναι να υπολογιστούν οι τάσεις σ x' και τ x'y' στο επίπεδο αυτό. Από το αρχικό στοιχειώδες τμήμα αποκόπτουμε το σκιασμένο τριγωνικό στοιχείο του Σχ. 4.α, το οποίο ορίζεται από το επίπεδο BC, το κάθετο στον άξονα y επίπεδο AB (κάτω οριζόντιο επίπεδο του αρχικού στοιχειώδους τμήματος) και το κάθετο στον άξονα x επίπεδο AC. Το μικρό αυτό τριγωνικό στοιχείο δείχνεται στο Σχ. 4.β, μαζί με τις ορθές και διατμητικές τάσεις σε κάθε επίπεδο. Οι (άγνωστες μέχρι στιγμής) τάσεις σ x' και τ x'y' θα προκύψουν βάσει των εξισώσεων ισορροπίας του τριγωνικού στοιχείου, προσέχοντας φυσικά ώστε η διατύπωση των εξισώσεων να γίνει χρησιμοποιώντας δυνάμεις και όχι τάσεις. Οι δυνάμεις αυτές θα υπολογιστούν πολλαπλασιάζοντας τις τάσεις επί την αντίστοιχη επιφάνεια. Αν θεωρήσουμε ότι στο επίπεδο BC οι τάσεις σ x' και τ x'y' ασκούνται σε επιφάνεια da, τότε στο επίπεδο AC οι σ x και τ ασκούνται σε επιφάνεια da cosθ και στο επίπεδο AB οι σ y και τ ασκούνται σε επιφάνεια da sinθ. Οι δυνάμεις σε κάθε ένα από τα τρία επίπεδα του τριγωνικού τμήματος δίνονται στο Σχ. 4.γ. (α) (β) (γ) Σχ. 4. Τάσεις σε κεκλιμένο επίπεδο. Οι εξισώσεις στατικής ισορροπίας για το τμήμα ABC δίνουν:
79 F x' = 0 : σ x ' da = σ xda cosθ cosθ + σ yda sinθ sinθ + τ da cosθ sinθ + τ da sinθ cosθ 1+ cos θ 1 cos θ σ x ' = σ x cos θ + σ y sin θ + τ sinθ cosθ = σ x + σ y + τ sin θ σ x + σ y σ x σ y σ x ' = + cos θ + τ sin θ (4.1) Ομοίως, από F y' = 0 μπορούμε να λύσουμε για την τ x'y' : σ x σ y τ x ' y' = sinθ + τ cos θ (4.) Αν θέσουμε στην εξ. (4.1) όπου θ τη γωνία θ + 90 ο μπορούμε να υπολογίσουμε την ορθή τάση στη διεύθυνση του άξονα y ', δηλαδή σ x + σ y σ x σ y σ y' = cos θ τ sin θ (4.3) Επομένως, με γνωστή την εντατική κατάσταση στο σύστημα αξόνων x y, οι εξ. (4.1) (4.3) δίνουν τις τάσεις σε οποιοδήποτε σύστημα αξόνων που έχει στραφεί αριστερόστροφα κατά γωνία θ ως προς το αρχικό. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται μετασχηματισμός τάσεων. Αν προσθέσουμε τις εξ. (4.1) και (4.3) προκύπτει ότι σ σ σ + σ x' + y' = x y (4.4) δηλαδή το άθροισμα των ορθών τάσεων σε οποιαδήποτε κάθετα μεταξύ τους επίπεδα είναι σταθερή, δηλαδή αναλλοίωτη ποσότητα, ανεξάρτητη του προσανατολισμού των επιπέδων αυτών. Ακόμα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι στην περίπτωση επίπεδης παραμόρφωσης, πλέον των σ x, σ y και τ υπάρχει μία ακόμα μη μηδενική τάση, η σ z, η οποία όμως δεν υπεισέρχεται στις παραπάνω εξισώσεις ισορροπίας. Επομένως οι εξισώσεις μετασχηματισμού τάσεων (4.1) (4.3) ισχύουν όχι μόνο στην επίπεδη εντατική κατάσταση αλλά και στην επίπεδη παραμόρφωση. Τέλος σημειώνουμε ότι η σ z, βάσει της τρίτης των εξ. (3.1), είναι δηλαδή σταθερή και ανεξάρτητη του θ. ( σ σ ) σ ν + z = x y (4.5)
80 4.3 Κύριες τάσεις στην επίπεδη εντατική κατάσταση Από άποψη πρακτικού ενδιαφέροντος, συνήθως η ανάλυση τάσεων σε ένα δομικό μέλος στοχεύει στην εύρεση των μέγιστων και ελάχιστων τιμών που μπορούν να λάβουν οι εξ. (4.1) (4.) και στην εύρεση των επιπέδων όπου αναπτύσσονται οι τάσεις αυτές. Η σ x' γίνεται μέγιστη ή ελάχιστη θέτοντας την παράγωγό της ως προς θ ίση με μηδέν, δηλαδή: σ σ dσ x y x' = sin θ + τ cos θ = 0 tan θ1 = (4.6) dθ σ x σ y τ όπου θ 1 η γωνία που ορίζει το επίπεδο της μέγιστης ή ελάχιστης ορθής τάσης. Όπως φαίνεται γραφικά και στο Σχ. 4.3, η εξ. (4.6) έχει δύο ρίζες που διαφέρουν κατά 90 ο, ' δεδομένου ότι οι ρίζες θ 1 και θ 1 προσδιορίζει το επίπεδο στο οποίο δρα η μέγιστη ορθή τάση, ( '' θ 1 για την θ 1 διαφέρουν κατά 180 ο. Η μία λύση για την x' ) max δεύτερη λύση προσδιορίζει το επίπεδο στο οποίο δρα η ελάχιστη ορθή τάση, ( σ. σ ή σ 1, και η σ ή ) min x' Σχ. 4.3 Γραφική εύρεση των κυρίων διευθύνσεων. Στη συνέχεια αναζητούμε το επίπεδο εκείνο πάνω στο οποίο η διατμητική τάση μηδενίζεται. Αυτό βρίσκεται θέτοντας την εξ. (4.) ίση με μηδέν, που οδηγεί και πάλι στην τελευταία εξίσωση της σχέσης (4.6). Επομένως συμπεραίνουμε ότι στα επίπεδα που η ορθή τάση είναι μέγιστη ή ελάχιστη οι διατμητικές τάσεις είναι μηδέν. Τα επίπεδα αυτά ονομάζονται κύρια επίπεδα και οι αντίστοιχες ορθές τάσεις κύριες τάσεις, σ 1 (η μέγιστη) και σ (η ελάχιστη).
81 Το μέγεθος των κυρίων τάσεων βρίσκεται αντικαθιστώντας στην εξ. (4.1) τις λύσεις ' '' που βρήκαμε για τη γωνία θ 1 ( θ 1 και θ 1 ), οπότε (με τη βοήθεια και του Σχ. 4.3) προκύπτει: x y x y ( σ ) σ = + + τ x' max σ + σ σ σ = 1 (4.7α) σ x + σ y σ x σ y ( σ ) σ = + τ y' max = (4.7β) 4.4 Μέγιστες διατμητικές τάσεις στην επίπεδη εντατική κατάσταση Σε ορισμένα προβλήματα ανάλυσης τάσεων ενδιαφέρει η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή που μπορεί να λάβει η διατμητική τάση της εξ. (4.) και ο προσδιορισμός των αντίστοιχων επιπέδων. Παραγωγίζοντας την εξ. (4.) ως προς θ και θέτοντας το αποτέλεσμα ίσο με μηδέν προκύπτει: tan θ σ x σ y = (4.8) τ όπου θ η γωνία που ορίζει το επίπεδο της μέγιστης ή ελάχιστης διατμητικής τάσης. Όπως και η εξ. (4.6), η εξ. (4.8) έχει δύο ρίζες που διαφέρουν κατά 90 ο, δεδομένου ότι οι ' '' ρίζες θ και θ για την θ διαφέρουν κατά 180 ο. Η μία λύση για την θ προσδιορίζει το επίπεδο στο οποίο δρα η μέγιστη διατμητική τάση, τ max, και η δεύτερη λύση προσδιορίζει το επίπεδο στο οποίο δρα η ελάχιστη διατμητική τάση, τ min. Παρατηρώντας ότι tan θ = 1/ tan θ1 συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις για το θ διαφέρουν κατά 90 o ως προς τις λύσεις για το θ 1, άρα τα επίπεδα της μέγιστης και ελάχιστης διατμητικής τάσης σχηματίζουν 45 ο ως προς τα κύρια επίπεδα. Το μέγεθος της μέγιστης και ελάχιστης διατμητικής τάσης βρίσκεται αντικαθιστώντας ' '' στην εξ. (4.) τις λύσεις που βρήκαμε για τη γωνία θ ( θ και θ ), οπότε προκύπτει: σ x σ y τ max = + + τ (4.9α) σ x σ y τ min = + τ (4.9β)
8 Οι εξ. (4.9) δηλώνουν ότι η μέγιστη και ελάχιστη διατμητική τάση έχουν την ίδια αριθμητική τιμή αλλά διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο. Λαμβάνοντας όμως υπόψη ότι το πρόσημο στις διατμητικές τάσεις δεν έχει καμία φυσική σημασία (κάτι που δεν ισχύει για τις ορθές τάσεις, όπου το πρόσημο καθορίζει αν το υλικό εφελκύεται ή θλίβεται) μπορούμε να παραλείπουμε το πρόσημο στις εξ. (4.9) και να αναφερόμαστε μόνο σε μέγιστες διατμητικές τάσεις, με τιμή αυτή που δίνει η εξ. (4.9α). Σε αντίθεση με την περίπτωση των κυρίων τάσεων, οι οποίες δρουν σε επίπεδα όπου οι διατμητικές τάσεις είναι μηδέν, οι μέγιστες διατμητικές τάσεις δρουν σε επίπεδα όπου οι ορθές τάσεις είναι (εν γένει) μη μηδενικές. Αντικαθιστώντας την θ από την εξ. (4.8) στην εξ. (4.1) βρίσκουμε ότι οι ορθές τάσεις στο επίπεδο που δρα η μέγιστη διατμητική τάση είναι ' σ x + σ y σ x' ( θ = θ ) = σ = (4.10) Στο παραπάνω αποτέλεσμα φθάνουμε και για τις δύο λύσεις της γωνίας θ. Από την εξ. (4.9) μπορούμε να δούμε και μία εναλλακτική διατύπωση για τη μέγιστη διατμητική τάση συναρτήσει των κυρίων τάσεων: τ max σ1 σ = (4.11) Κλείνουμε την ενότητα αυτή εξετάζοντας και πάλι την περίπτωση καθαρής διάτμησης ( σ x = σ y = 0, τ 0, Σχ. 4.4α), που στο Σχ. 3.9 απεδείχθη ισοδύναμη της δράσης ίσων εφελκυστικών και θλιπτικών τάσεων υπό γωνία 45 ο ως προς αυτή των διατμητικών. ' Πράγματι, η εξ. (4.6) για την περίπτωση καθαρής διάτμησης δίνει θ 1= 45 ο '' και θ 1 = 135 ο και η εξ. (4.7) δίνει σ 1 = τ και σ = τ (Σχ. 4.4β). (α) (β) Σχ. 4.4 Ισοδύναμες αναπαραστάσεις της καθαρής διάτμησης.
83 Παράδειγμα 4.1 Η εντατική κατάσταση σε ένα σημείο ενός φορέα δίνεται στο Σχ. 4.5α. Να βρεθούν: (α) οι τάσεις σε επίπεδο που σχηματίζει γωνία θ = -.5 ο με το κατακόρυφο, (β) οι κύριες τάσεις και τα κύρια επίπεδα και (γ) οι μέγιστες διατμητικές τάσεις και τα επίπεδα δράσης αυτών..5 ο.5 ο.5 ο (α) (β) (γ) ο 76.7 31.7 ο 11.7ο (δ) (ε) (ζ) 76.7 ο 31.7 ο (στ) (θ) (η) Σχ. 4.5 Ανάλυση τάσεων. (α) Εφαρμόζουμε τις εξ. (4.1) (4.): σ x' 3 + 1 3 1 = + cos(-45 o )+sin(-45 o ) = +1x0.707-x0.707 = +1.9 MPa τ x' y' 3 1 = sin(-45 o )+cos(-45 o ) = 1x0.707+x0.707 = +.1 MPa Τα αποτελέσματα δίνονται στα Σχ. 4.5β,γ. (β) Εφαρμόζουμε τις εξ. (4.7) (4.8): 3 + 1 3 1 σ 1, = ± + = ±.4 άρα σ 1 = +4. 4 ΜPa, σ = 0. 4 MPa
84 tan θ 1 = = άρα θ1 = 63.43 o ή θ1 = 63.44 o + 180 ο '. θ1 = 31.7 ο, θ1 '' = 11.7 ο. 3 1 Για να βρούμε ποιά από τις δύο γωνίες αντιστοιχεί στην σ 1 εφαρμόζουμε την εξ. (4.1) χρησιμοποιώντας, π.χ. θ = 31.7 ο. Έτσι προκύπτει: 3 + 1 3 1 σ x' = + cos(63.44 o )+sin(63.44 o ) = +4.4 ΜPa = σ 1. Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνεται όχι μόνο η αντιστοίχιση κύριας τάσης γωνίας κυρίου επιπέδου, αλλά και η επαλήθευση των πράξεων. Οι κύριες τάσεις και τα αντίστοιχα κύρια επίπεδα δίνονται στο Σχ. 4.5δ,ε, ενώ το Σχ. 4.5στ δίνει την πλήρη εικόνα των κυρίων τάσεων. (γ) Για τη μέγιστη διατμητική τάση εφαρμόζουμε τις εξ. (4.8) - (4.9): 3 1 τ max = + =.4 MPa 3 1 tan θ = = 0.5 άρα θ = 153.44 o ή θ = 153.44 o + 180 ο. ' Έτσι θ = 76.7 ο, θ '' = 166.7 ο. Τα επίπεδα που δρουν οι μέγιστες διατμητικές τάσεις δίνονται στα Σχ. 4.5ζ,η. Για να βρούμε τη φορά των διατμητικών τάσεων στα επίπεδα αυτά εφαρμόζουμε την εξ. (4.) χρησιμοποιώντας, π.χ. θ = 76.7 ο. Έτσι προκύπτει: τ x' y' 3 1 = sin153.44 o +cos153.44 o = -.4 MPa που σημαίνει ότι η διατμητική τάση στο επίπεδο EF του Σχ. 4.5ζ έχει φορά αντίθετη από ' τη θετική του άξονα y. Η αντίστοιχη ορθή τάση δίνεται από την εξ. (4.10): ' 3 + 1 σ = = MPa H πλήρης εικόνα των τάσεων στα επίπεδα που ασκούνται οι μέγιστες διατμητικές δίνεται στο Σχ. 4.5θ. ' ' Τέλος παρατηρούμε ότι σ + σ = σ x + σ y = σ1 + σ ( + = 3 + 1 = 4.4 0.4). Επίσης τονίζουμε και πάλι ότι οι τρεις εντατικές καταστάσεις των Σχ. 4.5α, 4.5στ και 4.5θ είναι ισοδύναμες. Σε μητρωική μορφή αυτές οι εντατικές καταστάσεις περιγράφονται ως εξής:
85 3 1 ή 4.4 0 0 0. 4 ή.4.4 ΜPa 4.5 Κύκλος Mohr για τις τάσεις στην επίπεδη εντατική κατάσταση Η διερεύνηση της επίπεδης εντατικής κατάστασης που επικρατεί σε ένα σημείο μιας κατασκευής μπορεί να γίνει, εκτός από αναλυτικά, και γεωμετρικά, με τη μέθοδο που είναι γνωστή ως κύκλος Mohr 1. Η βάση της μεθόδου είναι ένας κύκλος τάσεων, η περιφέρεια του οποίου είναι ο γεωμετρικός τόπος των εντατικών καταστάσεων που επικρατούν σε όλα τα επίπεδα που διέρχονται από ένα σημείο. Το ότι οι εξ. (4.1) (4.) μπορούν να παρασταθούν με ένα κύκλο αποδεικνύεται εύκολα γράφοντας: σ x + σ y σ x σ y σ x ' = cos θ + τ sinθ (4.1) σ x σ y τ x ' y' = sin θ + τ cos θ (4.13) Yψώνοντας στο τετράγωνο και προσθέτοντας κατά μέλη καταλήγουμε στην εξής σχέση: σ x + σ y σ x σ y σ x' τ x ' y ' + = + τ x ' x ' y ' = ή ( a) + τ b σ (4.14) όπου a = ( σ x + σ y ) / και b = [( σ x σ y ) / ] + τ είναι γνωστές (σταθερές) ποσότητες. Η εξ. (4.14) είναι εξίσωση κύκλου ακτίνας b και κέντρου στο σημείο (a, 0). Το ενδιαφέρον είναι δε ότι κάθε σημείο του κύκλου έχει συντεταγμένες ( σ x', τ x'y' ). Ο κύκλος αυτός ονομάζεται κύκλος Mohr για τις τάσεις. H διαδικασία που ακολουθείται για την κατασκευή του κύκλου Mohr και τη γραφική παράσταση της επίπεδης εντατικής κατάστασης σε ένα σημείο μιας κατασκευής, στο οποίο δρουν τάσεις σ x, σ y και τ ως προς ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων x y, δίνεται παρακάτω. Κατ αρχήν επιλέγουμε ένα δεξιόστροφο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιο άξονα σ και κατακόρυφο τ (Σχ. 4.6γ). Ορίζουμε το κέντρο του κύκλου C στο σημείο (a, 0) και γράφουμε κύκλο με ακτίνα b. Το σημείο Α του κύκλου με συντεταγμένες ( σ x, τ ) αντιστοιχεί στην εντατική κατάσταση στο δεξιό κατακόρυφο επίπεδο του Σχ. 4.6 α, για το οποίο θ = 0 ο (οπότε οι άξονες x y συμπίπτουν με τους 1 H μέθοδος αυτή αναπτύχθηκε το 1895 από το μηχανικό και καθηγητή Otto Mohr.
86 ' ' άξονες x y ). Το σημείο αυτό ονομάζεται πόλος. Από το Σχ. 4.6γ είναι AD/CD = τ /[( σ x σ y )/], οπότε σύμφωνα με την εξ. (4.6) η γωνία ACD ισούται με θ 1. Το αντιδιαμετρικό σημείο Β αντιστοιχεί στο πάνω επίπεδο του Σχ. 4.6α για το οποίο θ = 90 ο. Εναλλακτικά λοιπόν ο κύκλος θα μπορούσε να γραφεί ορίζοντας τα σημεία Α και B, με συντεταγμένες ( σ x, τ ) και ( σ y, τ ). Το τμήμα ΑΒ αποτελεί διάμετρο του κύκλου και η τομή του με τον άξονα σ ορίζει το κέντρο C. (α) (β) (γ) Σχ. 4.6 Κύκλος Mohr για τις τάσεις. Το παραπάνω σκεπτικό ισχύει για οποιονδήποτε προσανατολισμό του στοιχείου στο Σχ. 4.6β. Το σημείο J πάνω στον κύκλο με συντεταγμένες ( σ x', τ x'y' ) αντιπροσωπεύει ' την εντατική κατάσταση στο επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα x, δηλαδή στο πάνω δεξιά του Σχ. 4.6β, ενώ το αντιδιαμετρικό του Κ αντιστοιχεί στο πάνω αριστερά επίπεδο του Σχ. 4.6β. Έτσι, με βάση τον τρόπο κατασκευής του κύκλου Mohr διαπιστώνουμε τα εξής: 1. Η μέγιστη κύρια τάση σ 1 βρίσκεται στο σημείο που ο κύκλος τέμνει τον άξονα σ προς τα δεξιά. Αυτή αποτελεί τη μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να λάβει η ορθή τάση, ενώ η διατμητική τάση που αντιστοιχεί στην τιμή αυτή είναι μηδέν. Ομοίως, η ελάχιστη κύρια τάση σ βρίσκεται στο σημείο που ο κύκλος τέμνει τον άξονα σ προς τα αριστερά.. Η μέγιστη διατμητική τάση τ max είναι αριθμητικά ίση με την ακτίνα του κύκλου, επίσης ίση με ( σ1 σ )/. Η ορθή τάση που δρα σε καθένα από τα επίπεδα των μέγιστων διατμητικών τάσεων είναι η τετμημένη του κέντρου, ίση με ( σ 1 + σ )/.
87 3. Αν σ 1 = σ ο κύκλος εκφυλίζεται σε σημείο και δεν αναπτύσσεται πουθενά διατμητική τάση. 4. Αν σ x + σ y = 0, το κέντρο του κύκλου συμπίπτει με την αρχή του συστήματος αξόνων σ τ και η αντίστοιχη εντατική κατάσταση είναι καθαρή διάτμηση. 5. Το άθροισμα των ορθών τάσεων σε οποιαδήποτε κάθετα μεταξύ τους επίπεδα αποτελεί αναλλοίωτη ποσότητα, δηλαδή σ x + σ y = σ1 + σ = σ x' + σ y' = σταθερό. 4.6 Μετασχηματισμός τάσεων με τη βοήθεια του κύκλου Mohr Ο κύκλος Mohr μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως εναλλακτική μέθοδος μετασχηματισμού των τάσεων γραφικά. εδομένης της εντατικής κατάστασης σε ένα σημείο (Σχ. 4.7α), δηλαδή με γνωστές τις τάσεις σ x, σ y και τ, το ζητούμενο είναι ο ' προσδιορισμός των τάσεων σε τυχαίο επίπεδο a-a, κάθετο σε άξονα x που σχηματίζει γωνία θ με τον οριζόντιο άξονα x. Πόλος (αρχή επιπέδων) Αρχή επιπέδων (α) Ακτίνα (γ) (δ) (β) Σχ. 4.7 Κύκλος Mohr για τον προσδιορισμό τάσεων σε τυχαίο επίπεδο. Πρώτο βήμα είναι η κατασκευή του κύκλου Mohr σύμφωνα με την προηγούμενη παράγραφο. Αρχικά ορίζεται το κέντρο C του κύκλου, σε απόσταση ( σ x + σ y )/ από την αρχή των αξόνων σ τ, ακολούθως ορίζεται το σημείο Α του κύκλου, ο πόλος, με συντεταγμένες ( σ x, τ ) και τέλος γράφεται ο κύκλος με ακτίνα CA = R (Σχ. 4.7β). Στο επόμενο βήμα φέρουμε μία ευθεία από το σημείο Α με διεύθυνση αυτήν του επιπέδου a-a στο οποίο επιθυμούμε τον προσδιορισμό των τάσεων. Η τομή της ευθείας
88 αυτής με τον κύκλο ορίζει το σημείο J, που έχει ως συντεταγμένες τις τάσεις που δρουν στο επίπεδο a-a. Αυτό θα εξηγηθεί περαιτέρω. Στην προηγούμενη ενότητα δείξαμε ότι η γωνία ACF του Σχ. 4.7β είναι θ 1. Επιπλέον, αφού η CH είναι κάθετη στην AJ, διχοτομεί τη γωνία ACJ και α = θ1 θ. Έτσι η γωνία JCF είναι θ α = θ θ1. Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι το σημείο J έχει συντεταγμένες τις τάσεις που δρουν στο κεκλιμένο επίπεδο a-a. Από το Σχ. 4.7β είναι R cos θ1 =( σ x σ y )/ και R sin θ 1 = τ. Από τα γεωμετρικά στοιχεία του Σχ. 4.7β και γνωστές τριγωνομετρικές ταυτότητες γράφουμε και σ x + σ y σ + σ J = + R cos 1 R 1 1 x y ( θ θ ) = + ( cosθ cosθ sinθ sin θ ) σ + σ x + σ y σ x σ y = + cos θ + τ sinθ (4.15) τ J = R sin ( θ θ1 ) = R sinθ cos θ1 R cos θ sinθ1 σ x σ y = sinθ τ cos θ (4.16) Παρατηρούμε ότι οι εξ. (4.15) (4.16) είναι ίδιες με τις εξ. (4.1) (4.), με μόνη εξαίρεση το πρόσημο της τ J. Οι εξ. (4.15) (4.16) ορίζουν τις τάσεις που ασκούνται στο επίπεδο που δείχνεται πάνω δεξιά στο Σχ. 4.7β. Το επίπεδο αυτό είναι παράλληλο στην AJ, η οποία με τη σειρά της είναι παράλληλη στη γραμμή a-a του Σχ. 4.7α. Επομένως, το σημείο J έχει πράγματι ως συντεταγμένες την ορθή τάση και την αντίθετη της διατμητικής τάσης που δρουν στο επίπεδο AJ. Βάσει του παραπάνω συμπεράσματος, ένας εύκολος τρόπος να θυμόμαστε τον προσανατολισμό της διατμητικής τάσης πάνω σε ένα επίπεδο είναι ο εξής: αν το σημείο J βρίσκεται πάνω από τον άξονα σ, τότε τα διανύσματα της διατμητικής τάσης στο επίπεδο ΑJ και στο ακριβώς απέναντί του δίνουν δεξιόστροφη ροπή, ενώ αν το σημείο J βρίσκεται κάτω από τον άξονα σ, τότε η αντίστοιχη ροπή είναι αριστερόστροφη. Για παράδειγμα, αν ως J ληφθεί το σημείο G του Σχ. 4.7β, οι διατμητικές τάσεις στο επίπεδο AG και στο απέναντί του θα έχουν φορά όπως δείχνει το Σχ. 4.7δ. Αν όμως ως J ληφθεί το σημείο Ε του Σχ. 4.7β, οι διατμητικές τάσεις στο επίπεδο AΕ και στο απέναντί του θα έχουν φορά όπως δείχνει το Σχ. 4.7γ. Κλείνουμε την ενότητα αυτή εφαρμόζοντας τη μέθοδο του κύκλου Mohr για το μετασχηματισμό τάσεων με στόχο την εύρεση των κυρίων τάσεων και των μέγιστων διατμητικών. Στην εντατική κατάσταση του Σχ. 4.8α αντιστοιχεί το σημείο Α του κύκλου
89 Mohr στο Σχ. 4.8β. Ο προσανατολισμός των κυρίων επιπέδων βρίσκεται συνδέοντας το Α με τις σ 1 και σ (Σχ. 4.8β), ενώ ο προσανατολισμός των επιπέδων που δρουν οι μέγιστες διατμητικές τάσεις βρίσκεται συνδέοντας το σημείο Α με τα σημεία των μέγιστων διατμητικών τάσεων (Σχ. 4.8γ). Συντεταγμένες του σημείου (α) (β) (γ) Σχ. 4.8 Προσδιορισμός κύριων και μέγιστων διατμητικών τάσεων, καθώς επίσης και των επιπέδων όπου αυτές δρουν, με τη βοήθεια του κύκλου Mohr. Παράδειγμα 4. Με γνωστή την εντατική κατάσταση του Σχ. 4.9α να προσδιοριστούν με τη βοήθεια του κύκλου Mohr (α) οι κύριες τάσεις και τα κύρια επίπεδα και (β) οι μέγιστες διατμητικές τάσεις, οι αντίστοιχες ορθές και τα επίπεδα δράσης τους. Για την κατασκευή του κύκλου Mohr υπολογίζεται πρώτα η τετμημένη του κέντρου του: (-+4)/ = 1 MPa. Οι συντεταγμένες του πόλου είναι (-, -4) ΜPa. Έτσι γράφεται ο κύκλος, με ακτίνα CA = CD + DA = 5 ΜPa, και μετρώνται σ 1= 6 ΜPa, σ = -4 ΜPa και τ max = 5 ΜPa (Σχ. 4.9β). Η γραμμές ΑΒ και ΑΕ προσδιορίζουν τον προσανατολισμό των κυρίων επιπέδων όπου δρουν οι σ 1 και σ, αντίστοιχα. Η γωνία θ 1 είναι 6.56 ο, αφού tanθ 1= AD/BD = 4/8 = 0.5.
90 Ένα από τα επίπεδα όπου δρα η μέγιστη διατμητική τάση έχει τον προσανατολισμό της AG. Στο επίπεδο αυτό και στο απέναντί του η τ max έχει προσανατολισμό τέτοιον ώστε να δίνει αριστερόστροφη ροπή, μιας και το G είναι κάτω από τον άξονα σ. Η ορθή τάση στα επίπεδα αυτά είναι σ ' = 1 ΜPa. Πλήρη αποτελέσματα για τάσεις και αντίστοιχα επίπεδα δίνονται υπό μορφή κατάλληλα προσανατολισμένων στοιχείων στο Σχ. 4.9β. (α) 6.56 o (β) Σχ. 4.9 Επίλυση Παραδείγματος 4. με τη μέθοδο του κύκλου Mohr. Παράδειγμα 4.3 Με τη μέθοδο του κύκλου Mohr να γίνει μετασχηματισμός των τάσεων του Σχ. 4.10α σε τάσεις πάνω σε επίπεδο που σχηματίζει γωνία.5 ο με τον κατακόρυφο άξονα. Για την κατασκευή του κύκλου Mohr υπολογίζεται πρώτα η τετμημένη του κέντρου του: (1+3)/ = MPa. Οι συντεταγμένες του πόλου είναι (3, 3) ΜPa. Έτσι γράφεται ο κύκλος με ακτίνα R = 1 + 3 = 3.16 ΜPa (Σχ. 4.10β). Ακολούθως φέρεται ευθεία από το Α έτσι ώστε να σχηματίζει γωνία.5 ο με τον κατακόρυφο άξονα. Η τομή της με τον κύκλο είναι το σημείο J. Για τη γωνία β του Σχ. 4.10β είναι tan β = AD/CD = 3, οπότε β = 71.57 ο. Έτσι η γωνία α = 71.57 ο.5 ο = 49.07 ο και η γωνία FCJ είναι α -.5 ο = 6.57 ο, οπότε προσδιορίζεται το σημείο J. Οι συντεταγμένες του J είναι σ = R cos (-6.57 ο ) = + J +
91 3.16x0.894 = 4.84 MPa και τ J = R sin (-6.57 ο ) = 3.16x(-0.447) = -1.41 MPa. Tα αποτελέσματα για την εντατική κατάσταση στο επίπεδο ΑJ δίνονται στο Σχ. 4.10γ. (α) (γ) (β) Σχ. 4.10 Επίλυση Παραδείγματος 4.3 με τη μέθοδο του κύκλου Mohr. 4.7 Κύριες τάσεις σε τρισδιάστατη εντατική κατάσταση Μέχρι τώρα έχουμε καλύψει την εντατική κατάσταση στο επίπεδο. Παρόλο που στα περισσότερα πρακτικά προβλήματα η εντατική κατάσταση είναι κατά καλή προσέγγιση επίπεδη, στην ενότητα αυτή θα αναφέρουμε, για λόγους πληρότητας, ορισμένα βασικά στοιχεία για τη γενική τρισδιάστατη εντατική κατάσταση του Σχ. (4.1α). (α) (β) Σχ. 4.11 Τετράεδρο για την εύρεση της κύριας τάσης σε κεκλιμένο επίπεδο.
9 Αντί να κάνουμε μία τομή στο επίπεδο x y (π.χ. ΒD στο Σχ. 8.β), θεωρούμε ότι το στοιχείο του Σχ. 4.1α τέμνεται από το κεκλιμένο επίπεδο ABC του Σχ. 4.11α έτσι ώστε να σχηματίζεται το τετράεδρο ΟΑΒC. Το επίπεδο ABC έχει προσανατολισμό που ορίζεται από το κάθετο σε αυτό μοναδιαίο διάνυσμα n, το οποίο έχει συνημίτονα διεύθυνσης l, m και n, με l = cosα, m = cos β και n = cosγ (Σχ. 4.11β). Για τα συνημίτονα διεύθυνσης ισχύει l + m + n = 1 (4.17) Ορίζοντας τη στοιχειώδη επιφάνεια της πλευράς ΑΒC ως da ABC = da, οι υπόλοιπες τρεις επιφάνειες του τετραέδρου είναι da BOC = da l, = da m και da AOC da AOB = da n (ως προβολές της ΑΒC στα τρία κάθετα μεταξύ τους επίπεδα). Ακολούθως γράφουμε τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας για το τετράεδρο, πολλαπλασιάζοντας τις τάσεις σε κάθε πλευρά επί το αντίστοιχο εμβαδόν. Για την πλευρά ABC θεωρούμε ότι δρα μόνο ορθή τάση (κάτι που δεν ισχύει για τυχαίο προσανατολισμό του επιπέδου ABC), δηλαδή κύρια τάση, με σύμβολο σ n, οπότε το επίπεδο ABC είναι κύριο επίπεδο. Οι εξισώσεις ισορροπίας δίνουν: x F = 0 : σ da l σ da l τ da m τ da n = 0 y n x F = 0 : σ da m σ da m τ da n τ da l = 0 (4.18) z n y F = 0 : σ da n σ da n τ da l τ da m = 0 n z xz yz xz yz Απλοποιώντας και αλλάζοντας πρόσημα μπορούμε να γράψουμε: ( σ σ ) l + τ m + τ n = 0 x n xz ( σ σ ) m + τ n = 0 τ l + (4.19) τ l + τ xz y yz n m + yz ( σ σ ) n = 0 z n Λόγω της εξ. (4.17) τα l, m και n δε μπορεί να είναι όλα μηδενικά, γιαυτό το σύστημα των εξ. (4.19) έχει λύση αν και μόνο αν η διακρίνουσα μηδενίζεται: σ σ x τ τ xz n τ y σ σ τ yz n τ τ z xz yz σ σ n = 0 (4.0) Από την ανάπτυξη της διακρίνουσας γράφουμε
93 3 σ n Ι 1σ n + Ι σ n Ι 3 = 0 (4.1) όπου Ι + 1 = σ x + σ y σ z (4.) ( σ σ + σ σ + σ σ ) ( τ + τ τ ) Ι + = x y y z z x yz zx (4.3) ( σ τ + σ τ σ τ ) Ι + 3 = σ xσ yσ z + τ τ yzτ xz x yz y xz z (4.4) Παρατηρούμε ότι ακόμα και αν το αρχικό σύστημα συντεταγμένων ήταν διαφορετικό, οπότε τα τρία κάθετα μεταξύ τους επίπεδα (ΟΑΒ, ΟΒC, OAC) θα είχαν διαφορετικό προσανατολισμό, η τάση σ n στο κεκλιμένο επίπεδο θα πρέπει να είναι ίδια. Συνεπώς οι ποσότητες Ι 1, Ι και Ι 3 της εξ. (4.1) πρέπει να παραμείνουν και αυτές σταθερές. Οι σταθερές Ι 1, Ι και Ι 3 ονομάζονται αναλλοίωτες των τάσεων. Το μητρώο της εξ. (4.0) είναι συμμετρικό και τα στοιχεία του είναι πραγματικά, επομένως η εξ. (4.1) έχει τρεις πραγματικές ρίζες. Οι ρίζες αυτές είναι οι ιδιοτιμές της ορίζουσας και αποτελούν τις κύριες τάσεις του προβλήματος που αναλύσαμε. Έστω ότι οι ρίζες αυτές είναι σ 1, σ και σ 3, με σ 1> σ > σ 3. Αντικατάσταση κάθε μίας σε οποιεσδήποτε δύο από τις εξ. (4.19), μαζί με την εξ. (4.17) δίνουν ένα σύστημα τριών εξισώσεων με αγνώστους τα τρία συνημίτονα διεύθυνσης που αντιστοιχούν στη συγκεκριμένη ρίζα, οπότε ορίζεται η διεύθυνση της συγκεκριμένης κύριας τάσης (κύρια διεύθυνση ή κύριος άξονας) και το αντίστοιχο επίπεδο πάνω στο οποίο δρα η τάση αυτή (κύριο επίπεδο). Τα τρία κύρια επίπεδα που προκύπτουν με τον τρόπο αυτό είναι μεταξύ τους κάθετα. Τέλος, αν δύο ή τρεις από τις κύριες τάσεις είναι ίσες, οι κύριες διευθύνσεις είναι άπειρες (αυτό αναλύεται περαιτέρω στην αμέσως επόμενη ενότητα). 4.8 Κύκλος Mohr σε τρισδιάστατη εντατική κατάσταση Αν οι δύο από τις τρεις κύριες τάσεις είναι ίσες, η τρίτη έχει καθορισμένη διεύθυνση. Στην περίπτωση αυτή οποιεσδήποτε δύο διευθύνσεις κάθετες σε αυτήν αλλά και μεταξύ τους ορίζουν μία τριάδα κυρίων διευθύνσεων. Η αντίστοιχη εντατική κατάσταση ονομάζεται αξονοσυμμετρική (ή κυλινδρική). Αν και οι τρεις κύριες τάσεις είναι ίσες, τότε οποιαδήποτε τριάδα κάθετων μεταξύ τους διευθύνσεων αποτελεί κύριες διευθύνσεις και η αντίστοιχη εντατική κατάσταση ονομάζεται υδροστατική (ή σφαιρική). Έστω η γενική τριαξονική εντατική κατάσταση του Σχ. 4.1α, με κύριες τάσεις σ 1> σ > σ 3 στις διευθύνσεις των κυρίων αξόνων 1, και 3. Η όψη του στοιχείου από κάθε έναν εκ των κυρίων αξόνων δίνεται στο Σχ. 4.1β, μέσω διαγραμμάτων στις δύο
94 διαστάσεις (στο επίπεδο). Σε καθένα από τα στοιχεία του Σχ. 4.1β αντιστοιχεί και ένας κύκλος Mohr, οπότε οι τρεις κύκλοι μπορούν να γραφούν παραστατικά στο ίδιο σύστημα αξόνων, όπως δίνει το Σχ. 4.1γ. Για το επίπεδο 1-3 (α) Θεωρούμε (γ) Όψεις του στοιχείου από διαφορετικούς κύριους άξονες (β) Σχ. 4.1 (α) Στοιχείο σε γενική τριαξονική εντατική κατάσταση, (β) κύκλοι Mohr και (γ) όψεις του στοιχείου από τους τρεις κύριους άξονες. Τέλος, έχοντας ορίσει τους τρεις κύκλους Mohr διαπιστώνουμε εύκολα ότι στην τρισδιάστατη εντατική κατάσταση η απόλυτα μέγιστη διατμητική τάση ισούται με την ημιδιαφορά της μέγιστης και της ελάχιστης κύριας τάσης, τ max σ1 σ = 3 (4.5) Παράδειγμα 4.4 Για τα δεδομένα του Παραδείγματος 4. (Σχ. 4.13α), το οποίο αφορά πρόβλημα επίπεδης εντατικής κατάστασης, να κατασκευαστούν όλοι οι κύκλοι Mohr και να δοθούν όψεις του στοιχείου από τους τρεις κύριους άξονες.
95 (α) 6.57 ο (β) (ζ) (γ) (δ) (ε) (στ) Σχ. 4.13 Κύκλοι Mohr και όψεις στοιχείου για το Παράδειγμα 4.4. Οι κύριες τάσεις για το πρόβλημα αυτό έχουν ήδη προσδιοριστεί και δίνονται στο Σχ. 4.13β. Η τάση κάθετα στο επίπεδο του στοιχείου είναι μηδέν, συνεπώς οι τρεις κύριες τάσεις είναι σ 1= 6 MPa, σ = 0 και σ 3 = -4 MPa. Η εντατική κατάσταση στις τρεις διαστάσεις δίνεται στο Σχ. 4.13γ και οι όψεις του στοιχείου από τους τρεις κύριους άξονες δίνονται στα Σχ. 4.13δ-στ. Οι τρεις κύκλοι Mohr δίνονται στο Σχ. 4.13ζ. Σημειώνουμε ότι αν το πρόβλημα του Σχ. 4.13α αναφερόταν σε επίπεδη παραμόρφωση η σ θα ήταν μη μηδενική, σ = ν (6 4) = ν, όπου ν ο λόγος Poisson [εξ. (4.5)]. Παράδειγμα 4.5 Για την επίπεδη εντατική κατάσταση του Σχ. 4.14α να γίνουν οι τρεις κύκλοι Mohr τάσεων και να προσδιoριστεί η μέγιστη διατμητική τάση. Οι δύο από τις τρεις κύριες τάσεις δίνονται, ενώ η τρίτη είναι μηδέν, δηλαδή σ 1= 10 MPa, σ = 6 MPa και σ 3 = 0. Oι κύκλοι Mohr κατασκευάζονται στο Σχ. 4.14β. Η μέγιστες
96 διατμητικές τάσεις αντιστοιχούν στα σημεία D και E του εξωτερικού κύκλου, οπότε τα επίπεδα όπου δρουν οι μέγιστες διατμητικές τάσεις σχηματίζουν γωνία 45 ο με την οριζόντια (Σχ. 4.14γ). Οι τάσεις στα επίπεδα αυτά (επίπεδα μέγιστης διάτμησης) δίνονται στο Σχ. 4.14δ. (α) Επίπεδα μέγιστης διάτμησης (γ) (β) (δ) Σχ. 4.14 Κύκλοι Mohr και μέγιστη διατμητική τάση για το Παράδειγμα 4.5. 4.9 Μετασχηματισμοί παραμορφώσεων στην επίπεδη εντατική κατάσταση Μέχρι τώρα στο κεφάλαιο αυτό ασχοληθήκαμε με το μετασχηματισμό των τάσεων. Αντίστοιχη ανάλυση μπορεί να γίνει και για το μετασχηματισμό των παραμορφώσεων, ο οποίος για την περίπτωση επίπεδης εντατικής κατάστασης περιγράφεται παρακάτω. Για να διευκολυνθούμε στους υπολογισμούς θα πρέπει να επισημάνουμε ότι η μελέτη παραμορφώσεων γίνεται θεωρώντας μόνο σχετικές μετακινήσεις σημείων σε ένα δομικό στοιχείο. Μετατοπίσεις και στροφές ολόκληρου του δομικού στοιχείου (γνωστές και ως μετακινήσεις στερεού σώματος), χωρίς μεταβολή όγκου ή σχήματος, δεν αντιστοιχούν σε τάσεις, οπότε η μελέτη τους δεν έχει πρακτικό ενδιαφέρον. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε το στοιχείο του Σχ. 4.15α πριν και μετά την παραμόρφωση (Σχ. 4.15β), θα διαπιστώσουμε ότι η μελέτη του παραμορφωμένου στοιχείου (με συνεχείς γραμμές στο Σχ. 4.15β) μπορεί να γίνει επαναφέροντάς το έτσι ώστε να έχει ένα κοινό σημείο με το αρχικό (Σχ. 4.15γ). Αν οι παραμορφώσεις και η στροφή του στοιχείου είναι
97 μικρές, η μελέτη της παραμορφωμένης κατάστασης του στοιχείου στο Σχ. 4.15γ μπορεί να γίνει είτε στο στοιχείο με τη διακεκομμένη γραμμή είτε σε αυτό με την εστιγμένη γραμμή. Η μεταβολή, για παράδειγμα, της διαγωνίου του στοιχείου είναι και στις δύο περιπτώσεις (περίπου) ίση με d Δ. Αρχικό στοιχείο (α) (β) (γ) Σχ. 4.15 Οι παραμορφώσεις προσδιορίζονται βάσει σχετικών μετακινήσεων. Πριν προχωρήσουμε στην εξαγωγή των σχέσεων μετασχηματισμού των παραμορφώσεων θα πρέπει να υπενθυμίσουμε τη σημασία των προσήμων: οι ορθές παραμορφώσεις ε x και ε y που αντιστοιχούν σε μήκυνση στη διεύθυνση των αξόνων x και y θεωρούνται θετικές (και αρνητικές για βράχυνση), ενώ η μείωση της ορθής γωνίας μεταξύ δύο αρχικά κάθετων πλευρών που ταυτίζονται με το σύστημα αξόνων x y δηλώνει θετική διατμητική παραμόρφωση. Επομένως, για τη μελέτη παραμορφώσεων του αρχικού στοιχείου στο Σχ. 4.16β το εικονιζόμενο παραμορφωμένο στοιχείο έχει θετική διατμητική παραμόρφωση. Ακολούθως υποθέτουμε ότι οι παραμορφώσεις ε x, ε y και γ ενός στοιχείου σε επίπεδη εντατική κατάσταση με σύστημα αναφοράς το x y είναι γνωστές. Το ζητούμενο είναι οι παραμορφώσεις ως προς ένα νέο σύστημα αξόνων x' y' (Σχ. 4.16β). Αρχικά θα υπολογίσουμε την ορθή παραμόρφωση στο άξονα x '. Στο νέο σύστημα αξόνων, το μήκος ΟΑ, ίσο με dx ', μπορούμε να το φανταστούμε ως διαγώνιο ενός ορθογωνικού στοιχείου dx επί dy στο αρχικό σύστημα αξόνων. Η μετακίνηση του σημείου Α στη διεύθυνση x είναι AA = ε xdx και στη διεύθυνση y είναι A A = ε ydy. Βάσει του Σχ. 4.16α, η διατμητική παραμόρφωση προκαλεί οριζόντια μετακίνηση A A = γ dy. Αθροιζόμενες, οι τρεις μετακινήσεις δίνουν την τελική θέση A του σημείου Α, όπως δίνεται στο Σχ. 4.16β. Η συνολική μήκυνση της διαγωνίου ΟΑ του αρχικού ορθογωνίου είναι, εξ ορισμού, ε x'dx', οπότε γράφουμε: ε dx' = AA cosθ + A A sinθ + A A cosθ x '
98 Αντικαθιστώντας για τις τρεις μετακινήσεις και διαιρώντας με ε dx dy = ε x cosθ + ε y sinθ dx' dx' x ' + γ dx ' έχουμε: dy cosθ dx' Επειδή όμως dx / dx' = cosθ και dy / dx' = sinθ, είναι: ε x ' x y + = ε cos θ + ε sin θ γ sinθ cosθ (4.6) Η εξ. (4.6) δίνει την ορθή παραμόρφωση στον άξονα x ', ο οποίος σχηματίζει γωνία με τον x, συναρτήσει των παραμορφώσεων στο σύστημα αξόνων x y. Με βάσει τριγωνομετρικές σχέσεις η εξ. (4.6) εναλλακτικά γράφεται και ως εξής: ε x + ε y ε x ε y γ ε x ' = + cos θ + sin θ (4.7) Παραμορφωμένο στοιχείο Αρχικό στοιχείο (α) (β) Σχ. 4.16 Παραμορφώσεις στοιχείου σε αρχικό και σε νέο σύστημα αξόνων. Ακολούθως γίνεται ο μετασχηματισμός της διατμητικής παραμόρφωσης, θεωρώντας το στοιχείο ΟACB με πλευρές ΟΑ και OB πάνω στους άξονες x ' και y ', Σχ. 4.16β. Εξ ορισμού, η διατμητική παραμόρφωση του στοιχείου αυτού είναι η μεταβολή της γωνίας ΑΟΒ, δηλαδή το άθροισμα των μικρών γωνιών α + β. Για μικρές παραμορφώσεις, η
99 γωνία α υπολογίζεται από τις προβολές των ΟΑ: A A, A A και A A πάνω στην κάθετη της α tanα = AA sinθ + A A cosθ A A sinθ dx dy = ε x sinθ + ε y cosθ γ dx' dx' dx' dy sinθ dx' = ( ε ε ) sinθ cosθ γ sin θ x y Αντίστοιχα, για τη γωνία β γράφουμε: β ( ε ε ) sinθ cosθ γ cos θ x y + Άρα γ x ' y' ( ε ε ) sinθ cosθ + γ ( cos θ sin θ ) = x y α + β = ή γ ( ε ε ) sin θ γ cos θ = (4.8) x ' y' x y + Οι εξ. (4.7) (4.8) επιτρέπουν το μετασχηματισμό των παραμορφώσεων σε νέο σύστημα αξόνων, όπως ακριβώς κάνουν οι εξ. (4.1) (4.) για το μετασχηματισμό των τάσεων. ιαιρώντας κατά μέλη την εξ. (4.8) με το έχουμε: γ x' y' ε x ε y γ = sin θ + cos θ (4.9) Συγκρίνοντας το ζεύγος των εξ. (4.1) (4.) με το ζεύγος των εξ. (4.7) (4.9) παρατηρούμε ότι οι σχέσεις αυτές είναι ανά ζεύγη μαθηματικά όμοιες, υπό την έννοια ότι τα σύμβολα σ και τ αντιστοιχούν στα σύμβολα ε και γ /. 4.10 Κύκλος Mohr για τις παραμορφώσεις Η τελευταία παρατήρηση της προηγούμενης ενότητας επιτρέπει το γραφικό μετασχηματισμό παραμορφώσεων με τη βοήθεια του κύκλου Mohr, όπως ακριβώς έγινε και για τις τάσεις, αρκεί όπου σ και τ να χρησιμοποιηθεί ε και γ /. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται κύκλος Mohr για τις παραμορφώσεις και δίνεται στο Σχ. 4.17. Τα συμπεράσματα από τη μελέτη του κύκλου Mohr για τις παραμορφώσεις είναι αντίστοιχα με αυτά για τις τάσεις. Η μέγιστη και η ελάχιστη ορθή παραμόρφωση είναι ε 1 και ε, αντίστοιχα. Οι παραμορφώσεις αυτές ονομάζονται κύριες παραμορφώσεις και έχουν διευθύνσεις που συμπίπτουν με αυτές των κυρίων τάσεων:
100 ε x + ε y ε x ε y γ ' max 1 ε x = ε = + + (4.30α) ( ) ( ) x' min = = x + ε y ε x ε y γ + ε ε ε (4.30β) γ tan θ1 = (4.31) ε x ε y Η μέγιστη διατμητική παραμόρφωση είναι ίση με το διπλάσιο της ακτίνας του κύκλου Mohr. Στη μέγιστη διατμητική παραμόρφωση αντιστοιχούν ορθές παραμορφώσεις ( ε 1 + ε )/, σε δύο κάθετα μεταξύ τους επίπεδα. Επίσης, το άθροισμα των ορθών παραμορφώσεων σε δύο οποιαδήποτε κάθετα μεταξύ τους επίπεδα είναι ποσότητα αναλλοίωτη, δηλαδή ε x ' + ε y' = ε x + ε y = ε1 + ε = σταθερό. Σχ. 4.17 Κύκλος Mohr για τις παραμορφώσεις. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, μαθηματικά οι μετασχηματισμοί παραμορφώσεων γίνονται όπως και οι μετασχηματισμοί τάσεων. Επομένως σε ένα πρόβλημα γενικής τρισδιάστατης παραμόρφωσης υπάρχουν τρεις κύριες διευθύνσεις, στις οποίες αναπτύσσονται αντίστοιχα οι κύριες παραμορφώσεις ε 1, ε και ε 3. Με βάση αυτές μπορούμε πάντα να γράψουμε τρεις κύκλους Mohr, εκ των οποίων οι δύο βρίσκονται εντός του τρίτου, αντίστοιχα με την περίπτωση των τάσεων.
101 Στο Παράδειγμα 3.3 δείξαμε ότι στην επίπεδη εντατική κατάσταση η ε z είναι ίση με ν ( ε x + ε y ) /(1 ν ) [εξ. (3.18)]. Αφού όμως η ποσότητα ( ε x + ε y ) είναι σταθερή, θα είναι σταθερή και η ε z. Επίσης, στην περίπτωση επίπεδης παραμόρφωσης η ε z είναι και πάλι σταθερή (ίση με μηδέν). Γενικώς λοιπόν σε προβλήματα δύο διαστάσεων, η εκτός επιπέδου παραμόρφωση είναι σταθερή και ανεξάρτητη του συστήματος συντεταγμένων x' y', οπότε η μέθοδος του κύκλου Mohr παραμορφώσεων, ή, ισοδύναμα, οι αλγεβρικοί μετασχηματισμοί που προαναφέρθηκαν, ισχύουν για οποιοδήποτε τέτοιο πρόβλημα. Παράδειγμα 4.6 Ένα στοιχείο σε κατάσταση επίπεδης παραμόρφωσης υφίσταται παραμόρφωση 500 μm/m κατά μήκος του άξονα x, +300 μm/m κατά μήκος του άξονα y και στροφή κατά 600 μrad, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.18α. Με τη βοήθεια του κύκλου Mohr να προσδιορίσετε τις εντός του επιπέδου x y κύριες παραμορφώσεις και τις αντίστοιχες κύριες διευθύνσεις. Στο ίδιο γράφημα να γίνει η κατασκευή όλων των κύκλων Mohr. Παραμορφωμένο στοιχείο (α) 18.43 ο (γ) (β) Σχ. 4.18 Παράδειγμα 4.6. Τα δεδομένα του προβλήματος είναι: ε x = -500 μm/m (ή -500x10-6 ), ε y = 300 μm/m και γ = -600 μm/m (αρνητικό πρόσημο διότι η αρχική γωνία των 90 ο αυξάνεται). Στο σύστημα αξόνων ε γ / ορίζεται πρώτα το κέντρο του κύκλου, C, σε απόσταση ( )/ ε x + ε y = -100 μm/m από την αρχή των αξόνων Ο. Ο πόλος του κύκλου ορίζεται στο σημείο Α (-500 μm/m, -300 μm/m) και η ακτίνα ΑC είναι 500 μm/m (Σχ. 4.18β), οπότε γράφεται ο κύκλος που αντιστοιχεί στους άξονες x y. Συνεπώς η ε 1= 400 μm/m
10 αναπτύσσεται στη διεύθυνση που είναι κάθετη στην ευθεία που ενώνει το Α με το σημείο ε 1 και η ε 3 = -600 μm/m αναπτύσσεται κάθετα σε αυτή (Σχ. 4.18γ). Από τη γεωμετρία του Σχ. 4.18β είναι θ = tan 1 300 / 900 = 18.43 ο. Τέλος, δεδομένου ότι το πρόβλημα είναι επίπεδης παραμόρφωσης, είναι ε = 0 (σημείο Ο, αρχή των αξόνων). Έτσι γράφονται και οι υπόλοιποι δύο κύκλοι (διακεκομμένες γραμμές του Σχ. 4.18β). 4.11 Ροζέτα μηκυνσιομέτρων Στην Ενότητα. περιγράψαμε το μηκυνσιόμετρο, το οποίο επιτρέπει τη μέτρηση ορθών παραμορφώσεων στη διεύθυνση όπου τοποθετείται. Ο συνδυασμός μηκυνσιομέτρων σε διάφορες διευθύνσεις ονομάζεται ροζέτα και επιτρέπει τη μέτρηση όλων των ορθών παραμορφώσεων στις διευθύνσεις αυτές. Όπως θα δείξουμε παρακάτω, οι ορθές παραμορφώσεις σε τρεις διευθύνσεις (Σχ. 4.19) μπορεί να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό της πλήρους παραμορφωσιακής και εντατικής κατάστασης σε προβλήματα δύο διαστάσεων. (α) (β) (γ) Σχ. 4.19 Ροζέτες μηκυνσιομέτρων. Έστω μία ροζέτα με τρία μηκυνσιόμετρα σε διευθύνσεις που σχηματίζουν γωνίες θ 1, θ και θ 3 ως προς οριζόντιο άξονα ( x ). Οι ορθές παραμορφώσεις που μετρώνται από τα μηκυνσιόμετρα σχετίζονται με τις παραμορφώσεις ε x, ε y και γ μέσω της εξ. (4.6): ε θ ε θ 1 = ε x cos θ1 + ε y sin θ1 + γ sinθ1 cosθ1 = ε x cos θ + ε y sin θ + γ sinθ cosθ (4.3) ε θ 3 = ε x cos θ3 + ε y sin θ3 + γ sinθ cosθ 3 3
103 Επίλυση του συστήματος των εξ. (4.3) για τις τρεις άγνωστες παραμορφώσεις ε x, ε y και γ επιτρέπει τον προσδιορισμό της παραμορφωσιακής κατάστασης. Η σχετική υπολογιστική εργασία περιορίζεται σημαντικά με προσεκτική επιλογή των γωνιών. Έτσι η διατάξη με θ 1= 0 ο, θ = 45 ο και θ 3 = 90 ο (ροζέτα 45 ο, Σχ. 4.19β, Σχ. 4.0) δίνει ε = ε 0 0 ε = ε 90 ε ε + γ = + ε 45 0 0 x y x y δηλαδή γ = ε 0 ( ε ε 0 + 0 ) (4.33) 45 0 90 (α) (β) Σχ. 4.0 Ροζέτες 45 ο. Άλλη διάταξη ροζέτας είναι αυτή του Σχ. 4.19γ, γνωστή ως ροζέτα Δ ή ροζέτα 60 ο. Για τη διάταξη αυτή είναι ε = ε 0 0 x ε = ( ε 0 + ε 0 0 )/ 3 y (4.34α) 60 10 ε0 και γ = ( 0 )/ 3 0 ε 60 ε 10 (4.34β) Η χρήση μηκυνσιομέτρων σε δομικά στοιχεία αποσκοπεί κατά κανόνα στην εύρεση της εντατικής κατάστασης. Έτσι σε περιπτώσεις επίπεδης εντατικής κατάστασης ( σ = 0) μπορούμε να υπολογίσουμε π.χ. τις κύριες τάσεις συναρτήσει των κύριων παραμορφώσεων, μέσω των δύο πρώτων από τις εξ. (3.1): z σ1 σ ε 1 = ν και E E ε σ σ = ν 1 (4.35) E E Λύνοντας ως προς τις κύριες τάσεις έχουμε: E σ 1 = 1 + 1 ν ( ε νε ) και σ = ( ε + νε ) E 1 ν 1 (4.36)
104 Παράδειγμα 4.7 Σε ένα σημείο της κύριας δοκού μίας μεταλλικής γέφυρας έχει τοποθετηθεί ροζέτα 45 ο, η οποία έδωσε τις εξής μετρήσεις: ε 0 0 = 500 x10-6, ε 0 45 = 00x10-6 και ε 0 90 =300x10-6. Για το υλικό της δοκού (χάλυβας) είναι E = 00 GPa και ν = 0.3. Να προσδιοριστεί η εντατική κατάσταση στο εν λόγω σημείο. 6 Είναι ε = 500 10 και x ε y = 300 10 6. Από την εξ. (4.33) βρίσκουμε γ = ε 6 6 ( ε 0 + ) = [ 00 ( 500 + 300) ] 10 = 600 ε 0 0 45 0 90 10 Οι κύριες παραμορφώσεις υπολογίζονται ε 1 = 400 10 και ε = 600 10 και από τις εξ. (4.36) οι κύριες τάσεις (στις διευθύνσεις των κυρίων παραμορφώσεων) είναι: 6 6 3 00 10 6 σ 1 = [ 400 + 0.3 ( 600) ] 10 = 48. 4 MPa (εφελκυστική) 1 0.3 3 00 10 6 σ = ( 600 + 0.3 400) 10 = 105 MPa (θλιπτική) 1 0.3