376 625 Για να βρούµε τον αριθµό 376 + 625 ίσως χρειαζόµαστε έναν πολύ δυνατό υπολογιστή και αν θελήσουµε να τον γράψουµε σίγουρα πολλά χιλιόµετρα χαρτιού. Όµως τουλάχιστον τα τρία τελευταία ψηφία του µπορείτε να τα βρείτε. Ένας ενθουσιώδης οπαδός των γρίφων ρωτήθηκε για την ηλικία του. Η απάντησή ήταν ιδιαίτερα ευφυής. «Αν τριπλασιάσετε την ηλικία που θα έχω σε τρία χρόνια και από το αποτέλεσµα αφαιρέσετε το τριπλάσιο της ηλικίας που είχα πριν τρία χρόνια, θα µπορέσετε να βρείτε πόσο χρονών είµαι σήµερα». Ποια είναι η ηλικία του; 168
Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα : α) του αριθµού 12.345.678.987.654.321; β) του αριθµού 1 3 +2 3 +3 3 + +2006 3 είξτε ότι ο αριθµός 19 2005 +11 2004-2 διαιρείται µε το 6. Υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα : α) του αριθµού 1+3+5+ +2001. β) του αριθµού 1+2+3+ +2006+2005+ +2+1 169
είξτε ότι ο αριθµός 2001 2-2000 2 +1999 2-1998 2 + +2 2-1 διαιρείται µε το 2001. Ποιο είναι το άθροισµα των ψηφίων του αριθµού 10 2004-10. 22221 44441 22220+ Να βρείτε τον ακέραιο αριθµό 2 22222 22216. 170
Να αποδείξετε ότι αν ο τριψήφιος αριθµός αβγ διαιρείται µε το 37, τότε και οι αριθµοί βγα και γαβ διαιρούνται µε το 37. ιαλέξτε 3 ψηφία µη µηδενικά και διαφορετικά ανά δύο. Γράψτε όλους τους δυνατούς συνδυασµούς των τριψήφιων αριθµών µε αυτά τα ψηφία. ιαιρέστε το άθροισµα αυτών των τριψήφιων αριθµών µε το άθροισµα των τριών ψηφίων. Εξηγήστε γιατί το αποτέλεσµα είναι 222. Γράφοντας τους θετικούς ακέραιους τον έναν µετά τον άλλο παρατηρούµε ότι στην 17 η θέση βρίσκεται το ψηφίο 3. Ποιο ψηφίο βρίσκεται στην 2002 θέση; 171
Ποιο είναι το άθροισµα των ψηφίων του αριθµού 33333333334 2 ; Υπόδειξη: Υπολογίστε τους αριθµούς 4 2, 34 2, 334 2, Βρείτε τους αριθµούς κ, λ, µ, ν αν γνωρίζετε ότι όλοι είναι µη αρνητικοί ακέραιοι µικρότεροι του 4 και ότι κ + 4λ + 16µ + 64ν = 210. Μια παρέα από πιθήκους διασκέδαζε. Από την θορυβώδη συντροφιά τους το ένα όγδοο στο τετράγωνο χοροπηδούσε µεσ τα δάση, ενώ οι υπόλοιποι δώδεκα φώναζαν όλοι µαζί συγχρόνως πάνω στην κορυφή ενός καταπράσινου λόφου. Από πόσους πιθήκους αποτελείτο η ζωηρή αυτή παρέα; (L. Rodet 1878). 172
Ιδού ο τύµβος που περικλείει την στάχτη του ιόφαντου. Είναι θαυµάσιος γιατί µε µαθηµατικό γρίφο περιγράφει όλη του τη ζωή. Έµεινε παιδί το 1 6 της ζωής του και µετά από ένα άλλο 12ο τα µάγουλά του σκεπάστηκαν µε γένια ενώ µετά από ένα έβδοµο άναψε το δαυλό του γάµου του. Μετά πέντε χρόνια από τον γάµο του γεννήθηκε ένας γιος. Άλλ αυτός, δυστυχισµένο παιδί αν και τον αγαπούσε µε πάθος, πέθανε µόλις έφθασε στο µισό της ηλικίας που έφθασε ο πατέρας του. Έπειτα ο ιόφαντος έζησε ακόµη 4 έτη γλυκαίνοντας τον πόνο του µε έρευνες πάνω στην επιστήµη των αριθµών. Το άθροισµα δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων πολλαπλασιαζόµενο επί το γινόµενό τους ισούται µε 7440. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθµοί; 173
Ο Μέγας Αλέξανδρος ζήτησε από τους αξιωµατικούς του πως να τοποθετήσουν την µακεδονική φάλαγγα (κάτω από 5000 στρατιώτες) έτσι ώστε να µη περισσεύει κανείς, καθώς και πόσους στρατιώτες έχει η φάλαγγα. Την άλλη µέρα οι αξιωµατικοί του απάντησαν ότι όταν τους τοποθέτησαν σε 2-άδες περίσσευε ένας, σε 3-άδες περίσσευαν 2, σε 4-άδες περίσσευαν 3, σε 5-άδες περίσσευαν 4, σε 6-άδες περίσσευαν 5, σε 7-άδες περίσσευαν 6, σε 8-άδες περίσσευαν 7, σε 9-άδες περίσσευαν 8, σε 10-άδες περίσσευαν 9 και σε 11-άδες δεν περίσσευε κανένας. Την απάντηση έδωσε ο Αριστοτέλης που ήταν και ο δάσκαλός του. Η ώρα και η Πηνελόπη µαζί µε τις κόρες τους Μάρθα και Σουζάνα µπαίνουν σ ένα βιβλιοπωλείο να αγοράσουν βιβλία. Κάθε βιβλίο κοστίζει τόσα ευρώ όσα και τα βιβλία που αγόρασαν. Κάθε µάνα ξοδεύει 15 ευρώ περισσότερα από την κόρη της και η Μάρθα αγόρασε 3 βιβλία περισσότερα από την Πηνελόπη. Ποια είναι η µάνα της Σουζάνας; 174
Τρεις αδελφοί, ο John, o Nicolas και ο Pier πηγαίνουν στην αγορά µε τις γυναίκες τους Mari, Natali και Anne. Κάθε πρόσωπο από τα παραπάνω αγοράζει ένα ορισµένο αριθµό αντικειµένων και πληρώνει για κάθε αντικείµενο τόσα φράγκα όσα µε τον αριθµό των αντικειµένων που αγόρασε. Σηµειωτέον ότι κάθε σύζυγος ξοδεύει 63 φράγκα περισσότερα από τη γυναίκα τους. Αν ο Nicolas αγόρασε 23 αντικείµενα περισσότερα από την Mari, o John 11 περισσότερα από τη Νatali να βρείτε τα ζευγάρια των συζύγων. Claude Bachet Garpard Ο Πέτρος ρωτάει τον Γιώργο πόσο χρονών είναι ο µπαµπάς του και ο γιος του και αυτός επειδή γνωρίζει ότι του αρέσουν οι γρίφοι του απαντάει ως εξής: Οι ηλικίες και των δύο έχουν την ιδιότητα να είναι 7 πλάσιες του αθροίσµατος των ψηφίων τους. Ο Πέτρος αφού σκέφτεται λέει πως δεν του αρκεί αυτή η πληροφορία και ο Γιώργος συνεχίζει, οι ηλικίες τους είναι αριθµοί που έχουν την ιδιότητα να είναι 21 φορές το ψηφίο των µονάδων τους. Ο Πέτρος σκέφτεται και σε λίγο ξεσπάει στα γέλια λέγοντας «Γιώργο πλάκα µου κάνεις;» Ο Γιώργος γελώντας του λέει «Άντε για να µη σε παιδεύω άλλο ο παππούς έχει 4-πλάσια ηλικία από τον εγγονό και ο Πέτρος λέει «Τώρα µάλιστα». Να βρείτε την ηλικία του παππού και του εγγονού. 175
Σε πιο θετικό ακέραιο είτε προσθέσουµε το 12, είτε προσθέσουµε το 25 θα πάρουµε τέλειο τετράγωνο; OZANAM ΣΤΑΥΡΑΡΙΘΜΟ 4. Κυκλικός αριθµός που σχετίζεται µε το 1 7. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ 1.Τετραγωνική ρίζα του αριθµού 123.454.321. 2.Παλίνδροµος αριθµός. 3.Τα 3 πρώτα δεκαδικά του υπερβατικού αριθµού e. 5. Τετραγωνική ρίζα του αθροίσµατος 1+ 3+ 5+ 7 +... + 2181. 6. α) Ο αριθµός ρβ (ελληνική γραφή). β) Ο αριθµός XXIV (ρωµαϊκή γραφή). 7. εκαδικό τµήµα του αριθµού φ της χρυσής τοµής. 176
ΚΑΘΕΤΑ 1.Ο προτελευταίος ναρκιναρκισιστικός αριθµός. 2.Η άλλη οπτική εµφάνιση του 2. 3.Το έτος αυτό ανακαλύφθηκε από τον LIDEMAN η υπερβατικότητα του π. 4.α) Ο 8 ος άρτιος αριθµός. β) Ο 4 ος τέλειος αριθµός. 5.α) Ο 6 ος πρώτος αριθµός. β) Ο µικρότερος ακέραιος που γράφεται µε δύο διαφορετικούς τρόπους σαν άθροισµα δύο τετραγώνων. 6.Ο µικρότερος τετραψήφιος αριθµός που γράφεται µε δύο διαφορετικούς τρόπους σαν άθροισµα δύο κύβων. 7.α) Ο 11 ος όρος της ακολουθίας Fibonacci. β) Ο 12 ος όρος της ακολουθίας Fibonacci. Βρείτε έναν τετραψήφιο αριθµό που όταν πολλαπλασιαστεί επί 4 δίνει τον αριθµό όταν διαβάζεται από δεξιά προς τα αριστερά. 177
Επιλέξτε πέντε περιττούς αριθµούς µε τους οποίους µπορείτε να σχηµατίσετε όλους τους αριθµούς από το 1 έως το 121 µε κατάλληλες προσθέσεις ή αφαιρέσεις ορισµένων εξ αυτών. Βρείτε το πλήθος των ψηφίων καθώς και το άθροισµα τους από τον αριθµό 100 I) 10 10 II) 33333334 2 Βρείτε το τελευταίο ψηφίο του αριθµού 2007 2 1. 178
Να βρείτε το χιλιοστό δεκαδικό ψηφίο της τετραγωνικής ρίζας του αριθµού 0,999... 179